Không gian lồi địa phương khóa luận tốt nghiệp

Trong quá trình phát triển, giải tích hàm đã tích lũy được một số nội dung hết sức phong phú, những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

ĐỖ THỊ HƯỜNG

KHONG GIAN LOI ĐỊA PHƯƠNG

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Chuyén nganh: GIAI TICH

Người hướng dẫn khoa học

Th.S HOÀNG NGỌC TUẦN

Hà Nội - 2013

LOI CAM ON

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Hoàng Ngọc Tuấn - Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận của mình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian,

do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Hường

LỜI CAM ĐOAN Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Th.S Hoàng Ngọc Tuấn Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo

một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Không gian lôi địa phương”

không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Hường

° ° Mở đầu| - - ch nà 1 Chương 1.|Kiến thức chuẩn bị| -. - - 3

1.1.|Không gian vectơ Toán tử và phiếm hàm tuyến tính| 3

1.1.1.|Không gian veCt0| 22222222222 3 1.1.2.|Toán tử và phiếm hàm tuyến tính| 4

1.2.|Không gian tôpô| cẶcĂcc 5

1.3.|Không gian mêtric Không gian định chuẩn| 7

1.3.1.|Không gian mêtric| ccŸŸŸẶ 7 1.3.2.|Không gian định chuẩn| 9

1.4.|Không gian Hilbert| 13

Chương 2.|Không gian lỗi địa phương| - 15

2.1.|Một số tính chất của không gian lỗi địa phương| 15

2.2.|Phép biểu diễn và tính compact| - 35

Kết luận| -. c cv 50

Tài liệu tham khảo| - «<< «<< = << << + 51

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng đầu thế kỉ XX và đến nay vẫn được xem như là một ngành toán học cổ điển Trong quá trình phát triển, giải tích hàm đã tích lũy được một số nội dung hết sức phong phú,

những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất

cả các ngành toán học có liên quan, sử dụng đến công cụ giải tích và không gian vectơ Chính điều đó đã mở rộng phạm vi nghiên cứu cho các ngành toán học

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này và bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học cùng với sự hướng dẫn của thầy giáo- ThS Hoàng Ngọc Tuấn, em đã chọn đề tài: "Không gian lôi địa phương"

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về không gian lồi địa phương, một nội dung khá quen thuộc, bao hàm nhiều tính chất đặc trưng và tổng quát của giải tích hàm

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là định nghĩa và các tính chất của không gian lồi địa phương như tập bị chặn, tính khả mêtric và đều, không gian hữu hạn chiều, phân phối ; nghiên cứu phép biểu diễn và tính compact qua các định

lý biểu diễn Choquet, Carathéodory, Banach-Dieudome, Eberlein-Smulian,

Kaplansky, Banach-Stone

Nghiên cứu một số tính chất của không gian lồi địa phương trên trường

số thực R

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu là:

e Nghiên cứu một số tính chất của không gian lỗi địa phương

e Nghiên cứu phép biểu diễn và tính compact

5 Phương pháp nghiên cứu

e Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu

e Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Cầu trúc khóa luận

Khóa luận bao gồm lời mở đầu, hai chương, phần kết luận, và đanh mục tài liệu tham khảo

e Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

e Chương 2: Không gian lỗi địa phương

Trong thời gian học tập, nghiên cứu em đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của gia đình, bạn bè, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Giải tích và đặc biệt là ThS Hoàng Ngọc Tuấn, người trực tiếp hướng dẫn em

để em có thể hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp đại học này

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Hường

CHUONG 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian vectơ Toán tử và phiêm hàm tuyên tính

Trước khi tìm hiểu về không gian lồi địa phương, chúng ta cần nắm được

một số kiến thức cơ bản Chương 1 này nhắc lại một số kiến thức cơ bản đó Các khái niệm, kết quả trình bày ở đây được tham khảo ở các tài liệu [1],

[2], [3]

1.1.1 Không gian vectơ

Cho trường số thực ϧ và X là một tập khác rỗng Trên X ta xác định hai ánh xạ:

1) Phép cộng: xác định trên X, lấy giá trị trên X,

(x,y)>x+y;x,y€X;

2) Phép nhân vô hướng xác định trên ïR x X, lấy giá trị trên X,

(A,x) HO AxjxEX, AER

Dinh nghia 1.1 Tap X 4 Ó và hai ánh xạ trên gọi là một không gian vectd (không gian tuyến tính) nêu các điểu kiện sau được thỏa mãn:

3

Định nghĩa 1.2 (Tập lôi, bao lỗi)

X là một không gian vectơ trên trường số thực Một tập con V của X được gọi là lồi nếu với mỗi x,y € V thì ax+ (1— a)y € V,0< a< 1

Cho S là một tập con tùy ý của không gian vectơ X trên trường số thực Bao lôi của S được định nghĩa là giao của tắt cả các tập lôi chứa S Kí hiệu:

S

Dinh nghĩa 1.3 (Điểm cực biên)

Cho C là một tập lôi, x được gọi là điểm cực biên của C nếu không tôn

tại hai điển phân biệt u, v thuộc C sao cho x là điểm trong của đoạn [u,v] Trong đó [u,v] = {au+(1—a)v:0<a<l}

1.1.2 Todn tir va phiém ham tuyén tinh

Định nghĩa 1.4 Cho X và Y là hai không gian vectơ trên cùng trường số thực ]R, một ánh xạ T : X —> Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu

T (xì +32) = T (x1) + T (x2) véi moi x1,x2 € X;

T (Ax) =AT (x) voi moixEX, AER

Nếu Y =R thiT duoc goi la phiém ham tuyén tinh

Ki hiéu £* (X,Y) la tap hop tat cd cdc todn tit tuyén tinh từ X vào Y Tức

la £* (X,Y)={T :X > YIT la tuyén tinh}

Trên £Ÿ (X,Y) ta trang bị hai phép toán cộng và nhân vô hướng, xác định

nhu sau: véi moi A,B € £* (X,Y), AER,

(A +B) (x) = Ax+ BxVx EX;

(AA) x =A (Ax) Vx EX

Khi do £* (X,Y) cung vdi hai phép todn trén la mét khong gian vecto Dac biét, néu Y = R thay cho £* (X,Y) ta viét X* va goi là không gian

liên hợp đại số của không gian X (hay không gian đối ngẫu đại số của X) Mỗi phân tử của X” gọi là phiếm hàm tuyến tính trên X

1.2 Không gian tôpô

Định nghĩa 1.5 (Không gian tôpô)

Cho một tập hợp X bắt kì, X # @ Ta nói một họ + những tập hợp con của X là một tôpô (hay xác định một cầu trúc tôpô) trên X nếu:

(i) Hai tap hop ÿ và X đêu thuộc họ 1

(i1) + kín với phép giao hữu hạn, tức là giao của một họ hữu hạn các tập hợp thuộc họ + thì cũng thuộc họ đó

(iii) Hợp của một sô bắt kì (hữu hạn hay vô hạn) tập hợp thuộc họ + thì

cũng thuộc họ đó

Một tập hợp X, cùng vói một tôpô + trên X, gọi là không gian tôpô (X, +) (gọi đơn giản là không gian tôpô X)

Định nghĩa 1.6 Cho A C X, kí hiệu TẠ = {Af\G:Œ € +}, khi đó TA là một

tôpô trên A và Tạ được gọi là tôpô cảm sinh của tôpô + trên A

Khi đó (A, +) là một không gian tôpô và gọi là không gian tôpô con của

không gian (X, 1)

Định nghĩa 1.7 (Ánh xạ liên tục, không gian đồng phôi)

Cho (X,T), (Y, 4) là hai không gian tôpô, ƒ là ánh xạ từ X vào Y' xạ €X

Ta nói ánh xạ ƒ liên tục tại xạ nêu mọi lân cận Uy, clia diém yo = f (xo) déu

có một lân cận Vụy của điểm xọ sao cho ƒ (Vu) CU), nghia la x € Vy, =>

f (x) EU

Ánh xạ ƒ được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x € X

Giả sử ƒ là một song ánh từ X lên Y, nêu ƒ và ƒ~ liên tục thì ƒ được gọi là ánh xạ đồng phôi từ X lên Y hay còn gọi là phép đồng phôi

Không gian tôpô X, và không gian tôpô Y được gọi là hai không gian đông phôi với nhau nếu tôn tại một pháp đồng phôi từ X lên Y

Định nghĩa 1.8 G¡¿ sử (X, r) là không gian tôpô

Một họ Ô những lân cận của điểm x € X được gọi là một cơ sở lân cận cua x nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại V € 8 sao choV CU

Nếu tôn tại một cơ sở lân cận của x gồm đếm được các lân cận thì điểm

x gọi là có cơ sở lân cận đêm được

Định nghĩa 1.9 (Không gian Hausdorff)

Không gian tôpô X gọi là Tạ— không gian hodc khong gian Hausdorff

nếu với mỗi cặp điểm khác nhau xị,x› € X, tôn tại một lân cận V của xị và lân cận Ù cua x2 sao choU NV = @

Định nghĩa 1.11 (Không gian compact)

Không gian X được gọi là không gian compact nếu X là một tập compact trong X Tức là nêu D; là mở trong X với mọi ¡ € Ï và UP = X thì có một

íc

tập hữu hạn lọ C I sao cho L] Dị = X

i€ly

1.3 Không gian mêtric Không gian định chuẩn

1.3.1 Không gian mêtric

Định nghĩa 1.12 Không gian mêtric là một tập hợp X # cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X x X vào tập hợp số thực 1 thỏa mãn các tiên

đề sau đây:

1) (Vx,y€X), đ(zx,y) > 0,d(x,y) =0 © x = y (iiên đề đồng nhất); 2)(Vx,y€X),d(x,y) = d(y,x) (tiên đề đối xứng);

3) (Vx,y,s€ X), đ(x,y) < đ(x,z) +d(y,z) (tiên đề tam giác)

Ánh xạ d được gọi là mêtric trên X, d (x,y) gợi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y, các phân tử của X gọi là các điểm, các tiên đề 1), 2), 3) gọi

là hệ tiên đê mêtric Không gian mêtric được kí hiệu là M — (X,d)

7

Định nghĩa 1.13 Cho không gian mêtric M = (X,d) Một tập hợp con bắt

kì Xo # ÿ của tập hợp X cùng với mêtric d trên X gọi là không gian mêtric con của không gian đã cho

Định nghĩa 1.14 Cho không gian mêtric M = (X,d), a € X và số r > 0 Ta gọi:

- Tập hợp B(a,r) = {x € X : Ä(x,a) < r} là hình cầu mỏ tâm a, bán kính

- Tap hop B' (a,r) = {x € X :d(x,a) <r} là hình cầu đóng tâm a, bán

kính r

Định nghĩa 1.15 Trong không gian mêtric M — (X,đ) Mọi hình cầu mỏ

tâm x bán kính r > 0 gọi là lân cận của điểm x € X trong không gian M Định nghĩa 1.16 Cho X là một không gian métric, A C X,

Điểm x € A là điểm trong của X nếu: 3e > 0;B(x,£) C A

A được gọi là tập mỏ nếu mọi x € A là điểm trong của A

A được gọi là tập đóng nếu AC = X\A— mở

Định lý 1.1 Trong không gian mêtric bắt kì M = (X,đ) họ tắt cả các tập

mỏ lập thành một tôpô trên X Tôpô đó gọi là tôpô sinh bỏi mêtric d

Định lý 1.2 (Định lý Arzela-Ascoli)

Cho X là một không gian mềêtric compact và Y là một không gian mê tric

C(X,Y) là không gian mêtric với phan tử là tat cả các hàm liên tục từ X tới

Y và mêtric được xác định bởi công thức

d(f,g) = maxd (f(x) ,8(x))

Khi đó một tập con F của C{(X,Y) là compact nếu và chỉ nếu nó liên tục đồng bậc, bị chặn từng điểm và đóng

Tập con F được gọi là bị chặn từng điểm nếu với mọi x € X tập hợp

{f (x): f € F} la bị chan trong Y

Tập F được gọi là liên tục đồng bậc trên X nếu:

Vxọ €X,Ve > 0,3ồ >0,Vƒ€ F,Vx€X:d(x,xo) < 6

=> đ(ƒ(x),/ƒ(4o)) <£

Định lý 1.3 Trong không gian mêtric bắt kì, tôpô sinh bởi mêtric là tôpô có

cơ sở lân cận đếm được

1.3.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.17 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là một không gian tuyến tính X trên trường TÀ cùng với một ánh xạ từ

X vào tập hợp số thực, kí hiệu ||.|| (đọc là chuẩn) thỏa mãn các tiên để sau: 1) ||x|| = 0,Vx € X;

\|x|| =0 = x = 9 (6 là kí hiệu phân tử không của X)

2) |œx|| = |ø| |x|l, Vx €X,Vœ €R;

3) \lx+yl] < |lxl] + lly], x.y € X (bát đẳng thức tam giác)

Số ||x|| gọi là chuẩn của vectơ x Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn

là X Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên để chuẩn

Cho X = (X, ||.||) là một không gian định chuẩn

Bx = {xeX; |xll< 1} kí hiệu hình cầu đơn vị đóng của X, và

ấy ={x€X; |lx|| = 1} kí hiệu mặt cầu đơn vị của (X, |.||) Nếu M C X,

thì span (M) là viết tắt của bao tuyến tính (hoặc khoảng) của M, nghĩa là,

giao của tất cả các không gian con tuyến tính của X chứa M Tương đương, span (M) là không gian con nhỏ nhất (theo nghĩa bao hàm) của X chứa M

Tương tự, spam (M) là kí hiệu cho bao lỗi đóng tuyến tính của M; bao lỗi

của M sẽ được kí hiệu bởi com (M), và eøm (M) là kí hiệu bao lỗi đóng của

M

Với các tập hợp con A, 8 của một không gian vectơ X và vô hướng @, ta

viết A + B = {a+b;ac€ A,bc€ B} và œA = {ơa;a€ A}

Định nghĩa 1.18 Dấy điểm (x„) của không gian định chuẩn X gọi là hội

tụ tới điểm x € X, néu lim ||x, —x|| = 0 va ki hiéu lim x, = x hay x, >

n—-co ñ->œ

x(n — ©)

Định nghia 1.19 Day diém (x,) cua không gian định chuẩn X gọi là dấy

cơ bản nếu lim ||x»„T— x„|| = 0

n,m—>oo

Định nghĩa 1.20 (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X được gọi

là không gian Banach, nêu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Mệnh đề 1.1 Cho Y là không gian con của một không gian Banach X Y

là một không gian Banach nếu và chỉ nếu Y đóng trong X

Định nghĩa 1.21 (Định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn) Cho hai không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính T từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y gọi là bị chặn nếu tôn tại hằng sô C > 0 sao cho:

7x <€Œllxl, VxeX

Định nghĩa 1.22 (Định nghĩa chuẩn của toán tử tuyến tính) Cho hai không gian định chuẩn X và X Toán tử tuyến tính T từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng sô C > 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức

I7x|<€lx| vxeX

gọi là chuẩn của toán tử T và kí hiệu ||T||

Định nghĩa 1.23 (Không gian liên hợp) Cho không gian định chuẩn X trên trường sô thực IÑ Ta gọi không gian I (X,]Ñ) các phim hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của

không gian X và kí hiệu X" (thay cho ký hiệu I(X,)

Định nghĩa 1.24 Cho X là một không gian định chuẩn

Tôpô yếu w— trên X là tôpô được tạo ra bởi một cơ sở bao gỗm các tập

O={x€X:|ƒ#(x— xo)| < £ với mọi ¡ = 1, ,n}

với mọi xọ € X: ƒt, , ƒ„€ X” và g>0

Tương tự, tôpô yếu *, kí hiệu w*— trên X* của X được tạo ra bỏi một cơ sở

bao gồm các tập

O* = {f €X*; |(f — fo) (x1)| < € vdi moi i = 1, ,n}

v6i moi fo € X”; x\, ,xu € X với mọi £ > 0

Định lý 1.4 (Nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus)

Nếu họ (A:),.+ các toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ không gian Banach

X vào không gian định chuẩn Y (trong đó tập hợp chỉ số T có lực lượng nào đáy) bị chặn từng điểm, thì họ đó bị chặn đều

Định lý 1.5 (Nguyên lý thác triển Hahn-Banach)

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục ƒ xác định trên không gian tuyến tính con Xọ của không gian tuyến tính định chuẩn X (Xọo # X) đều có thể thác triển lên toàn không gian X với chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng được phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác định trên toàn không gian Ä sao cho:

11

1) F (x) = f (x) Vx € Xo;

2) \|Fllx = Ifllx,-

Bây giờ chúng ta sẽ chuyển qua một số ví dụ về không gian Banach

Định nghĩa 1.25 C |0, 1] là kí hiệu không gian vectơ của tắt cả các hàm giá

trị vô hướng có giá trị liên tục trên |0, l], cho bỏi chuẩn

II = sup {| F(t) >t € [0,1]} = max {\f (t)|; ¢ € [0,1]}

Tương tự, không gian C(K) gồm các hàm vô hướng liên tục trên một

không gian compact K, cho bởi chuẩn supremum, lập thành một không gian Banach

Định nghĩa 1.26 /ÿ !à kí hiệu không gian vecơ n chiễu của tắt cả các n—

tập vô hướng (ở đây là I"), cho bởi chuẩn supremum ||.|„ xác định cho

Cho x = {zx;}ƒˆ~¡ là một dãy vô hướng Ta định nghĩa giá của x bằng

supp(x) = {i; x; 4 O}

Định nghĩa 1.29 ¢., = ¢ (N) la kí hiệu không gian vectơ của tắt cả các

đấy có giá trị vô hướng bị chặn với chuẩn xác định cho x = (x¡) € £„ với

; ie N}

lx|l = sup {|x¡

coo la kí hiệu không gian con của ¢ bao gém tat cd x = (x;) sao cho

supp(x) Ia hitu han

c=c(N) la ki hiéu khong gian con của Ê„ bao gôm tắt cả x = (x;) sao cho lim (x;) ton tại và hữu hạn

cọ = cọ (Ñ) là kí hiệu không gian con của f„ bao gôm tắt cả x = (x¡)sao cho lim (x;) = 0

Chú ý rằng cọ là bao đóng của cọo trong f„ Cũng lưu ý rằng nêu x = (x¡)

>i EN}

thuộc cạo hoặc cọ, khi do \|x\|| = max {|x;

1.4 Khong gian Hilbert

Định nghĩa 1.30 (Định nghĩa tích vô hướng)

Cho không gian tuyến tính X trên trường sô thực T& Ta gọi tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X x X vào trường Ñ, ký

hiệu (.,.), thỏa mãn các tiên đề:

1) (y,x) = (x,y), Vx,y EX;

2) (x+y,z) = (x2) + (y,z), Vx,y,z€X;

3) (ax,y) =a(x,y), Vx,yEX,VaER;

4) (Vx EX) (x,x) > 0, néu x # 6 (6 là kí hiệu của phân tử không), (x,x) =0, nếu x = 9

13

Cac phan tit x,y,z gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x,y) gọi

là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.31 (Định nghĩa không gian Hilbert)

Ta gọi một tập H # 9 gồm những phân tử x,y,z nào đây là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điểu kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường số thực ]Ñ;

2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.);

3) H là không gian Banach với chuẩn ||x||= (.3), x€ H

Định lý 1.6 (Định lý Riesz)

Mọi phiêm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có

biểu diễn duy nhất dưới dạng ƒ (x) = (x,a),x € H trong đó phân tử a c H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm ƒ và ||ƒ||= ||al

CHƯƠNG 2

Không gian lôi địa phương

Trong chương này chúng ta sẽ đưa ra khái niệm, tìm hiểu một số tính chất của không gian lồi địa phương: phép biểu diễn và tính compact trong

nó

2.1 Một số tính chất của không gian lồi địa phương

Định nghĩa 2.1 Cho E là một không gian vectơ, và cho + là một không gian top6 Hausdorff trên E được cho bởi phép toán (x,y) GE x Ec>x+y

và (x,0) € E xÑ c> Œx tương ứng liên tục trên tập E x E va E x R Khi do,

(E,+) được gọi là một không gian vectơ tôpô

Bởi vậy, với mỗi xị,xạ € E và mọi lân cận W của xị + xa tồn tại tương ứng các lân cận Vị và VW; của xị và xạ, sao cho Vị + Vạ C W, ở đó

Wị + Vạ = {x+y,x€ Vị,y€ W;} Ngoài ra, với mỗi x € E,œ € JR và mọi

lân cận W của +, tồn tại một lân cận V của x trong E va 6 > 0 sao cho

BV CW véi moi |B — a| < 6, khi d6 BV = {Bv;v EV}

Ta có phát biểu sau đây

Mệnh đề 2.1 Cho X là một không gian vectơ tôpô

(¡) Với mỗi a € E, toán tử tịnh tiên Tạ ánh xạ x € E thành T„ (x) =x+a

là một phép đồng phôi từ E lên E

15

(ii) Với mỗi œ € ]R,œ # 0 toán tử Mạ của phép nhân ánh xạ x € E thành

Mẹ (x) = Œx là một phép đồng phôi từ E lên E

Ta thường xét các cơ sở lân cận tại gốc của không gian vectơ tôpô (E, 2);

ở đó, họ các tập $ gồm các tập con của E sao cho mỗi U cS chứa một lân

cận của 0 và đối với mọi V € 7 với 0 € V ta có thể m được tập U €S sao choOEU CV

Bổ đề 2.1 Néu 3 là một cơ sở lân cận của khong gian vecto topo E, thì mọi tập hợp trong S bao gôm những tập đóng trong S

Đặc biệt: E có một cơ sỏ lân cận bao gồm các tập hợp đóng

Chứng minh Lây U € 3 Vi (x,y) => x— y là một hàm liên tục, ta tim

được một lân cận V của không trong E thỏa mãn — V C U; nghĩa là,

Vñn((E\U)+V) = ¿ Từ (E\U) + V là một tập mở, ta có Vñn ((E\U)+V) = 9; dac biét, VO (E\U) = 9 bởi vì 0€ V Vì vậy

Định nghĩa 2.2 Một không gian vectơ tôpô E được gọi là một không gian lôi địa phương nếu E có một cơ sở lân cận gỗồm toàn các tập lôi

Một tôpô + trên E được gọi là một tôpô lôi địa phương nếu (E, +) là một

không gian lôi địa phương

Chuẩn, w—tôpô và w*— tôpô là các ví dụ về tôpô lồi địa phương

Một mêtric đ(.,.) trên không gian vectơ E được gọi là bất biến (tịnh

tiến) nếu đ (x+z,y +z) = đ(z,y) với mọi x,y,z € E

Định nghĩa 2.3 Mội không gian lôi địa phương E được gọi là không gian Fréchet nếu nó được cảm sinh bỏi một mêtric bắt biến đây đủ

Một không gian lôi địa phương E được gọi là đủ nêu nó được cảm sinh bỏi một chuẩn trên E

Đặc biệt, nếu X là một không gian Banach, thì khoảng cách

d(z,y) = ||x— y|| tạo thành một không gian Fréchet

Định nghĩa 2.4 Một tập A trong không gian vectơ E được gọi là cân nếu

œV CV với mọi |œ| < 6 Dat W = œV Khi đó W là một lân cận của

(2) Cho U là một lân cận lồi của 0 trong # Trước hết, ta xây dựng W như

trong (1) Vi W 1a tap can, nén V = conv (W) là tập cân và là lân cận lỗi của

Mệnh đề 2.3 Cho E là một không gian vectơ tôpô Nếu dìm (E) =n, thiE

là phép đồng phôi tuyến tính lên f2

Chứng mình Lây {et, ,e„} là một cơ sở của E Chúng ta xác định ánh xạ

u từ f2 én E voi x = (x;) bang u(x) = Y x¡iới

i=l

17

Do tính liên tục của các phép toán của vectơ trong #, là một song ánh tuyến tính liên tục của #3 trên £ Để hoàn thành chứng minh chúng ta phải chỉ ra rang u~! là liên tục Lấy B¡ chứa hình cầu đơn vị trong 7: chúng ta

sẽ chỉ ra rằng w (B¡) chứa một lân cận của 0 trong E Nhờ sự tuyến tính của

u và của các tôpô của E và ý, điều này chứng minh nó liên tục tại mọi điểm

của E

Lấy S¡ là mặt cầu đơn vị trong /7 Bởi vì Š¡ là compact trong /7 và w

là liên tục, (Š¡) compact trong # Ngoài ra, là đơn ánh, vì vậy ta có

0 £ „(S¡) Từ E là không gian Hausdorff, với mọi s € u(S;) c6 U, va V,

tương ứng là các lân cận của s và 0, sao cho U; NV; # ở

P

Do tính compact, C6 51, ,5) € u(S,) sao cho u(S1) C Ủ U,, Đặt

V= ñ Y;, Thế thì V là một lân cận của 0 trong E sao cho V 1u (Š¡) = Ó

Từ mệnh đề 2.2, theo đó có một lân cận cân W của 0 trong E sao cho W C V

và như thế W f(S¡) = @ Ta nhận thấy rằng W C „(B¡) Thật vậy, nếu với một phần tử w € W nào đó chúng ta có w ý #(B¡), thế thì w = u(v) với 0 # /(B\) Khi đó De 51 và "mì “ae” bởi vì W cân,

Ta nói rằng một dãy {xz }„.„ trong không gian vectơ tôpô E được gọi là

Cauchy nêu với mọi lân cận U của 0 trong E có ơọ € ï sao cho (xa — xg)€ U với mọi a, B > ơạ E được gọi là đứ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ

Hệ quả 2.1 Cho F la một không gian con của không gian vectơ E Nếu F

có hữu hạn chiêu thì F đóng trong E

Chứng mình Từ f2 là không gian đủ nên nó cũng là một không gian vectơ tôpô Theo Mệnh đề 2.3, điều đó cũng đúng cho Ƒ Lấy y € F thì có một

day {x„} C Ƒ sao cho lim (x„) = y Rõ ràng {x„ } là một dãy Cauchy trong

F, vi vậy nó hội tụ tới một phần tử nào đó trong Ƒ Từ đó y € F L] Mệnh đề 2.4 Cho E là một không gian lôi địa phương Nếu E có một cơ sở lân cận đếm được, thì tôpô của E được cảm sinh bởi một mêtric bắt biến Chứng minh Lây {U„} là một cơ sở lân cận đếm được trong E Theo mệnh

đề 2.3, ta có thể giả sử rằng mọi „ là những tập lỗi cân Với mỗi ø lấy p„ là

hàm Minkowski của U„ Thế thì p„ là nửa chuẩn; nghĩa là,

Pn(XEy) Š Pn(X) + pn(y) voi x,y € E va pn (ax) = |a| p(x) voi

Dé xac minh rang đ thực sự là một mêtric, chú ý rắng Tar la day tang

Vì vậy, với x,y,z € E,

Từ đó chuỗi trong định nghĩa của ở là hội tụ đều với x,y € E, ta có các

hình cầu {x€ E; đ(x,0) < r} là mở trong E Mêtric đ là sự chuyển dịch

tích phân bắt biến , vì vậy để chứng minh đ cảm sinh một tôpô của #, nó là

đủ để chứng tỏ rằng mọi tập U„ chứa hình cầu {x € E; d(x,0) < 27>) }

Nếu đ(x,0) < 2~(*Ð, thì —P*)— _ Ì và viham —— Ja nam tăng, ta I+pa(ø) `2 1+t

19

Định nghĩa 2.5 Cho E là một tập hợp con của không gian vectơ tôpô E

A được gọi là bị chặn nếu với mọi lân cận gốc U trong E tôn tại œ > 0 sao cho œA C Ũ A được gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mọi lân cận U của 0 trong E có một tập hợp hữu hạn F C E sao cho A C F+U

Chú ý rằng mọi tập hợp A hoàn toàn bị chặn trong không gian vectơ tôpô

E thì bị chặn Thật vậy, cho một lân cận W của 0 trong Z, ta áp dụng tính liên tục của phép cộng để có một lân cận V của 0 trong # sao cho V +V C W Từ

A là hoàn toàn bị chặn, ta có một tap hdp httu han F C E saochoA CF +V Lay F = {x1, ,x,} Tit tinh liên tục của phép nhân vô hướng, ta tim được

1 > 6; > O sao cho 6,, € V khi0 < 6 < 6,, Dat 6 = min {6;}; thi 6,, € V với

moi i Ti d6 va do V 1a lan can cn, ta duce 6A C OF +6V CV4+V CW

Điều đó chứng tỏ rằng A bi chan trong E

Mệnh đề 2.5 Cho E là một không gian lỗi địa phương E là đủ nếu và chỉ nếu E có một lân cận bị chặn của không

Chứng minh Cố nhiên, nếu E là đủ, thì nó có một lân cận bị chặn của không, là hình cầu đơn vị mở tâm làm gốc Giả sử rằng V là một lân cận gốc lồi cân bị chặn trong E Khi đó hàm Minkowski p của Ù là liên tục trên E

nó cảm sinh tôpô của E Thật vậy, nếu V là một lân cận của 0 trong E, thì

aU CU véi moi a > 0, ta thấy rằng các hình cầu có tâm là gốc và được

tạo ra bởi p là một cơ sở lân cận của E Để kiểm tra tính liên tục của p,

ta sử dụng |p(x) — p(y)| < p(x—y), nó được suy ra từ bất đẳng thức tam

Mệnh dé 2.6 Cho E la mot không gian vectơ tôpô Nếu E có một lân cận hoàn toàn bị chặn của 0, thì E có hữu hạn chiêu

Chứng minh Cho U có một lân cận hoàn toàn bị chan của 0 Nó cũng bị chặn, từ đó {2 ”U};—¡ lập thành một cơ sở lân cận trong E Do tính hoàn toàn bị chặn của U, tồn tại một tập hữu hạn A C E sao cho U C A+ 3U

Lay F = span(A) Thé thi U C F + 3U Nhân vào cả hai về với > ta có

Tự CF+ Tự, Kết hợp lại ta có U C F+F+U =F+ 2U Bằng phương

trong E Vi F dong trong E theo Hệ qua 2.1, ta có ø„ (4¡) > 4° Lay x€ E,

ta co 0.x € U; vi vay c6 g; sao cho 6x CU C F vahon nita x € F Do d6

Định nghĩa 2.6 Cho E là một không gian vectơ tôpô Kí hiệu E* là tập tắt

cả các hàm tuyến tính liên tục trên E

Bổ đề 2.2 Cho E là một không gian vectơ tôpô và ƒ là một phiếm hàm tuyến tính trên E Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) ƒ liên tục trên E; túc là ƒ €E*

(ii) ƒ liên tục tại mọi điểm thuộc E

(iii) Có một lân cận U của điểm xạ € E sao cho ƒ bị chặn trên U

Chứng mình Mỗi quan hé (i) => (ii) = (iii) là hiển nhiên

(iii) + (i): Lay C > 0 sao cho f(x) < C với mọi x € Ũ

D=C—f (x) vaV = 5 (0 ~%0) ; ta có thể giả sử rằng V cân Khi đó

V là một lân cận cân của 0 và ƒ (x) < 1 với mọi x € V Lấy x € V, ta có

—x€Y, vì vậy ƒ(x) > —1, nghĩa là |ƒ| < 1 trên V

21

Bây giờ lấy y€ E và e >0, W = y+£V là lân cận mở của y sao cho

|f (x) — f (y)| < € véi x € W; nghia 1a, f liên tục trên E Oo

Ví dụ sau đây cho thấy rằng trừ khi tôpô của E là lồi địa phương, không

gian E có thể suy biến

Ví dụ

Đặt p € (0,1) Cho L„ biểu thị không gian vectơ của các hàm đo được

theo nghĩa Lebesgue trên|0, 1| ở đó

1

47) = Jl/0)JÏ4 <%

Từ a > 0 và b > 0 ta có (a+b)” < aP+b”, thì g(ƒ+ø) < q(ƒ) >+a(e) Vì

vậy, công thức đ (ƒ, g) = q(ƒ — g) xác định một mêtric bắt biến trên „ ở đó

Lp là đủ Điều này cũng đúng như đối với Lp,p> 1 Chúng ta khẳng định rằng nếu Ó là một tập lồi mở không rỗng trong Lp, thiO=Ly

Để chứng minh nhận định này, giả sử rằng V # ở là một tập lồi mở trong L, sao cho 0 € V Chon ƒ € L; Chúng ta sẽ chỉ ra ƒ € V Chọn

r> 0 sao cho B„ C V; ở đó B„ = {ƒ € Lạ: g(ƒ) < r}: khi đó chọn n € Ñ sao cho #~!z(ƒ) < r Do tính liên tục của tích phân ƒ |ƒ|Pdi, có các điểm

Cho © 1a mot tap mé trong R” Ta sé xây dựng các không gian phân phối

và thiết lập một số thuộc tính của nó

Chọn bất kì chuỗi {K„}„.w của tập hợp compact con của © sao cho

1

Kạ Clm (K,+¡) và) Ky = Ô; ví dụ, K„ = t :d(x, R"\Q) > -, ||x||, < nl, n

Định nghia 2.7 Ki hiéu C (Q) la khong gian vecto ctia tat cd cdc ham thuc

liên tục trên © với tôpô + xác định bởi cơ sở lân cận {U„}, ở đó

3 Đó là một không gian Fréchet nhưng tôpô + là không tầm thường

Chứng minh Tính lồi là căn cứ để chứng minh

Cho {K} là họ compact khác với các tính chất cần thiết Vậy thì, với

neÑ, {Ir(K„)}„ là một phủ mở của K, „ và hơn nữa, áp dụng

23