Chứng minh rằng:... Chứng minh rằng:... 1 Khảo sát biến thiên hàm số.. Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và diện tích của hình hắn phía trên bởi D và phía dưới bởi P... ltđh 2 Tính thể
Trang 1ltđh VẤN ĐỀ 1 TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
32
x
x x
5 2 3
x
x x
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
)54
)34(
3(
17
54
x x
10)
54
1
2
65
1
2 x
169
1
2 x
x
Trang 2ltđh 14)
34
x Cos
2 2) Sin3x.Cos3x 3)
14
4) (3 – 2Cosx)2 5) Sin4x 6) Cos33x
7) Sin5x.Cos2x 8) (2tgx – 5)2 9) (3 – Sin2x)(2 + 5Cos2x) 10) Cos4x 11) (2Cos23x – 1)Sin23x
12) Cosx.Cos3x.Cos5x 13) Sin3x.Cos3x
16) (3 – tgx)(5 + 4Cotgx) 17) Sin2x.Cos4x 18) Cos6x
Bài 4: Tính tích phân các hàm số sau đây :
2x x x 7) x x
e2 2 8) 3 5 2
ln4
x ln3 42ln
35
x x
252
73
x x
)1)(
4(
x
4)
22
x
7)
)4)(
1(
)2)(
1)(
1(
x x
Bài 6: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
96
17
x x
)2(
x
)3)(
2(x x
)1(
x
Trang 3ltđh Bài 7: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
103
25
x x
1
)1)(
1(
12
x x
7)
2
753
2
2 3
)82()2)(
1(
157
2 2
x
x x
VẤN ĐỀ 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
x 6) 2
2 x 1 dx . 7) 3
1
2
)1(a x a dx
17) 0
4
dx x
0
5
dx tgx x
2 4
x
Trang 4ltđh 23)
Sin x dx Cosx
Cosx dx Cosx
4
dx x
2 3 1
J x với t R 1) Tính J(t) 2) Tìm MinJ(t)
Bài 4: Chứng minh rằng nếu 2 2
ln
y x x a thì
1'
ln
y x x a thì
1'
y
(a> 0)
Trang 5VẤN ĐỀ 3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SO Á
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
63
83
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1
3 0
.(3 1)
x dx
x
2 4 2
1
1
dx x
(x
x
0 2 5
Trang 6x
dx x
(2 5)6
1
9 2
)1
0
6 3 5
.)1
4)
x Cos x
x Cos 9) Sin7x.Cos2x
10)
x Cos SinxCosx
x Sin
6
2
x Sin x
7
1
Trang 7ltñh 15) Cos2x.Sin3x 16)
x Sin4
x Cos
x Cos Sinx
2 3
1
x Cos x Sin2 21
21)
x Cos x Sin
Cosx Sinx
4 4
Cosx Sinx
Cosx b Sinx
x Sin Six
2
3
x Sin
x Cos
Sin
x Cos
2 3
33)
Cosx Sinx x
Sin
x Cos
.4
2
2
Cosx Sinx
2 3
43
dx Cosx
0 3
dx Cosx x
e S in x . 5)6
dx Cosx Sinx . 6) 2
0 2
Sinx
dx 7) 4
x Cos
dx 8) 2Sin x.Cos3x.dx
0 2
9) 2Cos x Sin x.dx
0
3 3
Sinx
67
dx Cosx Sinx
dx x Cos
0
2
711
dx x Cos Sinx Cosx
Trang 83 2
)1
(2
dx x Sin x
(
dx Cosx Cosx
0
4 4
4
dx x Cos x Sin
x Sin
0
6 6
6
dx x Cos x Sin
)2(
Cosx Sinx
dx Cosx
0 2 3
dx x Cos
1
dx Cosx Sinx
x Cos x Sin
33)4
0
2
21
dx x Cos
Sin
Sinx x
0 4
.Cosx x Sin dx
36)2
0
2
.4
dx x Cos x
0
3
)(
.4
Cosx Sinx
x Cos
dx x Sin
39) 3
4
6 2
dx x Cos
6
6
x Sin Sinx
0
.dx Sinx Cosx
dx Sin x
có thể biểu diễn dưới dạng :h(x) =
Cosx B Sinx
Cosx A
2
2
)(
dx x
h Bài 8: Xác định A , B , C sao cho :
Sinx Cosx 1 A Sinx( 2Cosx 3) B Cosx( 2Sinx)C
Trang 9ltđh Từ đó tính : 2
e e
e e
10)
)ln
x
ln1
x
ln
01
x x
e dx e
10) e dx
x x
x
1
2
)ln1
ln
dx x
13) 1
0
2 2
1
)1
(
dx e
e x
x
14) 2
1 2
)1ln(
dx x
x 15) 1
0 2
3
x e
dx
Trang 10ltđh 16)ln3
0
2 1)ln(
e dx e
1)
1)
1(
21
1
11
x 3)
1
1
x x
4)
11
2(
13
x
2) (1 )3
1
x x
x
3
43
x x x
43
x x
34
Bài 15: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
32)
1(
1
2 x
x x
3)
1
1
2
x x
Trang 11ltđh 4)
33)
1(
23
x x x
x x
Bài 16: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1
x a
1
2
x x
2
1)1(
.)1( x dx 11) 7
1
dx x
x
dx x
3 5
1
2
dx x
19) 2
0
3 2
.1
x
dx x
Trang 12ltñh 22) 1
0
2 2
.1
.1
x
0
2 5
3
01
x dx x
2 0
33
Trang 131 I = 1
0
2 3
1 x dx
15
2HD: Phân tích 1
0
2 3
1 x dx
0
2 2
4 I = 2
0
3 5
8 x dx
45512
16
6 I =1
0
4 7
1 x dx
151
7 I =3
0
2 3
9 x dx
5162
8 I =3
0
2 3
16 x dx
15
7413
Trang 14ltñh t: 3 10
1 1
0etdt
= 2
0 t
e = (e 1)2
I =0ecos xsinxdx
+0xsinxdx = I1+I2 I1=0ecos xsinxdx
dx
; Đs: 2
Trang 15x
; HD: Đặt: sin
2cos
Trang 164sin x
xcosxsin
39 I = 3
6
2 2
xsin.xcos
xcos
40 I =2
22
xcos
xsin
dx
; Đs: (3 3)3
xsin
xsin
; Đs:
2 1HD: Đặt t = 1+cos2
43 I =4
xsin
xcos
; Đs : 34
xsin
Trang 17ltñh =
xsin
47 I =4
0 1
xcosxsin
xcos
; Đs: ln
23
xsin
xcos.xsin
Tính J: Đặt t = tgu ( u
(-2
;2
))dt =
ucos
du.u
Trang 18xsin
; Đs:
4 1
54 I =2
6
3
dxxsin
xcos
; Đs:
2 10
19 5
(
e)x
xsin
xcos
xsin
2
12
0 (sin6x.sin2x 6)dx;Đs:
32 32 3
3
66 I =2
6
343
4xcos x sin xsin x)dx
21
0 (sin6xcos5x cos6xsin5x)dx; Đs:
21
Trang 192xdxcos
e
Trang 201)e dxx
92 I =5
22xln(x 1)dx; Đs:
24ln4-227
93 I =5
2
2
1)dxxln(
6
1(248ln4-105)
94 I = 2
1
2
1 x )dxln(
2
5ln5- ln2 –
23
Trang 21101 HD: Biến đổi: I = 4
0
2
dxx
)xsin(
3 2
xsinx
)xln(sin
; Đs:
64
33
105 I =2
1 cos(lnx)dx;
Đs:sin(ln2)+cos(ln2)-2 1
1 ln 110’ I =
Trang 22; HD: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
dxdv
xsinx
1 2
= t dx
2 ) 1 ( 2 dx = 2dt
1
1 1 1
1 1 1 1
t t t
t
=2
2 2 cos 2
dx x tg x
dx x cox
x x
Trang 23ltñh HD: Hạ bậc cos x2 1 cos2x
7 2
eHD: Hạ bậc
2 2 cos 1 cos2x xtrước khi tính
115 Cho I =cos x cos 2xdx2 và
J = sin x cos 2xdx2 ; Tính I+J và I-J từ đó suy ra I,J
Đề ĐH 2004 Khối A
Tính tích phân I = 12 dx
1x1x
1t
1t
22tt
=2
1 0
13
x
2 dx và x
2 = t2 4
x = 5t = 3; x =2 3t = 4
Trang 24141
=
4 3
5ln41
Đề ĐH 2004 Khối B
Tính tích phân: I =1e dx
x
xln.xln31
xxln
dxxx
1x2
1x2
1x
12
=3ln6 2ln2 3
2
1xlnx
xsin21
HD: I =4
xsin1
x2cos
Trang 25ltđh Đặt t = 1+sin2x dt = 2cos2xdx cos2xdx= 21dt
tln2
x
0e (e 1)
)e(
d
x x x
VẤN ĐỀ 5 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
7) (3x – 5)Cos2x 8) (x3 + 1)lnx 9) Sin(lnx)
10) x.Cos2x 11) 3 x ln x 12) lnx x2113) ex.Cosx 14) (x2 + 2x + 3)Cosx 15) e2x.Cosx 16) Cos(lnx) 17) Sin x 18) e x
19) x.tg2x 20) Cos2(lnx) 21) x ln x
Trang 26ltñh 22)
x Cos
x
x Sin
x
2 2
1
1ln
x
x x
x . 3)2
1 2
x . 5) 0
2
2 dx x Sin
x . 6) 4
x Cos
0
3 4
Cos x Sin x dx
e x 11) e x xdx
1
ln)
22
0
3x dx Cos
0
.dx e
0
2
.)1(
dx Sinx
1
1
2
)
(e x2 Sinx e x x dx 21)1
0
2
e dx
22)4
0
.2.5
dx x Sin
e x 23) 4
0
2
dx x tg
x 24) 2
0
2
.3
dx x Sin
0
)1
ln(
dx Cosx
0 2
dx x Cos
Sinx x
27) 2
0
3
2
dx x Cos Sinx
Trang 27ltđh 29)
0
.1
1
dx e Cosx
32) 2 2 2
1
.( 2)
x
x e dx
13
2
3)
1
1 2 4
Cosx
VẤN ĐỀ 6 TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) I (a.Sin2xbCos2x)dx và J (a.Cos2xbSin2x)dx
2) I Cos2x.Cos2xdx và J Sin2x.Cos2xdx
3) I Cos(lnx)dx và J Sin(lnx)dx
4) I e2x.Cos2xdx và J e2x.Sin2xdx
Cosx Sinx
Sinx
Cosx Sinx
Cosx J
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) Tính: I = 2
0
.3
dx x Sin
e x và J = 2
0
.3
dx x Cos
Trang 28ltđh 2) Tính: 2
0
2 2
2
dx x Cos x Sin
x Cos
x Sin J
4) Tính : I = 2 4 4 4
0
cos
cos sin
x dx
x dx
Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) Cho hàm số g(x) = Sinx.Sin2x.Cos5x
a) Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x)
dx e
x g
Trang 29ltđh 1) Giải bất phương trình :f(x) g(x)
2) Tính : I = 2
1 f(x) g(x)dx (ĐHQG) 5) Tìm họ nguyên hàm của :
x Sin
Sinx x
f
2
.)
8) Tìm họ nguyên hàm của hàm số :
x x
x x x
f
cos sin
cos sin ) (
x x
f
cossin
cos)
(
2 (ĐHNT – 99 – 2000) 10) a) Xác định A , B sao cho : 3 12 3 2
VẤN ĐỀ 7 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 1: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [-a, a] (a> 0) Chứng minh rằng: 1/ Nếu f là hàm chẳn thì :a
a
a
dx x f dx
x f
3 2
1 dx x
x
Bài 2:Cho hàm số f liên tục trên [0 , 1] Chứng minh rằng:
Trang 30ltđh 1)
0xf(Sinx)dx 2 0 f(Sinx)dx (đề 118)
b
x dx f x dx b R a
x f
)()
()
dx Sinx x
Bài 4:(đề 12) Cho f là hàm số liên tục trên [0,1] Chứng minh rằng:
0 0
2
dx Sinx f dx Sinx
x Cos
x Sin J
Bài 6: Cho f là hàm số liên tục trên [a,b] và f(a+b-x) = f(x)
Chứng minh rằng:b
a
b a
dx x f b a dx x
xf( ) ( )
2 Aùp dụng: Tính
0
3
Sin x dx x
I
Bài 7: Cho f là hàm số liên tục trên [a,b] Chứng minh rằng:
Trang 31f( ) ( ) Suy ra: b f x dxb f bx dx
)()
(Bài 8:
1) Cho hai số nguyên dương p, q Tính I = 2
0
Cosqxdx
trong hai trường hợp p = q và p q
2) Cho các số thực a1 , a2 , a3 , …, an
Giả sử a1.cosx + a2.cos2x + …+an.cosnx = 0 với mọi x [0 ; 2] Hãy sử dụng kết qủa trên để tính a1 , a2 , a3 , …, an.(ĐHQG – 99-2000)
4 4
dx x
x dx
x x
x
sincos
sinsin
coscos
Từ đó tính : 2
0
4 4
4
dx x x
x
sincos
.Cosnx dx Sinmx Sinnx dx
C o tg
e x x
dx x
Bài 12: Chứng minh rằng :
4
2 0
x Cos
n n
2
dx Cosx Sinx
Cosx
Bài 14: Cho 1
0
1 1
.)1()
,
Trang 32ltđh Chứng minh rằng : m.I(m,n) = (n – 1).I(m + 1,n – 1) ( 2 m , n Z ) Bài 15: Chứng minh rằng : 1
0
! !(1 )
0 )12
( x n e x x2 dx (n = 1,2,…)
0
0)(Sinx nx dx
)(
dx x f I
VẤN ĐỀ 8 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Bài 1: Chứng minh rằng :
516
x Cos
dx 2/
27
41
2
x
xdx 4/ 2
0 2
0
22
Sinxdx xdx
xdx Sin xdx
Sin 6/ 2
1
2 2
1
dx e dx
9
2
x dx
Trang 3313/ 2
1 2
1
2
xdx dx
3
Cosx x
Cos dx
6
2
14
3
dx x
4
3
112
3
dx x Cotgx
0
4 2
2
e dx
x e e
2
26
1
dx x
6
x x dx
21)
1
2
2 0
1
dx x
x tg t
tg
3 3
3 2
J
1
2
ln)
( với t > 1 Tính J(t) theo t , từ đó suy ra rằng : J(t) < 2 , t > 1 (ĐHQG-KA-1997)
Trang 34ltđh
20
2 4
12
Sin
t biếnđổicách
dx x Sin
x Sin I
2) Tính 2
0
4
12
thứcđẳng bất minhchứngvà
dx x Cos
x Sin J
2
0
4 4
121
1
dx x Sin x
Cos
Cosx Sinx
))(
( n 0 ) 1) Chứng minh rằng : 2 1
2) Chứng minh rằng hàm :f NR sao cho : f n( ) (n 1) .I I n n1
là một hàm hằng
Bài 7: Cho 4
0
n n
( n 0 ) 1) Chứng minh rằng :I nI n1
2) Tìm hệ thức liên hệ I và n I n2
2) Với n > 1 , hãy tìm công thức biểu diển I qua n I n1
dx (n là số tự nhiên)
1) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In-1 (n > 1)
2) Tính I4
Bài 10: Cho 1
0
dx e x
I n n x ( n 0 )
Trang 35ltđh 1) Tìm hệ thức liên hệ In+1 và In
2) Chứng minh : In+1 In và 0
n I Lim (ĐHQG-KA-1996) Bài 11: Đặt e n
n x dx I
1
)(ln với n là số nguyên dương
1) Tìm hệ thức liên hệ In+1 và In Tính I1 và I2
n n
n
e I I
e n
I n
)(
.)1
dx x tg x
I x x dx ( n 0 ) 3) Chứng minh rằng : 1 2 2
Trang 36ltđh Bài 16: Tính
1
0
)(.Sin x dx x
VẤN ĐỀ 9 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1) (C) : y = x2 – 4x + 3 ; trục Ox ; hai đường thẳng x = 0 và x = 4 2) (C) : y = x – x2 và trục Ox
3) (C) : y = – x2 + 4x – 3 và các tiếp tuyến với đường cong này tại các điểm A(0,–3) và B(3,0)
4) (C) : y = Sinx ; trục Ox ; hai đường thẳng x2 và
Trang 37ltđh 6) (C) : y = lnx ; trục Ox ; và x = e
2 4
1) (C) : y = x2 + 2x ; (D) : y = x + 2
2) (C) : y =
1
44
3) (C) : y2 = 2x và đường tròn tâm O bán kính R
4) (C1) : x2 + y2 = 4 và (C2) : x2 + y2 = 4x (phần chung)
ayx với a0 cho trước
Trang 381) Khảo sát biến thiên hàm số
2) Tính diện tích tam giác cong chắn bởi trục hoành , đồ thị (C) và đường thẳng x = 1
Bài 9: Parabol 2
( ) :P y 2x chia diện tích của hình tròn tâm O(0,0) bán kính
R = 2 2 theo tỉ số nào
Bài 10: Cho A là một điểm tùy ý trên ( ) :P ypx2 (p > 0) (D) là một đường thẳng song song với tiếp tuyến tại A của (P) , (D) cắt (P) tại hai điểm
M , N Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và diện tích của hình hắn phía trên bởi (D) và phía dưới bởi (P)
Ứ NG DUNG TÍCH PHÂN
A//Di ệ n tích hình ph ẳ ng
Cơ g th? c : Diệ n tích hình phẳ ng giớ i hạ n bở i các đư ờ ng
Trang 39; a x
) x ( g y : ' C (
) x ( y : C (
là S = b
a
dx ) x ( g ) x (
Trang 40ltñh
2.Tính diệ n tích hình phẳ ng giớ i hạ n bở i:
a)(C): y = 2x2x – 1 ;tiệ m cậ n xiên và 2 đư ờ ng thẳ ng x = 2;x = 4 – x + 2
b)(C): y = – x2x + 2 + x + 1 ;tiệ m cậ n xiên và 2 đư ờ ng thẳ ng x = 0;x = – 1
c)(C): y = – x2 + 2x + 3 và 2 tiế p tuyế n tạ i 2 điể m A(0;3); B(3;0)
d)(C): y = x2 – 2x + 2 và các tiế p tuyế n xuấ t phát từ điể m A(3/2;– 1)
7.Xét hình phẳ ng (H) giớ i hạ n bở i các đư ờ ng (P): y = (x – 3a)2 vớ i a > 0 , y
= 0, x = 0.Lậ p phư ơ ng trình các đư ờ ng thẳ ng đi qua điể m A(0;9a2) chia (H) thành 3 phầ n có diệ n tích bằ ng nhau
Trang 41
ltđh VẤN ĐỀ 10 THỂ TÍCH VẬT THỂ
Bài 1: Tính thể tích các vật thể tạo nên khi quay quanh Ox hình phẳng S với
S được giới hạn bởi:
1) (C) : y = 2x – x2 và trục Ox
2) S là (E) : 2 1
2 2
Trang 42ltđh 2) Tính thể tích tròn xoay do D quay quanh Ox
Bài 3: Gọi (D) là miền giới hạn bởi các đường y 3x 10 ,y1 và
parabol ( ) :P yx2 (x0).Tính vật thể tròn xoay do ta quay (D)
quanh trục Ox tạo nên (Miền (D) nằm ngoài (P))
Bài 4: Gọi miền giới hạn bởi các đường y = 0 , 2
( ) :P y2x x là (D) Tính thể tích vật thể được tạo thành do ta quay (D) :
1) Quanh trục Ox
;axOx
)x(y:)C(
là V = b
a
2
dx.)x(
1.Tính thể tích hình trịn xoay do các hình sau tạ o thành khi quay quanh trụ c Ox: a)y = sinx ; y = 0 ;x = 0 ; x = /2 b) y = cos2x ; y = 0 ;x = 0 ; x = /4
c)y = cos4x + sin4x ; y = 0 ; x = 0 ; x = /2
d)y = cos6x + sin6x ; y = 0 ; x = /4; x = /2