BÀI 1: QUY TẮC ĐẾM HAI QUY TẮC ĐẾM 1 Quy tắc cộng Nếu công việc A có thể thực hiện bằng 1 trong 2 cách khác nhau: Cách thứ nhất cho m kết quả và cách thứ hai cho n kết quả.. 2 Quy tắc nh
Trang 1
BÀI 1: QUY TẮC ĐẾM HAI QUY TẮC ĐẾM
1) Quy tắc cộng
Nếu công việc A có thể thực hiện bằng 1 trong 2 cách khác nhau: Cách thứ nhất cho m kết quả và cách thứ hai cho n kết quả Khi đó việc thực hiện công việc cho m+n kết quả
2) Quy tắc nhân
Nếu công việc A được thực hiện theo hai giai đoạn liên tiếp nhau: Giai đoạn 1 có m cách thực hiện và giai đoạn 2 có n cách thực hiện Khi đó có m.n cách khác nhau để thực hiện toàn bộ công việc
CÁC BÀI TOÁN DÙNG 2 QUY TẮC ĐẾM
1) Trên kệ sách có 12 quyển sách tham khảo Toán 11 và 6 quyển sách tham khảo Lý 11 Hỏi 1 học sinh có
bao nhiêu cách chọn một trong hai loại sách nói trên
{ }18 2) Từ TP Hồ Chí Minh đi đến TP Nha Trang có thể đi bằng ô tô, tàu hoả, hay tàu thuỷ Mỗi ngày có 6 chuyến ô tô, có 4 chuyến tàu hoả và 3 chuyến tàu thuỷ Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn để đi từ TP Hồ Chí
Minh đến Nha Trang?
{ }13 3) Một lớp học có 40 học sinh Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban điều hành lớp gồm 1 lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết rằng mỗi học sinh đều có thể làm một nhiệm vụ {58280}
4) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số từ các chữ số 0 -> 9?
5) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau từ 0 -> 9?
6) Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập ra bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số? { }256
7) Cho 6 số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau?
{ }360
8) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số lấy từ tập A = { 1;2;3;4;5;6 }
sao cho:
{ } 6!
9) Với các số 0, 1 ,2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu:
TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Trang 2b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?
{ } 156 10) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 {1260}
11) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, bé hơn 10 000 được tạo ra từ các chữ số 0,1,2,3,4
{ }625 12) Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 1000
{ }819
13) Có tất cả mấy số có thể thành lập từ các chữ số: 2,4,6,8 nếu:
a) Số đó có 3 chữ số khác nhau {24}
b) Số đó lớn hơn 200 và nhỏ hơn 600 {32}
14) Có bao nhiêu số lẻ trong khoảng (2000;3000) có thể tạo nên từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 nếu các chữ số của
nó khác nhau đôi một? {36}
15) Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ
a) Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 1 học sinh nam hay nữ dự trại hè của trường Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
b) Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ dự trại hè của trường bạn Có bao nhiêu cách chọn?
{ }300 16) Trên giá sách có 14 quyển sách, trong đó có 5 quyển sách toán, 6 quyển sách văn và 3 quyển sách ngoại ngữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 quyển sách khác thể loại trên giá sách?
{ }63
BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP CÁC CÔNG THỨC
1) Hoán vị:
• Cho tập A gồm n phần tử Số cách sắp xếp thứ tự n phần tử đã cho của A được gọi là
hoán vị của n phần tử
• Công thức:
!
n
2) Chỉnh hợp:
• Cho tập A gồm n phần tử Mỗi cách chọn ra k phần tử của A và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
• Công thức:
! ( )!
k n
n A
n k
=
−
3) Tổ hợp:
• Cho tập A gồm n phần tử Mỗi cách chọn ra k phần tử của A không tính thứ tự được gọi
là một tổ hợp chập k của n phần tử
Trang 3• Công thức:
!
!( )!
k n
n C
k n k
=
−
Chú ý Khi cần sắp xếp các phần tử theo thứ tự: Dủng chỉnh hợp hay hoán vị
Khi chọn các phần tử không phân biệt thứ tự: Dùng tổ hợp
DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ CÔNG VIỆC
1) Trong 1 cuộc đua xe đạp, có 30 xe đạp cùng xuất phát Hỏi có bao nhiêu khả năng xếp loại:
a) Ba xe đạp về nhất, nhì, ba?
b) Ba xe đạp về đích đầu tiên?
2) Một tổ học sinh gồm 14 học sinh;8 nam và 6 nữ GVCN chọn ra 4 học sinh để trực thư viện Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Chọn học sinh nào cũng được {1001}
b) Trong 4 học sinh được chọn có đúng 2 học sinh nữ {420}
c) Trong 4 học sinh được chọn có ít nhất 2 học sinh nữ {595}
3) Một đội văn nghệ có 20 người: 12 nam và 8 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người trong đó có ít
4) Một hộp đựng 4 bi đỏ, 6 bi vàng và 5 bi trắng Người ta chọn 4 viên bị từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu? {645}
5) Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn
thể dục Trong 5 em được chọn yêu cầu không có quá 1 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn? { }126
6) Một tổ bộ môn của một trường có 10 giáo viên nam và 15 giáo viên nữ Có bao nhiêu cách thành lập
một hội đồng gồm 6 ủy viên của tổ bộ môn, trong đó số ủy viên nam ít hơn số ủy viên nữ? {96460} 7) Có 9 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước khác nhau Chọn ra 6 bi
a) Số cách chọn đúng 2 bi đỏ { 2 4}
5 13
C C
b) Số cách chọn bi đỏ bằng bi xanh {3045}
8) Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hồng được xem như đôi một khác nhau) người ta muốn chọn ra 1 bó gồm 7 bông
a) Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ? { 1848 } b) Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?
(DH QGHCM-2000) { } 150
9) Cho đa giác lồi có 5 đỉnh
a) Có bao nhiêu đường chéo? { 2 }
5 5
C −
Trang 4b) Cứ 2 đường chéo cắt nhau tạo thành 1 giao điểm Tính số giao điểm của các đường chéo này, biết rằng
không có 3 đường chéo nào trong chúng đồng quy? { }4
5
C
c) Đa giác lồi nào có số cạnh và số đường chéo bằng nhau? {5}
10) Tìm số cạnh của đa giác lồi biết rằng số đường chéo của đa giác gấp 5 lần số cạnh của đa giác {11} 11) Giáo viên chủ nhiệm muốn chia 10 học sinh thành 3 nhóm, một nhóm gồm 5 học sinh làm công tác xã hội, một nhóm gồm 3 học sinh làm vệ sinh và một nhóm gồm 2 học sinh giữ trật tự Hỏi có mấy cách chia? {2520}
12) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội
về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ
{207900}
13) Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành 1 hàng dọc
a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
{ } 10!
b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng cạnh nhau? { 2800 } c) Nam sinh ngồi gần nhau và nữ sinh ngồi gần nhau?
d) Chỉ có nữ sinh ngồi gần nhau?
14) Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật đôi một khác nhau cho 3 người sao cho có một người được 2 đồ vật và hai người còn lại, mỗi người được 3 đồ vật?
{ 2 3}
3 C C
DẠNG 2: BÀI TOÁN LẬP SỐ
• Chọn số
1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau? {136080}
2) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau? {420}
3) Từ 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 người ta lập ra các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau Hỏi có bao nhiêu số như vậy? Tìm tổng các số tự nhiên vừa tìm được? {120;46620}
4) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 {3024}
5) Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số bé hơn 345 {50}
6) Từ các chữ số 1,2,5,7,8 có bao nhiêu cách lập ra 1 số có 3 chữ số nhỏ hơn 278? {20}
7) Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600 000? {36960}
{ 4 4}
2.5.A +3.4.A
8) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau, biết rằng tổng 3 chữ số này bằng 8?
{ } 18 9) Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5 Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3? {24}
Trang 5• Chọn vị trí
1) Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 4? {42 000}
2) Từ các chữ số 0,1,2,3,4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó số 1 có mặt đúng 3 lần và các số khác đúng 1 lần {720}
3) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, còn các chữ số khác có mặt 1 lần? (ĐH Sư phạm – 2000) {10080}
4) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt mà 2 chữ số 3 và 5
không đứng liền nhau {6! 2.5!− }
5) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1? { }5
8
5.A
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA
, k, k
P A C
Điều kiện xác định của các biểu thức
, k, k
P A C
, 1
k n N n
k n
∈
≥
≤
1)
{ }
! ( 1)! 1
2;3 ( 1)! 6
m
+ 2)
{ } 3
x
3)
1 2 2 2 3 4 149
C + + C + + C + +C + =
{5}
4)
2 2 1
2C x+ +3A x <30
{2}
5)
{ }
5; 2
6)
{ }
1 1
C+ =C + =C −
Trang 6A
BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON
• Các tính chất:
1
DẠNG 1: DÙNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH 1 ĐẲNG THỨC
TÍNH GIÁ TRỊ 1 BIỂU THỨC.
1) Chứng minh các đẳng thức sau:
1 3 5 2 1 2 1
0 1 2 2
−
2) Tính các tổng sau:
1 2015 2015 2015 2015
2
) 2n 2n 2n 2 n n ( chaün)
3) Tìm số nguyên dương n thoả hệ thức sau:
0 1 2
) 2 4 2 243 {5}
) − 2048
n
4) Cho
0 1 2 100
a) Tính
97
a
{−1293600} b) Tính
0 1 100
S a= + + +a a
{ }1
0
n
k n k k n
k
C a b
−
=
= ∑
Với
k n k k n
là số hạng tổng quát thứ k + 1
Trang 7c) Tính
100
0 4 1 16 2 1004
{ }2100 5) Cho khai triển
(1 2 )n 0 1 n
n
, trong đó n là số nguyên dương và
0 1
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH HỆ SỐ CỦA MỘT HẠNG TỬ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC.
1) Khai triển:
(1+x) ; (1−x) ; (1 2 x) ; (3 5 x)− + ; (x− ) ; (x+ x)n
x
;
13 (x y+ )
2) Tìm hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển nhị thức Newton
11 (1+x)
{330}
3) Tìm hệ số của số hạng chứa
9 x trong khai triển nhị thức Newton
19 (2−x)
4) Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển nhị thức Newton
20 2 1
{125 970}
5) Tìm hệ số của số hạng chứa
8 9
x y trong khai triển nhị thức Newton
17 (3x+2 )y
6) Khai triển
2 2 6 (x +1)(x −1)
7) Tìm hệ số của số hạng chứa
3
x
trong khai triển
8 (2 5 )(1 )
2
8) Tìm a để trong khai triển
6 (1+ax)(1 3 )− x
có hệ số của số hạng chứa
3
x
là 405
9) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
15
3 1
, 0
x
10) Tính
2
n
A
, biết rằng sô hạng thứ 5 trong khai triển
3 1 n
x x
không phụ thuộc vào x
{ }240
11) Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của
5 3
1
n
x
Biết rằng 1
4 3 7( 3)
(A-2003)
{ }495