Phương pháp hàm số áp dụng giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình... Phương trình vô nghiệm.. Chứng tỏ hàm số f{t đồng biến.. Đến đây ta giải như ở phần trên x Giải... Chú ý : Các em có nhận xét gì không khi tôi giải như trên.. Bây

GIOI THIEU VA TUYEN CHON

Đón xem Phần 3 của Phương pháp Hàm số giải Hệ phi

=fo)2fD= Ff (y= (2x? —3x +4)(2y? —3y +4) > 18

TH2 x>2 hận bàn 2 3910 ]Y bŸ 2 và nghiệm y`=4y+4=0 v.2

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Giải

Điều kiện : x> 2 Nhân hai về của (2) với 2 sau đó lấy (1) trừ cho nồ ta có hộ:

l6, ny8In0xrlBr] ° y) xây +y+3=(V2x=1) +2V2x-1-4y

4x? -22x418=4y

©(r-1)(r-3)( +4:+4)=0

TT =(2)=(E9)

'Vậy hệ có hai

Giải

2 yl 2

Stayt ytlede ety oa ua 241

Hệ : © 2 > eo $ x „ thì hệ trở thành :

x(x+y'~2y°~2=7x

3

(r+ yy -22 4! x vexty

=4-y =á-y

v?=2(4-v)-7=0 |v? +2v415=0

ytl=x [y+y-2=0 :y)=(2:1).(5:~2)* Với :

3 [ee

HỆ vô nghiệm

# Với: v

9

Ww

v

() @ x'~In( Vx? +1-x)=-y" +1 (5) ma

ex'=h(Vx`+1=x]=Cy)'=(ÍCy)+1=Cy)}

f)=3t Ta

=>f đồng biến trên R

Vay () @ f(x) =f-y) x =-y

Thay vào (2)=> x? +x =(x +2)

{ore

>0,VteR

(x? +x)? =(x?=2x +3)

KL: nghiệm hpt: (1+

x+va? +4)(y+ fy? #1)=2

Gye)

12y?-10y+2=29 41

(+24)s+°]=2 @

12y2~10y+2=2WW`+1 @

Ta có: (1) csx+3? +4 =v[2y) +4+(—2y) Œ9

Giải hệ phương trình

3x°+5x+2=2Ÿx`+l

o(xtl) +2(xt1)=(0 +1) 420 +1 Œ9)

Xét hàm số gứ)=/+2z ta thấy g(Q đồng biến trên R nên từ (**) suy ra

winder"

7Jx#1=1= y(Jx+1+1)

(x4l)y? + yt] = 130+

Điêu kiện: x>-l,x, ye Ì

PT (1) (7-y)Vxtl= y+

trình)

Thay /x+ 4

Giải hệ: |

o y=7 không là nghiệm của phương

lương trình:

1 ey (ytl) +y(y41)(7-y)=13(y4 1) -(7-y)°

<= (y=1)(y-3)(y? +5y+12)=0 =f)

Với iy y=l=x=-= x=-5

Với y=3=x=0

Hệ phương trình có 2 nghiệm (x; y) là (2:03)

Ta kí hiệu các phương trình trong hệ như sau:

x=y2=x+2y? =2 (1)

2(Vx+2~4y)+8Jyy+2y =34~15x(2)

wk ae -2<x<2

Điêu kiện: iêu kiện: {rs +

V2=x=y

V2-x=-2y"

+ V6i J2—x=y thay vào (2) ta được

2(dx+2-4/V2~x)+8Ï4—x

Đặt ¿=vx+2—4\/2—x =f? =34—15x—8vJ4—x”

Khi đó (3) trở thành 2 =: = ; ©°

()©2-x+2~xy-2y` -oe[

+ Với 42—x=-2y Vì y30-2y 2- x>0 nên chỉ có thể xảy ra khi x=2

và y=0 thử vào (2 Hỏâmãn

30

T1 x=2

Kết luận: Héph h ai nghiệm: và

Giải hệ phương trình

Điêu kiện: x>0,1<y <6, 2x+3y-=7>0 (*)

'Nhận thấy fr không là nghiệm của hệ phương trình— Jy—1+Vx +0

Khi đó, PT() > x(y-I)-(y-1 =

y-I-x

Vy-t+vx

1

©(x-y+l)|y-l+-———= |=0

€>x=y+I=0©y=x+1 (đo (9))

=G-)Œ-y#l)=

Thay vào PT (2) ta được: 3V5—x +35x~4=2x+7 ĐK: 4/5<x<5 Œ9)

©35~x~(T~x)+3(\J5x~=4—x)=0 H-5N XỶ | 445x—x') _

ep

3J5-x+(Œ-x) v5x-4+x

=cseses°|

1

3VS-x +(7=,

<-x? +5x-4=0 (do (**

+ =y=

x=4 =y=

'Vậy nghiệm của hệ phương trình là

Giải hệ PT f

DKXD vx

)=9s yor]

Với y=x” +1 thay vào PT thứ 2 ta được

3(22+1)(2+f9a2+3)+(4ˆ+6)(VI+x+x +1)=0 Dễ thấy PT vô nghiệm

Voi y= thay vào PT thứ 2 ta được 34(2+/9xˆ+3)+(4x+2)(ÝI+x+xÝ +I)=0

2 3x(24 vox" +3 ox +3)= ~(2x+1) IW+(axeD” 3+(2x+1)” +2)

2 3x(24- Vox" #3) =(-2x- (bry 34(-2x-1)° y +2)

e

VO +2 >0 suy ra hàm số đồng biến

Xét hàm số ƒ@)= ie +2+2) ta có ƒ'Œ@)=xÏ2+2+2+

Từ đó suy ra 3x=-2x~lex==e Vậy HPT có nghiệm (s)=[

y>-I

0) SE ##-( +2) [H02 Sm

Điều kiện: |

gen) er my

°41>0vre] suyra f(t) dong bien trén 0 Nén

y+1 Thay vao (2) ta được 3x?~8x—3=4xVx+l

{ x21

©(2x-1 =(x+2Vx+lÌ © oray fealty Te [2b Ầ _

9x? -10x-3=0

3

Ta có y=-Ï—-I

, x+l

Với x=3+25 Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện = y = Với x — = _

KL: Hé phuong trinh có hai nghiệm (x:y) -[sta5 +38)

& (oy (28, “|, ‘

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARRIT

xey=atta [(xcy)(w#y=D)=0

92-2! =x-y | -2 'sx-y

«_ Khi x=y, thì x=-I Vậy nghiệm: :

© Khix+y=l, (2) có nghiệm hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0)

Chú ý : Tại sao ta khong dura cl ạ = y? — y, sau đó xét hàm số

x phương pháp giải phương trình mũ Phương trình có dạng :

x 2 x

b-a

Do đó phương trình trở thành ; 2° ~2° Ta nh

Xét hàm số : 7()=#+š=7'()=# I2+2.>0Yr£R suy ra ham f(t) đồng biến trên R Do

-x "

vậy để xây ra f(b)=fa) chỉ xây ra khi a=b re» TT „ Í— 2X „1 x2 =1—2y XE x

©>3)~2x=0— x=2 (vì x khác 0) và ya 22-3 4(xy)=(2-3)

Chú ý : Vì ta sử dụng được phương pháp hàm số vi a,b thuge R

2° -12xy +20y? =0

In(I+x)~In(I+y)=x=y ` [In(I+x)= Oo

Từ (2) : In(I+x)~(x+1)=Ind+ y)~(y+1)

Hàm số đồng biến với mọi tthuoocj (0;

Cho nên ta phải sử dụng phương pháp "

© - Nếu thay vào (2):

x=2y

Giải

x`~3ˆ =y`~3y~2(1)

log,|X=? |+iog,Í*=l]=(x-3Ÿ (2) * y= 1 "\ư-2 = =()©x`~3*+Ì+3x~l= y`~3y+3x—3

©(x-UJ =y`~3y+3(x—1)©(x-1`~3(x-1)=y*~3y(*)

Đặt : x-l=t suy ra (*) trở thành : r`— y`~3(r= y)=0(r— y)(P +iy+ y?~3)=0

+/ Trường hợp chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+l, x-2=y-1 9 22 yo

Thay vào (2) ta 66 : log, 1+log, 1=(x-3) >(x-3)' =0.& x=3 Do đó nghiệm của hệ

phương trình là : (x;y)=(3;2)

+/ Trường hợp : f? +iy+ y°~3=0©(x=2+1) +(x~2+1)y+ y~=3=0

c©(x-2}`+(2+y)(x-2)+y°+y~2=0

Giải 2x2y+y =2 2+ x6 2(y— x2 Ì+ về (2Ÿ

| yty =2x 42° 2x (y v)ty (x = Pe yt yx? +x) =0

yet =(x+1))

o (x+2)fy4T=(xH1) ~ |(x42) yet = (2+

~Trường hợp 1: y=x°, thay vào (2) :

(x+2)Vx? +15 (x7 +142x) or? -(x4

=A,=x'~4(2x” +aỷ

=ƒ(y)=23+y +, y Phương trình vô nghiệm

B;3).(3:3)

3

- Chia 2 về phương trinh (1) cho x'zo=()e2(>)2{>) =2x+xỶ xJ (x

- Xét hàm số : ƒ(?)=2t+?” = ƒ'()=2+3¡” > 0Vr eR Chứng tỏ hàm số f{t) đồng biến Để

phương trình có nghiệm thì chỉ xảy ra khi: 2 = x > y= +” Đến đây ta giải như ở phần trên x

Giải

2+6y=Š-Jx=2y x-2y-wjx=2y~-6y)=0- |(|x=2y+2y)(Wx=2y-3y)=0

Í¿+(x=2y =x+3y~2 yet y =xt3y~2 vx+vjx=2y =x+3y~2

<0

- Trường hợp l: jx=2y =-2y œ{” x-2y=4y vị

Thay vào (2) ©x[x~2y =4y?+5y~2©>~-2y=4y?+5y~2=—=4y?+7y~2=0

>0 >0

- Trường hợp : {em x-2y=9y? ” |y=9y? +2y of} (*)

Thay vao (2): & y9y? +2y+3y =9y? +2y+3y-2< Oy?

=9y" t=2

= aby s2 | ›

P-1-2=0

Vay hé có nghiệm : (x; y)= ny hố

“Ta xét hàm số f() =>ƒ'()=2+1>0vz >0 Chứng tỏ f() là một hàm số đồng

biến , cho nên ta có : y=x©y=x°-x.Œ9

Thay vào (1) :

¬ "an

erty Sele e+(s?-2) + x —=le@#'=Itsl(=lJ)+2(x=l)=0

oe Dfertee (e142) —— —-

Thay vào (*) : h= x=ly=0

Chú ý : Các em có nhận xét gì không khi tôi giải như trên Bây giờ tôi nêu thêm hai cách nữa

đề các em kiêm nghiệm nhé :

Cách 2

Đặt : x®y=y=v=(I)extty2+-T? = 1es (xt y) 2 2 1

eo =2y4 a1 ou -u— 20+ 2v=0 uw? =1)=2v(u=1)=0 (w=1)[u(u+1)-2v]=0 u

w+u-2v=0 (x+y) +(x+y)-2ay=0

* Néu xty=I thay vao (2) ta duge :

Giải

„_ Sink

Từ :, siny 0 ơi

38x +3+1=6(2y2—2y+1+8y(2)

Ø” siny sinx siny

~ Chứng tỏ hàm số f(t) luôn đồng biến Phương trình có nghiệm khi x=y

- Thay vào (2) : 38x” +3+1=62x°)~2x+1+8xc>3v§x” +3+1—62x)=2x+1=8x—1 9(8x° +3)-36(2x? -2x+1) 9(8x~1)

3V8x7 +3 +6V 2x7 -20+1

eo ly fae = c 8

3V8x° +34+6V2x° -2x+1=9 8x2 43 +2N2

- Với xen =(x2)*[ Ga): 8 818

vex? 43 > V3 eo

- Ta có : với ve( 002) sy => 8x2 +3422 —2x41>3

- Vậy hệ có nghiệm duy nhất ¢ (x;y) =

Giải

Từ (x+view [miei yan (iF )=(r OY) nan tên to

xf6x—2xy +1 =4ayt 6x41 x 6x-2xy +1 =4xy+ 6x41

lee +t ete

Vie? VPs] Vier

Chứng tỏ hàm số déng bién Dé f(x)=f(-y) chi xay ra x=-y (*)

- Thay vao phuong trinh (2) :

2 > | V2? 46x41 =3

NOTRE = wort BF VBI-3) =% | Tư

Xét hàm số : ƒŒ@)=r+1+?? = ƒ'Œ)=1+ >0VreR

V2x? +6x4+1=-2x

x20 x20 + Tường họp: ý VET =x | =f =>x=ly=-l

2x? +6x+1=9x° 71x -6x-1=0

x<0 x<0

* Trường hợp : V2x” +6x+l=~2x© ng prvevsn * [»-ee Hư ¬

= My tT ay npc ha nghigm (xyU-1 wi, Wi,

Giải

(&°+1)x+(y~3)N5=2y =0(1)

| +»?+2/3-4x=7 (2)

-PT(): 4x`+xz=~(y~3)x5~2y (3) Đặt r =j5~2y =

3

o

- Khi đó @): 4` +x= C” œ (2x)`+2x=f ©

~ Xét hàm số : f(u)=w` + = ƒ '(w)= 0

fx)=fW) chỉ xảy ra khi : 2x=t < 2

luôn đồng biến Do đó để

492 = 5-2y œ2y=5—4x2 (4)

Ix -7=0 ;e|ni] -Ta thấy x=0 và x-3 4 4

=—==1#(4 -3) -^—= <0vxe (s3) Bax 4

ấy , thay vào (4) tìm được y=2

Giải :

Vax+2+2y +4 =6 (2)

- Điều kiện : y >zx>-2(9

- Đặt : Từ (2): 4x+2y+6=36 2x+ y=l5=2x+I=l6-y

- Tử (1):Đặt: y~2=r=y=2+2©2y~3=2(/?+2)~3=2/2 +1

- Cho nên về phải (1) : <> (2? +1): =2r`+r ©(1):2(x+1)Ì+(2x+1)=2ˆ+r

- Xét hàm số : ƒ (w)=2w` +w = ƒ '(u)= 2° +1> 0V e R Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến

Dé f(x)=f{t) chỉ xảy ra khi : x=t

_31-53

offen fer eo pes eo ye 2

2x+y=l5 15-y=Jy-2 |9 Ì-3ly+227=0 =

2) ; 1-53

>IŠ

- Vậy hệ có nghiệ

x'+2x-y—

2

Từ :

yi +4x+1+In(y? +2x)=0(2)

- Diéu kién : y* +2x>0(*)

- Phương trình (1): <> 2(x° +2x)

-Do: xỞ+2>0—>2x=y+IŒ

©2x(x°+2)=(y+1)(s° +2)

- Mặt khác : f(-L)=t

Từ [eee =0 (1)

4x° -8x+2y° +? -2y+3=0(2)

~ibukign: x25

-Từ (1): (8x=3)V2x=I= y+4y°(*)

- Đặt: r=2x—I=>2x=/ˆ+1e(8x~3)6J2x—T =[ 4Á +1)~3]+=(4 +1) =e +r

- Do đó (#): 42+r=4y°+y

- Xét hàm số : ffu)= 4#` +w => ƒ '(w) =12w2 +1 >0Vw e R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do đó phương trình có nghiệm khi : f(t)=f(y) ©v2x—1= y>2x= y +1)

~ Thay vào (2) : (y? +1) —4(y?+1)+2y' + y*-2y+3=0 y'+2y*—-y*-2y=0

= y(y +29? —y-2)=0 y(y=1)(y? +3y+2)=0 y(y=1)(y+2)(y+1)=0

sw fel castes} (2%, ofp stone

=0=3Ìy+2x=l©xŸy=l~2x

1 1

2x)

- Cho nên (3) 2" =2” =2(b~a) © 2" +2a=2"+2b

- Xét hàm số : f()=2' +2: = ƒ '(?)=27 In2+2 >0Y/ e Ñ Hàm số đồng biến , vậy phương trình

có nghiệm khi và chỉ khi : a=b , tức b-a=0 , hay : — „ Thay vào (*) ta tìm được

Giải : Tir:

(I+4**)#'*° =142°""'(1)

y`#4x+I+In(y? +2x)=0(2)

+42

~ Phương trình (1) : No 545.4" =5" +2.10" (a= 2x-y)

say

a os 4a digas qa _ ga

$95" +2.10" —54" =5 > f(a)= 35" +Z10"—4" -1=0

- Xét: #)=s5 In5+ 107'In10=4 ina of > 210 In m4)

- Chứng tỏ hàm số đồng biến Mặt khác : f(1)=0 , đó cũđổlà nị tất của phương trình

~ Với a=l suy ra 2x-y=l , hay 2x=y+l Thay vào (2) => y' + (9?+y+))=0©

= ⁄6)=y`+2y =y)+2y+2+In(y°+y+l1]=0= (2+y+Ð) 4 = 2+ Syn” #

2

2y+l

- Xét: et: g(y) vươn = #0) gi!

1 "

y>-s>ƒ(

y<-

- Chứng tỏ f(y) Ấ(-1)=0 suy ra y=-1 là nghiệm duy nhất của PT

- Kết luận : hệ :y)=(0:- 1)

Giai

Từ 2)

[I*0-z)]\W2=x=[1+(2y~0]2yJ2y=1e(W2=x) +5=x=(W2y=1) + J2y=1

Ta xét hàm số : ƒ()=r`+r = ƒ') =3” +1 > 0Vr e R Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến trên R

Do đó đề ƒ(V2=x)= ƒ(V2y 1), chi xay ra khi: J2—x = J2y—1 +37 x=3-2y

Thay vao (1)

x -(3-x) +150 ¥ +x-2=0(x-1)(x° +x+2)=05 x=1; y=3-1=2

Giai

Hệ lều +8xy =2(x+ Wer) fe) + 8xy =2(x4

x -y=/xt+y x +x=(y+x)+

Từ (2) :

t=vjx+y>0=x +x=/?+t©x)~/?+(x=t)=

+/ Trường hợp : x=t © ÍX + y =x<©®

thay vào (1) xf +8(x” -x)x=2y?

«© x°+8§x`-8x? =l6x?)+2x`—2x

+8x° —8x° =2x)[8+x`—xẺ |

§x`—24x? =0

x=2y=2

)(x+2)(x`~2x+6}=0|x=-2— y=6

x? -2x+6=0

Vay hé co nghiém¢ an

+/ Trường hợp : Ve my=-el)e]

x+y=+ +2x+l y=x +x+l

(1) <>(x+ y) +8xy = +y)+2xy(x+y)<>(x+ y) —16(x+ y)+8w~2xy(x+ y)=0

c©(x+ y) —l6(x+ y)+2xy[4-2(x+y)]=0

Thay vao (1): (x +1)" +8x(x” +x+1)=2(x+1) [ 84x(x° +x+1)|

(x+1)" +8x(x7 +x41)=2(x+1) [8+ x(° +x4+1) |