Bài 12 tương giao hàm bậc ba DA

Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=m cắt đường cong y=x3-3x2 tại ba điểm phân biệt?. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm duy nhất.. Hướng dẫn giải: Để đồ thị hàm số cắt t

TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA 

Câu 1 Số giao điểm của đồ thị hai hàm số y=x3-6x2+9x-1,y= -1 x là: 

Hướng dẫn giải:  

PT hoành độ giao điểm: x3-6x2+9x- = - Û1 1 x x3-6x2+10x- =2 0  

PT có 1 nghiệm duy nhất. 

Câu 2 Số điểm chung của đồ thị hàm số y=x3-3x2+1 và trục hoành là: 

Hướng dẫn giải:  

é = Þ = ê

ê = Þ =

Vìy CT.y CD <0. Suy ra đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm. 

Câu 3 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng y= -5 với đồ thị hàm số y=x3+3x2-5. 

A. (0; 5 , 3; 5- ) (- - ).  B. (0; 5 , 3; 5- ) ( - ).  C. ( ) (5;0 , 5; 3- ).  D. ( ) (0;5 , 3; 5- - ). 

Hướng dẫn giải:  

x

x

-ê

ê = Û -ë

Câu 4 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng y= -2 2x với đồ thị hàm số y=x3-3x2+2. 

A. M(-1;4).  B. M( )0;2   C. M(4; 5- ).  D. M(3; 4- ). 

Hướng dẫn giải:  

PT hoành độ giao điểm: 

( ) ( )

2 2; 2

x

x

é = Û ê

ê

ê = Û -ê

Câu 5 Tìm m để đường thẳng  y=m+1 cắt đồ thị hàm số y=x3+3x2-2 tại ba điểm phân 

biệt. 

A. - <2 m<0.  B. - <3 m<1.  C. 2<m<4.  D. 0<m<3. 

Hướng dẫn giải:  

' 3 6 ; ' 0

2

x

x

é = ê

ê = -ë

'

y 

Þ - < + < ÛÛ- < <   

Câu 6 Cho hàm số:  y=(x-1) (x2+mx m+ ). Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba 

điểm phân biệt. 

0

- ¹ <   C. 0<m<4.  D. 

1

0 2

4

m m

é

- ¹ <

ê ê

ê >

ë

Hướng dẫn giải:  

Phương trình hoành độ giao điểm:  

2

1

0 1

x

é = ê

ë

Yêu cầu bài toán Û Phương trình ( )1  có hai nghiệm phân biệt khác 1 

( )

2

2

4

m m

m

m m

m m

¹

ÛíïîD = - > Ûíïî - > Ûíïé > Û êêíï ¹

ïê < ê <

. 

Câu 7 Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=m cắt đường cong y=x3-3x2 tại ba điểm 

phân biệt? 

A. - <4 m<0.  B. m>0.  C. m< -  4 D.  4

0

m m

é < -ê

ê >

ë

Hướng dẫn giải:  

Phương trình hoành độ giao điểm: x3-3x2 =m 

2

x

x

é = ê

ê = ë  

Qua điểm x=0 và x=2 thì y' lần lượt đổi dấu từ dương sang âm và từ âm sang dương. 

Khi đó ta có: x CD =0; y CD =0 và x CT =2; y CT = -4. 

Lập bảng biến thiên, ta thấy để đường thẳng y=m cắt đường cong y=x3-3x2 tại ba điểm  phân biệt Ûy CT <m<y CD, hay - <4 m<0. 

Câu 8 Tìm m để đồ thị hàm số y=x3-3x m- 2-m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. 

A. m> -21.  B. - <2 m<1.  C. - <1 m<2.  D. m<1. 

Hướng dẫn giải:  

2

y = x - y = Û = ±x  

'

y 

Þ - - - < < - - ÛÛ - < <   

Câu 9 Hàm số y=(4-x)(1-x)2 có đồ thị ( )C  Gọi ( )d  là đường thẳng đi qua giao điểm 

của ( )C  với trục Oy và có hệ số góc k. Để ( )d  cắt ( )C  tại 3 điểm phân biệt, giá trị  thích hợp của k là: 

A. k<0 và k¹ -9.  B. k>0 và k¹9.   C. k<1 và k¹ -4.  D. k>1 và k¹ -3. 

Hướng dẫn giải:  

( )C ÇOy=( ) ( )0;4 Þ d :y=kx+4 

PT hoành độ giao điểm:  

2

0

x

é = ê

ë

Để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì PT hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt 

9

k k

k k

ìD = - + > ì <

¹

î

Câu 10 Cho  hàm  số  y=x3+mx+2.  Tìm m  để  đồ  thị  hàm  số  cắt  trục  hoành  tại  điểm  duy 

nhất. 

Hướng dẫn giải:  

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm duy nhất thì hàm số không có cực trị hoặc có 2 cực trị  cùng dấu. 

2

y = x +mÞ y =  vô nghiệm Þm> Þ0  A đúng. 

Câu 11 Tìm m để đồ thị của hàm số 

3

x

y= -mx - +x m+  cắt trục hoành tại ba điểm phân  biệt có hoành độ x x x1, ,2 3 sao cho x12+x22+x32 =15. 

Hướng dẫn giải:  

Phương trình hoành độ giao điểm: 

3 2

2

1 2

0

x x

é = ê

ë

(C) trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 

2

2

0

m

ï

î

( 2 3)2 ( )2 ( )

2 2 2

2 3

2 2

1 2 3 1 2 3 1 x x 2x x 1 3m 1 2 3m 2 15 m 1

Câu 12 Tìm m để đường thẳng y=m x( +1)-3 cắt đồ thị của hàm số  y=x3-3x2+1 tại ba 

điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. 

A. m=1.  B. m=0.  C. m=2.  D. - £1 m£1. 

Hướng dẫn giải:  

( )

3 2

2

1

x

é = -ê

ë

(C) trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 

2

2

9

m m

¹

î

Khi đó, hoành độ giao điểm là: x1=1;x2= -2 m x; 3= +2 m  

1

1 2

2

2

m m

m

ê

- =

ê

ê

Câu 13 Tìm m  để  đồ  thị  của  hàm  số  y= -x3+3x+2m-4  cắt  trục  hoành  tại  ba  điểm  phân 

biệt cách đều nhau. 

A. m=2.  B. m=4.  C. m= -2.  D. m= -4. 

Hướng dẫn giải:  

' 3 3; ' 0

-ê

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau thì: 

(2m-2) (+ 2m-6)= Û0 m=2   

Câu 14 Tìm m để đồ thị của hàm số  3 ( ) 2 ( )

y=x - m+ x + m- x m+ +  cắt trục hoành tại 

ba điểm phân biệt trong đó hai điểm có hoành độ âm. 

A. m< -1.  B. m<1.  C. m> -1.  D. m>1. 

Hướng dẫn giải:  

( )

2

1

x

é = ê

ë

(C) trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 

2

2

0

m

ìD = - - - >

ï

î

Hai điểm còn lại có hoành độ âm 

1

m

ì = < ì <

= - - > <

Câu 15 Tìm m  để  đồ  thị  của  hàm  số  y=x3-(m+1)x2+(m-1)x+1  cắt  trục  hoành  tại  ba 

điểm phân biệt M N P, ,  , trong đó P cố định còn M  và N nằm về hai phía khác 

( ) :

4

A. 

3

2

3

2

m

m

é

£

-ê

ê

ê

ê ³

ê

3 2 3 2

m m

é

< -ê ê ê

ê >

ê

- < <   D.  3 3

- £ £  

Hướng dẫn giải:  

( )

2

1

1 0 *

x

é = ê

ë

(C) trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 

( )

2

2

0

m

m m

ìD = - - >

ï

î

Hoành độ các giao điểm còn lại: 

2 1

2 2

4 2 4 2

x

x

ï = ï í

ï = ï

2

2

2

2

2

3

2 3 3

2 2

3

m

m

ê

êï + + êï < - ê <

í ï

ï

ï

ê

êî

ë

Câu 16 Tìm m để phương trình x3-3x+ -2 m=0 có ba nghiệm phân biệt. 

A. m>0.  B. m<4.  C. 0<m<4.  D. m<0,m>4. 

Hướng dẫn giải:  

Xét hàm số y=x3-3x+2; ' 3y = x2-3; ' 0y = Û = ±x 1  

'

y 

Þ < <   

Câu 17 Với giá trị nào của m thì phương trình x3+3x2-m=0 có ba nghiệm phân biệt? 

A. - <2 m<2.  B. 0<m<4.  C. 1<m<5.  D. - <1 m<2. 

Hướng dẫn giải:  

Phương trình tương đương vớix3+3x2 =m.  

Xét hàm số  f x( )=x3+3x2 liên tục trên .  

( )

ê

ë

Phương trình ( )*  có 3 nghiệm phân biệt khi: 0<m<4 

Dựa vào dạng đặc trưng của đồ thị hàm bậc ba khi có hai cực trị ta khẳng định được phương  trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi0<m<4. 

Câu 18 Cho phương trình 2 3 3 2 2 21 2m 0

x - x + - - =  Với giá trị nào của m thì phương trình đã  cho có ba nghiệm phân biệt. 

3<m< .  B. 

3 1

2

m

< <   C. 0 1

2

m

< <   D.  1 3

4

m

- < <  

Hướng dẫn giải:  

Phương trình trở thành: 2 3 3 2 2 21 2m

x - x + = -  ( )1    Xét hàm số  f x( )=2x3-3x2+2 liên tục trên . Đạo hàm: f '( )x =6x2-6x.  

( )

0

f x

é

ê ê

Phương trình ( )1  có 3 nghiệm phân biệt khi 1 21 2 2 0 1

2

m

m

-< < Û < <  .   

Câu 19 Cho phương trình x3-3x2+3m- =1 0. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho 

có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1? 

A. 1

3

3<m< .  B. 

5 1

3

m

2

3

m

2

3

m

- < <   Hướng dẫn giải:  

Phương trình trở thành:  1 3 2 1 ( )

1

f x = - x +x +  liên tục trên   

( )

1

3

5

3

é

ê ê

= Û ê

ê

Mặt khác: f( )1 =1. Để phương trình ( )1  có 3 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 2 nghiệm lớn  hơn 1 khi và chỉ khi:  5

1

3

m

< <    

Câu 20 Tìm m để phương trình 2x3+3x2-12x-13-m=0 có đúng hai nghiệm phân biệt. 

A.  20

7

m

m

é =

-ê

ê =

13 4

m m

é = -ê

ê =

13 0

m m

é = -ê

ê =

20 5

m m

é = -ê

ê =

Hướng dẫn giải:  

2x +3x -12x-13-m= Û0 2x +3x -12x-13=m  

2

x

x

é = ê

ê =

Để phương trình có đúng 2 nghiệm thì  ( )

( )

7 2

m

ë

Câu 21 Cho phương trình 2x3-3x2 =2m+1. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho 

có đúng hai nghiệm phân biệt: 

2

2

2

m= -  

C

1

2

2

2

m= -  

Hướng dẫn giải:  

Xét hàm số  f x( )=2x3-3x2 liên tục trên .  

( )

ê

-ë

Dựa vào dạng đặc trưng của đồ thị hàm bậc ba khi có hai cực trị ta khẳng định được phương  trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi 

1

2

m

m

é

-ë

. 

Câu 22 Xét phương trình x3+3x2 =m. 

A. Với m=5 thì phương trình có 3 nghiệm. 

B. Với m= -1 thì phương trình có 2 nghiệm. 

C. Với m=4 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 

D. Với m=2 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 

Hướng dẫn giải:  

A. m= Þ5  PT có 1 nghiệm. 

B. m= - Þ1  PT có 1 nghiệm. 

C. m= Þ4  PT có 2 nghiệm. 

D. m= Þ2  PT có 3 nghiệm. 

Câu 23 Với  giá trị nào của m thì đồ  thị hàm  số  y=x3-mx2+4 cắt trục  hoành tại ba điểm 

phân biệt? 

Hướng dẫn giải:  

Đối với dạng bài này ta không cô lập được m nên bài toán được giải quyết theo hướng tích hai  cực trị, cụ thể: 

● Đồ thị cắt trục hoành đúng ba điểm phân biệt ÛyCD.yCT <0. 

● Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm ÛyCD.yCT =0. 

● Đồ thị cắt trục hoành tại duy nhất một điểm ÛyCD.yCT>0 hoặc hàm số không có cực trị. 

y = x - mx=x x- m , suy ra 

0

3

x

x

é = ê

= Û ê

= ê ë

. 

Hàm số có hai cực trị Ûy' 0=  có hai nghiệm phân biệt Û ¹m 0. 

Khi đó yêu cầu bài toán  ( )

3

Û ç ÷< Û ç + ÷< Û >

Câu 24 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y=x3-3mx2+2 có đúng hai điểm chung với 

trục hoành? 

6

2

Hướng dẫn giải:  

Ta có y' 3= x2-6mx=3x x( -2m), suy ra  0

' 0

2

x y

é = ê

= Û

ê = ë

. 

Hàm số có hai cực trị Ûy' 0=  có hai nghiệm phân biệt Û ¹m 0. 

3

1

2

Câu 25 Phương trình x3-3mx+ =2 0 có một nghiệm duy nhất khi điều kiện của m là: 

A. 0<m<1.  B. m<1.  C. m£0.  D. m>1. 

Hướng dẫn giải:  

Phương trình x3-3mx+ =2 0 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 

3 3 2

y=x - mx+  và trục hoành. 

Xét hàm số y=x3-3mx+2, có y' 3= x2-3m=3(x2-m), suy ra y' 0= Ûx2 =m. 

Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với: 

● Hàm số có hai cực trị yCD, yCT thỏa mãn yCD.yCT >0 

m

● Hàm số không có cực trị Û £m 0.  

Kết hợp hai trường hợp ta được m<1. 

Câu 26 Đồ thị hàm số  y=x3-(2m+1)x2+(3m+1)x m- -1 luôn cắt trục hoành tại điểm có 

hoành độ bằng bao nhiêu? 

Hướng dẫn giải:  

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C m  với trục Ox 

3 2 1 2 3 1 1 0 1 2 2 1 0

x - m+ x + m+ x m- - = Û x- x - mx m+ + =  

Câu 27 Tìm m để đồ thị hàm số y=x3-3x2+2 cắt đường thẳng d y: =m x( -1) tại ba điểm 

phân biệt có hoành độ là x1, x2, x3 thỏa mãn x12+x22+x32 =5. 

A. m> -3.  B. m= -3.  C. m> -2.  D. m= -2.  

Hướng dẫn giải:  

( )

3 2

2

1

x

é = ê

ë

. 

Để d cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt Û phương trình ( )*  có hai nghiệm phân biệt khác 1  2

3 3

m m

m

ìD = + + > ì >

¹

î

. 

Giả sử x1=1. Khi đó x2, x3 là hai nghiệm của phương trình ( )*  

Theo Viet, ta có  2 3

2 3

2 2

ï í

=

2 3 4 2 3 2 2 3 4 4 2 2 4 2

Câu 28 Đường thẳng d y: = +x 4 cắt đồ thị hàm số y=x3+2mx2+(m+3)x+4 tại ba điểm 

phân  biệt  A( )0;4 , , B C  sao  cho  tam giác MBC  có  diện  tích  bằng 4,  với M( )1;3   Tập tất cả các giá trị của m nhận được là: 

A. m=2 hoặc m=3.     B. m=3.  

C. m= -2 hoặc m= -3.   D. m= -2 hoặc m=3. 

Hướng dẫn giải:  

Phương trình hoành độ giao điểm :  

( )

( )

3 2

2

0

x

é = ê

ë

Để d cắt ( )C  tại 3 điểm phân biệt khi ( )*  có hai nghiệm phân biệt khác 0  

m

m m

ì = - - > é >

Û í

ê ¹ < -+ ¹

î



.  

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của( )* , theo Viét ta có 1 2

1 2

2

ì + = -ï

í

= +

Giải sửB x x( 1; 1+4 ,) (C x x2; 2+4). 

Ta cóBC= 2(x2-x1)2  và  ( , ) 1 3 4 2

2

1

2

MBC

1 2 1 2

3

2

m

m

é = ê

ê =

Câu 29 Cho hàm số y=x3-3x2+4x+4. Tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ OI



. Điểm I được  chọn sẽ là điểm nào thì sau khi tịnh tiến ta được hàm số Y =X3+X  . 

A. I(- -1; 6).   B. I(1; 6- ).   C. I(-1;6).   D. I( )1;6  

Hướng dẫn giải:  

Giả sử M x y( ),  ở hệ trục tọa độ Oxy và M X Y( ; ) ở hệ trục tọa độ mới  

0

ï

= + ï



Giả sử M( )0;4  ở hệ trục tọa độ Oxy. Thử chọn thấy D thỏa mãn. 

Câu 30 Cho  hàm  số  y=x3+6x2+9x+2.  Tịnh  tiến  hệ  trục Oxy  theo  vectơ OI

    Điểm  I  được chọn sẽ là điểm nào thì sau khi tịnh tiến ta được hàm số Y =X3+3X2. 

A. I( )1;2    B. I(-1;2).   C. I(- -1; 2).   D. I(1; 2- ). 

Hướng dẫn giải:  

Giả sử M x y( ),  ở hệ trục tọa độ Oxy và M X Y( ; ) ở hệ trục tọa độ mới  

0

ï

= + ï



Giả sử M( )0;2  ở hệ trục tọa độ Oxy. Thử chọn thấy C thỏa mãn.