Khoá luận tốt nghiệp một số nội dung về đường tròn và mặt cầu

Nhiệm vụ nghiên cứu- Tìm hiểu một số nội dung về đường tròn: sự xác định, các tính chất, phương tích của một điểm đối với đường tròn, góc giữa hai đường tròn, hai đường tròn trực giao, c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

THÀO THANH HUYỀN

MỘT SỐ NỘI DƯNG VỀ ĐƯỜNG TRÒN VÀ MẶT CẦU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học Th.s Phạm Thanh Tâm

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ quý báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô ưong khoa Giáo dục Tiểu học đã tận tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức, cũng như tạo mọi điều kiện để em hoàn thành tốt khóa học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của

mình tới thầy giáo Phạm Thanh Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn,

nhiệt tình chỉ bảo, giúp đỡ em ữong suốt quá ữình thực hiện khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, thư viện nhà trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp đỡ em để em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, ngày 6 tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Thào Thanh Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Để hoàn thành khóa luận này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, sự giúp

đỡ tận tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm, tôi đã sử dụng một số tài liệu tham khảo ghi ở mục “Tài liệu tham khảo” Nhưng tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả tìm hiểu khoa học của bản thân dưới sự hướng

dẫn của thầy giáo Phạm Thanh Tâm.

Hà Nội, ngày 6 tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Thào Thanh Huyền

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

A MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứ u 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc đề tà i 2

CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG TRÒN 3

1.1 Hàng điểm điều h ò a 3

1.2 Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn 5

1.3 Tiếp tuyến của đường tròn 7

1.4 Phương tích của một điểm đối với đường tròn 7

1.5 Góc giữa hai đường tròn Hai đường tròn trực giao 12

1.6 Chùm đường tròn 15

1.7 Độ dài đường tròn Diện tích hình tròn 21

1.8 Bài tậ p 24

CHƯƠNG 2: MẶT CẦU 25

2.1 Đinh nghĩa 25

2.2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu với một điểm 25

2.3 Vị trí tương đối giữa mặt càu và mặt phẳng 26

2.4 Phương tích của một điểm đối với mặt c à u 27

2.5 Góc giữa hai mặt càu Hai mặt cầu trực giao 30

2.6 Chùm mặt c ầ u 32

2.8 Bài tậ p 34 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi năng lực của con người cũng cần được nâng cao Đe học sinh có thể phát triển tốt cả về phẩm chất và trí tuệ vai trò của người giáo viên là vô cùng quan trọng

Đối vói học sinh tiểu học, toán học là một môn học rất hấp dẫn tuy nhiên cũng khá khó Trong đó, hình học là môn học thú vị nhưng khá trừu tượng và các em sẽ gặp nhiều khó khăn để học

Ngay từ bậc Tiểu học học sinh đã được làm quen với hình tròn và hình cầu Ở lớp 1 học sinh nhận diện về hình tròn thông qua bài “Hình vuông, hình tròn” để các em có những biểu tượng ban đầu về hình tròn Lên lớp 3 học sinh nắm được tâm, bán kính và đường kính của hình tròn, được học cách vẽ đường tròn có tâm và bán kính cho trước bằng compa thông qua bài “Hình tròn, tâm, bán kính, đường kính” Khi đã nắm được các yếu tố cơ bản của hình tròn, lên lớp 5 các em được học cách tính chu

vi và diện tích hình tròn thông qua bài “Chu vi và diện tích hình tròn” Hơn nữa, các em còn được làm quen với hình cầu trong bài “Giới thiệu hình trụ, giới thiệu hình cầu” từ đó học sinh nhận diện được hình cầu và xác định được đồ vật có dạng hình càu trong thực tế

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về đường tròn và mặt cầu để có thể giúp học sinh của mình hiểu rõ hơn về đường tròn và mặt cầu ngay ở bậc Tiểu học, với sự giúp đỡ của thầy Phạm Thanh Tâm em đã quyết

định chọn đề tài “Một số nội dung về đường tròn và mặt cầu ” làm đề tài

nghiên cứu của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số nội dung về đường tròn và mặt cầu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu một số nội dung về đường tròn: sự xác định, các tính chất, phương tích của một điểm đối với đường tròn, góc giữa hai đường tròn, hai đường tròn trực giao, chùm đường tròn, diện tích hình tròn và chiều dài đường tròn

- lìm hiểu một số nội dung về mặt cầu: định nghĩa, phương tích của một điểm đối với mặt cầu, góc giữa hai mặt cầu, hai mặt cầu trực giao, chùm mặt cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

4 Đổi tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: một số nội dung về đường tròn và mặt cầu

- Phạm vi nghiên cứu: Hình học “ở Tiểu học”

5 Phương pháp nghiền cứu

- Nghiên cứu tài liệu, sách, giáo trình

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG TRÒN 1.1 Hàng điểm điều hòa

AB.AC = A B A C nếu và cùng hướng.

AB.AC = —AB.AC nếu và ngược hướng.

Định nghĩa I.I.I.2 Tỉ số kép của bổn điểm A, B, c, D thẳng hàng lấy theo thứ tự đó là tỉ số:

CÃ DÃ CB' DB =

(ABDC)c) Tỉ số kép của bốn điểm không đổi nếu ta đồng thời đổi chỗ hai điểm đầu cho nhau và hai điểm cuối cho nhau, tức là:

Chứng minh, a) Ta có:

AC BC AC.BD CA (CDAB) = = = : = = = = 7 = = =

AD BD AD.BC CB

DA

= = = (ABCD) DB

1.1.2 Hàng điểm điều hòa

a) Định nghĩa Nếu bổn điểm A, B, c, D thẳng hàng có tỉ số kép (ABCD)

bằng — 1 thì ta bảo bốn điểm A, B, c, D lập thành một hàng điểm điều hòa.

Từ tính chất của tỉ số kép ta thấy nếu:

(ABCD) = - 1 thì (CDAB) = (BADC) = (DCBA) = - 1

Khi đó ta nói cặp A, B chia điều hòa cặp c, D và ngược lại

Lúc đó ta có:

CA _ DA

b) Các điều kiện tương đương cho hàng điểm điều hòa

+) Hệ thức hoành độ: Ta định hướng đường thẳng ABCD và chọn trên

đó điểm o là gốc Đặt: OA = a; OB = b; o c = c; OD = d

Khi đó, hệ thức (1.1.2.1) có thể viết:

a - c a - d

b - c b - d

(a + b)( c+d)

o (ab + cd) = - - (1.1.2.2)

Đó là hệ thức hoành độ của hàng điểm điều hòa

+) Hệ thức Đề - các về hàng điểm điều hòa: Nếu chọn A = 0 thì hệ

thức (1.1.2.2) trở thành:

2cd = b(c + d) = bc = bdo

1.2 Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn

Định nghĩa 1.2.1 Tập hợp các điểm cách đều điểm o cho trước một

khoảng không đổi R, gọi là đường tròn tâm o bán kính R, kí hiệu là (0, R) (hình 1).

Nhận xét 1.2.2 [Nguồn Internet- http://diendantoanhoc.neưtopic/93821-

ki%El%BA%BFn-th%El%BB%A9c-c%C6%Al-b%El%BA%A3n- nh%El%BA%A5t-c%El%BB%A7a-d%C6%B0%El%BB%9Dng- tron]

- Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một điều kiện của nó Nếu

AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp nhữngđiểm M sao cho AMB = 90° Khi đó tâm o sẽ là trung điểm của AB còn

bán kính thì băng R = —

- Qua 3 điểm A, B, c không thẳng hàng luôn vẽ được 1 đường tròn

và chỉ một mà thôi Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Trong một đường ưòn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó

- Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm

- Trong một đường tròn, hai dây cung không bằng nhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi dây đó gần tâm hơn

1.3 Tiếp tuyến của đường tròn [Nguồn Intemet- http://diendantoanhoc.neƯtopic/93821-ki%E 1 %B A%BFn-

th%El%BB%A9c-c%C6%Al-b%El%BA%A3n-nh%El%BA%A5t-

C%E1 %BB % A7a-d%C6%B0%El %BB %9Dng-ưon].

Định nghĩa 1.3.1 Đường thẳng được gọi là tiếp tuyển của đường tròn

nếu nó có một điểm chung với đường tròn Điểm đó được gọi là tiếp điểm

Nhân xét 1.3.2.

- Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc vói bán kính tại tiếp điểm Ngược lại, đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với đường tròn được gọi là tiếp tuyến

- Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm

đó cách đều hai tiếp điểm; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến; tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

1.4 Phương tích của một điểm đối vói đường tròn

Định lí 1.4.1 Cho đường tròn (O, R) và một điểm M cố định Một cát

tuyển thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại A, B thì tích vô hướng MA.MB không phụ thuộc vào cát tuyển đó, nó được gọi là phương tích của điểm

M đổi với đường tròn (O, R) và kí hiệu là: TM Ị ự) Ry

Chứng minh Gọi AC là đường kính của đường tròn (O, R) (hình 2) Đặt

MO = d Từ MA vuông góc với BC nên ta có:

= MO2 - OA2

= d2 - R2

Hình 2Như vậy, phương tích của điểm M đối với đường tròn (O, R) luôn được tính theo công thức: ?M /(0 R) = MO2 - R2

Nhân xét 1.4.2

Từ đó suy ra:

a) Điểm M nằm trên đường tròn (O, R) khi và chỉ khi T M/(0 U) = 0 b) Điểm M nằm ngoài đường tròn (O, R) khi và chỉ khi T M/(0 U) > 0 c) Điểm M nằm trong đường tròn (O, R) khi và chỉ khi TM/(0 < 0

Định lí 1.4.3 Cho hai đường tròn (O, R) và ( 0 \ R ’) với o không trùng

với o ’ Quỹ tích những điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn

đó là một đường thẳng Đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn đó.

Chứng minh Gọi M là điểm nào đó, H là hình chiếu của M trên 0 0 ’, gọi

I là trung điểm của 0 0 ’ (hình 3) Ta có:

Pm/ ìojo = Aí/co',*') o MO2 - R2 = MO’2 - R’2

o M02 -M 0 ’2 = R2- R ’2

O (M 0 + MÕT)( mo - M ơ ) = R2- R’2

Hệ quả 1.4.4 Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R ’) Khi đó:

a) Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm

b) Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng

c) Nếu điểm M có cùng phương tích đối vói (O, R) và (O’, R ’) thì đường thẳng qua M vuông góc vói 0 0 ’ là trục đẳng phương của hai đường tròn

d) Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn

e) Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng.

g) Nếu (O, R) và (O’, R ’) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua

A và vuông góc với 0 0 ’ chính là trục đẳng phương của hai đường tròn

Nhận xét 1.4.5 Để dựng trục đẳng phương của hai đường tròn ta chỉ cần

xác định hai điểm của nó hoặc chỉ một điểm vói chú ý rằng trục đẳng phương luôn vuông góc với đường nối tâm Từ đó suy ra cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn:

- Nếu (O, R) và (O’, R’) cắt nhau tại hai điểm A, B thì trục đẳng phương của chúng là đường thẳng AB (hình 4)

- Nếu (O, R) và ( 0 \ R’) tiếp xúc vói nhau tại A thì trục đẳng phương của chúng là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó tại A (hình 5)

Chứng minh Gọi di là trục đẳng phương của (Oi, Ri) và (0 2, R2); d2 là

trục đẳng phương của (0 2, R2) và (0 3, R3) Vì Oi, 0 2, 0 3 không thẳng hàng nên di, d2 cắt nhau tại điểm I Như vậy, J5I/(01R1) = ^*1/(02 R2) =

^1/(0 3 R 3 > lừ đó suy ra I cũng nằm trên trục đẳng phương d3 của hai đường tròn (Oi, Ri) và (0 3, R3).

Hệ quả 1.4.7 a) Nếu 3 đường ừòn đôi một cắt nhau thì các dây cung

cùng đi qua một điểm Điểm chung đó có cùng phương tích vói cả ba vòng tròn và được gọi là tâm đẳng phương của ba vòng tròn

b) Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng

c) Nếu 3 đường ừòn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng phương trùng nhau

1.5 Góc giữa hai đường tròn Hai đường tròn trực giao.

Định nghĩa 1.5.1 Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R ’) có điểm chung

A Gọi t và t ’ là hai tiếp tuyến của hai đường tròn đó tại điểm A Góc giữa hai tiếp tuyển t và t ’ được gọi là góc giữa hai đường tròn đó.

Khi t và t ’ trùng nhau thì góc của hai đường tròn bằng 0 Đó là khi hai đường tròn tiếp xúc với nhau tại A

Khi t và t ’ vuông góc vói nhau ta nói rằng hai đường ừòn đó trực giao với nhau

Định lí 1.5.2 (Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao)

a) Hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) trực giao với nhau tại A khi và chỉ khi tiếp tuyến tại A của hai đường tròn này đi qua tâm của đường tròn kia

b) Hai đường ừòn (O, R) và (O’, R’) trực giao khi và chỉ khi:

0 0 ’2 = R2 + R’2

Chứng minh Cho hai đường ưòn (O, R) và (O’, R’) trực giao (hình 7) Tiếp

tuyến d của (O, R) vuông góc với tiếp tuyến d’ của (O’, R’) tại A Ta có:

d) Hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) trực giao khi và chỉ khi một đường thẳng qua tâm của một đường tròn cắt cả hai đường tròn theo hai cặp điểm liên họp điều hòa.

Chứng minh Giả sử đường thẳng đi qua O’ cắt (O, R) tại A và B, cắt

( 0 \ R’) tại c và D (hình 8) P 0/(p> r') = R’2 nên ữ Ẩ ỮB = ữ ư 2 = ỠĐ 2

suy ra A, B, c, D là hàng điểm điều hòa

Định lí 1.5.3 Cho hai đường tròn (O) và ịO ’), khi ẩy quỹ tích tâm các

vòng tròn cùng trực giao với (O) và ( O’) là phần của trục đẳng phương nằm ngoài hai vòng tròn ẩy.

Chứng minh.

- Thuận: Giả sử M thuộc quỹ tích Khi tồn tại vòng tròn (M) bán kính

r, tâm M sao cho (M) vuông góc vói (O) và (M) vuông góc vói (O’)

Suy ra: T MI(0'} = r 2 và 7m/(0) = r 2■ Vậy M thuộc trục đẳng phương của hai vòng tròn (O) và (O’), hơn nữa M nằm ngoài hai vòng tròn

Từ M’ kẻ tiếp tuyến M’T với (O), M’T ’ với O’ (hình 9) Dựng vòng tròn (M’, M ’T) Vì M ’ thuộc trục đẳng phương của hai vòng tròn nên:

Định nghĩa 1.6.1 Chùm đường tròn là tập hợp tất cả những đường tròn

nằm trong cùng một mặt phẳng sao cho nó có một đường thẳng A là trục

đẳng phương của bất kì hai đường tròn phân biệt nào của tập hợp đó.

Đường thẳng A được gọi là trục đẳng phương của chừm đường tròn

Vì A vuông góc với đường nối tâm của các cặp đường tròn của chùm nên tâm của tất cả các đường tròn đó phải nằm ttên một đường thẳng Đường thẳng đó gọi là đường nối tâm của chùm

Vì A vuông góc với Ol0 Oj nên OjOj (V i, j e I).

Do đó theo định nghĩa, tập họp các đường tròn (Oi)i E I lập thành một chùm

b) Tập họp (Oi)i6i các vòng tròn lập thành một chùm khi và chỉ khi tồn tại hai điểm p, Q sao cho với mọi i, j G I:

2 f y ( O 0 = p P/(.Oị)

^Q /C O i) = T Q/ ( Oị )

Ta dễ thấy chúng lập thành một chùm và trục đẳng phương của chùm

là đường thẳng qua p, Q

Mệnh đề 1.6.3 Nếu X là một tập hợp những đường tròn trong mặt phẳng

sao cho có hai điểm A, B phân biệt mà phương tích của mỗi điểm A và B đối với mọi đường ttòn thuộc T bằng nhau, thì X là tập hợp con của một chùm đường tròn nào đó

Chứng minh Theo giả thiết thì đường thẳng AB chính là trục đẳng

phương của mọi cặp đường tròn thuộc X Từ đó suy ra X là tập con của một chùm đường ưòn

Mệnh đề 1.6.4 Nếu X là tập họp những đường ưòn có tâm nằm trên một đường thẳng d và có một điểm A có cùng phương tích đối vói mọi đường tròn thuộc X, thì X là tập họp con của một chùm đường tròn nào đó

Chứng minh Theo giả thiết, đường thẳng đi qua A và vuông góc vói d

chính là trục đẳng phương của mọi cặp đường tròn thuộc X Từ đó suy ra

X là tập con của một chùm đường ttòn

Có ba trường hợp có thể xảy ra khi ta lấy một cặp đường tròn bất kì của một chùm đường ừòn, đó là: chứng cắt nhau, chúng tiếp xúc vói nhau và chúng không cắt nhau

a) Trường hợp 1 Hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) của chùm đường

tròn cắt nhau tại A và B (hình 10) Khi đó trục đẳng phương của chùm là đường thẳng AB Hiển nhiên khi đó mọi đường tròn của chùm đều phải

đi qua hai điểm A và B Một chùm đường tròn như thế được gọi là chùm

eliptic.