Bài tập tính góc trong hình không gian

Cho hình chóp S ABC... Ta có SBC ABCBC... Cho hình chóp S ABC có.

Bài 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B Bi t AB2 ,a ACB300 Hình

chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a c nh BC và góc t o b i SA và m t đáy

b ng 0

60 Tính cosin c a góc t o b i AH và SC

Gi i:

G i H là trung đi m c a BC , khi đó: SH (ABC), suy ra góc t o b i

60

tan 30 tan

ACB

3 2

BC

7

Xét tam giác SAH ta có: SH AH.tan 600 a 7 3a 21

G i M là trung đi m c a SB , suy ra HM//SC, khi đó:

AH SC,   AH HM,  (1)

Ta có

6

Tam giác AMB vuông t i B nên ta có: AM2 AB2MB24a26a210a2

Xét tam giác AMH có:

cos

AHM

T (1) và (2) suy ra cosin c a góc t o b i AH và SC là cos 42

28

Bài 2 Cho hình chóp đ u S ABC có SA2 ,a AB3a

1. Tính góc gi a SA và m t ph ng đáy ABC

2. Tính tan c a góc t o b i hai m t ph ng (SBC) và (ABC)

Gi i:

G i H là hình chi u vuông góc c a S trên (ABC)

Do S ABC là hình chóp đ u nên H là tr ng tâm tam giác ABC

( ABC đ u nên tr ng tâm, tr c tâm, tâm đ ng tròn ngo i ti p, n i ti p c a tam giác ABC trùng nhau)

1. Ta có SH (ABC), do đó HA là hình chi u c a SA trên (ABC)

Suy ra SA ABC, ( )(SA HA, )SAH

PH NG PHÁP XÁC Đ NH TÍNH NHANH GÓC

ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

600

300 2a

M

H

C

B A

S

G i I là trung đi m c a BC , khi đó tam giác ABC đ u c nh 3a nên:

a

AI  AH  AI a

Xét tam giác SAH ta có:

0

AH a

2. Ta có (SBC) (ABC)BC













(SBC), (ABC) (SI AI, ) SIA

2 3 tan

3

2

SIA IH

HI







V y tan c a góc t o b i hai m t ph ng (SBC) và (ABC) là 2 3

3

Bài 3 Cho hình chóp đ u S ABCD, đáy tâm O và có c nh b ng a G i M N, l n l t là trung đi m c a ,

SA BC Bi t góc gi a MN và (ABCD) b ng 600 Tính sin c a góc t o b i MN và (SAC)

Gi i:

Do S ABCD là hình chóp đ u nên ta có SO(ABCD)

G i P là trung đi m c a AO

Khi đó MP/ /SOMP(ABCD)

Trong tam giác NCP theo đ nh lí cosin ta có:

2

2 cos 45

PN CN CP  CN CP  PN

Trong tam giác vuông MNP ta có :

0

0

10

10 4

cos

a

MN

MNP













3a

2a S

H

I C

B A

N

M

P O

S

H

B A

Do đó MN SAC, ( )NMH

a

NMH

MN

V y sin c a góc t o b i MN và (SAC) b ng 5

10

Bài 4 Cho hình chóp S ABC có SA(ABC), 0

120 BAC , ABAC và a

2 3

a

SA Tính góc t o

b i hai m t ph ng (SBC) và (ABC)

Gi i:

G i M là trung đi m c a BC

Khi đó BC AM BC (SAM)







Suy ra (SBC), (ABC)SMA

Tam giác ABC cân t i A nên

0 cos cos 60

2

a

AM AC MACa 

Trong tam giác vuông SAM có :

0 1

2

AM

(SBC),(ABC) 30

Bài 5 Cho hình l p ph ng ABCD A B C D c nh ' ' ' ' a Tính góc t o b i hai m t ph ng (BA C' ) và

(DA C' ).

Gi i:

G i O là tâm c a hình vuông ABCD H OHA C' (HA C' ) Khi đó:

'

'



V y (BA C' ),(DA C' )(HB HD, )

Trong tam giác vuông A BC có '

'

A BC

BH

3

a

DH  Trong tam giác BHD, áp d ng đ nh lí cosin ta có:

cos

BHD

BH DH



2 2

2

1

2

3

a a

Suy ra BHD1200(HB HD, )600 V y   0

(BA C' ),(DA C' ) 60

O

D'

C' B'

A'

H

D

C B

A

1200

M

S

C

B

A

Bài 6 Cho hình l ng tr đ u ABC A B C ' ' ', đáy có c nh b ng a , c nh bên có đ dài b ng b G i M là

trung đi m c a AB và  là góc t o b i đ ng th ng MC và m t ph ng ' (BCC B' ') Tính tan

Gi i:

G i M N', l n l t là trung đi m c a A B' ' và BC

G i P là trung đi m c a BN Ta có:

'



M t khác MP//AN , nên suy ra MP(BCC B' ')

Do đó MC', (BCC B' ')  MC P'

Tam giác ABC đ u c nh a nên 3

2

a

AN

AN a

MP  

L i có

2

4

a

Suy ra

Trong tam giác vuông C PM ta có '

2 2

'

3 6

PC

a



Bài 7 Cho hình chóp đ u S ABCD đáy có c nh b ng a G i M N, l n l t là trung đi m c a SA SC,

Bi t (BM ND, )600 Tính chi u cao c a hình chóp

Gi i:

G i O là tâm c a hình vuông ABCD và G là tr ng tâm tam giác SAC

ng th ng qua G song song v i BM c t BC F

ng th ng qua G song song v i DN c t AD E

2

FC  GC   GA EA 2

2







Suy ra EF đi qua tâm c a hình vuông ABCD

và O là trung đi m c a đo n EF

T

0

0

60

120

EGF

EGF



*) V i EGF 600

Ta có GEF cân t i G, suy ra GEF đ u 3

2

Hình vuông ABCD có c nh a nên ta d dàng tính đ c 10

3

a

EF 

a

G

F

E N M

C B

A

O

S

D

M'

C'

N

M P

C

*) V i 0

120

6

2

a

6

a

Bài 8.Cho hình l ng tr ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân v i AB AC a  , 0

120

c nh bên BB' G i a I là trung đi m c a CC Tính cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ' (ABC) và

(AB I' )

Gi i:

Cách 1: Kéo dài B I' c t BC t i M, khi đó (ABC), (AB I' )  (ACM), (AIM)

Ta có CI (ACM), do đó ta có cách d ng góc gi a hai m t (ACM) và (AIM) nh sau:

D ng CH AM (HAM)AM(CHI)AMIH, suy ra (ACM), (AIM)CHI

Ta có

/ / ' 1 ' 2







 C là trung đi m c a

2

.sin

ACM ABC

a

BMS S  AB AC BAC

Ta có CM2 CB2  AB2AC22AB AC .cosBAC3a2 BM2BC2a 3

Suy ra

2

14

ACM

CH

2

CHI

V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng (ABC) và (AB I' ) b ng 30

10

Cách 2: Ta có tam giác ABC là hình chi u vuông góc c a tam giác AB I' trên m t ph ng (ABC)

Khi đó g i  (ABC), (AB I' ), suy ra

'

cos ABC

AB I

S S

2

a

B C BC AB AC  AB AC BAC a BI  B C C I 

I

M H

C' B'

A'

C B

A

Khi đó 2 2 2 2 2 2 2 5 2 13 2 2

Suy ra

2 '

'

AB I

a

S  AB AI  M t khác:

2

.sin

ABC

a

S  AB AC BAC

Áp d ng (*), ta có:

2 2 '

ABC

AB I

S

V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng (ABC) và (AB I' ) b ng 30

10

Bài 9. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i C và SA vuông góc v i đáy; SC c

Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) đ th tích kh i chóp SABC l n nh t

Gi i:

G i  là góc t o b i hai m t ph ng (SBC) và (ABC)

(v i 0 0

0   90 )







Do đó SCA Trong tam giác vuông SAC ta có:





Khi đó th tích kh i chóp SABC là:

1 1 3cos2 sin

3 ABC 3

Theo b t đ ng th c AM – GM (Cauchy) ta có:

cos sin (1 sin ) sin

3

2

2

1 sin 1 sin

sin

3

2 3 27

a V

 



 

Bài 10 Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD là hình vuông c nh b ng a , m t bên SAB là tam giác đ u

và n m trong m t ph ng G i I là trung đi m c a AB

1) Tính cosin c a góc t o b i BD và m t ph ng (SAD)

2)Tính cosin c a góc t o b i SD và m t ph ng (SCI)

3)Tính cosin c a góc t o b i hai đ ng th ng IC và SD

Gi i









N

K

H

I

S

D

B

A

S

C

B A

SAB đ u c nh 3

2

a

aSI 

1)D ng BH SA (1) (HSA)





T (1) và (2), suy ra: BH(SAD)

Khi đó DH là hình chi u vuông góc c a DB lên m t (SAD)

Suy ra (BD SAD, ( ))(DH DB, )BDH

Ta có BDa 2 và

2

2

BH  DH  BD BH  a  

DH a

BD

V y cosin c a góc t o b i BD và m t ph ng (SAD) b ng 10

4

2)G i M là trung đi m c a BC và K là giao đi m c a DM và CI khi đó

BIC CMD ICB MDC

Mà DCKICB900DCK CDM 900DMCI





Suy ra SK là hình chi u c a SD lên m t ph ng (SCI) (SD SCI, ( ))(SD SK, )DSK

Ta có tam giác SAD vuông t i A (do DA(SAB) - ch ng minh ý 2) ) Suy ra

2

Ta có

2

DM  CD CM  a   

 

Suy ra

2

2

5

DSK

V y cosin c a góc t o b i SD và m t ph ng (SCI) b ng 15

5

3)D ng đi m N sao cho Alà trung đi m c a IN , khi đó ICDN là hình bình hành , suy ra IC // ND

Suy ra (IC SD, )(DN SD, )

2

a

DNCI DM  và

2

SN SI IN  a 

Áp d ng h qu đ nh lí cosin trong tam giác SND ta có:

2

2

3 10

2 2

2

a

SDN

a

20

IC SD  DN SD  SDN

Bài 11 Cho hình l p ph ng ABCD A B C D c nh ' ' ' ' a i m M thu c đo n BC , N thu' c đo n AB' ng th ng MN t o v i m t ph ng (ABCD) góc  Ch ng minh r ng:

a MN



Gi i:

G i M N', ' l n l t là hình chi u

c a M N, lên m t (ABCD)

Không m t tính t ng quát gi s MM'NN'

và MN M N' ' P

Khi đó MN ABCD, ( )NPN' 

Ta có MM'BM'; NN' AN' a BN'

M t khác MNPNPM







 a (BN'BM')BN'BM'a (do 2(x2y2) (x y)2)

Suy ra

a MN



Bài 12 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông t i B, có SAABa BAC, ,SA(ABC) và góc gi a hai m t ph ng (SAC) và (SBC) là 

1. Ch ng minh r ng

2

1 cos tan tan

cos







2. Tam giác ABC th a mãn đi u ki n gì đ 0

60

Gi i:

1. G i H K, l n l t là hình chi u vuông góc c a A trên SB SC,







Suy ra AHSCSC(AHK)SCKH

Khi đó AKH  (do  0

90 AKH  )

Ta có tan tan BC AH AH BC

AB HK AB HK

Do

~

~







(2)

K

C A

H S

P N'

M'

C'

B' A'

N

M

C

B A

D' D

Thay (2) vào (1) ta đ c: tan tan BC AH SH SC SC

AB HK SA SH SA

M t khác

2

1 cos



Suy ra

2

1 cos cos

SC

SA







2

1 cos tan tan

cos







2. Do 0

60

  nên tan tan   3 tan

2

3tan  2 tan tan  1

Bài 13. Cho hình chóp S ABC có hai m t (SAB), (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABC) Tam giác ABC cân t i đ nh A, trung tuy n AD , đ ng th ng SB t o v i m t ph ng a (ABC) m t góc b ng

 và h p v i m t ph ng (SAD) m t góc b ng 

1)Xác đ nh góc   ,

2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S ABC là

3 sin sin

a



Gi i:

1)Xác đ nh góc   ,

Ta có









Suy ra hình chi u c a SB lên (ABC) là AB

Khi đó SB ABC, ( )(SB AB, )SBA

Tam giác ABC cân t i A có AD là trung tuy n

BDAD , mà ta có: BDSABD(SAD)

Suy ra hình chi u c a SB lên (SAD) là SD

Khi đó SB SAD, ( )(SB SD, )BSD

2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S ABC là

3 sin sin

a



Ta có:

sin

BD SB







Ta có th tích c a kh i chóp S ABC là:

a

S

D

C

B A

1 1 1 2 sin sin 2sin sin

a

V S SA AD BC SA a SB  SB   SB   (2)

sin sin

Thay (2*) vào (*) ta đ c: 3sin sin

a

