NỘI DUNG ôn tổ hợp xác SUẤT

Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu.. Tính xác suất để tổng các chữ số của số đó bằng 10... Tính xác suất để trong 10 thẻ được c

Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

I KIẾN THỨC CƠ BẢN Chuyên đề: Tổ hợp & Xác suất

n A

n C

II BÀI TẬP VÍ DỤ Chuyên đề: Tổ hợp & Xác suất

1.2.2 Tính xác suất theo các quy tắc:

a) Quy tắc cộng xác suất

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì:

P AB P A P B c) Quy tắc nhân xác suất

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:

P AB P A P B

Ví dụ 1: Một hộp đựng 5 viên bi trắng, 3 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên 2 bi

a) Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi ?

b) Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi trắng ?

c) Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi trắng, 1 bi xanh ?

Ví dụ 2: Một hộp đựng 5 viên bi trắng, 3 viên bi xanh Lấy lần lượt 2 bi

a) Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi ?

b) Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi trắng ?

c) Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi trắng, 1 bi xanh ?

Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Ví dụ 3: Một hộp đựng 5 viên bi trắng, 6 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ Lấy ngẫu

nhiên 4 bi

a) Có bao nhiêu cách lấy được 4 bi ?

b) Có bao nhiêu cách lấy được 4 bi có đủ cả ba màu ?

Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho

trong mỗi số đều có mặt các chữ số 8 và 9 ?

Ví dụ 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau sao

cho chữ số đầu và chữ số cuối của mỗi số đó đều là số chẵn?

Lời giải

+ Chữ số đầu tiên là chữ số chẵn, khác 0 nên có 4 cách chọn

+ Chữ số tận cùng cũng là chữ số chẵn, khác với chữ số đầu tiên nên cũng có 4 cách chọn

+ Ba chữ số ở giữa có số cách sắp xếp là A83.

Suy ra số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 4  4 A83  5376 

♥ Vậy hệ số của số hạng chứa 12

♥ Vậy hệ số của số hạng chứa 8

x trong khai triển là 4

12 495

Ví dụ 9: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ

phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho Bộ phận kiểm

nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để 3 hộp sữa

được chọn có cả 3 loại (Khối A-2014)

Bài giải

12 220

C

♥ Gọi A là biến cố: “3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại”

Ví dụ 10: Từ một hộp chứa 16 thể được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ

Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn (Khối B-2014)

Bài giải

16 1820

C

♥ Gọi A là biến cố: “4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn”

Ví dụ 11: Có hai chiếc hộp chứa bi Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng,

hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1

viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu

♥ Gọi A là biến cố: “hai viên bi được lấy ra có cùng màu”

Ví dụ 12: Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên

gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để 4 học sinh được gọi

♥ Gọi A là biến cố: “4 học sinh được gọi có cả nam và nữ”

Ví dụ 13: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn

từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Chọn ngẫu nhiên 1 số từ S, tính xác suất để số được

♥ Gọi A là biến cố: “số được chọn là số chẵn”

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: A 3.6.5 90

Ví dụ 14: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt được chọn

từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Chọn ngẫu nhiên 1 số từ S, tính xác suất để số được

♥ Gọi A là biến cố: “số được chọn có mặt chữ số 6”

Ví dụ 15: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn

từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Chọn ngẫu nhiên 1 số từ S, tính xác suất để số được

♥ Gọi A là biến cố: “số được chọn có mặt chữ số 6”

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: A 12

♥ Vậy xác suất cần tính là A 12 1

A

Ví dụ 16: Cho tập hợp E1, 2, 3, 4, 5  Gọi M là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít

nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau thuộc E Lấy ngẫu nhiên một số

thuộc M Tính xác suất để tổng các chữ số của số đó bằng 10

Số các số thuộc M có 5 chữ số là 5

5 120.

A 

Số phần tử của không gian mẫu là: 60 120 120 300.

Gọi A là tập con của M mà mỗi số thuộc A có tổng các chữ số bằng 10

♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 60 120 120 300.

♥ Gọi A là biến cố: “số được chọn có tổng các chữ số của số đó bằng 10”

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: A 4! 2.3! 36.

Ví dụ 17: Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu

vàng Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó Tính xác suất sao cho 4 quả

cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu

“4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả

cầu màu xanh”

Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Ví dụ 18: Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3

nhà hóa học nữ Chọn ra từ đó 4 người Tính xác suất trong 4 người được chọn phải

♥ Gọi A là biến cố: “4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn”

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

Ví dụ 19: Có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ

Tính xác suất để trong 10 thẻ được chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ

mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 10

đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 10”

Ví dụ 20: Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen Chọn

ngẫu nhiên 6 quả từ hộp Tính xác suất để 6 quả cầu được chọn có 3 quả cầu

trắng, 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu đen

Lời giải

12 924

C

♥ Gọi A là biến cố: “6 quả cầu được chọn có 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đỏ và 1

quả cầu đen”

Ví dụ 21: Một tổ học sinh gồm có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ Chọn ngẫu

nhiên 2 học sinh đi chăm sóc bồn hoa Tính xác suất để 2 học sinh được chọn đi chăm sóc bồn hoa có cả nam và nữ

Lời giải

12 66

C

♥ Gọi A là biến cố: “2 học sinh được chọn đi chăm sóc bồn hoa có cả nam và nữ”

♥ Gọi A là biến cố: “3 viên bi được chọn có đủ cả ba màu”

Ví dụ 23: Một hộp đựng 8 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi

từ hộp trên Tính xác xuất để 4 viên bi được lấy ra có cả bi xanh và bi đỏ

Bài giải

Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

14 1001

C

♥ Gọi A là biến cố: “4 viên bi được lấy ra có cả bi xanh và bi đỏ”

Ví dụ 24: Có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ Người ta chọn ra một cách ngẫu

nhiên 4 học sinh Tìm xác suất để trong 4 học sinh được chọn ra có ít nhất 2 học

♥ Gọi A là biến cố: “4 học sinh được chọn ra có ít nhất 2 học sinh nữ”

Khi đó biến cố A là: “4 học sinh được chọn ra có nhiều nhất 1 học sinh nữ”

Ví dụ 25: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng (các viên bi có

kích thức giống nhau, chỉ khác nhau về màu) Người ta chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ

hộp đó Tính xác suất để 4 viên bi chọn ra không có đủ cả ba màu

Lời giải

15 1365

C

♥ Gọi A là biến cố: “4 viên bi chọn ra không có đủ cả ba màu”

Khi đó biến cố A là: “4 bi chọn ra có đủ cả ba màu”

♥ Vậy xác suất cần tính là A 1 A 1 48 43

Ví dụ 26: Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ thành một hàng

ngang Tính xác suất để có 2 học sinh nữ đứng cạnh nhau

Lời giải

♥ Số phần tử của không gian mẫu là: 5!

♥ Gọi A là biến cố: “2 học sinh nữ đứng cạnh nhau”

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: A 4.2!.3!

♥ Vậy xác suất cần tính là A 2

A

5

Ví dụ 27: Trong giải cầu lông kỷ niê ̣m ngày truyền thống ho ̣c sinh sinh viên có 8

người tham gia trong đó có hai ba ̣n Viê ̣t và Nam Các vâ ̣n đô ̣ng viên được chia làm

hai ba ̉ ng A và B, mỗi bảng gồm 4 người Giả sử việc chia bảng thực hiê ̣n bằng cách

bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả hai bạn Viê ̣t và Nam nằm chung mô ̣t bảng

♥ Gọi A là biến cố: “cả hai ba ̣n Viê ̣t và Nam nằm chung mô ̣t bảng đấu”

Ví dụ 28: Người ta phân chia một cách ngẫu nhiên 8 bạn học sinh Kì, Thi, Trung,

Học, Phổ, Thông, Quốc, Gia thành 2 nhóm, mỗi nhóm 4 bạn, để chơi trò kéo co Tính xác xuất để hai bạn Quốc và Gia ở trong cùng một nhóm

Lời giải

35 2

Ví dụ 29: Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau

lên bảng Tính xác suất để số vừa viết thỏa mãn trong số đó mỗi chữ số đều lớn

hơn chữ số đứng trước nó

Phân tích

Gọi A là biến cố số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số được viết ra thỏa mãn mỗi chữ số lớn

hơn chữ số đứng trước nó Khi đó

- Nếu (a  b c d)chia 3 dư 1 thì chọn e = 2 hoặc e = 5

- Nếu (a  b c d)chia 3 dư 2 thì chọn e = 1 hoặc e = 4

Như vậy với mỗi số abcd đều có 2 cách chọn e để được một số có 5 chữ số chia hết cho 3

Số các số dạng abcd lập được từ tập A là: 5x6x6x6= 1080 số

Số các số cần tìm là 2 x 1080 = 2160 số

Câu 2 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số

gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8 Giả sử số cần lập có dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6

 

, , 5 1; 2; 5

3 4 8

Câu 3 Cho tập A0;1;2;3;4;5, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ

số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3

4.A số Vậy số các số cần tìm tmycbt là: 2 3

5 4

A A - 3

4

Câu 4 Cho tập A= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau

chọn trong A sao cho số đó chia hết cho 15

Nhận xét: Số chia hết cho 15 thì chia hết 3 và chia hết 5

 Các bộ số gồm 5 số có tổng chia hết cho 3 là: (0; 1; 2; 3; 6), (0; 1; 2; 4; 5), (0; 1; 3; 5; 6), (0; 2; 3; 4; 6), (0; 3; 4; 5; 6),(1; 2; 3; 4; 5), (1; 2; 4; 5; 6)

 Mỗi số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số tận cùng là 0 hoặc 5

+ Trong các bộ số trên có 4 bộ số có đúng một trong hai số 0 hoặc 5  4.P4 = 96

số chia hết cho 5

+ Trong các bộ số trên có 3 bộ số có cả 0 và 5

Nếu tận cùng là 0 thì có P4= 24 số chia hết cho 5

Nếu tận cùng là 5 vì do số hàng chục nghìn không thể là số 0, nên có 3.P3=18 số chia hết cho 5

Trong trường hợp này có: 3(P4+3P3) = 126 số

Vậy số các số theo yêu cầu bài toán là: 96 + 126 = 222 số

Câu 5 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có

C = 100 bộ 5 số được chọn Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả 2

5

C 3 5

C 5! = 12000 số

4 5 4! 960

C C  Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán

Câu 6 Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối

10 Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh

Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là 6

12

C

Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là: 6

Câu 7 Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n

điểm phân biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439

Nếu n  2 thì n + 6  8 Do đó số tam giác có ba đỉnh được lấy từ n + 6 điểm đó không

4 lần số tam giác có đỉnh là 3 trong n điểm đã cho

12 924

C 

k k k k

C   x



 Vậy hệ số của x13 trong khai triển (x+3)15 là 2 13

Ta có:

3x + 1 = a + a x + a x + + a x + + a x

Thay x = -1, ta có: (-2)2n = a0 – a1 + a2 - … + (-1)kak +…+ a2n

Từ giả thiết suy ra: (-2)2n = 4096 n = 6

Với n = 6, ta có khai triển:

x x

Câu 21 Tìm hệ số của số hạng chứa 10

x trong khai triển biểu thức 3

2

1 n

x x

45 5 15

0

( 1)

k

k

k k k k

15 ( 1) 6435

C   

Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Câu 22 Tìm hệ số của số hạng chứa 5

x trong khai triển :

x 2 14 3 2

14 14

2

1 2

k k

k k k

12 2

k k k

4 Xác suất

Câu 30 Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1,2,3, ,9 Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và nhân 3

số ghi trên ba thẻ với nhau Tính xác suất để tích nhận được là một số lẻ

Số phần tử của không gian mẫu là n() = C3

Câu 31 Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học

sinh để làm trực nhật Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ

Câu 32 Từ các chữ số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số,

trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3

Gọi a a a a a1 2 3 4 5 là số tự nhiên cần tìm, a a a a a1, 2, 3, 4, 5thuộc 1; 2;3; 4;5

Vậy không gian mẫu có 10.12  120 phần tử

Gọi A là biến cố: “số được chọn chia hết cho 3”, có hai phương án:

Hai chữ số còn lại là 1 và 5, có 3

5 2! 20

C  số Hai chữ số còn lại là 2 và 4, có 3

Câu 33.Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau Tìm xác suất để số tự nhiên có 5

chữ số khác nhau lấy ra từ các số trên thảo mãn: Chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước

Các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau: a a a a a1 2 3 4 5 trong đó ai  aj với i j

Câu 34 Một người gọi điện thoại, quên hai chữ số cuối và chỉ nhớ rằng hai chữ số đó

phân biệt Tính xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi

+ Hai chữ số cuối phân biệt nên gọi  là tập hợp tất cả các cách chọn 2 số phân biệt trong 10 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, ta có được 2

Câu 35 Đề cương ôn tập cuối năm môn Toán lớp 12 có 40 câu hỏi Đề thi cuối năm

gồm 3 câu hỏi trong số 40 câu đó Một học sinh chỉ ôn 20 câu trong đề cương Giả sử các câu hỏi trong đề cương đều có khả năng được chọn làm câu hỏi thi như nhau Hãy tính xác suất để có ít nhất 2 câu hỏi của đề thi cuối năm nằm trong số 20 câu hỏi mà học sinh nói trên đã ôn

Không gian mẫu  có n()= 3

40 9880

Gọi A là biến cố “có ít nhất 2 câu hỏi của đề thi nằm trong số 20 câu đã ôn”.Ta thấy xảy ra một trong hai TH sau

TH1: Trong đề thi có đúng 2 câu hỏi trong 20 câu đã ôn

TH2: Trong đề thi có đúng 3 câu hỏi trong 20 câu đã ôn

Câu 36 Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội

nước ngoài và 3 đội của Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau

4 4 4

12 8

n  C C C Gọi A là biến cố “3 đội bong của Việt nam ở ba bảng khác nhau”

Câu 37 Gieo đồng thời ba con xúc sắc.Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên

ba con là 10

Gọi là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra.Ta có n() = 6.6.6=216

Gọi A là biến cố:” tổng số chấm xuất hiện trên ba con là 10”

Các khả năng thuận lợi của A chính là tổ hợp có tổng bằng 10 là: (1;3;6), (1;4;5), (2;2;6), (2;3;5), (3;3;4) và các hoán vị có thể của các tổ hợp này

Câu 38 Một hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên lấy

4 viên bi từ hộp Gọi A là biến cố “ trong số 4 viên bi lấy được có số bi đỏ lớn hơn số

bi vàng Tính xác suất của biến cố A

+4 bi lấy được không có bi vàng:4bi đỏ; 1 bi đỏ +3bi xanh;

+4 bi lấy được có đúng 1 bi vàng:gồm 2bi đỏ, 1 bi vàng, 1 bi xanh hoặc 3 bi đỏ , 1 bi vàng

Câu 39 Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau Chọn ngẫu nhiên

một số từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ)

A cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0

- Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại

Gọi A là biến cố đã cho, khi đón(A) C54 7 A42 6 ! 302400

Vậy xác suất cần tìm là

54

5 3265920

302400 )

Câu 40 Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ Tính

xác suất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4