Hệ phương trình Đặng Việt Hùng

Trong chương trình Toán học bậc trung học cơ sở, phổ thông trung học, mảng Toán về phương trình, hệ phương trình là một nội dung cực kì quan trọng, phổ biến trên nhiều dạng toán xuyên su

CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ 1 VIỆT NAM

§ÆNG VIÖT HïNG

BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Khóa luyện thi 2015 – 2016

LỜI NÓI ĐẦU

Các em thân mến !

Trong chương trình Toán học bậc trung học cơ sở, phổ thông trung học, mảng Toán về phương trình, hệ phương trình là một nội dung cực kì quan trọng, phổ biến trên nhiều dạng toán xuyên suốt các cấp học, cũng thường thấy trong các bài thi kiểm tra chất lượng học kì, kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng…với hình thức ngày càng phong phú, đa dạng

Mặc dù đây là dạng toán quen thuộc, chính thống nhưng không vì thế mà giảm đi phần thú vị, nhiều bài toán cơ bản tăng dần đến khó, thậm chí rất khó, với các biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kĩ năng vẫn

sẽ làm nhiều học sinh phải lúng túng

Nhằm giúp các em bớt sợ hãi khi đứng trước các bài toán về phương trình, hệ phương trình, cũng như hiểu

được những nguyên lí cơ bản để xây dựng nên các bài toán, MOON.VN và thầy kết hợp xây dựng khóa

học

CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đây là khóa học hoàn toàn miễn phí dành tặng cho Mooners và tất cả các em học sinh trên khắp cả nước khi tham gia vào hệ thống học trực tuyến Moon.vn

Cuốn sách này bao gồm một hệ thống các bài tập có lời giải chi tiết về phần phương trình, là học liệu giúp các em khai thác tối đa khóa học

Các phương pháp, kĩ năng giải toán, các ví dụ minh họa đã được thầy trình bày trong các bài giảng của khóa học, các em hãy truy cập Moon.vn → Khóa Chinh phục PT và hệ PT để hiểu rõ hơn nhé

Để có một tài liệu phong phú, đa dạng về bài tập thầy xin chân thành cảm ơn đội ngũ Mod Toán của Moon.vn đã cùng thầy biên soạn, viết lời giải cho các bài tập ở khóa học cũng như trong tài liệu này

Cảm ơn anh Lương Tuấn Đức, anh Lê Văn Tuấn, anh Vũ Văn Bắc, anh Nguyễn Thế Duy, anh Trịnh

Anh Dũng…

Chúc các em hiểu được cặn kẽ mọi bài toán trong cuốn sách này, đó thật sự là một điều tuyệt vời !!!

Câu 1 [ĐVH]: Giải phương trình 3 2 ( 2 )

x + x − x+ = x + +x x− +

Lời giải:

PT ⇔ x − − x + +x x− + x − x+ − =

2

2

2 15

2 10 5

x x

x x x x

x x

( 2 ) ( )( )

2

5

x x x

x x x

x x x

−

2

x x x

x x x

Với ĐK: x≥1 ta có: ( 2 )

2

x x

x x x

Do vậy PT( )1 ⇔ =x 5 ( )tm

Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất là: x=1

2

Lời giải:

4

2

2

( )

2

4

2

x

x x

=







VT x    x 

Do vậy PT(2) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x=4

Lời giải:

ĐK: x≥3 Khi đó ta có: PT ⇔ 2x+1( 2x+ − +1 3) ( 3x+ − +4 4) x−3( x− − =3 1) 0

0

x x x x x

x

Do đó: ( )2 ⇔ =x 4 là nghiệm duy nhất của PT đã cho

Lời giải

3

x≥

Phương trình đã cho tương đương với

2

3

− + nên ( )1 ⇔ − = ⇔ =x 2 0 x 2

Kết luận phương trình ban đầu có duy nhất nghiệm x=2

x

x x x x

Lời giải

5

x≥ −

Phương trình đã cho tương đương với

( )

1

x

= −





Ta có

6

x= −

2x+ −3 x+ +4 2x +3x=5 x∈ℝ

Lời giải

2

x≥ −

Phương trình đã cho tương đương với

2

1

x x

2

Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x=1

x

x

x x x x

−

Lời giải

2

x

+ > + >



⇔ > −



Phương trình đã cho tương đương với

( )( )

3

2

2

2

2

2

1

x

x

−

+ +

Chú ý rằng

2

2

2

2

0,

2

x x

x x x x x x

x

x

+ + +

Do đó (1) có duy nhất nghiệm x=1

x

Lời giải

3 x

2

2

2

2

10

0

5

2

x x x x

x x x

x x x x

x x

x x x x x

x x x x

=





Dễ thấy 5 x2+ + +x 4 5 3x+ +4 x2 = >0 0với 4 0

3 x

x x x x x x

Lời giải

ĐK: x≥1 * ( ) Khi đó ( )1 ⇔ x− − +1 1 2( x+ − = −2 2) (x 2 2)( x−1) x+3

1 1

+ −

− −

x x

1 2

x

x x và (2x−1) x+ ≥3 (2.1 1− ) 1 3+ =2

( ) 1 2 1 2 ( )

Do đó ( )2 ⇔ =x 2 Đã thỏa mãn (*)

Lời giải

*

3

≥ −

x Khi đó ( )1 ⇔ 3x+ − = +1 2 (x 8) ( x+ −3 2)

3

≥ −

x áp dụng BĐT Côsi ta có

+

x

x

x

Do đó ( )2 ⇔ =x 1 Đã thỏa mãn (*)

x x x x x x x

Lời giải

Ta thấy x= −1 không thỏa mãn (2) Ta xét với nên x> −1⇒x+ x+ > − + − + =2 1 1 2 0

2 2

2

− −

2

2

+

x

Theo trên thì x+ x+ >2 0 nên với 1 2 1 1 2 1

x x x

x x

x x x x

2

+

x

x x

Do đó ( )3 ⇔ − = ⇔ =x 2 0 x 2 Đã thỏa mãn điều kiện đang xét x> −1

Câu 12 [ĐVH]: Giải phương trình 3 ( ) 2 ( )

x x x x x x x

Lời giải

*

2

≥ −

2

− −

+

x

2

≥ −

x áp dụng BĐT Côsi ta có

+ +

+

x

x x

x x

+

x

x x

Do đó ( )3 ⇔ =x 1 Đã thỏa mãn (*)

Lời giải

ĐK:

1 0

1

2 0





x

x

x x x

x x

− −

Với x≥1 áp dụng BĐT Côsi ta có

1 1

− +

x x x

x x x x

(4 1) 1 ( )2 2 2 (4 1) 1

Do đó ( )2 ⇔ x− = ⇔ =1 0 x 1 Đã thỏa mãn (*)

Lời giải

Đặt t= x+ ≥ ⇔ = −1 0 x t2 1, phương trình đã cho trở thành

( ) ( ) ( )

0

t t t t t t t t t t

t t t t t t

t t t t t t t

t t t t t t t

t

t

t t t

Với t≥0 thì dễ dàng ta thấy được

2

0

t t t

t t t

+ + + + , do đó phương trình ( )∗ tương đương với 2− = ⇔ = ⇔t 0 t 2 x+ = ⇔ =1 2 x 3 là nghiệm duy nhất của phương trình

Lời giải

2 2

2

2 2

x x x x x x x x x x

x

x x x

x x x x x x

x x x

=





+ +

Phương trình ( )∗ được viết lại thành

2

x x x x x x x x x

x

x x x x x x

≥ −





Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2

Lời giải

2

x≥ , phương trình đã cho tương đương với

( )

2

2 2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

0

0

0

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

+ − +

+ + +

+ + +

+ + +



 Với 3

2

x≥ thì

2

0

2

1

x x x x

x x

=

Lời giải

2

x



⇔ ≥



2

2

2

2

1

0

x x

x

x x

x

=







Dễ thấy, với 3

2

x≥ thì 1 2 2( 1)

0

x x

x

−

− + − + nên ( )∗ vô nghiệm Do đó PT có nghiệm là x=2

1

x

x

Lời giải

5

x≥ Vì x+ +1 5x− >1 0 nên phương trình đã cho tương đương với

2

5

Câu 19 [ĐVH]: Giải phương trình 2 2 5 7 ( )

1

x x

Lời giải

7

x≥ − Phương trình đã cho tương đương với

2

x x x x x x x

x x

x x x x

7

x + = x− + x− x∈ℝ

Lời giải

3

x≥ Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

x x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

3

Kết luận phương trình có hai nghiệm kể trên

2

x x

ℝ

Lời giải

4

x≥ Phương trình đã cho tương đương với

2

2

2

2

4

3x −13x+ =19 5x− +6 7x−5 x∈ℝ

Lời giải

5

x≥ Phương trình đã cho tương đương với

( )

2

2

2

5

Lời giải:

3

2 0

x x

x x x x

3

0

x

x x tm

x

= −



=

Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là: x=0;x= −1

Lời giải:

4

2 2

x x x x

x x

x x

x x

2

Với 3

4

3

x

x x tm

x

=



=

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x=1;x=3

Lời giải:

5

( )

2 2

x x x x

x x

x x

x x x

− + + +

2

− + + +

Với 5

4

x≥ ta có:

2

1 0

Do vậy ( ) 2 1 ( )

4

x

x x tm

x

=



=

Vậy PT đã cho có nghiệm là : x=1;x=4

Lời giải:

16

2

2

x x

( 2 ) ( ) 2 2 ( ( ) )

3

x

x x M x x x do M x

x

=



=

 Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x=2;x=3

Lời giải

*

3

1 ⇔x x− 3x− + +2 x 1 x+ −1 5x− −1 2 x −3x+ =2 0 ( 2 3 2) ( ) ( 1) (2 5 1) ( 2 )

( 2 3 2) ( 1) ( 2 3 2) ( 2 )

x x

x x x x

+

x

x x

x x x x

+

2

x

x x

x

=



=

 đã thỏa mãn (*)

2

x

x

=





Lời giải

*

8

1 ⇔ x+ −1 5x− +1 2x− −1 8x−7 = +x 3x −16x+12

( 2 ) ( ) ( )

2

2

− +

− +

x x x x

1 2 1

x x x x

2

x

x x

x

=



=

 đã thỏa mãn (*)

2

x

x

=





2x+ −1 3x− −2 5x− =1 x − +3x 2 x −2x+5

Lời giải

*

3

2

( )

x x x x

3

x+ x− ≥

2

3

x x x x

2

x

x x

x

=



=

 đã thỏa mãn (*)

2

x

x

=





x x− + x− + x − x+ x+ = x + x+

Lời giải

*

3

1 ⇔x x− 3x− +2 3 x+ −1 5x− =1 x − +3x 2 3x+2

( 2 3 2) ( 1) (2 5 1) ( 2 )

( 2 3 2) (3 2 3 2) ( 2 )

x

x x x x

3

x x

2

x

x x

x

=



2

x

x

=





Lời giải

ĐK: x≥1 * ( ) Nhận thấy x=1 là một nghiệm của (1) Ta xét với x>1

2

x x x x x x

x x x

x x

x x x x

− + −

− + + + +

( 3 2 ) 2 ( )

2

x x x x x

x x x

x x

x x x x

2

x x x x x

x x x

x x

x x x x

( 2 ) ( )

x

1

x

x x

x x x x

+

2

x

x x

x

=



=

Kết hợp với ĐK đang xét x>1 ta được x=2 thỏa mãn

2

x

x

=





Câu 32 [ĐVH]: Giải phương trình 3x2− + =x 3 3x+ +1 5x+4 trên tập số thực

Lời giải

5

x≥ − , phương trình đã cho tương đương với

2

3x −3x+ x+ −1 3x+ +1 x+ −2 5x+4 =0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

2

2

2

2

3 0

x x

x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x x x



 Với điều kiện 4

5

+ + + + + + nên ( )∗ vô nghiệm

Do đó phương trình có hai nghiệm là x=0; x=1

Lời giải

x x

( ) ( )

( )

3

2

2

x x x x x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x

x x x x





x

− >



Do đó phương trình có hai nghiệm là x=0; x=3

x

x

Lời giải

3

x≥ − , phương trình đã cho tương đương với

x

x x x x

x

( ) ( )( )

2

0

x x x

x

x x

x

x x

+

Với điều kiện ta có

1 0

2 0

x

+ >

trình ( )∗ trở thành ( ) 2 0

0

1

x

x x

x

=



=

 Vậy phương trình có hai nghiệm kể trên

Lời giải

16

x≥ , phương trình đã cho tương đương với

( ) ( )

2x+ −1 16x− +7 x + −3 x +3 3x+ =1 0

2

2

2 2

2

2

2

2

0

0

x x x

x x

x x x x x

x

x x

x x x x

x

+











Với điều kiện 7

16

x≥ thì

2

2

0

x

+

+ + − + + + nên ( )∗ vô nghiệm

Do đó phương trình có hai nghiệm là x=1; x=2

Lời giải

4

x≥

x x x x

x x x x

4

2

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm S= +{2 3; 2− 3}

Lời giải

7

x≥ Phương trình tương đương

2

2

2

7

x x x

S  + − 

Lời giải

11

x≥ Phương trình tương đương

2

2

11

x x  + − 

So sánh với điều kiện đi đến 11 85 11; 85

S  + − 

x

−

Lời giải

5

x≥ Phương trình tương đương

( )

( )

2

2

1

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

x x x x

5

x

x x

S  + − 

Lời giải

3

x≥ Phương trình đã cho tương đương với

( ) ( )

2 2

2

2

Ta thấy

2

0,

3

2

2 3

x x

x x



≥

Kết luận bài toán có nghiệm duy nhất kể trên