hệ phương trình trong những kỳ thi tuyển sinh đại học gần đây theo chiều hướng khó dần lên. Nó có những bài toán không đơn giản đối với học sinh dự thi tuyển sinh đại học. Mà trong khung cấu trúc đề thi của Bộ giáo dục và Đào tạo, cũng gắn liền với việc giải bài toán này ở những câu khó hơn. Mang trong nó nhiều kỹ năng tính toán và phương pháp giải không đơn thuần như hầu hết chúng ta đã học ở hệ phương trình lớp 10.Do đó, chúng tôi viết riêng quyển sách này như một vấn đề then chốt. Những vấn đề có thể nói là chuyên đề phục vụ cho các em luyện thi tuyển sinh đại học. Cũng chính vì điều này, các hệ phương trình cơ bản, cơ sở đơn giản trước đây chúng tôi không trình bày ở đây. Chẳng hạn: Hệ phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với ẩn, Hệ phương trình đối xứng loại I đối với ẩn, Hệ phương trình đối xứng loại II đối với ẩn, Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai đối với ẩn. Mà nó được xem kẻ vào những bài toán trong tài liệu sau chúng tôi trình bày. Bởi sau khi dùng những phép biến đổi mà các em sắp được học sau thì chúng ta sẽ chuyển nó về những hệ phương trình đơn giản hơn rất nhiều mà tất cả chúng ta đều có thể giải được.
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Giải hệ phương trình
Lời giải
ĐK: x≥4 (*)
Nhận thấy y=0 không thỏa mãn (1)
Với y≠0 thì (1) 2x x 4 163 2 9 x 4
y
( 3 3) ( ) ( ) ( 2 2)
⇔ − + − = − + + + = ( ) ( )2 2 2
1 0
4
⇒ + = ⇒ =
+
( )( )
3
t
t
=
= − ⇔ − − = ⇔ = −
Kết hợp với t≥2 2 ta được t=4 thỏa mãn ⇒ x+ +4 x− =4 4
( )2 2
5
16 8
x
≤ ≤
− = −
Đ/s: ( ) 2
3
=
Câu 2: Giải hệ phương trình
Lời giải
ĐK: 3− ≤ ≤x 3 (*)
Nhận thấy y=0 không thỏa mãn (1)
Với y≠0 thì (1) x 3 x 13 3 6 3 x
⇔ + − = − +
CHINH PHỤC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Đặt 1 ( 2 ) 3 3 3
y
= + = ⇒ − − = − ⇔ + = +
( 3 3) ( ) ( ) ( 2 2)
⇔ − + − = ⇔ − + + + =
⇔ − + + + = ⇔ =
3
⇒ + = ⇒ =
+
x
−
( )( )
15 3x 6 3 x 3 3 x 4 3 x 3 x
⇔ + − − = − − + − (3)
( )( ) 2
15 3x 4 3 x 3 x t
Khi đó (3) thành 2 0
3
3
t
t t
t
=
= ⇔
=
(4) Với 3− ≤ ≤x 3⇒t= 3+ −x 2 3− ≤x 3 3+ + <0 3
Do đó (4) ⇔ =t 0⇒ 3+ −x 2 3− = ⇔x 0 3+ =x 2 3−x
( )
− ≤ ≤
Đ/s: ( ) 9 30
5 12
x y
=
Câu 3: Giải hệ phương trình
6 12 16 0
Lời giải:
ĐK: 2− ≤ ≤x 2; 0≤ ≤y 4 Xét PT(1) ta có: 3 3 2
x − x= y − y + ( )3 ( )
3
⇔ − = − − − Do 2− ≤ ≤x 2; 0≤ ≤y 4 nên x y; − ∈ −2 [ 2; 2]
f t = −t t t∈ − ta có: ( ) 3
12
f t = −t t
' 3 12 0 2; 2
Do vậy f x( )= f y( − ⇔ = −2) x y 2 thế vào PT(2) ta có:
( 3)( ) 0 3 ( ) 2
4
Trang 3Vậy HPT đã cho có nghiệm duy nhất là: ( )x y; = −( 2; 2− 2)
Câu 4: Giải hệ phương trình 3 ( 2 ) 3
− + − + =
− − − = + −
Lời giải:
ĐK: x∈ −[ ]1;1 ;y∈[ ]0; 2 Khi đó xét PT(1) ta có: 3 3 2
x − x= y − y − +y
( )3 ( )
3
⇔ − = − − − Do y∈[ ]0; 2 ⇒(y− ∈ −1) [ ]1;1
Xét hàm số: ( ) 3 ( [ ] )
' 3 4 0 1;1
Khi đó ta có : f x( )= f y( − ⇔ = −1) x y 1 thế vào PT(2) ta có:
PT ⇒x −x − −x = x + x− Đặt u= 1−x2 ta có:
x− u= x + x u− ⇔ +u x+ x − −ux u = ⇔ u+ x + x u+ x u− =
( 2 )( 1) 0 1 2 22
− = −
⇔ + − + = ⇔
+ = −
x
x
≤
=
1; 0
2 2 0
Vậy nghiệm của PT là: ( ) ( ) ( ) 1 1
; 0;1 ; 1; 0 ; ;1
Câu 5: Giải hệ phương trình ( ) 3 2
2 2
− − + = −
Lời giải :
ĐK : 4≥ ≥x 3;y∈[ ]0; 2 Ta có : 4− ∈x [ ]0;1 ;(y− ∈ −1) [ ]1;1
Xét hàm số: ( ) 3 ( [ ] )
' 3 3 0 1;1
1
y
≥
thế vào PT(2) ta có:
3x 7 x 3 2x 6x 3 0
⇔ − − + − − =
( )
3 0
Khi đó: ( )
2
7
x
≤
− + =
Trang 4
Vậy nghiệm của HPT là: ( ) 13 3
= +
Câu 6: Giải hệ phương trình
2
4
− = − + −
Lời giải:
Đk: 4x≥ ≥y 0;x≥3;x≥ y x; −3y+ ≥3 0
( )
Với y=4x−4 thế vào PT(2) ta có: x2− =9 3 x− −1 2
2
2
2
5
*
1 2
9 4
1 2
9 4
x
x x
x x
=
− +
Xét ( )* với x≥3 ta có:
2
1
9 4
x
+ ≥ + > >
− +
Do vậy PT(*) vô nghiệm
Vậy HPT có nghiệm duy nhất là ( ) (x y; = 5;16)
Câu 7: Giải hệ phương trình
+ + + + = − − −
Lời giải:
ĐK: 0; ( 1) 1 0;
2
y
x≥ ≥ x y+ + ≥ x≥ y
2
1 4 2 2 2
2
≥
+ =
( )
0; 0
1 2
= =
⇔
+ =
Với y+ =1 2x thế vào PT(2) ta có: ( 2 ) 2 3 2
4x +1 2x + = −1 x 6x − −x 17
4x 1 2x 1 x 1 3x 2x 16 0
⇔ + + − − + − − = ( 2 )( 2 ) ( ) ( )
2
1
MS
1
4
MS
Vậy HPT có nghiệm duy nhất là: ( ) ( )x y; = 2;3
Câu 8: Giải hệ phương trình
− − = + + − − +
− + + − + = −
Lời giải:
ĐK : 17; 2 1; 2 1; 2 2 2 8 0
21
y≥ x≥ +y x≥ y+ y − x+ ≥
Trang 5( )2 ( ) 2 2 ( ) 1 0 ( )
+ =
⇔ + − + + = − + ⇔
+ − = − ⇔ = −
Với y=2x−5 thế vào PT(2) ta có: y2− +y 2y2− + −y 3 21y−17=0
⇔ − + − − + − − − + − + =
2
2
− +
− +
1; 3
2;
2
= =
⇔ − + + + = ⇔
= =
Vậy HPT đã cho có 2 nghiệm ( ) ( ) 7
2
=
Câu 9: Giải hệ phương trình ( )
( )
2
1 1
x
x
+
Lời giải:
Điều kiện: x≠ −1;y>0
y
y
+
Phương trình ( )1 của hệ phương trình đã cho tương đương
xy y
x
+ + =
Với ( )2
y= x+ ⇒ x+ = y thay vào phương trình ( )2 của hệ phương trình ta có
1
= ⇒ = − + = + ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ − − = ⇔
= −
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( )x y; =( 5 1;5− )
Câu 10: Giải hệ phương trình ( )
2
2
−
+ = + + +
Lời giải
Điều kiện: 1; 1
2
x≠ − y> −
y
y
+ + − = + + ⇔ = + + ⇒ + >
Phương trình ( )1 của hệ phương trình đã cho tương đương
Trang 6( )2 ( )2 ( )2
2
xy y
+ + =
Với 4xy+2y+ = ⇔1 0 2y(2x+ + =1) 1 0 (loại)
y+ = x+ ⇔ x+ = y+ thay vào phương trình ( )2 của hệ phương trình ta có
2
y+ = y+ y+ + ⇔ y+ = + ⇔y y+ = y+ ⇔ y = ⇔ =y ⇒x= −
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ) 2 1
2
x y
−
=
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn