Đối ngẫu của không gian lồi địa phương

Ly do chon dé tai Lý thuyết đối ngẫu, đặc biệt là đối ngẫu của không gian lồi địa phương có vai trò đặc biệt quan trọng trong chuyên ngành giải tích hàm nói chung và không gian vectơ tôp

Dam Van Ngoc

DOI NGAU CUA KHONG GIAN

LOI DIA PHUONG

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS DAU THE CAP

Thành phố Hồ Chí Minh — 2009

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH

Dam Van Ngoc

DOI NGAU CUA KHONG GIAN

LOI DIA PHUONG

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

Thanh phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp đã tận tình

hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này

Em cũng xin cảm ơn các quý thầy đã giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học và các quý thầy trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý

kiến đóng góp quý báu

Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng

KHCN — SDH đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn này

1.4 Không gian đầy đủ -2-©2<+22k+EESEEE22112211171121121121 21x crxe 7 1.5 Ánh xạ tuyến tính -2- 2s + ++EEE+EEESEEEE2EE221221211271.27122xe xe 7

1.6 Không gian lỗi địa phương . 2-22- 22+ ©E+2EE+EEEtEEEtErxrrrerrrxee 7

1.7 Định lý Hahn- Banach và nguyên lý bị chặn đều .- 11 Chuong 2 LY THUYET DOI NGAU

2.1 Không gian d6i nga .eecceecceeseesseesseesseesseesseesseesseesseessessesseesseesseees 12 2.2 Hệ đối Qa occ ecceecceeccsecsseessecssessesssecssecssecsseessecssecssesssecsseessessseesseees 15

3.3 (DF) - Không gian

3.4 Đặc trưng đối ngẫu của không gian Frechet (F - không gian) và

1 Ly do chon dé tai

Lý thuyết đối ngẫu, đặc biệt là đối ngẫu của không gian lồi địa phương

có vai trò đặc biệt quan trọng trong chuyên ngành giải tích hàm nói chung và

không gian vectơ tôpô nói riêng Do đó, việc nghiên cứu một cách đầy đủ và

phát triển lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương là một vấn đề

quan trọng và cần thiết

2 Mục đích

Tìm hiểu về lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa phương tổng quát và một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt như : không gian phản

xạ, không gian thùng và (DF) — không gian

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa

phương tổng quát và một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quá của lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương có

nhiều ứng dụng trong giải tích phức nhiều biến, trong phương trình đạo hàm

riêng và nhiều ngành toán học khác

5 Cấu trúc của luận văn Gồm ba chương

Chương đầu giới thiệu các kiến thức cơ bản về không gian vectơ tôpô và không gian lỗi địa phương, đồng thời nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm được sử dụng trong các chương sau

Chương thứ hai trình bày các khái niệm của lý thuyết đối ngẫu của không

gian lồi địa phương như : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu và tôpô của hệ đối

ngẫu, mà kết quả quan trọng nhất là định lý Mackey-Arens

Chương cuối của luận văn nhằm mục đích trình bày một số lớp không

gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng gồm : không gian thùng, không gian phản xạ và đặc biệt là (DF) - không gian, lớp các không gian chứa các không

gian đối ngẫu của các không gian Frechet Các kết quả quan trọng trong các

không gian đó được xây dựng dựa trên các kết qua cua ly thuyết đỗi ngẫu.

Chuong 1 KIEN THUC CHUAN BI

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản và một số kết quả trong

không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương được sử dụng trong các các chương sau

1.1 Không gian vectơ tôpô

1.1.1 Định nghĩa

Cho E là một không gian vectơ trên trường K (K =R hoặc K =C) Một tôpô + trên E gọi là tương thích ( với phép toán đại số của E ) nếu phép cộng

+:ExE->E và phép nhân vô hướng :KxE-—> E liên tục

Ta gọi một không gian vectơ E cùng một tôpô tương thích trên nó là một

không gian vectơ tôpô

1.1.2 Định lý

Cho E là một không gian vectơ tôpô Khi đó:

a) Với mọi ae E, phép tịnh tiến x -> x + a là phép đồng phôi từ E lên E Đặc

biệt, 3 là một cơ sở lân cận của 0 eE thì a + 4= {a +U, U e U} là cơ sở lân

cận của a cE

b) Với mọi ÀAeK,^.0, ánh xạ x—>Àx là phép đồng phôi E lên E Đặc biệt,

U là lân cận của 0 eE thi AU, 2.0 là lân cận của 0

Theo định lý 1.1.2, toàn bộ cấu trúc tôpô của E được xác định bởi một cơ

sở lân cận của 0 Sau này lân cận của 0 được gọi vắn tắt là lân cận

1.1.4 Dinh ly

Nộu U 1a một co sộ lõn cận trong E thỡ với mọi U eđí ta cú:

a) U là tập hỳt

b) Tổn tại V eU sao cho V + V c U

c) Tộn tại lõn cận cõn W sao cho W c U

1.1.5 Hệ quả

Trong khụng gian vectơ tụpụ, mọi lõn cận U đều chứa một lõn cận đúng

1.1.6 Hệ quả

Cho U là một cơ sở lõn cận của một khụng gian vectơ tụpụ E Khi đú E

là Hausdorff nếu và chỉ nếu | U ={0}

Uef

1.1.7 Định nghĩa nửa chuẩn và chuẩn

Giả sử E là khụng gian vectơ Hàm p xỏc định trờn E và nhận giỏ trị thực gọi là nửa chuẩn trờn E nếu

1.2.2 Dinh ly

Không gian vectơ tôpô Hausdorff E khả mêtric nếu và chỉ nếu E có một

cơ sở lân cận đếm được Trong trường hợp đó tồn tại hàm x —>|x| từ E

inf {p„ :x e Vụ} khi3H,x e V„

ta có hàm xa |x| từ E vào Dễ thấy |x| e|0;1]

Do Vạ cân nên 1) thỏa mãn Hiển nhiên 2) đúng nếu |x| +|y|> 1 Bây giờ

giả sử |x|+|v| <1 Chọn e>0sao cho |x| +]y|+2e<1 Khi đó tồn tại các tập

con hữu hạn H và K của N sao cho xe Vạ, y€ V„ và p„ <|x|+e,p„ <|y|+£.

Vi py +P, <1nén ton tai tap M sao cho p,+py =P,,- Do (1) ta cd

Do E Hausdorff nên theo hệ quả 1.4 và (3) ta có tính chất 3) trong định

lý Theo (3) ta cũng có {S.} là cơ sở lân cận của 0 trong E

Vậy có tính chất 4) trong định lý

1.3 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chan va compac

1.3.1 Định nghĩa

Giả sử E là không gian vectơ tôpô Tập con X c E gọi là bị chặn nếu với

mọi lân cận U của 0e E, tồn tại e >0sao cho XC£V

Giả sử E là không gian vectơ tôpô tập con X c Elà hoàn toàn bị chan

nếu với mọi lân cận U của 0 e E, tồn tại tập hữu hạn Bc E để Xc B+U.

1.3.4 Dinh nghia

Giả sử E là không gian vectơ tôpô và Xc Eta nói là tập compăc nếu mọi phủ mở của X, tồn tại một phủ con hữu hạn

1.4 Không gian đầy đủ

Cho không gian vectơ tép6 E Day {x,} c E gọi là day Cauchy nếu mọi lân cận U, tồn tai n,, sao cho x„—x,„ 6U, với mọi m,n>n, Lưới ÔN)

gọi là lưới Cauchy nếu mọi lân cận U, tồn tai 5, sao cho :

X, —xX, €U, V6,y 25)

Không gian vectơ tôpô E gọi là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E đều

hội tụ, gọi là đầy đủ theo dãy nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ Tập

con A của E gọi là đầy đủ (đầy đủ theo dãy) nếu mọi lưới (dãy) Cauchy trong

A đều hội tụ đến một điểm thuộc A

1.6 Không gian lồi địa phương

Tập con A của một không gian vectơ gọi là tập lồi nếu

Vx,ye A,r e[0,]], déu co (I-A)x +ayeA

Tap A 16i và cân được gọi là tập tuyệt đối lồi

1.6.1 Dinh nghia

Không gian vectơ tôpô E gọi là không gian lồi địa phương nếu E

Hausdorff va E có một cơ sở lân cận gồm các tập lồị

1.6.2 Bỗ đề

Cho E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff Khi đó, các mệnh đề

sau đây là tương đương:

a) E là không gian lồi địa phương

b) E có một cơ sở lân cận gồm các tập tuyệt đối lôị

e) E có một cơ sở lân cận gồm các tập đóng tuyệt đối lôị

1.6.3 Định nghĩa

Cho A là tập con của không gian vectơ Ẹ Khi đó:

pă%) =|x|, =inf{^.>0:xệA} xác định một hàm từ E vào R, gọi là hàm

cỡ, hay phiếm hàm Minkowski cia tap Ạ

Giả sử E là không gian lồi địa phương và A là một tập bị chặn trong Ẹ

Khi đó bao tuyệt đối lồi T(A)= {x =>^Ax,:> |ÀA|<1,x;eA,i=l,n,ne }

b) p=] y› U là một tập tuyệt đối lồi và hút thì p liên tục nếu và chỉ nếu

U là lân cận của 0e Evà Ủ={xeE:p(Œ)<1},Ũ ={xeE:pœ) <1}

1.6.7 Định nghĩa

Cho không gian lồi địa phương E Một họ %3 các lân cận của E gọi là một hệ cơ bản các lân cận nếu thỏa mãn các điều kiện :

a) Vx eE,x #0, tồn tại U e,e >0 sao cho x ££U

b) Mọi lân cận V của 0 e E, tồn tại U eU và >0 sao cho eU CV

Họ {| ll} ,các nửa chuẩn trên E gọi là hệ cơ bản các nửa chuẩn nếu hệ

cac tap U, = {x :|lx\|, < ) là một hệ cơ bản các lân cận của E

Nếu {| ‘la} là một họ các nửa chuẩn có các tính chất a) và b) trong

định lý 1.6.7 thì họ các tập U„„(a)={x eE:|x—a||< e}, a eE, œel, e>0 là

cơ sở của tôpô lồi địa phương duy nhất trên E nhận {| l2 ael làm hệ cơ bản

các nửa chuẩn Nếu họ các các nửa chuẩn có tính chất b) mà không có tính

chất a) thì với tôpô trên, E có một cơ sở lân cận lồi nhưng không Hausdorff

1.6.10 Phương pháp xác định tôpô lồi địa phương

Giả sử {p.} , là một họ các nửa chuẩn trên không gian vectơ E Kí hiệu ae

e() là họ các tập hữu hạn khác rỗng của I Với mọi M € (1), dat

với mọi Mee(I), e>0, aeE là một cơ sở của một tôpô trên E Với tôpô này,

E là một không gian vectơ có một cơ sở lân cận lồi nhưng có thể không

Hausdorff Tôpô này là tôpô yếu nhất trên E để mọi nửa chuẩn p„„œcl liên

œel `

Nếu họ nửa chuẩn có tính chất a) trong định lý 1.6.7 thì E với tôpô nói trên là không gian lồi địa phương

Bây giờ giả sử 4 là một họ khác rỗng các tập con tuyệt đối lồi và hút

của không gian vectơ E Khi đó tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn {| I.) „ goi là Ue tôpô sinh bởi họ các tập tuyệt đối lồi và hút 9 Nếu ] U={0} thì E với

Ueft

tôpô nói trên là không gian lồi địa phương

1.6.11 Định lý

Cho E và F là các không gian vectơ tôpô sinh bởi các họ nửa chuẩn

tương ứng là{p,} _ valde} Khi đó, ánh xa tuyến tính A:E-—>F liên tục nếu và chỉ nếu mọi B € J tồn tại M ee(1) và c > 0 sao cho:

q,(A@œ))< cy p, (x), Voi moi x EE

aeM

1.6.12 Định nghĩa

Gia sir E là không gian lồi địa phương Ta nói E là :

a) Không gian Frechet (hay còn gọi là F-không gian) nếu nó khả mêtric

và đầy đủ

b) Không gian Banach nếu nó là không gian định chuẩn đầy đủ

1.6.13 Định nghĩa

Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương Ánh xạ tuyến tính f : E—>F gọi là bị chặn địa phương nếu f biến tập bị chặn trong E thành tập bị chan trong F

1.7 Định lý Hahn- Banach và nguyên lý bị chặn đều

1.7.1 Định lý tách các tập lồi

Giả sử F là không gian vectơ tôpô thực A, B là hai tập lồi rời nhau trong

E và A là mở Khi đó tồn tại dạng tuyến tính liên tục f trên E và œ e R sao cho: f(x)> œ, Vxe A và f(x)<a, VxeB

1.7.2 Định lý

Giả sử p là một nửa chuẩn trong không gian vectơ thực E và f là dạng tuyến tính trên một không gian con M của E sao cho f(x) < p(x), VxeM Khi đó, tồn tại dạng tuyến tính g trén E thoa man g(x) =f(x), Vx eM va

g(x) < p(x), Vx EE

1.7.3 Hé qua

Giả sử E là không gian vectơ trên trường K, a không thuộc E, p là một nửa chuẩn trên E Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên E sao cho :

f(a) = p(a) va F(x) < p(x) voi moi xe E

1.7.4 Nguyén ly bi chan déu

Giả sử E là một không gian Banach, F là một không gian định chuẩn và {fab scr là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Khi đó nếu với

mọi xeE, sup|f,, (x)| <o thi sup|[f, | <0,

ael ael

Chuong 2 LY THUYET DOI NGAU

Chương này chúng ta sẽ trình bày các vấn đề của lý thuyết đối ngẫu bao

gồm : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu và tôpô của hệ đối ngẫu Bằng cách

coi rằng các lân cận của điểm gốc là pôla của những tập nào đó trong không

gian lồi địa phương, ta sẽ xác định được các tôpô lồi địa phương khác nhau trên đối ngẫu của một không gian lồi địa phương Các tập hợp được sử dụng cho mục đích ấy là : lớp các tập hợp bị chặn Định lý Mackey — Arens đặc trưng cho tất cả các tôpô lồi địa phương xác định cùng một hệ đối ngẫu cho trước, đó là các tôpô lồi địa phương mạnh hơn tôpô yếu và yếu hơn tôpô Mackey

2.1 Không gian đối ngẫu

2.1.1 Định nghĩa

Cho E là một không gian vectơ tôpô trên trường K Ta kí hiệu

EÏ =LŒ,K) là không gian các dạng tuyến tính trén E, E’ = £(E,K) 1a khong gian các dạng tuyến tính liên tục trên E Khi đó, EÏ và E' là các không gian vectơ trên K E” gọi là không gian đối ngẫu đại số của E và E'gọi là không gian đối ngẫu của E

Sau đây là một số tính chất trên không gian đối ngẫu của một không

gian lồi địa phương

2.1.2 Bỗ đề

Cho p và q là hai nửa chuẩn trên không gian vectơ E Nếu q(x) < 1 kéo theo p(x) <1 thì p(x) <q(x) với mọi x cE

Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn tại x, €E va a>0 sao cho 0<q(x,)<a<p(x,)

Khi đó: q(=2) <1 nhưng p( 9) > 1, (mâu thuẫn)

Vay p(x) <q(x) voi moi xeE

2.1.3 Dinh ly

Cho E là một không gian lồi địa phương, f, là một dạng tuyến tính liên

tục trên một không gian con M của E Khi đó, tồn tại f eEsao cho f Ine =f)

Ching minh

Do f, lién tyc trén M nên tập V ={x:|f,(x)|< 1} là một lân cận của 0 Từ

đó, tồn tại lân cận tuyệt đối lồi U sao cho UMC V

Với mọi xeM, x[,<1 ta có: xeUnên xeUMcV=|f(x)|<1 Theo bổ đề 2.1.2 ta có: |f,(x)| < | x| „:VxeM

Theo định lí Hahn- Banach 1.7.2 tồn tại f e E” sao cho:

fly =f, va |f@&)| <l|xÍ,.vx eE

Ta chứng minh feE” Thật vậy, với mọi e>0:x eeUthì £(x)| <|[x||, <£

nên f liên tục tại 0 suy ra f liên tục trên E hay f e E”

2.1.4 Hệ quả

Cho E là một không gian lỗi địa phương Khi đó với mọi ae E,az0,

tồn tai f e E’sao cho f(a) =1

Ching minh Dat M =(a) là không gian sinh bởi a, f là phiếm hàm trên M xác định

boi f,(Aa) =A Khi d6, với mọi œ,À,À,,À„ eK:

f(A,at+A,a) =£,((A, +A,)a) =A, +A, =£,(A,a) + f(A, a)

f,(a(Aa)) =f, ((ad)a) = a = af, (Aa)

Vậy f, là phiếm hàm tuyến tính trên M Do E Hausdorff nên tồn tại lân

cận tuyệt đối lồi U sao cho a#U Với mọi e>0,Aa eeU thì |f,(Aa)|<e nên

f, lién tục tại 0, do đó, f, lién tuc trén M Theo dinh ly 2.1.3, tồn tại f e E' sao

cho f|„ = f, Từ đó ta có: f(Aa) =2, VAeK = f(a) =1

2.1.5 Định lý

Cho E là một không gian lồi địa phương, A là tập con tuyệt đối lỗi và

a#A Khi đó, tồn tại f eE' sao cho:

tuyệt đối lồi, hút va ||-||, <| ‘he

Theo hệ quả 1.7.3, tén tai fe E” sao cho f(a)=llal,, va |f()|<||x|| với mọi xE Do x›||xỈ, liên tục nên f liên tục tức là f e E”

Ta chimg minh f(a) =|jal|, >1 Gia sir f(a) =|al|, <1 Vì ae B nên a€AB voi moi A>1

1

Vì U hút nên với mọi x e A, chon ¢ > 0sao cho exe5U Taco:

(I+e)x =A+2U=B nên (I+e)|x||, =||(+e)xj, <1 suy ra |x|), <1

Theo định lý 2.1.5, tồn tại f e E' sao cho: f(a) > 1 va |fQœ)|<1, VxeA

Vì f(A)c{AeK:|A|<1} = B, mà B là tập đóng nên f(A) c B nên

f(a)¢B= f(a) ¢ f(A)

2.2 Hệ đối ngẫu

2.2.1 Định nghĩa hệ đối ngẫu

Cho E, F là hai không gian vectơ trên cùng một trường vô hướng K

(.):ExF-—>K là một dạng song tuyến tính Ta gọi cặp ( E, F) là một hệ đối

ngẫu nếu thỏa mãn hai điều kiện sau :

1) Với mỗi 0x e E, tồn tại x'eF sao cho (x x’) #0

2) Với mỗi 0# x' eF, tồn tại x eE sao cho (x.x) z0

2.2.2 Chú ý

Cho ( E, F) là hệ đối ngẫu thì với mợi x'eF, xa (x.x) là dạng tuyến tính trên E và với x',x" eF, x'#x"— 3x eE đề:

(x,x'— x") 40> (x.x) x (x,x") Như vậy, ánh xạ x'> (x,x') từ F vào E” là đơn ánh nên ta có thê đồng

nhất F là không gian con của E”.

2.2.3 Nhận xét

1)Nếu (Œ, F) là một hệ đối ngẫu Khi đó, (F,E) với đạng song tuyến tính

(x',x)a (x, x’) sẽ xác định hệ đối ngẫu (F, E)

2) Giả sử E là một không gian vectơ và E” là đối ngẫu đại số của nó Khi đó,

(E,E”) với dạng song tuyến tính (x,f)a f(x) trong đó xeE,feE” sẽ xác

định hệ đối ngẫu (E,E”)

3) Giả sử E là một không gian lồi địa phương với không gian đối ngẫu là E'

Xét dang song tuyến tính (x,f)a f(x), xe E, f e E7 Theo hệ quả 2.1.4, điều

kiện 1) được thỏa mãn, còn điều kiện 2) là hiển nhiên, do đó (E, E7) cùng với

(E', E) là các hệ đối ngẫu

4) Cho E là một không gian lồi địa phương, F là không gian con của E'”,

E'CFCE` thì ( E, F) cũng là một hệ đối ngẫu

2.2.4 Tôpô của hệ đối ngẫu Tôpô yếu

Cho ( E, F) là một hệ đối ngẫu Tôpô lồi địa phương + trên E sao cho (E,t =F gọi là tôpô của hệ đối ngẫu Kí hiệu ø(E,F) là tôpô yếu nhất để

, hay là tôpô xác định bởi các hệ cơ bản các nửa chuẩn:

Cho (E, F) là một hệ đối ngẫu Khi đó ø(E,F) là một tôpô của hệ đối

ngẫu và là tôpô yếu nhất trong các tôpô đó

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

2.2.6 Bỗ đề

Cho E là một không gian vectơ và yạ,y,,Y;, ,y„ e E” Khi đó, hoặc yạ

là tổ hợp tuyến tính của y,,y; ,y„ hoặc tồn tại a eE sao cho:

y,(a)=Ly,(a)=y,(a) = =y,(a)=0

Chứng minh bỗ đề

Ta có thể giả sử y,.Y; y„ độc lập tuyến tính và chứng minh bé đề

bằng quy nạp

Với n= l1: y, #0 Chọn a, e E sao cho y,(a,)=1,Vx eE ta có:

y,(x~ y,Œ)a,)= y,(X)— Y,()y,(a,) =0

= x-y,(x)a, <y;'(0)=N,

Do đó, hoặc tồn tại a 6N, sao cho yạ(a) = I,y,(a) = 0hoặc

yạ(a)=0,Va eN, Nếu yạ(a)=0,Va eN, thì yạ(x— y,(x)a,)=0,Vx eE

=> yo(X) = yạs(a,)y,(x),Vx eE hay yạ = dy,

Giả sử kết quả đúng cho n—1>1 Khi đó, với mỗi i = 1, ,n, tồn tại

a; €E sao cho y,(a,) =l,y,(a,) =0 với mọi j#1

Từ đó với mọi jzi,vxeE ta có x=Ề`y,(x)a,e] y;'(0)=N Do đó,

isl isl

hoặc tồn tại a e N,yạ(a) =1, và hiển nhiên y,(a) = y;(a) = = y„(a) =0 hoặc

yạ(a)=0,VaeN Trong trường hợp này, VxeE,yạ(x— >y, (x)a,)=0 ta

isl

được yạ(x) =À,yạ(a,)y,() tức là y, = Ð^,y,

Chứng minh định lý

Vì với tôpô ø(E,F) thì f liên tục Vf eF=>FCE’ Mat khác, Vy eE',

đo y liên tục theo tôpô o(E„E) nên 3y,,y,, ,y, eF và e >0 sao cho:

ly(x)| <a<l trén mot lan can cé dang U= k : suply, (x) <1

1<i<n Nếu tồn tại aeF sao cho y(a)=1 và y,(a)= y;(a) = = y„(a) = 0thì

a eU và |y(a)|> 1 (mâu thuẫn)

Vì vậy, theo bổ đề 2.2.6, y= Yay, eF>E'CF Vay F=E’

isl

R6 rang o(E,F) 1a tépé yéu nhất trong các tôpô của hệ đối ngẫu (E, F)

Nhận xét

Một số tính chất chỉ phụ thuộc vào hệ đối ngẫu mà không phụ thuộc vào

tôpô cụ thể của hệ đối ngẫu Việc nghiên cứu các tính chất ấy trong một

không gian lồi địa phương có thể tiến hành với tôpô yếu, nếu điều đó thuận lợi Mệnh đề sau là một vi du

2.2.7 Mệnh đề

Nếu (E,F) là một hệ đối ngẫu và A là một tập con tuyệt đối lồi của E thì

A có cùng bao đóng A trong mọi tôpô của hệ đối ngẫu (E,F)

Chứng minh

Giả sử t là một tôpô tùy ý của hệ đối ngẫu (E,F) Ta chứng minh bao

đóng A cua A trong tôpô + trùng với bao dong A, trong tôpô o(E,F) Bởi

+ mạnh hơn ø nên A,cA,

Giả sử a ø A,, theo hệ quả 2.1.6, tồn tại y e E' =F sao cho y(a) ø y(A) Khi đó, 45 >0 sao cho |y(a—x)|28, Vx A Đặt U ={x :|y(x)| < ồ}, ta có U

là lân cận trong ø(E,F) và (a+U)I A=Ø nên a£A,—=A,CA,

Vậy A„=A > o

sup|(A,y, + A,y2)(x)|< sup((2y||¥, (x)) + sup(A„||y;()|) <|A;|+|A;|<1 xeA x eA

=}¿y¡ +À;y; eA°=A° tuyệt đối lôi

Lại có: A°=[ {yeF:|y(x)|<1} là giao của các tập ø(E,E)- đóng nên

xeA

A°la o(E,F)- dong

b) Ta co: B® = {ye F: sup|y(x)|< ipa’ = \y ¢F: suply(x)|< i nen B’ cA’

sup |y(x)|<1> ve(UA.] nén[ A? <[UA.]

xeUAu ael ael ael

ly(x)| $1 véi moi x e Uva moi ye A’, như vậy A' là đồng liên tục khi và chỉ

khi nó được chứa trong pôla của một lân cận nào đó

Sự khảo sát pôla, lấy trong đối ngẫu đại số, của các lân cận cho ta một đặc trưng đơn giản và tiện lợi của đối ngẫu tôpô

2.3.3 Mệnh đề

Nếu E là một không gian lồi địa phương và % là một cơ sở lân cận, thì

đối ngẫu của E là tập [JU” (các pôla trong hệ đối ngẫu (E, E'))

Uef

Chứng minh Dạng tuyến tính y e E” liên tục khi và chỉ khi ton tai mot lan cin Ue U

sao cho |y(x)|<1, VxeUoye UU’

Uet

2.4 Song péla

2.4.1 Định nghĩa song pôla

Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu Với mọi AcEthì A°CE Do Œ, E)

cũng là một hệ đối ngẫu nên A" =(A° } chita trong E Ta goi A” la song

pola cua A

Nhận xét Với moi x ¢ A:|y(x)| <1, VyeA° nén xe A” do dé ACA”

2.4.2 Dinh ly song péla

Cho (E,F) là mét hé déi ngau va ACE Khi do, song péla A°’1a bao o(E,F)- đóng, tuyệt đối lồi của A

Chứng minh

Rõ ràng theo nhận xét ở định nghĩa thì A"”“là ø(E,F)- đóng, tuyệt đối lồi

và chứa A

Giả sử B là bao ø(E,F) - đóng, tuyệt đối lồi và chứa A Ta có, BC A",

Néu a¢Btheo định lí 2.1.5, 3yeFsao cho y(a) >1và |y(x)|<1,Vx eB Do

AcBnén yeB’cA® >a¢A”™ Vay ^"c=B=>A"”=B

2.4.3 Hé qua

Cho E là một không gian lồi địa phuong va A CE Khi do, A” trong hé

đối ngẫu (E,E') là bao đóng tuyệt đối lồi của A

Ching minh

Theo định lý 2.4.2, pola cua A°’ la o(E,F)- dong, tuyệt đối lồi và chứa

A’ Nhung A°li o(E,F)- déng, tuyệt đối lồi nên (A"")' = A°

Ta có: (ua:} =[ A’ =[ A, dodo (ua) -(1 A)

ael ael ael ael ael

y,€E’ sao cho y,(x)=|x||,, va |y,(2|<\lz|,, voi moi z ¢E Do dé ta cé6

|y,(2|<1 với mọi z thuộc U, tức là yạ eU° Vậy sup|y(x)| > y,(x) =|x|,,-

yeU

cũng liên tục

Chứng minh Giả sử A liên tục, khi đó, VyeE,,A'(y)=y,A liên tục theo tôpô

o(F,E,)nén A‘(y) eR Vay A'Œ,)CE

Ngược lại, giả sử A'(E,)CE Đặt V =|y:slt)

1<i<n ,f eE,,Vi =lk n]

là một ø(E;,E,) - lân cận Khi đó nếu U= {x :sup|A'(y)(x)|< 1} thì U là một

6(E,.F,) - lân cận và A(U) cV

Vậy A liên tục Trong trường hợp đó ta có (A')} (E,) E; nên theo lập

luận trên, thay A bởi A' ta có A' liên tục

2.5.3 Định nghĩa

Ánh xạ tuyến tính A gọi là liên tục yếu nếu nó liên tục theo các tôpô

ø(E,,E,) trên E, và o(E,,F,) trén E,.

2.5.4 Hé qua

Nếu A là liên tục yếu thì liên hợp của nó là A' cũng liên tục yếu

2.5.5 Mệnh đề

Cho các hệ đối ngẫu (E,,E,)và (E,,E,), E,,E„ là các không gian lồi địa

phương A:E, —> E; là một ánh xạ tuyến tính liên tục thì A cũng liên tục theo

các tôpô yếu ø(F,,E,) trên E, và ø(E;,E,) trên E,

Gia sử (E,,F,) và (E;,F,) là những hệ đối ngẫu va A là ánh xạ tuyến

tính liên tục yếu của E,vào E, với liên hợp A' Khi đó, với mỗi tập con M

của E, ta có: (A'(M)) =(A) '(M9)

Chứng minh

Vì mỗi tập (A'(M)) va (A) (M°) 1a tap hop tat cả các yF,thỏa

man |A' (y)()| =

2.5.7 Định nghĩa

Cho ánh xạ tuyến tính liên tục A :E—> F Ánh xạ đối ngẫu của ánh xạ A

là ánh xạ A'=F —>E' xác định bởi A'(y) =ys A, Vy eF'

ys A(x)|<1, Vx eM nên ta có điều cần chứng minh

2.5.8 Định lý Schauder

Cho E, F là các không gian Banach và A e#(E,F) Khi đó, A compăc

© A':F E compac.

Ching minh

Kí hiệu U là hình cầu đơn vị của E Nếu A compăäc thì:

M=| VÌ; :yeF, v|<1] =C(A(U)) là bị chặn và đồng liên tục Theo định

ly Ascoli, M compac tuong déi

Với mọi y,zeF', A'(y)= A'(z) ta có:

y(A(x)) = (A’(y))(x) = (A’(z))(x) = z(A(x)), VxeE

Từ đó có ánh xạ tuyến tính @(A'(y)) = Yh:

V6i moi yeF’ taco:

|A()|=seply(A(x)|= sựp Jy(2)|= swp |v(š)|=|e(A'(v))| Is|<! &eA(U) &<A(U)

Ki hiéu j, :E—F", j,:F >E” là phép nhúng chính tắc Ta có:

A”sj; =j;sA là ánh xạ compăc

2.6 Tôpô trên không gian đối ngẫu Định lí Mackey-Arens

2.6.1 Dinh nghĩa M - tôpô

Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu M là một họ các tập con của F có tính chất

sau:

i) Moi Me M [a o(E,F)- bi chan

ii) Moi M,,M, € M, tén tai M, e M va A>0 sao cho M, UM, CAM,

iii) F=U{AM:2>0,M € M}.