Luận văn nghiệm dừng của hệ phương trình g navier stokes

Những hiểubiết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokestrong miền mỏng 3 chiều tốt hơn rất nhiều trong miền 3 chiều tổngquát.Chính vì những lí do trên, lớp hệ phương trìn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Các không gian hàm và toán tử 6

1.2 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 9

1.3 Một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của hệ g-Navier-Stokes hai chiều 11

Chương 2 Nghiệm dừng của hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều 13

2.1 Nghiệm dừng yếu của hệ phương trình g-Navier-Stokes 13

2.1.1 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng yếu 14

2.1.2 Tính ổn định của nghiệm dừng yếu 17

2.2 Nghiệm dừng mạnh của hệ phương trình g-Navier-Stokes 19 2.2.1 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng mạnh 19

2.2.2 Tính ổn định của nghiệm dừng mạnh 23

Kết luận 25

Tài liệu tham khảo 26

Lời cảm ơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Đào Trọng Quyết, người đã chỉbảo tận tình và cho tác giả những nhận xét quí báu để tác giả có thểhoàn thành bản luận văn này một cách tốt nhất

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở Khoa Toán,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ tác giả trongquá trình học tập và nghiên cứu, giúp tác giả hoàn thành luận văn mộtcách thuận lợi

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, các bạn đồngnghiệp trường THPT Xuân Giang - Hà Nội, đã tạo nhiều điều kiệnthuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, cổ vũ, và tạo mọi điều kiện tốtnhất để tác giả hoàn thành khóa học của mình

Hà Nội, tháng 06 năm 2018

Tác giả

Phạm Thị Thu Hương

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Đào Trọng Quyết, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Nghiệm dừng của

hệ phương trình g-Navier-Stokes" được hoàn thành bởi chính bảnthân tác giả

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kếthừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biếtơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Phạm Thị Thu Hương

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuấthiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, khôngkhí, dầu mỏ, , dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúngxuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa họchàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, Mộttrong những lớp hệ phương trình quan trọng trong cơ học chất lỏng là

và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày càng trở nênthời sự và cấp thiết

Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, rất nhiều lớp phương trình

và hệ phương trình khác trong cơ học chất lỏng cũng thu hút được sựquan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học bởi ý nghĩa và tầm quantrọng của chúng, cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán họcđặt ra khi nghiên cứu chúng Một số đó là lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes, được đưa ra lần đầu tiên bởi Roh (xem [5, 6]) Hệ phương trìnhg-Navier-Stokes có dạng:

• Thứ nhất, về mặt toán học, hệ phương trình này là một dạng tổngquát của hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển, cụ thể khi g =const, ta thu lại được hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển Vìvậy nếu có một kết quả đối với lớp phương trình này, thì chỉ cần cho

g = 1, ta sẽ nhận được kết quả tương ứng đối với hệ phương trìnhNavier-Stokes Ngược lại, việc chuyển những kết quả đã biết đối với

hệ phương trình Navier-Stokes cho hệ phương trình g-Navier-Stokesđặt ra những vấn đề toán học lí thú

• Thứ hai, hệ phương trình g-Navier-Stokes 2 chiều xuất hiện mộtcách tự nhiên khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes 3 chiềutrong miền mỏng Ωg = Ω × (0, g), ở đó Ω là một miền trong khônggian 2 chiều, và các tính chất tốt của hệ phương trình g-Navier-Stokes 2 chiều sẽ giúp ích cho việc nghiên cứu hệ phương trình

Navier-Stokes trong miền mỏng 3 chiều (xem [5, 6]) Những hiểubiết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokestrong miền mỏng 3 chiều tốt hơn rất nhiều trong miền 3 chiều tổngquát.

Chính vì những lí do trên, lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes này

đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoàinước trong những năm gần đây

Những vấn đề cơ bản đặt ra khi nghiên cứu các phương trình và hệphương trình trong cơ học chất lỏng là:

• Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui của nghiệm: Nghiệm ởđây có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh Tính chính qui ở đây

có thể là tính chính qui theo biến thời gian, hoặc tính chính quitheo biến không gian

• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệmkhi thời gian t ra vô cùng Khi ngoại lực f “lớn”, chúng ta nghiêncứu sự tồn tại và tính chất của tập hút, đó là một tập compact, bấtbiến, hút của các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dángđiệu tiệm cận của nghiệm; còn khi ngoại lực f “nhỏ” và không phụthuộc thời gian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhấtcủa nghiệm dừng, tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, vàchứng minh nghiệm của hệ đang xét dần đến nghiệm dừng này khithời gian t ra vô cùng Đặc biệt, khi trạng thái của hệ phụ thuộcvào cả quá khứ của nghiệm thì ngoại lực sẽ xuất hiện thêm số hạngchứa trễ Trong trường hợp ngoại lực “nhỏ”, chứa trễ và không phụ

thuộc thời gian, dáng điệu tiệm cận của hệ cũng được nghiên cứuthông qua sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng Việc nghiêncứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán xuthế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điềuchỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn.

Với những lí do được phân tích ở trên, tôi chọn đề tài “Nghiệm dừngcủa hệ phương trình g-Navier-Stokes” làm luận văn thạc sĩ củamình

Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, được chiathành hai chương:

Chương 1 chúng tôi trình bày các không gian hàm, các toán tử dùng

để nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes

Chương 2 chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại, tính duynhất cũng như tính ổn định của nghiệm dừng yếu và nghiệm dừng mạnhcủa hệ phương trình g-Navier-Stokes

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định củanghiệm dừng yếu và nghiệm dừng mạnh của hệ phương trình g-Navier-Stokes

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm dừng;

• Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng đối với hệ phương trìnhg-Navier-Stokes.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm dừng (yếu, mạnh) của hệ phươngtrình g-Navier-Stokes

• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạnchiều, lí thuyết hệ g-Navier-Stokes

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn trình bày được các kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính

ổn định của nghiệm dừng yếu trong trường hợp miền Ω có thể không bịchặn và các kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệmdừng mạnh trong trường hợp miền Ω là bị chặn của hệ phương trìnhg-Navier-Stokes hai chiều trong [1, 4] Luận văn là một cuốn tài liệutham khảo tốt về nghiệm dừng của hệ g-Navier-Stokes hai chiều

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày các không gian hàm, các toán tửcần dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes, cũng như trình bày một sốkết quả bổ trợ và một số bất đẳng thức thường dùng để sử dụng trongchương sau của luận văn Các kết quả của chương này chủ yếu dựa theocác tài liệu tham khảo [1, 2, 4, 7]

1.1 Các không gian hàm và toán tử

Xét hệ g-Navier-Stokes hai chiều có dạng

Ω

|∇φ|2g dx, ∀φ ∈ H01(Ω) (1.2)

Hàm f thỏa mãn điều kiện f ∈ L2loc(R; Vg0) sao cho

g ∈ W1,∞ sao cho 0 < m0 ≤ g(x) ≤ M0 với mọi

Từ giả thiết (G) của hàm g, ta thấy chuẩn | · | và k · k tương đương vớichuẩn thông thường trong (L2(Ω))2 và trong (H01(Ω))2.

là cặp đối ngẫu giữa Vg và Vg0 Ta thấy rằng các không gian trên đều làkhông gian Hilbert

Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức H¨older

kuvkL2 (Ω) ≤ kukL2 (Ω)kvkL2 (Ω), ∀u, v ∈ L2(Ω),

và bất đẳng thức Ladyzhenskaya trong trường hợp n = 2,

|u|L4 (Ω) ≤ c|u|1/2|∇u|1/2, ∀u ∈ H01(Ω) (1.13)

Khi đó, nhờ sử dụng bất đẳng thức H¨older, bất đẳng thức Ladyzhenskaya

và bất đẳng thức nội suy, như trong [7], ta có

c1|u|1/2kuk1/2kvk|w|1/2kwk1/2, ∀u, v, w ∈ Vg,

c2|u|1/2kuk1/2kvk1/2|Av|1/2|w|, ∀u ∈ Vg, v ∈ D(A), w ∈ Hg,

c3|u|1/2|Au|1/2kvk|w|, ∀u ∈ D(A), v ∈ Vg, w ∈ Hg,

c4|u|kvk|w|1/2|w|1/2|Aw|1/2, ∀u ∈ Hg, v ∈ Vg, w ∈ D(A),

(1.14)trong đó ci, i = 1, , 4 là các hằng số phù hợp

Bổ đề 1.2 ([3]) Cho u ∈ L2(τ, T ; Vg) Khi đó hàm Bu xác định bởi

hBu(t), vi = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ Vg, h.k t ∈ [τ, T ] , (1.15)thuộc L2(τ, T, Vg0)

Bổ đề 1.3 Cho u ∈ L2(0, T ; D(A)) ∩ L∞(0, T ; Vg) Khi đó hàm Bu xácđịnh bởi

hBu(t), vi = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ Hg, h.k t ∈ [0, T ] , (1.16)thuộc L4(0, T ; Hg), bởi vậy cũng thuộc L2(0, T ; Hg)

Chứng minh Từ Bổ đề 1.1, với hầu khắp t ∈ [0, T ], ta có

|Bu(t)| ≤ c3|u(t)|1/2|Au(t)|1/2ku(t)k ≤ c,3ku(t)k3/2|Au(t)|1/2 < +∞

(1.17)

|Cu(t)| ≤ |∇g|∞

m0 ku(t)k, h.k t ∈ (τ, T ), (1.20)và

kCu(t)k∗ ≤ |∇g|∞

m0λ1/21

ku(t)k, h.k t ∈ (τ, T ) (1.21)

1.3 Một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của hệ

g-Navier-Stokes hai chiều

Để thuận tiện cho việc trình bày các kết quả đối với nghiệm dừng ởchương sau, chúng tôi trình bày lại một số kết quả về sự tồn tại và tínhduy nhất nghiệm của hệ g-Navier-Stokes hai chiều trong [1, 2, 4]

Trước hết ta nhắc lại các định nghĩa về nghiệm của bài toán (1.1).Định nghĩa 1.1 ([1]) Một hàm u được gọi là nghiệm yếu của bàitoán (1.1) trên khoảng (τ, T ) nếu u ∈ L∞(τ, T ; Hg) ∩ L2(τ, T ; Vg), với

u(τ ) = u0 và thỏa mãn đẳng thức sau với h.k t ∈ (τ, T ),

d

dtu(t) + νAu(t) + B(u(t), u(t)) + νCu(t) = f (t) trong V

0

g.Định nghĩa 1.2 ([2]) Cho f ∈ L2(0, T ; Hg) và u0 ∈ Vg, một nghiệmmạnh trên khoảng (0, T ) của bài toán (1.1) là một hàm u ∈ L2(0, T ; D(A))∩

L∞(0, T ; Vg) với u(0) = u0 và thỏa mãn đẳng thức sau với h.k t ∈ (0, T ),

d

dtu(t) + νAu(t) + B(u(t), u(t)) + νCu(t) = f (t) trong Vg.

Ta có các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu và nghiệmmạnh của bài toán (1.1) qua các định lí sau

Định lí 1.1 ([1]) Giả sử cho trước u0 ∈ Hg Nếu các bất đẳng thức (1.3) và giả thiết (G) là đúng, thì với bất kì τ ∈ R và T > τ cho trước,bài toán (1.1) có duy nhất nghiệm yếu u trên (τ, T ) Hơn nữa, nghiệm

(1.2)-là phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu và ta có đánh giá

trong đó  > 0 sao cho σ = 2νλ1(γ0 − )

Định lí 1.2 ([2]) Giả sử rằng f ∈ L2loc(0, ∞; Hg) và u0 ∈ Vg cho trước.Khi đó, với bất kì T > 0 tồn tại duy nhất nghiệm mạnh u của bàitoán (1.1) trên (0, T ) Hơn nữa, ánh xạ u0 7−→ u(t) là liên tục trên Vgvới mọi t ∈ [0, T ], tức là nghiệm mạnh phụ thuộc liên tục vào điều kiệnban đầu

Chương 2 Nghiệm dừng của hệ phương trình

g-Navier-Stokes hai chiều

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu nghiệm dừng yếu và nghiệmdừng mạnh của hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều (1.1), tức lànghiên cứu nghiệm yếu và nghiệm mạnh của bài toán dừng tương ứng:

2.1 Nghiệm dừng yếu của hệ phương trình

g-Navier-Stokes

Trong mục này, miền Ω được xét có thể là không bị chặn nhưng thỏamãn bất đẳng thức Poincaré (1.2), điều kiện (1.3) và giả thiết (G) củahàm g Phần này được viết dựa trên tài liệu tham khảo [1]

2.1.1 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng yếu

Trước hết ta có định nghĩa về nghiệm dừng yếu của bài toán (1.1) nhưsau

Định nghĩa 2.1 Cho trước f ∈ Vg0, một nghiệm dừng yếu của bàitoán (1.1) là một hàm u ∈ Vg thỏa mãn

ν((u, v))g + b(u, u, v) = hf, vi (2.2)với mọi hàm thử v ∈ Vg

Ta có kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm dừng yếu của bàitoán (1.1) qua định lí sau

Định lí 2.1 Với mỗi f ∈ Vg0, tồn tại ít nhất một nghiệm dừng yếu củabài toán (1.1) Hơn nữa, nếu f ∈ Hg, thì tất cả các nghiệm dừng yếuthuộc D(A) Nếu điều kiện sau được thỏa mãn

Pm : Hg → Vm

ν((um, wi)) + νb(∇g

g , u

m, wi) + b(um, um, wi) = hf, wii (2.4)với mọi v trong Vm Phương trình (2.4) cũng tương đương với

νAum+ PmBum + νPmCum = Pmf (2.5)

Sự tồn tại nghiệm xấp xỉ um của (2.4) được đảm bảo nhờ định lí điểmbất động Brouwer như trong trường hợp nghiệm dừng của hệ phươngtrình Navier-Stokes [7, p.164] Ta lấy v = um trong (2.4) và do (2.2), nên

um0 * u trong Vgvà

um0 → u trong Hg

qua một dãy con Qua giới hạn trong (2.4) với dãy m0, ta thu được u làmột nghiệm dừng yếu của (1.1) Nếu Ω là không bị chặn thì phép nhúng

Vg vào Hg không còn compact Tuy nhiên, khó khăn này có thể vượt quađược bằng cách sử dụng các lí luận như trong [7, pp.168-171]

Để chứng minh khẳng định thứ hai trong định lí, ta chú ý rằng nếu

b ∇g

g , u, u



m 2 λ 1)

kf k∗

kuk2 ≤ 0,

và do điều kiện (2.3) đúng nên từ bất đẳng thức trên suy ra u = 0, tức

kỳ của bài toán (1.1) với u0 ∈ Hg tùy ý và f (t) ≡ f với mọi t, thì

u(t) → u∞ trong Hg khi t → ∞

Chứng minh Đặt w(t) = u(t) − u∞ Khi đó, ta có

ν1/3|w(t)|2|Au∞|4/3 + ν

4kw(t)k2 + ν|∇g|2

∞

m20 |w(t)|2,trong đó ta đã sử dụng Bổ đề 1.2, bất đẳng thức |Au∞| ≥ λ1/21 ku∞k,bất đẳng Young, và

c02 = 34

ν = νλ1 − c

0 2

ν1/3|Au∞|4/3 − ν|∇g|

2

∞

m20 > 0, (2.9)thì (2.8) chứng tỏ |w(t)| giảm theo tốc độ mũ tới 0 khi t → ∞, tức là

|w(t)|2 ≤ |w(t)|e−νt, w(0) = u0 − u∞.Hơn nữa, vì u∞ ∈ D(A) nên ta có:

ν|Au∞| ≤ |f | + |Bu∞| + ν|Cu∞|

tỏ tính duy nhất của nghiệm dừng yếu nếu điều kiện (2.7) đúng.

2.2 Nghiệm dừng mạnh của hệ phương trình

g-Navier-Stokes

Trong mục này chúng tôi xét miền Ω là miền bị chặn trong R2 và giảthiết (G) là đúng Phần này được viết dựa trên tài liệu tham khảo [4].2.2.1 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng mạnh

Trước tiên chúng ta định nghĩa nghiệm dừng mạnh của bài toán (1.1).Định nghĩa 2.2 Cho f ∈ Hg, một nghiệm dừng mạnh của bài toán (1.1)

là hàm u∗ ∈ D(A) thỏa mãn:

ν((u∗, v))g + ν(Cu∗, v)g + b(u∗, u∗, v) = (f, v)g, v ∈ Vg (2.11)

Ta có kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm dừng mạnh củabài toán (1.1) qua định lí sau

Định lí 2.3 Nếu ngoại lực f ∈ Hg, thì bài toán (1.1) có ít nhất mộtnghiệm dừng mạnh u∗, và khi đó ta có ước lượng

v1, v2, của toán tử A Với mỗi m ≥ 1, ta đặt Vm = span{v1, v2, , vm}

và định nghĩa nghiệm dừng mạnh xấp xỉ um của (1.1) bởi

ν((um, v))g + ν(Cum, v)g + b(um, um, v) = (f, v)g, ∀v ∈ Vg (2.14)

Để chứng tỏ sự tồn tại của nghiệm xấp xỉ um, ta định nghĩa toán tử

λ1/21

|f |kuk

thì ta thu được ((Rmu, u)) ≥ 0 với mọi u ∈ Vm sao cho kuk = β Do đó,

áp dụng định lí điểm bất động Brouwer, với mỗi m ≥ 1 tồn tại vm ∈ Vmsao cho Rm(um) = 0, với kumk ≤ β Chọn v = Aum trong (2.14) ta thuđược

ν|Aum|2 = (f, Aum)g − ν(Cum, Aum)g − b(um, um, Aum)

trong đó  > 0 được chọn sao cho γ0 −  > 0 Bất đẳng thức này chứng

tỏ, {um} là dãy bị chặn trong D(A), và do phép nhúng D(A) vào Vg làcompact nên ta có thể trích ra một dãy con {um0} ⊂ {um} mà hội tụyếu trong D(A) và hội tụ mạnh trong Vg tới một phần tử u∗ ∈ D(A).Qua giới hạn trong (2.14) ta thu được u∗ là nghiệm dừng mạnh của bàitoán (1.1)

Để chứng tỏ ước lượng trong (2.12), ta thấy rằng nếu u∗ là một nghiệmdừng mạnh của (1.1) thì ta có

ν((u∗, u∗))g + ν(Cu∗, u∗)g = (f, u∗)g,

Do đó ta thu được ước lượng (2.12).

ii) Tính duy nhất: Giả sử rằng u∗ và v∗ là hai nghiệm dừng mạnhcủa (1.1) Khi đó, ta có

νhAu∗ − Av∗, vig + b(u∗, u∗, v) − b(v∗, v∗, v) + ν(Cu∗ − Cv∗, v)g = 0với mọi v ∈ Vg Chọn v = u∗ − v∗, ta có

νhAu∗− Av∗, u∗− v∗ig = b(u∗− v∗, v∗, u∗− v∗) − ν(Cu∗− Cv∗, u∗− v∗)g

ν

tỏ tính nghiệm dừng yếu điều kiện (2.7) đúng.

2.2 Nghiệm dừng mạnh hệ phương trình

g- Navier- Stokes< /h3>...

g- Navier- Stokes< /h3>

Trong mục xét miền Ω miền bị chặn R2 giảthiết (G) Phần viết dựa tài liệu tham khảo [4].2.2.1 Sự tồn tính nghiệm dừng mạnh

Trước tiên định nghĩa nghiệm dừng. .. class="text_page_counter">Trang 25

Định lí 2.3 Nếu ngoại lực f ∈ Hg< /small>, tốn (1.1) có mộtnghiệm dừng mạnh u∗, ta có ước lượng

v1,