Ánh xạ không giãn, compact yếu trong không gian lồi đều

Các định lý về điểm bất động được bắt đầu nghiên cứu từ lớp các ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều, đó là các định lý Brouwer: Định lý Brouwer: Cho X là không gian hữu hạn c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Mai Văn Duy

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2014

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Mai Văn Duy

Chuyên ngành : Toán Gi ải Tích

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

L ỜI CẢM ƠN

Tôi xin dành những lời đầu tiên để gửi lời cám ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS

Lê Hoàn Hoá- người đã ân cần chỉ bảo, hướng dẫn nhiệt tình về mặt chuyên môn cũng như phương pháp học tập quý báu, giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này Xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở phòng sau đại học, các thầy cô đang công tác

tại trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong toàn bộ quá trình học tập tại trường và trong quá trình làm luận văn Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, gia đình và người thân- những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Mai Văn Duy

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các ký hiệu và viết tắt

M Ở ĐẦU 1

C hương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Không gian Banach 4

1.2 Không gian Hilbert 5

1.3 Tôpô yếu – Tính phản xạ 9

1.4 Tính khả vi Gateaux và khả vi Frechet 14

1.5 Tập định hướng và lưới 18

1.6 Tập có thứ tự và bổ đề Zorn 19

C hương 2 TÍNH KHẢ VI GATEAUX CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI CH ẶT CỦA KHÔNG GIAN 21

2.1 Tính khả vi Gateaux của chuẩn, không gian trơn 21

2.2 Không gian lồi chặt 29

C hương 3 TÍNH KHẢ VI FRECHET CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI ĐỀU CỦA KHÔNG GIAN 33

3.1 Tính khả vi Frechet của chuẩn 33

3.2 Tính khả vi Frechet đều của chuẩn, không gian trơn đều, không gian lồi đều 42

C hương 4 CẤU TRÚC CHUẨN TẮC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 65

4.1 Cấu trúc chuẩn tắc 65

4.2 Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất động 67

K ẾT LUẬN 76

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 77

DANH M ỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

x Chuẩn của x trên không gian định chuẩn

,

x y Tích vô hướng của x y , trên không gian tiền Hilbert

S X = x ∈ X x = Mặt cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X

B X = x ∈ X x ≤ Quả cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X

M Ở ĐẦU

Điểm bất động của ánh xạ là một đối tượng đã được nghiên cứu từ rất lâu và

có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và công nghệ Các định lý

về điểm bất động được bắt đầu nghiên cứu từ lớp các ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều, đó là các định lý Brouwer:

Định lý Brouwer: Cho X là không gian hữu hạn chiều, Blà quả cầu đơn vị đóng trong X. Khi đó, mọi ánh xạ liên tục U B: →B đều có điểm bất động

Định lý Brouwer mở rộng: Cho X là không gian hữu hạn chiều, Clà tập lồi đóng

bị chặn trong X. Khi đó, mọi ánh xạ liên tục U C: →C đều có điểm bất động

Thực chất, điều kiện của định lý là ánh xạ liên tục trên một tập lồi đóng bị

chặn trong không gian hữu hạn chiều(do đó là compact) Ta biết rằng lớp các không gian hữu hạn chiều là khá khiêm tốn Do đó, người ta muốn mở rộng định lý này lên không gian vô hạn chiều, khi số chiều của không gian là vô hạn thì tính liên tục trở nên yếu đi và tính compact của các tập lồi đóng bị chặn cũng mất đi Do đó, các điều kiện cũng cần phải mạnh hơn:

Định lý Brouwer cho không gian Hilbert: Cho X là không gian Hilbert, C⊂X là

tập lồi đóng bị chặn và U C: →C là ánh xạ không giãn Khi đó, U có điểm bất động trong C.

Định lý Shauder: Cho X là không gian Banach, C⊂ Xlà tập lồi đóng,

:

U C→Cliên tục và U C( )compact tương đối Khi đó, Ucó điểm bất động trong C.

Rõ ràng khi mở rộng lên không gian Hilbert, tính liên tục không còn đảm bảo cho sự tồn tại điểm bất động, ta cần tính không giãn Còn khi mở rộng lên không gian Banach, tính lồi đóng cũng không còn đảm bảo được sự tồn tại điểm bất động,

do đó ta cần một điều kiện không dễ đạt được, đó là tính compact mạnh

Vấn đề được đặt ra là ta cần phải thay được điều kiện compact mạnh bằng

một điều kiện nhẹ hơn mà định lý vẫn đúng trên không gian Banach Điều đó đã dẫn chúng ta đến việc nâng cấp không gian lên một lớp không gian mạnh hơn là không gian lồi đều và cần thêm các cấu trúc mới là cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu Đặc

trưng của các cấu trúc này dựa vào các khái niệm lồi đều, lồi chặt của không gian Tính lồi đều, lồi chặt của không gian thì lại đặc trưng bởi tính khả vi Frechet, khả vi Gateaux của ánh xạ chuẩn Vì vậy, luận văn sẽ nghiên cứu tính khả vi Gateaux, khả

vi Frechet, mối liên quan giữa chúng với tính lồi chặt, lồi đều và cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu, không gian lồi đều để từ đó có được các định lý điểm bất động cho ánh xạ không giãn

Luận văn được làm dựa theo [1,tr 20-57] Luận văn được trình bày trong 4 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị:

Nhắc lại một số kiến thức, khái niệm về không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert và các tính chất, sự hội tụ của dãy trong các không gian này Ngoài ra chương này còn phát biểu và chứng minh

một số khái niệm, tính chất, định lý về tôpô yếu, tôpô yếu sao, tính phản xạ, tập định hướng và lưới, tập sắp thứ tự và bổ đề Zorn, tính khả vi Gateaux và khả vi Frechet của ánh xạ

Chương 2: Tính khả vi Gateaux của chuẩn và tính lồi chặt của không gian

Chương này trình bày sự khả vi Gateaux của ánh xạ chuẩn, tính trơn của không gian, tính lồi chặt của không gian và định lý về mối liên hệ giữa các tính chất này thông qua một khái niệm là ánh xạ tựa

Chương 3: Tính khả vi Frechet của chuẩn và tính lồi đều của không gian

Chương này trình bày khái niệm, tính chất và phân biệt giữa khả vi Gateaux và khả

vi Frechet của ánh xạ chuẩn Chương này còn trình bày khái niệm, tính chất và phân

biệt giữa tính lồi chặt và lồi đều của không gian Bên cạnh đó còn nghiên cứu về tính trơn đều của không gian, tính khả vi Frechet đều của ánh xạ chuẩn và tính compact yếu trong không gian lồi đều

Chương 4: Cấu trúc chuẩn tắc và các định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn

Chương 4 là nội dung chính của luận văn Chương này trình bày khái niệm, tính chất của tập có cấu trúc chuẩn tắc, tập có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian

lồi đều và các định lý về sự tồn tại, tính chất của tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trên tập compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian Banach, sự

tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trên tập lồi đóng bị chặn trong không gian lồi đều và sự tồn tại điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn giao hoán

C hương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert, tôpô yếu, tính phản

xạ, tập sắp thứ tự, bổ đề Zorn, khả vi Gateaux, khả vi Frechet Chương này được làm dựa theo [4,chương 1,3]

1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1:Cho X là không gian vector trên  Ánh xạ  : X →  được

gọi là một chuẩn nếu:

ii) λ x = λ x , ∀ ∈ x X , ∀ ∈ λ ,

iii) x + y ≤ x + y , ∀ x y , ∈ X

Định nghĩa 1.1.2: Không gian vector X được trang bị ánh xạ chuẩn  gọi là

không gian vector định chuẩn hay gọi tắt là không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.3: Cho X là không gian định chuẩn và { }x n n N∈ * là dãy trong X

Ta nói { }x n n N∈ * hội tụ về x nếu:

Định nghĩa 1.1.4: Cho X là không gian định chuẩn và { }x n n N∈ * là dãy trong X

Ta nói { }x n n N∈ * là dãy Cauchy nếu:

Định nghĩa 1.1.5: Cho X là không gian định chuẩn, X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một phần tử trong X

M ệnh đề 1.1.1: Cho X là không gian tôpô compact và { }X i i I∈ là một họ các tập đóng có tính chất giao hữu hạn khác rỗng Khi đó, họ { }X i i I∈ có giao khác rỗng

Ch ứng minh: Giả sử i

i I

X

∈

= ∅

i I i I

=  = Như vậy, { \ i}

i I

X X ∈ là một phủ mở của không gian compact X nên tồn tại hữu hạn các tập

1 , 2 , ,

k

i i i

= =  ≠ (mâu thuẫn với tính giao hữu

hạn khác rỗng của họ { }X i i I∈ ) Vậy i

i I

X

∈

≠ ∅



1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1: Cho X là một không gian vector trên  Ánh xạ

   được gọi một tích vô hướng nếu với mọi x y , ∈ X , λ ∈: i) x y , = y x , ,

ii) x + y z , = x z , + y z , ,

iii) λ x y , = λ x y , ,

M ệnh đề 1.2.1: Cho   , là tích vô hướng trên không gian vector X và

,

x y ∈ X thì

2

x y ≤ x x y y Đẳng thức xảy ra khi tồn tại λ∈ sao cho x = λ y

Ch ứng minh:

Nếu y = 0:

y y

Bất đẳng thức nghiệm đúng với mọi x∈X

Nếu y ≠ 0 :

Ta có: x−λy x, −λy ≥ ∀0, x y, ∈X,λ∈

Đặt: f ( ) λ = x − λ y x , − λ y

2

f λ = y y λ − λ x y + x x

thì f là tam thức bậc hai

2 '

' 2

0

f

x y x x y y

⇒ ∆ ≤

Đẳng thức xảy ra khi '

0

f

Khi đó, phương trình f ( ) λ = 0 có nghiệm kép 1 2 ,

,

x y

y y

Suy ra:

,

0 ,

, ,

x y f

y y

x y

y y

=

⇒ =

Định nghĩa 1.2.2: Không gian vector X trên  được trang bị một tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert

M ệnh đề 1.2.1: Một không gian định chuẩn X là không gian tiền Hilbert khi và chỉ khi chuẩn trên X thoả đẳng thức hình bình hành:

x + y + − x y = x + y

Ch ứng minh:

( ) ⇐ Cho X là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng   , Đặt :

, ,

x = x x ∀ ∈x X

Ta chứng minh  là chuẩn ∀x y, ∈X,λ∈:

i) x = x x, ≥0, x = ⇔0 x x, = ⇔ =0 x 0,

ii) λ x = λ λ x , x = λ x , λ x = λ λ x x , = λ2 x x , = λ x x , = λ x ,

iii)

Ta chứng minh  thoả đẳng thức hình bình hành:

2 2

x x y y

( ) ⇒ Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn thoả mãn đẳng thức hình bình hành Đặt:

,

4

= Ta chứng minh   , là tích vô hướng, với mọi

x y ∈ X λ ∈

i)

ii)

,

4

x y z x y z

4

x + z + y + x + z − y − x + y − z + − x y − z

=

( ) ( )

4

4

4

x z y z

=

=

=

iii) Ta chứng minh: λ x y , = λ x y ,

Với λ = 0 :

4

x y

Với λ ∈*+ :

Với λ ∈*− thì λ ' = − λ λ , ' ∈*+:

,

4

x y

λ

Suy ra: λ x y , = λ x y , , ∀ ∈ λ

Với , m , m , n :

n

λ ∈  λ = ∈  ∈ +

2

1

mx ny mx ny

x y x y

m

mx ny m x ny m ny x mn y x x y x y

λ

λ

Với , { }n * , n :

n N

λ∈ ∃ λ ∈ ⊂ λ →λ

( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2

,

x y

Do chuẩn liên tục nên ta có:

4

n n

→∞

Định nghĩa 1.2.3: Không gian tiền Hilbert mà mỗi dãy Cauchy đều hội tụ theo

chuẩn sinh bởi tích vô hướng được gọi là không gian Hilbert

1.3 Tôpô yếu – Tính phản xạ

Cho X là không gian Banach, B X ( ) : = { x ∈ X | x ≤ 1 } là quả cầu đơn vị đóng trong X X * là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào  với chuẩn xác định bởi: *

1

X x

=

= , B X( *) :={f ∈X* | f X* ≤1}là quả cầu đơn vị đóng trong X * X ** là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X *

vào  với chuẩn xác định bởi:

*

**

1

sup ( )

X

X f

f

=

Định lý 1.3.1: ( Định lý tách các tập lồi, xem [4,trang 7] ) Cho X là không gian Banach, A B , ⊂ X A , ∩ = ∅ B Nếu A là tập lồi đóng và B là tập compact thì tồn

tại α ∈  , f ∈ X *:

Định lý 1.3.2: (Hệ quả của định lý Hahn- Banach, xem [4,trang 3] ) Cho X là không gian Banach, x∈X x, ≠0 Khi đó, tồn tại f ∈ X * sao cho:

2

f x = x f = x Định nghĩa 1.3.1: ( Xem [4,trang 57] ) Cho X là không gian Banach, x0∈X Với

mỗi ε >0 và hữu hạn các f i∈X*,i∈{1, 2, , }k

Đặt

{ }

U = V f f f ε f ∈ X ∀ ∈ i k ε > k ∈ N

Khi đó tôpô xác định bởi họ lân cận { }U x x X∈ , mỗi tập mở là tập thuộc σ ( , X X *)

được gọi là tôpô yếu trên X và kí hiệu là σ ( , X X *). Như vậy, trên X ta xét hai tôpô, tôpô yếu và tôpô thông thường trên X sinh bởi chuẩn ( gọi là tôpô mạnh)

M ệnh đề 1.3.1: Tôpô yếu là tôpô yếu nhất (ít tập mở nhất ) để tất cả các ánh xạ

tuyến tính liên tục trên X

Ch ứng minh: Lấy f ∈ X *. Do cách đặt các lân cận trong tôpô yếu ta có f liên tục

với tôpô yếu Giả sử mọi ánh xạ f ∈ X *đều liên tục với tôpô τ Suy ra

{ x ∈ X | f x ( − x0) < ε } là tập mở trong τ với mọi f ∈ X *, ε > 0.

Ta chứng minh τ σ ⊃ ( , X X *).

Lấy x0∈X Ta chứng minh với mọi U là lân cận mở của x0 trong σ ( , X X *), tồn

tại lân cận mở V của x0 trong τ sao cho V ⊂U Thật vậy, tồn tại

0, f i X *

0

0 1

i k

i i

x X f x x

ε ε

=

1 | ( )

k

i i

=

= ∩ ∈ − < thì V là lân cận mở cần tìm

M ệnh đề 1.3.2: Cho X là không gian hữu hạn chiều thì tôpô yếu trùng với tôpô

mạnh

Ch ứng minh: Đặt τ là tôpô mạnh sinh bởi chuẩn trên X Hiển nhiên ta có

τ σ ⊃ Ta chứng minh τ σ ⊂ ( , X X *). Lấy U là lân cận mở của x0 trong

τ Ta chứng minh tồn tại lân cận mở V của x0 trong σ( ,X X*) sao cho V ⊂U

Chọn r >0 sao cho B = ∈ { x X : x − x0 < r } ⊂ U Do X là không gian hữu hạn chiều, gọi { e e1, , ,2 ek} , ei∈ X e , i = ∀ ∈ 1, i {1, 2, , } k là cơ sở của X Khi đó,

0 0

i

= ∑ = ∑ Gọi p i i, ∈{1, 2, , }k là các phép chiếu chính tắc:

1

k

i

=

Ta có p i∈X*,∀ ∈i {1, 2, , }.k

Đặt r 0

k

0

x trong tôpô yếu và với mọi x V ∈ :

.

ε ε

⇒ ⊂ ⊂

Vậy τ σ ⊂ ( , X X *).

M ệnh đề 1.3.3: Cho X là không gian Banach và C ⊂ X , C là tập lồi Khi đó C

là đóng yếu nếu và chỉ nếu C đóng mạnh

Ch ứng minh: Nếu C là đóng yếu thì hiển nhiên C là đóng mạnh Bây giờ, cho C

là đóng mạnh Ta chứng minh C là đóng yếu bằng cách chứng minh X C \ là mở

yếu

Lấy x0∈X C\ Ta có C là tập lồi đóng, { } x0 compact, { } x0 ∩ = ∅ C Do định lý tách các tập lồi, tồn tại α ∈  , f ∈ X * sao cho:

0

f x < <α f y ∀ ∈y C

Đặt V ={x∈X f x| ( )<α } thì V mở yếu và x0∈ ⊂V X C\ Suy ra rằng

\

X Cmở yếu hay C đóng yếu

M ệnh đề 1.3.4: Cho X là không gian Banach, { }x n n N∈ * là dãy trong X Khi đó: i)

(X X, *)

n

σ

→ khi và chỉ khi f x( n)→ f x( ),∀ ∈f X *

ii)xn→ x thì

( , *)

X X n

σ

→

iii) Nếu xn (X X, *)x

σ

→ thì tồn tại dãy { }y n n N∈ * ⊂conv x{ n:n∈N*} sao cho yn→ x

Ch ứng minh:

i) Nếu xn (X X, *)x

σ

→ thì với mọi f ∈ X *, f liên tục yếu suy ra f x ( n) → f x ( ). Giả

sử f x ( n) → f x ( ), ∀ ∈ f X *. Ta chứng minh xn (X X, *)x

σ

f x → f x ∀ ∈ f X nên f xi( n) → f x ( ), ∀ ∈ i {1, 2, , } k Do đó, với ε > 0,

n = n n n thì :

0 n

∀ ≥ ⇒ ∈ Suy ra

( , *)

.

X X n

σ

→

ii)Cho xn→ x Do với mọi f ∈ X * thì f liên tục với tôpô mạnh nên

( n) ( ), *

f x → f x ∀ ∈f X Áp dụng i) ta có x n (X X, *)x

σ

→

iii) Cho

( , *)

.

X X n

σ

1

.

n n

∞

=

(X X, *)

n

σ

→ nên ta có x nằm

trong bao đóng yếu của { }

1

,

n n

x

∞

=

 suy ra x nằm trong bao đóng yếu của C Do C

lồi nên bao đóng yếu của C chính là bao đóng mạnh của C Suy ra xnằm trong bao đóng mạnh của C Suy ra tồn tại dãy { }n * , n

n N

y ∈ ⊂C y → x Ta có

{ }y n n N∈ * ⊂Cnghĩa là mỗi y n là bao lồi tuyến tính của hữu hạn các x n Ta có điều

phải chứng minh

M ệnh đề 1.3.5: Tập compact yếu thì bị chặn theo chuẩn

Ch ứng minh: Xét X là không gian Banach, A⊂ X là tập compact yếu Với mỗi

,

x∈A ta có thể coi x∈X**, :x X*→, ( )x f = f x, ,∀ ∈f X* Do A compact yếu nên f A( ) compact, suy ra f A( )bị chặn với mọi f ∈X*. Nghĩa là

, , *,

f x < ∞ ∀ ∈f X x∈A Suy ra sup , , *

x A

∈ < ∞ ∀ ∈ Theo nguyên lý bị chặn đều ta suy ra sup

x A

x

∈ < ∞ Nghĩa là A bị chặn theo chuẩn

Định nghĩa 1.3.2: (Xem [4]) Cho X là không gian Banach, X * là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào  và f0∈X* Với mỗi ε > 0 và hữu hạn các x i∈X i, ∈{1, 2, , }.k Đặt

U = V x x x ε x ∈ X ∀ ∈ i k ε > k ∈ N

( *,X X) V X* | f V, U U f :U V

Khi đó tôpô xác định bởi họ lân cận { } Uf f X*

∈ , mỗi tập mở là tập thuộc σ ( *, X X )

được gọi là tôpô yếu sao trên X * và kí hiệu là σ ( *, X X ).

M ệnh đề 1.3.6: (Xem [4,trang 62] ) Cho X là không gian Banach, f ∈ X *,

{ }f n n N∈ * là dãy trong X * Xem như X là không gian con của X ** ta có các kết

quả sau tương tự như với tôpô yếu:

i)

(X*,X)

n

σ

→ khi và chỉ khi f x n( )→ f x( ),∀ ∈x X

ii) fn→ f thì

( *, )

n

σ

→

Định lý 1.3.3: (Định lý Banach- Alaoglu, Xem [4,trang 66]) Quả cầu đơn vị đóng

trong X * là compact trong tôpô yếu sao

Định nghĩa 1.3.3: Cho X là không gian Banach Với mỗi x∈X,ánh xạ

J X → J f = f x ∀ ∈f X là ánh xạ tuyến tính liên tục Do đó, ánh xạ

J X → X x  là đơn cấu đẳng cự Nếu J là toàn ánh thì J X được gọi là không gian phản xạ

Định lý 1.3.4: (Định lý Kakutani, Xem [4,trang 67] ) Không gian Banach X là không gian phản xạ nếu và chỉ nếu quả cầu đơn vị đóng trong X là compact đối

với tôpô yếu