Ôn tập về tổ hợp xác suất

b Từ A lập được bao nhiêu số nguyên dương có 4 chữ số đôi một phân biệt?. Bài toán về xác suất VD15: Gieo một con súc sắc hai lần.. Tính xác suất đê: a Cả hai lần gieo cùng xuất hiện mặt

ÔN TẬP VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

I TÓM TẮT KIẾT THỨC

1 Quy tắc cộng và quy tắc nhân

a) Quy tắc cộng: Nếu A B∩ = ∅ thì n A B( + )=n A( )+n B( )

b) Quy tắc nhân: n A B( × )=n A n B( ) ( )

2 Số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Giai thừa: n! 1.2.3 (= n n∈¥*), quy ước 0! 1 =

Số hoán vị: P n =n!

Số chỉnh hợp: !

n

n k

−

Số tổ hợp: !

k

n

A n

C

k n k k

C =C − Công thức Paxcan: 1

1

C − +C =C +

3 Công thức nhị thức Niutơn

0

n

n k

a b C a b−

=

Hệ quả: 0 1 2 3 k n 2 n

C +C +C +C + +C + +C =

C +C +C + =C +C +C + = −

Có thể xác định hệ số các số hạng trong khai triển nhị thức Niutơn nhờ tam giác Paxcan

4 Chú ý

Cho đa thức ( ) n 1 0

n

f x =a x + +a x a+ Khi đó ( )(0)

!

k k

f a

k

= (đạo hàm cấp 0 của f x( ) là chính nó) Đơn giản, ta có a0 = f(0),a1= f(1), Tổng các hệ số theo lũy thừa lẻ bằng

, 2

f − −f

tổng các hệ số theo lũy thừa chẵn bằng (1) ( 1)

2

f + −f

5 Phương pháp sai phân

a) Với a≠0,b≠0,a b≠ thì 1 1 1 1

ab b a a b

1

n

k

u u − u u

=

∑

c)

n

u u

= −

=

∏

6 Xác suất của biến cố

Định nghĩa cổ điển của xác suất: ( ) ( )

( )

n A

P A

n

=

Ω Từ đó 0≤P A( ) 1≤ , P A( ) 1= −P A( ).

Công thức cộng xác suất: P A B( + )=P A( )+P B( )−P A B( )

Công thức nhân xác suất: Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi P A B( )=P A P B( ) ( )

II MỘT SỐ BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

1 Các bài toán vận dụng hai quy tắc đếm, vận dụng các công thức về số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp

VD1: Có bao nhiêu cách cắm 5 bông hoa khác nhau vào 3 lọ hoa khác nhau, sao cho lọ

nào cũng có hoa?

VD2: Một hộp chứa 12 viên bi đôi một khác nhau, gồm 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ, 3

viên bi vàng Lấy ra từ hộp đó 6 viên bi và trao cho 6 người khác nhau Hỏi có bao nhiêu

cách trao như vậy, sao cho sau khi trao, trong hộp ban đầu còn lại các viên bi đủ cả 3 mầu?

VD3: Cho số 11 12

2 3

a= Hỏi có bao nhiêu ước nguyên dương của 2

a nhưng không là ước của a

VD4: Cho hai đường thẳng song song a và b Trên a lấy 10 điểm phân biệt, trên b lấy 11

điểm phân biệt Hỏi:

a) Có bao nhiêu hình thang mà 4 đỉnh của nó là 4 trong số 21 điểm nói trên?

b) Có bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 trong số 21 điểm nói trên?

VD5: Phương trình x y z+ + =2014 có bao nhiêu bộ nghiệm nguyên dương ( ; ; )?x y z

VD6: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ

số đôi một phân biệt, trong đó

a) Chữ số 5 xuất hiện đúng 1 lần?

b) Số nguyên dương lập được là số chẵn?

c) Số nguyên dương lập được luôn có mặt chữ số 1 và chữ số 2 đứng cạnh nhau?

VD7: Cho A={1, 2,3, 4,5,6 }

a) Từ A lập được bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số đôi một phân biệt? Tính tổng tất cả các số lập được

b) Từ A lập được bao nhiêu số nguyên dương có 4 chữ số đôi một phân biệt? Tính tổng tất cả các số lập được

2 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan tới , k, k

P C A

Lưu ý các công thức biến đổi, công thức nhị thức Niutơn Một số bài toán cần dùng đến đạo hàm hoặc tích phân

VD8: Chứng minh

a) ( ) ( ) ( )2

C + C − ≤ C ∀k n∈¥ ≤ ≤k n

n

A + A + + A < ∀ ∈¥ ≥

VD9: Cho số tự nhiên n Tính các tổng sau

T C= + C + C + + +n C

b) 2.1 2 3.2 3 ( 1) n

M = C + C + +n n− C

S= C + C + C + +n C

VD10: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có

a)

1

n n

+ −

b)

c)

n n

−

d) ( ) ( )0 2 1 2 ( )2

2

C + C + + C =C

3 Giải phương trình, bất phương trình liên quan tới , k, k

P C A

Lưu ý rằng điều kiện của k và n trong các biểu thức , k, k

P C A là k n, ∈¢,n k≥ ≥0

VD11: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

a) P A x x2+72 6= (A x2+2P x)

C + C + C − =

2

10

x

d) 3 3

A ≤ C − +P

1

C +C ≥ A+

4 Bài toán liên quan tới hệ số của đa thức

n

f x = + +x x =a x + +a x a+ Tính tổng

S a= + + + + +a a a a −

c) Tính tổng các hệ số bậc lẻ trong khai triển 2

P x = x + x− n∈¥

VD13:

a) Tìm hệ số của số hạng xy z2 7 trong khai triển ( )10

x− y+ z

79

C +C − +C − = Tìm hệ số không chứa x trong khai triển

28

n

x x x

−

+

với x>0

c) Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức 2 2014 2 2015

f x = − x x− + − +x x

VD14: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển 12

(1 2 ) + x

5 Bài toán về xác suất

VD15: Gieo một con súc sắc hai lần Tính xác suất đê:

a) Cả hai lần gieo cùng xuất hiện mặt 6 chấm

b) Có đúng một lần gieo xuất hiện mặt 2 chấm

VD16: Một hộp chứa 12 viên bi, gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng, 3 bi đen Lấy ngẫu nhiên 3 viên

bi từ hộp đó Tính xác suất để 3 bi lấy ra có cùng mầu

VD17: Một tổ có 9 học sinh, gồm 5 bạn nam và 4 bạn nữ, đứng xếp thành một hàng dọc.

a) Tính xác suất để không có 2 bạn nam nào đứng cạnh nhau

b) Trong số 4 bạn nữ có bạn Xuân và bạn Thu Tính xác suất để Xuân và Thu luôn đứng cạnh nau

VD18: Một tổ gồm 10 học sinh, gồm 5 bạn nam và 5 bạn nữ, được xếp ngồi quanh 1 bàn

tròn Tính xác suất để các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ

VD19: Hai máy bay cùng ném bom một mục tiêu Máy bay I ném 1 quả với xác suất trúng

0,7 Máy bay II ném 1 quả với xác suất trúng 0,8 Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom

VD20: Gieo đồng thời 3 con súc sắc và 3 đồng xu Tính xác suất để số đồng xu xuất hiện

mặt sấp bằng số con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm

6.