Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hàng động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.. Mỗi kết quả của
Trang 1 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1 Tập hợp:
Tập rỗng: là tập hợp không chứa
phần tử nào
Tập con:
A B x:xAxB)
Số tập con của tập có n phần tử là 2n
A = B A B và B A
Tính chất:
a) A A với mọi tập hợp A
b) Nếu AB và BC thì AC c) A với mọi tập hợp A
Kí hiệu: N*, Z*, Q*, R* là các tập hợp số không có phần tử 0
2 Các phép toán trên tập hợp:
Giao
B
A
AB ={xxA
và xB}
B x
A x B
A
x
Hợp
B A
AB ={xxA hoặc xB}
B x
A x B A x
Hiệu
B A
A\ B ={xxA và xB}
B x
A x B A
Phần bù
B A
Khi B A thì A\B gọi là phần bù của
B trong A, kí hiệu
B A
C
3 Dấu hiệu chia hết:
Số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8
Số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3
Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9
4 Số và chữ số:
CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Trang 2§1 QUY TẮC ĐẾM
I- Quy tắc cộng:
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện (không trùng với bất kì cách nào của hàng động thứ nhất) thì công việc đó có m + n cách thực hiện
* Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động
Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau Vậy nếu A và B là các tập hữu hạn không giao nhau thì n(AB) = n(A) + n(B)
II- Quy tắc nhân:
Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc
* Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp
I- HOÁN VỊ:
1 Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
* Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp
2 Số các hoán vị: Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử Ta có:
Pn = n(n - 1)(n - 2) 2.1 = n!
II- CHỈNH HỢP:
1 Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho
2 Số các chỉnh hợp:
Kí hiệu k
n
A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 k n) Ta có:
k n
A = n(n - 1)(n - 2) (n - k + 1)
§2 HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Trang 3* Chú ý:
a) Với quy ước 0! = 1, ta có: k
n
)!
(
!
k n
n
(1 k n)(n, k N) b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử Vì vậy Pn = n
n
A
III- TỔ HỢP:
1 Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử (n 1) Mỗi tập con gồm k phần tử của
A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho
* Chú ý: Vì tập (0 phần tử) là tập con của tập A nên ta có điều kiện 0 k n
2 Số các tổ hợp: Kí hiệu k
n
C là số các tổ hợp chập k của n phần tử Ta có:
)!
(
!
k n k
n
C k
n (0 k n) (n, k N)
3 Tính chất của các số k
n
a) Tính chất 1: n k
n
k
n
k n
k
11 1 (1 k < n) - công thức Pascal
I- CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:
n n n n n n k
k n k n
n n
n n
n n
b
( Hệ quả:
Với a = b = 1, ta có: (1 + 1)n = 2n = n
n n
C0 1
Với a = 1, b = -1, ta có: (1 - 1)n = 0n = n
n n k
n
k n
C0 1 ( 1 ) ( 1 )
* Chú ý: Vế phải trong khai triển nhị thức NewTon:
a) Số các hạng tử là n + 1;
b) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0=b0 = 1) c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau
Nhận xét
- Số hạng tổng quát trong khai triển là k n k k
n
- Trong cùng một số hạng, số mũ của a và b cĩ tổng bằng n ;
- Trong khai triển (*) cĩ n + 1 số hạng ;
§3 NHỊ THỨC NEWTON
Trang 4- Trường hợp đặc biệt,
0 1
0
n
k k n k
C x
II- TAM GIÁC PASCAL:
I- PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU:
1 Phép thử:
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc
dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó
2 Không gian mẫu:
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của
phép thử và kí hiệu là
II- BIẾN CỐ:
Biến cố là một tập con của không gian mẫu
A
* Chú ý:
i) Các biến cố thường được kí hiệu bởi các chữ in hoa A, B, C, Khi nói: "cho các biến cố A, B, C" (mà không nói gì thêm) thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến một phép thử
ii) Các biến cố thường được cho bởi mệnh đề mô tả biến cố hoặc mệnh đề xác định tập con của không gian mẫu
Tập được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không) Còn tập được
gọi là biến cố chắc chắn
* Chú ý: Biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần tử của tập A (hay thuận lợi cho A)
III- PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ:
§4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Trang 5a) Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử Tập \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A
b) Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử Ta có:
Tập A B được gọi là hợp của các biến cố A và B; A B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra
Tập A B được gọi là giao của các biến cố A và B (còn được viết tắt là A.B);
A B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra
Nếu A B = thì ta nói A và B xung khắc; A và B xung khắc khi và chỉ khi
chúng không khi nào cùng xảy ra
Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố
B A
A A là biến cố
A = A là biến cố không
A = A là biến cố chắc chắn
C = A B C là biến cố "A hoặc B"
C = A B C là biến cố "A và B"
A B = A và B xung khắc
B = A A và B đối nhau
I- ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT:
Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số
) (
) (
n
A
n là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)
P(A) =
) (
) (
n
A n
* Chú ý: n(A) là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến
cố A, còn n() là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử
II- TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT:
§5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Trang 6Định lí: Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Khi đó:
P(P
P với mọi biến cố A.
Nếu A và B xung khắc, thì P(A B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất) Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có:
P(A) = 1 - P(A)
III- CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT:
1 Quy tắc cộng xác xuất
Biến cố hợp Cho hai biến cố A và B Biến cố AB được gọi là hợp của hai biến cố
A và B Biến cố AB cĩ nghĩa là “A hoặc B xảy ra”
Biến cố xung khắc Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A B
Đối với hai biến cố xung khắc, nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra Định lý Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P A BP A P B
2 Quy tắc nhân xác xuất
Biến cố giao Cho hai biến cố A và B Biến cố “cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là
AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B
Biến cố độc lập Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay khơng xảy ra của biến cố này khơng ảnh hưởng tới xác xuất xảy ra của biến cố kia
Định lý Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P AB P A P B