Về một số định lý điểm bất động đối với một vài lớp ánh xạ trên không gian lồi địa phương và ứng dụng

Dặc biệt, các định lý điểm bất động đối với các lớp ánh xạ liên tục trên không gian lồi địa phương đã cho nhiều ứng dụng trong nhiều vấn đề của phương trình vĩ tích phân, phương trình hà

MUC LUC

1 Không gian lồi địa phương và Định lý điểm bất động

1.2 Khoug gian loidiaphuong 2.2 022000002 7 1.3 Dịnh lý điểm bất động Sehander 15 2_ Định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder trên không

2.1 Dinh ly Tikhonov-Schauder 19 2.2 Một vài ứng dụng trong nghiên cứu bài toán giá trị biên dối với

Khong gian lồi địa phương là lớp không gian véctơ tôpô có vai trò quan trọng trong toán giải tích Töpô lồi địa phương được sinh bởi họ các nửa chuẩn liên tục, và họ các nửa chuẩn cũng sinh ra các giả mêtrie trên không gian đó

Nguyên lý điểm bất động của Brouwer đối với các ánh xạ liên tục giữa cac tap 1di, compact trong khong gian hitu hạn chiều là một kết quá quan trọng của toán học Sau khi được Brouwer chứng mình, nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học như Giải tích, Phương trình vi tích phân Về sau nguyên lý Brouwer được mở rộng trên nhiều lớp không gian khác nhau Một trong những mớ rộng nổi tiếng nguyên lý Brouwer thuộc về Tikhonov và Schauder đối với các ánh xạ liên tục trên không gian lồi địa phương Sau đó nhiều kết quả được nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng bởi ILA.Rus, V.G.Angelov và nhiều tác giả khác (xem|2|) Dặc biệt, các định lý điểm bất động đối với các lớp ánh xạ liên tục trên không gian lồi địa phương đã cho nhiều ứng dụng trong nhiều vấn đề của phương trình vĩ tích phân, phương trình hàm ,(xem[3, 5])

Các vấn đề nghiên cứu về các định lý điểm bất động cho các lớp ánh

xạ trên các không gian lồi địa phương và ứng dụng là khá thú vị Với mục

đích tìm hiểu về không gian lồi địa phương, và một vài kết quả ban đầu

về định lý điểm bất động cho 1nột số lớp ánh xạ trên không gian lồi địa phương và ứng dụng, chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình là:

Về một số định lý điển bắt động đối uới một uài lớp anh xa trén

không gian lồi địa phương uò ứng dung

Nội dung của luận văn nghiên cứu các khái niệm, ví dụ và tính chất cơ bản về không gian lồi địa phương, định lý Tikhonov- Schauder và một vài ứng dụng trong nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân cấp hai Các nội dung trên được trình bày trong 2 chương:

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương và định lý điểm bất động Schauder đối với ánh xạ liên tục trong không gian định chuẩn

Chương 2 trình bày chứng mình chỉ tiết định lý Tikhonov- Schauder

về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục giữa các tập lồi, compacE trong không gian lồi địa phương và một vài ứng dụng trong nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân cấp hai

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS INiều Phương Chi Tác giả xim bày tỏ lòng biết ơn sâu

sắc của mình đến thầy Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong

Khoa Toán học, Trường Dại học Vĩnh dã nhiệt tình giảng day và giúp dé tác giả trong suốt thời gian học tập Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 1§ Giải tích đã cộng Lác, giúp đỡ và động viên tác giá trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Mặc dù đã có nhiều có gắng, nhưng luận văn không tránh khói những hạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp

của các thày, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 9 năm 2012

Tác giả

CHUONG 1

KHONG GIAN LOI DIA PHUONG VA DINH LY DIEM

BAT DONG SCHAUDER

Chương này nghiên cứu một số kiến thức cơ sở về không gian lồi địa phương và định lý điểm bất động Schauder đối với các ánh xạ liên tục trong không gian định chuẩn

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày một só kiến thức cơ só về không gian veetơ tôpô và giải tích cổ điển cần dùng về sau Những nội dung này được tổng hợp và trích ra từ [1]

1.1.1 Định nghĩa Fhông gian vécto topé la mot khong gian véctở cùng với một tôpô trên đó sao cho các phép toán cộng và nhân vô hướng

là liên tục

Tap con U trong không gian véctơd X được gọi là cân nếu aU CU với

mọi œ € K va |a| < 1; tập U được gọi là hút nếu với mọi z € X tồn tại

ð > 0 sao cho œz € Ù với mọi |œ| < ổ

1.1.2 Định lý Trong không gian téctơ tôpô luôn tồn tại cơ sở lân cận

U ctia 0 gồm các tập cân, hút uà uới mọi U € L4 tồn tại V EU sao cho

V+V CU

1.1.3 Định nghĩa Tap con U ctia khong gian véctơ X dude goi la 16% nếu với mọi #, € U, v6imoi0 <A <1, thh Aw+(1-A)y EU

1.1.4 Dinh nghia Tap con U cia khong gian vécto topo FE được gọi

là b¿ chăn nếu với mọi lân cận V ctia 0 ton tai s > 0 tuong ting sao cho

U CtV với mọi f > s

1.1.5 Định lý Trong mdi khong gian vécto:

1) Bao đóng cua tép bi chan la tap bi chan;

8) Bội uô hướng của tập bị chăn là tập bị chăn;

8) Hợp hoặc tổng hữu hạn các tap bi chan là tập bi chan

1.1.6 Định nghĩa Cho 7# là không gian véctơ tôpô Tap con A C FE được gọi là hoàn toàn bi chặn hay tiền compact nếu với mỗi lần cận

của 0 tồn tại tập con hữu hạn B sao cho AC B+Ù

1.1.7 Định nghĩa Cho 7 là không gian véctơ tôpô với cơ sở lần cận #⁄ của 0 Dãy suy rộng {z;};er được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi U € U

tồn tại ¡g € / sao cho 2; — xv; €U V6i gi 2, 7 Ð ?0

Tap con A C # được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy suy rộng Clauchy là

hội tụ trong A

1.1.8 Dinh ly Cho 2 là không giưn uéctơ tôpô Tập con A của E la compact khi va chi khi A day dui uà hoàn toàn bị chặn

1.1.9 Định nghĩa Cho F 1a khong gian tuyén tinh trén triténg R Ham

||.|| : Z — R duge goi là một chuẩn trên EF nếu thoả mãn các điều kiện sau:

1) ||z|| > 0, với mọi z € 7# và ||z|| =0 ®z =0;

2) JÍAzll = |Àllz|| với mọi À € R và với mọi + € #;

3) Jlz + ø|| < llzll+ llull với moi x,y € EL

Khi đó (7, |.||) được gọi là một không gian định chuẩn

Không gian định chuẩn là không gian mêtrie với mêtrie sinh bói chuẩn d(z,) = ||#— ||, Ve, € E Không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach néu E day đủ với mêềtrie sinh bởi chuẩn Dối với tôpô sinh

bdi métric sinh bdi chuan cac phép toan cộng và nhân vô hướng trên F là liên tục Do đó, mỗi không gian định chuẩn là một không gian vectơ tôpô vdi Bn = {a € Ƒ7: ||lz|| < - „ = 1.2, } là cơ sở lân cận gồm các tập lồi, cân, bi chan cua F

Sau day ta nhắc lại khái niệm hàm liên tục tuyệt đối

1.1.10 Dinh nghia ((2]) Ham f : [a,b] > R dude goi la liên tục tuyệt

đối, nếu với mỗi e > 0 tồn tại ở = ð(e) sao cho với bất kỳ hữu hạn đoạn con [øp, #;;| của [ø, b| thỏa mãn

1) ƒ liên tục tuyệt đối;

2) f c6 dao ham hau khắp nơi trên [a,b| tà

F(a) = fla) + | “p(odt

1.1.12 Định nghĩa ({2]) Hàm ƒ : [a,b] x IR# — IR*° được gọi là L?-

Caratheodorv nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

1) Ánh xạ > /(f,ø) liên tục hầu khắp nơi với mọi 0 € |ø, ];

2) Ánh xạ £ >> ƒ(f,) đo được với mọi € JR”;

3) Với mọi e > 0 tồn tại hẹ € LP{(T) sao cho || < ¢ kéo théo | f(t, y)| <

he(£) với mọi † € |a, bỊ

Để kết thúc mục này ta nhắc lại định lý điểm bất động Brouwcr 1.1.13 Dinh ly (Brouwer) Moi dnh zạ liên tục từ tập con đóng, bị

chặn uà lồi của không gian định chuẩn hữu hạn chiều uào chính nó

đều có ít nhất một điểm bắt động

1.2 Không gian lỗi địa phương

Mục này trình bày khái niệm, ví dụ và tính chất cơ bắn của không gian

lồi địa phương Các kết quả căn bản được tổng hợp và trích ra từ [1]

1.2.1 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô được gọi là lồ? địa phương nếu nó cơ sở lần cận #⁄ của 0 gồm các tập lồi

1.2.2 Mệnh đề Giá sử X là không gian lồi địa phương Khi đó 0 6 X

có cơ sở lân cận 1 thoa man:

1)U.V €I thà có W €4 sao cho W CUNY;

2) oU CŨ tới mợi œC€ K,a # 0 uà tới mọi U € 1;

3) Moi U EU Ia lồi, cân uà hút

Hon nữa, nếu không gian tuyến tính tôpô X có họ các tap con U

thoả mãn 1), 2) à 3) thà nó là không gian lồi địa phương

1.2.3 Mệnh đề Nếu không gian uéctơ l2 có họ 14 gồm các tập con loi, can va hit thi trén E ton tai topo yếu nhất sao cho hai phép toán trên E liên tục tà E trở thành không gian lồi địa phương Hơn nữa,

cơ sở của 0 trong l2 là họ các tập

U =e, Vie>0VEU,1<i<n

1.2.4 Mệnh đề Nếu tôpô lồi địa phương T trên X nhận L4 làm cơ sở

lân cận của điểm 0€ X thà tôpô nàu là Hausdorff khi va chỉ khi

ƒ) :U=9

UeU;e>0

Đau đây ta trình bày những kết quá cốt yếu về sự xác định của tôpô lồi địa phương thông qua họ các nửa chuẩn Dầu tiên ta nhắc lại khái niệm nửa chuẩn

1.2.5 Định nghĩa Cho X là một không gian vectơ Hàm p xác định trên X và nhận giá trị thực được gọi là một neta chuẩn trên X nếu với moi x,y € X va véi moi A € K ta có

Nj) p(x) > 0;

No) p(w + y) p(#) + ply):

N3) p(Ax) = |A|p(2)

Nita chuan p trén không gian vectơ X là chuẩn trên X néu p(x) = 0

suy ra x = 0 Néu ø là một chuẩn trên X và z € X thì số p(z) thường

được kí hiệu là ||z||

1.2.6 Mệnh đề Nếu p là nửa chuẩn trên khong gian vecto X thi vdi moi a> 0 céc tip A= {x € E: p(x) <a} va B= {x € E: p(x) < a}

là lồi, cân uà húi

Chiing minh Gia stt x,y € A Khi do, vdi moi À € |0 1] ta có

p(z + (L— À)0) < p(Az) + p((1 — Ay)

= |Alp(z) + |1 — Alp(w)

< Aa + (1—A)a=a

Do do Aw + (1 — A)y € A Vay A là tập lồi

Với mỗi x € A véi moi r € K sao cho |r| < 1 tà có

p(rz) = |r|p(z) < |rla<a

Suy ra ra € A Vay A can

Với mỗi z € X Nếu ø(+) = 0 thì z € A Neu p(x) 4 O thi lay 6 = aa)

pa Khi d6, véi moi \ € K sao cho |A| < 6 ta co

là họ các tập lồi có dạng

U = {a € E: suppi(x) < ¢,i = 1,2 ,n}, trong d6e>0,p,€P,n EN

1.2.9 Định lý Nếu A là tập lồi, cân uà bút của không gian uectơ tôpô

X thà tA :— p là nửa chuẩn trên X Hơn nữa

1.2.11 Nhận xét Giá sử 7Ð là họ các nửa chuẩn sinh ra tôpô lồi địa phương trên # Khi đó # là Hausdorff khi và chỉ khi p(+) = 0 với mọi p€7 kéo theo x = 0

1.2.12 Dinh ly Néu E la không gian Hausdorff loi dia phương E được xác định bởi họ đếm được các nửa chuẩn thà F khả mêtric, túc là trên E tồn tại một mêtric sinh ra tôpô trừng tới tôpô lồi địa phương ban, đầu của nó

Chứng mình Giả sử {p„} là họ các nửa chuẩn sinh ra tôpô lồi địa phương trên Với mỗi x,y € FE ta dat

Với là lân cận của 0 trong tôpô lồi địa phương xác định bởi

U = {ee B: pil) <5,1<i< no}

Khi d6, ta c6 U € B(0,¢) That vay, néu a € U thì

Ngược lại, nếu ta lấy

Khi do

1> DoT F pala) 2 BIE

Diều đó không xảy ra Vậy tôpô do đ sinh ra là tôpô địa phương và # là không gian lồi địa phương với tôpô được xác định bới họ đếm được các

Các không gian lồi địa phương kha métric gọi là F-không gian, nếu nó

đầy đủ thì gọi là không gian Erechet

1.2.13 Ví dụ Giả sử

R® := {x = {z„}:zna€TlR,ø 5 1}

với phép cộng và nhân vô hướng thong thường theo từng số hạng Xét họ

Q = {pn} la ho đếm dược các nửa chuan trén R© xác định bởi

Pu(6) = |xp|:a = {an},n =1,2,

Khi dé R® 1a khong gian lồi địa phương Do họ các nửa chuẩn là đếm được nên lR^ còn khả mêtric

vdi moi z,y € R* Tuy nhiên, R^ không phải là khong gian bị chặn địa

phương Thật vậy, nếu ngược lại thì nó là không gian định chuẩn Khi đó,

tồn tại chuẩn trên IR® sao cho tôpô sinh ra bởi chuân trùng với tôpô sinh

ra bởi {p„} Xét B(0, L) = {z € R*S : |lz||< L} Khi đó, tồn tại

13

1.2.14 Ví dụ Gọi C(R) là không gian vectơ các hàm thực liên tục trên

IR Với mỗi n = 1,2, dat

øa(ƒ) = sup{|ƒf(z)|: œ € [—n.n]}

với mọi ƒ € C(R) Khi do, dé dang kiểm tra được ø„ là các nửa chuẩn trén C(R) Do do, C(R) 1a khong gian lồi địa phương sinh bởi họ các nửa chuẩn {pz} Hơn nửa, C(E) là không gian Frechet với khoảng cách

e 1 Đn(ƒ — 9) đ(1:9) = —3~ 1+ m—ø) —g)' với mọi ƒ, g € C(R)

Sau đây ta nhắc lại khái niệm bao lồi

1.2.15 Định nghĩa Cho #2 là một không gian vectơ và A C # Bao lồi cúa ‹4 là tập lồi bé nhất chứa A

Bao lồi của tập 4 được ký hiệu là eonvA Rõ ràng bao lồi cúa bằng giao của tất cả các tập lồi chứa 4 Hơn nữa, người ta chứng minh được

convA = ` Ajay: a; © A, Ay > 0, `A; = l}

1.2.16 Ménh dé Trong khéng gian ldi dia phuong:

1) Bao lồi của lập bị chăn là bị chặn

2) Bao lồi của tập hoàn toàn bị chặn là hoàn toàn bị chặn

3) Bao lồi ciia tap compact la tap compact

Sau đây ta chứng mình một kết quả bổ trợ sẽ được dùng trong chương

sau

1.2.17 Dinh ly Gia sit EF la không gian lồi địa phương được xác định bởi họ các mita chuẩn {pasacr Khi do, AC E bi chan khi va chi khí

với mọi € A Hay A bị chặn theo mỗi nửa chuẩn

Ngược lại, giả sử 41 bị chặn bói họ các nửa chuẩn {ø„}aer Với mỗi

là lân cận của 0 Khi đó có thể xem Ứ có dạng

U ={xz€:pa(+) < 1,1 =1,2, ,n}

Với mỗi 7 = 1, ,m tồn tai Mj sao cho

Đa,(+) < Ä1¿ < œ với mọi z € A Đặt ă = max{1W; : 7 = 1,2, ,»} Khi đó

Đa(#) Š 1

vdi moi 7 = 1,2, ,n Và VỚi mọi x € A Suy ra cA CU Voie = we Do

15

1.3 Dinh ly diém bat dong Schauder

Mụe này trình bày định lý điểm bất động Schauder về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục giữa các tập lồi đóng của không gian định chuẩn Dây là sự mở rộng của định lý Brouwer Trước hết ta cần một số kết quả bố trợ

1.3.1 Định nghĩa Cho X,Y là các không gian vectơ tôpô và ánh xạ

đó ||# — || < e Suy ra /¿(#) > 0, hay S37 ¡ (+) A 0, tức là P; hoàn

toàn xác định trên A:

1.3.2 Bồ đề Cho © là tập con lồi của không gian định chuan E va

A=ai, an} CC CƠ Nếu P; là phép chiếu Schauder tương ứng uới A thà

16

a) P- la compact, liên tục từ A; 0uào cowuA C CƠ

b) || P-(x) — «|| < e tới mợi x € Ae

Chitng minh a) Do anh xa chuẩn liên tục nên các /; liên tục Suy ra

P, liên tục Giả sử {/72(zm)} là dãy tùy ý trong /2(4;) Đặt (+) =

theo {P-(m)} c6 day con héi tu trong convA C C Vay P:(A;) compact

Bổ đề tiếp theo còn gọi là định lý xấp xỉ Sehauder

1.3.3 Bổ đề Cho C là tập cơn lồi của không gian định chuẩn F7 uà F:E > C la énh xa compact, lién tục Khi đó, uới mỗi e > 0 tồn tại lập hữu hạn A = {a1, ,an} trong F'(F) vd anh zạ hữu hạn chiều F.: E+ C sao cho

ánh xạ F : ⁄ — Œ xác định bởi

F(x) = P-(F(«)) với z € F Khi đó, ấp dụng Bố đề 1.3.2 ta có ngay điều cần chứng

Sau đây là khái niệm điểm e-bất động

1.3.4 Định nghĩa Cho # là không gian định chuẩn, 7 là tập con đóng của ánh xạ `: 2 —> và e > 0 Điểm d € 7) được gọi là e-bất động

của Ƒ' nếu ||d— F(đ)|| < e

1.3.5 Định lý Cho D là tập con đóng của không gian định chuẩn F

va anh aa F : D> E compact, lién tuc Khi d6, F c6 diém bat động khi va chỉ khi F` có điểm e-bất động uới mỗi z > 0

Chứng mảnh Rõ ràng điểm bât động là e-bất động với mọi < > 0

Giả sử với mỗi e > 0 thì ' có điểm e-bất động Khi đó, với mỗi m„= 1,2 tồn tại đ„ € D sao cho

1

Vì Ƒ là ánh xạ compaet nên #72) được chứa trong tập compaet của

E Do dé, ton tai day con {dp,} ctia {dn} va « € K sao cho F(dp,) —> #,

tức là

|F(d,,) — z|¬ 0

Sau đây ta phát biếu và chứng minh định lý Schauder

1.3.6 Định ly ((2])Cho Œ là tập cơn đóng, lồi của không gian định

chuẩn E Khi đó, mọi anh xa compact, lién tuc F : C —> Ơ có ít nhất

một điểm bat động

Chiing minh Theo Dinh ly 1.3.5, với D = Ở ta chỉ cần chứng mình F cé

điểm z-bất động với mọi e > 0 Với mỗi e > 0, áp dung Bo dé 1.3.3, ton

tại ánh xạ + : Ở —y Œ là liên tục, hữu hạn chiều sao cho

|Fz(+) — (z)|| < £

vdi moi « € C' va

F.(C) C convA C Œ, trong do A là tập con hữu hạn của Œ Vì A hữu hạn nên convA đóng và

bị chặn Hơn nữa,

F.(convA) C convA

Do đó, áp dụng định lý Brouwer đối với ánh xạ # trên tập lồi đóng bị chan convA, trong không gian hữu hạn chiều sinh bởi 4 ta nhận được

xe € convA sao cho #¿ = Ƒ-:(+z), Do đó

|te — P(e) || = lIF:(œz) — F(z:)|| < s

19

CHUONG 2

DINH LY DIEM BAT DONG TIKHONOV-SCHAUDER

TREN KHONG GIAN LOI ĐỊA PHƯƠNG

Chương này nghiên cứu định ly diém bat dong Tikhonov-Schauder trén không gian lồi địa phương và một vài ứng dụng để nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân cấp hai

2.1 Dinh ly Tikhonov-Schauder

Trong chương trước ta đã nghiên cứu định lý Schauder về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục giữa các tập lồi compactb trong không gian định chuẩn Mục này nghiên cứu những kết quả của Tikhonov và Schauder về sự mở rộng kết quả trên đối với không gian lồi địa phương

Trước hết ta trình bày một kết quả bổ trợ sau:

2.1.1 Định lý Cho là không giưn lồi địa phuong Hausdorff, A la một tap con compact cia E uà Œ là tập cơn lồi của P2 chứa A Khi đó, nếu U là lần cận mở của 0 thà tồn tại một ánh zạ liên tục z c> Pu(ø)