Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán khoảng cách trong hình không gian

Trong đó câu hỏi về hình không gian mà nhất là câu hỏi về tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau làm cho học sinh sợ và mất tự tin khi

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BẾN TRE

B N MÔ T SÁNG KI N ẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN ẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN ẾN

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH KHÔNG GIAN

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

cách trong hình không gian (Nguyễn Văn Quí – Trường THPT Chuyên Bến Tre )

III Mô tả bản chất của sáng kiến:

1 Tình trạng giải pháp đã biết:

Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2017-2018 môn toán sẽ được thi bằng hình thức TNKQ , vấn đề nầy làm cho GV và học sinh không ít lo lắng Về phía

GV phải suy nghĩ dạy như thế nào để các em làm chủ được kiến thức, kĩ năng đáp ứng tốt với hình thức thi TNKQ.

Trong đề thi tham khảo môn toán năm 2018 của BGD, chúng ta thấy 30 câu đầu thuộc dạng nhận biết, thông hiểu, 20 câu cuối thuộc dạng câu hỏi vận dụng cao đòi hỏi học sinh phải suy luận Trong đó câu hỏi về hình không gian mà nhất

là câu hỏi về tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau làm cho học sinh sợ và mất tự tin khi giải quyết vấn đề nầy.

Trong phần hình học không gian, các bài toán về khoảng cách chiếm vị trí quan trọng Tuy nhiên trong thực tế lại có rất nhiều học sinh sợ học phần này Vì vậy tác giả đã chọn chuyên đề "Khoảng cách trong không gian", nhằm giúp các em học sinh có một cách nhìn rõ ràng hơn về phương pháp giải các bài toán tính khoảng cách

Chuyên đề nêu lên ba phương pháp tính khoảng cách trong không gian, mỗi phương pháp tương ứng với một phần của chuyên đề:

Phần I Công thức chuyển đổi khoảng cách

Phần II Phương pháp sử dụng thể tích

Phần III Phương pháp gắn hệ trục tọa độ

Hiện nay có rất nhiều tài liệu cũng như các sách tham khảo viết về vấn đề nầy, tuy nhiên các tài liệu ấy đa phần là thiên về giải bài tập mà ít phân tích và chỉ ra các phương pháp hữu hiệu giải quyết vấn đề.

2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ngoài các cách thông thường tôi chú trọng đến " công thức chuyển đổi khoảng cách", một công cụ hữu hiệu khi dùng để tính khoảng cách Đó là nội dung của phần I Nội dung của phần nầy là để tính d(A,(P)) ta có thể chuyển về tính d(B,(P)) nếu việc tính d(B,(P)) thành công thì bài toán được giải quyết Vấn đề nầy cũng được đề cập ở một số tài liệu, tuy nhiên điểm mới là GV hướng dẫn HS biết viết một dãy các suy luận ngược có dạng:

d(A,(P)) ? < d(B,(P)) ? < -d(C,(P)) ?

Để tính khoảng cách trong không gian, chúng ta còn có thể sử dụng phương pháp thể tích Ta biết một tứ diện có thể coi là hình chóp tam giác với đỉnh là đỉnh bất kì của tứ diện Như vậy dùng thể tích ta cũng có được một cách để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phằng dễ dàng Ngoài ra trong phần 2, tôi còn giới thiệu một công thức để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, công thức nầy giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các câu hỏi trắc nghiệm về tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau Bài toán nầy được quy về việc tính thể tích một tứ diện và độ dài các cạnh của tứ diện ấy Nội dung công thức

ấy như sau:

Công thức nầy được suy ra từ công thức: 1 sin

6

ABCD

V  AB CD d 

CASIO để tìm ra kết quả một cách nhanh chóng Cần chú ý là nếu độ dài các cạnh phụ thuộc vào a thì ta cho a = 1 để bấm máy, khi được kết quả ta nhân thêm a.

Phần III nêu lên phương pháp tính khoảng cách nhờ gắn tọa độ.

Phần 1:

CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỔI KHOẢNG CÁCH

I Công thức chuyển đổi khoảng cách

Cho hai điểm phân biệt ,A B và mặt phẳng ( ) P , A B, ( )P  Khi đó:

- Nếu đường thẳng AB song song với ( ) P thì d A P ;( ) d B P ;( )

- Nếu đường thẳng AB cắt ( ) P tại điểm I thì  

;( )

;( )

Ứng dụng của “công thức chuyển đổi khoảng cách” rất lớn Bởi vì khi bài toán

yêu cầu tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) P ta có thể chuyển về tính

khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng ( ) P dễ tính hơn.

II Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thang, ABCBAD 900,

chiếu vuông góc của A trên SB Tính khoảng cách từ H tới mặt phẳng (SCD)

Phân tích: Sơ đồ chuyển khoảng cách:

 

d H SCD  d B SCD  ;   d A SCD  ;  

Hướng dẫn giải:

Ta có

2

2

3

SB

điểm của đường thẳng AB CD, Dễ chứng minh AC vuông

góc với CD Gọi K là hình chiếu của A lên SC Khi đó

AK là khoảng cách từ A lên (SCD) Ta lại có :

 

 

2

3

a

BS

 

 

2

;

AE

Từ (1) và (2) ta có

 

Ví dụ 2 Cho hình hộp ABCD A B C D , có ' ' ' ' ' A A A B ' 'A D' 'a 3,AB' 3 a, 2



BD a , AD'a 3 Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng AB D ' '

Phân tích : Sơ đồ chuyển khoảng cách : d C AB D ; ' '   d A AB D '; ' ' .

Hướng dẫn giải :

K

C B

E S

H

Gọi H là hình chiếu của A' lên AB D' ' Khi đó các tam giác vuông A HA A HB A HD' , ' ', ' ' bằng nhau suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácAB D' '

Theo công thức Hê –rông ta có :

2 ' '

11 2

AB D

a

' '

AB D

HA

Từ đó ta có

2

Lại theo công thức chuyển khoảng cách ta có :

2 '

A E

Từ đó suy ra khoảng cách từ C tới  AB D là ' ' 2 6

11

a

Ví dụ 3 Cho hình chóp đều S ABCD có đáy là hình vuông tâm O , cạnh bằng a ,

SA a Gọi K là trung điểm của cạnh SC

a) Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng ( SAB ;)

b) Tính khoảng cách từ C và K tới mặt phẳng ( SAB )

Hướng dẫn giải:

a) Do S ABCD là hình chóp đều nên SO(ABCD)

Gọi I là trung điểm của AB thì OI AB, do đó (SOI)(SAB)

Kẻ OH SI H,( SI) thì OH (SAB)

Do đó d O SAB ;( ) OH

2

a

2

a

Lại có

2

a

OI  Do đó tam giác SOI vuông tại

O có:

a OH

6

a

b) Ta có CO(SAB)A Do đó

E

B'

C' D'

C A

B D

A'

K H

I

O

D

C B

A S

 

Ta lại có tam giác SAC có OK SA Do đó OK (SAB) Suy ra

 ;( )  ;( )

6

a

3

a

6

a

Ví dụ 4.(D-11) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB3a

, BC 4a Mặt phẳng (SBC vuông góc với () ABC Biết ) SB2a 3,  0

30



Tính khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng ( SAC theo a )

Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng (SBC kẻ ) SH BC H, BC

Xét tam giác SBH vuông tại H có  SBH 300

3 2

SB

2

4

Hạ HI AC I, AC Kẻ HK SI K SI, 

Dễ dàng có HK (SAC) HK d H SAC ;( )

Ta có ABC vuông tại B AC  AB2BC2 5a

CAB

a HK

7

Ví dụ 5 (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác vuông, ' ' '

, '

Phân tích: Gọi N là trung điểm của BB' Khi đó B C' song song với mặt phẳng

(AMN)

Sơ đồ chuyển khoảng cách:

K I

H C

B A

S

Hướng dẫn giải:

Lại có :

1

BN

Suy ra d B C AM ' ;  d B AMN ;   h

Xét tứ diện vuông B AMN. có:

7

h

Ví dụ 6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AB a AD , 2 ,a AA' 3 a Gọi

,

M N lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính khoảng cách giữa AB C'  và A C D' ' ;

b) Tính khoảng cách giữa A C' và MN

Hướng dẫn giải :

a) d AB C  '  ; A C D' '   d B A C D '; ' '  

Gọi E là giao điểm của B D' ' và A C' '

1 ' '; ' '

D E

Xét tứ diện vuông D A C D' ' ' với h d D  ';A C D' '   ta có:

a h

Như vậy ta được   '  ; ' '   6

7

a

c) Ta có

'; ' '

Xét tứ diện C C A D ' ' ', kẻ đường cao C J' của tam giác

' '

CC D Khi đó C J' d C ';A D C' '  

'

a

C J

10

 a

E D'

C' B'

C B

A'

I

N M

D'

C' B'

C

A'

D A

B

J

N M

B

A

C

B'

Ví dụ 7 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình chữ nhật, AB a AC a ,  2, SA 2a

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD BC, Biết rằng mặt phẳng (SDN) và mặt phẳng (SAC) cùng vuông góc với (ABCD) Tính khoảng cách giữa SA và CM

Phân tích : Sơ đồ chuyển khoảng cách :

 ;   ;    ;    ;  

Ví dụ 8 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy là tam giác vuông ở B Cạnh bên SA

vuông góc với đáy Từ A kẻ các đoạn thẳng ADSB AE, SC D SB E SC,(  ,  ) Biết AB BC a SA  , 2a

a) Tính diện tích tam giác ADE ;

b) Tính khoảng cách từ E đến ( SAB )

Lời giải:

a) Xét tam giác SAB vuông ở A có:

a AD

2

a

Dễ dàng có BC(SAB) BCAD Mà ADSB

nên AD(SBC)

(2)











Từ (2) suy ra DESC (do AE SC) Ta được SDE KK SCB Suy ra

4

a a

DE

Từ (1) ta được

2

ADE

b) Ta có

a

E D

S

C

B A

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a ' ' '  , 2

BC  a Mặt bên BCC B là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy' '

và hợp với mặt bên ABB A một góc ' '  Tính khoảng cách từ A tới mặt bên

BCC B ' '

Bài 2 Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với

BC  a ABC  Gọi M là trung điểm của cạnh BC Biết SA SC SM  a 5

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC )

b) Tính khoảng cách từ S đến AB

Bài 3 Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có AB'a 22;BC' 4 ; a AC a 2;BAC450 Tính khoảng cách giữa hai đáy lăng trụ và góc giữa AB' và BC'

Bài 4 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, SAB ABCD, góc giữa SAD và  SBC là  30 , 0 SD a 2 Tính thể tích của khối chóp S ABCD. và khoảng cách giữa AD và SC

Bài 5 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác vuông tại A, ' ' ' 2 , 2

3

a

và cot  ABC , A BC'   2 Tính theo a khoảng cách từ ' B tới mặt phẳng A BC ' 

Bài 6 Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông ABC tại B ,

AB a BC a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC trùng với)

trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa SA và đáy là 45 o Tính G và khoảng

cách từ G tới SAC 

Bài 7 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, hai mặt chéo SAC , SBD

cùng vuông góc với đáy, AB a BC a ,  3, điểm I SC sao cho SI 2CI và thỏa

mãn AI SC Tính góc giữa SA và đáy

Bài 8 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB3 ,a BC2a Các

mặt bên SAB , SBC , SCA cùng hợp với đáy góc 60 o Kẻ đường cao SH của hình

chóp Tính SH

Bài 9 Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D,

AB CD a AD a , SA vuông góc với đáy Tính SA trong các trường hợp sau: a) Góc SBC và đáy góc  

b) Góc giữa SAB , SCD bằng  

c) Góc giữa SAD , SBC bằng  

d) Góc giữa SCD và  SCB bằng  

Bài 10 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh , ' ' ' a cạnh bên AA'a Gọi M N lần lượt là trung điểm của , BC AA Giả sử , ' A M'  ABC Tính khoảng cách từ A' tới mặt BCC B và tính góc giữa BN và AC ' '

Bài 11 Cho hình chóp đều .S ABC có AB a , ( )P là mặt phẳng đi qua A và trung

điểm M của SB đồng thời song song với BC ( )P cắt SC tại N Tính SA biết rằng

 

( )P  SBC

Bài 12 Cho hình chóp S ABC có chân đường cao hạ từ S xuống đáy là tâm đường

tròn nội tiếp tam giác ABC và đáy ABC là tam giác vuông tại A có

AB a AC a Góc giữa cạnh bên SA và đáy là 60 o Tính khoảng cách từ S tới đáy

Bài 13 Cho lăng trụ ABC A B C có ' ' ' ABAC4 ,a BAC 120o và

'  '  '

hai đáy của lăng trụ và khoảng cách AA và BC '

Bài 14 Cho hình chóp đều .S ABCD có AB a Gọi  P là mặt phẳng qua trung

điểm M của SB và qua AD , cắt SC tại N Tính SA biết rằng  P vuông góc với

SBC 

Bài 15 Cho hình chóp .S ABCD có SA ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB a AD a SA a  Tính:

a) Góc giữa các mặt phẳng SCD và  SBC ;  SBC và  SAC ;  SBC và  SBD 

b) Khoảng cách giữa SC và BD

c) Tính góc giữa AC và SB

Bài 16 Cho hình chóp đều S ABCD có AB a SA , 2a Tính:

a) Góc giữa các mặt phẳng SCD và  SBC ;  SBC và  SAC ;  SBC và  SBD ;

SBC và  SAD 

b) Khoảng cách giữa SC và BD

Bài 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc

với mặt phẳng đáy và SA a 3 Tính khoảng cách từ:

a) Trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng ( SAC ;)

b) Điểm A đến mặt phẳng ( SBC ;)

a) Tâm O của hình vuông ABCD đến mặt phẳng ( SBC )

Dựng hai đoạn BB'a CC, ' 2 a cùng vuông góc với ( ) và ở cùng một bên đối với ( ) Tính khoảng cách từ:

a) Điểm 'C đến mặt phẳng ABB ;'

b) Trung điểm của 'B C đến mặt phẳng ACC ;'

c) Điểm 'B đến mặt phẳng  ABC ;'

d) Trung điểm của BC đến mặt phẳng AB C ' 

Bài 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a AD , 2a

, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD Suy ra khoảng cách từ)

trung điểm I của cạnh SC đến mặt phẳng ( SBD ;)

b) Gọi M là trung điểm của CD Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBM )

Bài 20 Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

ABC  , SA SB SC  2a Tính theo a khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC)

Bài 21 Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC a ,    ASB900, BSC 900,

120



ASC Gọi I là trung điểm của cạnh AC Chứng minh rằng SI vuông góc với

mặt phẳng (ABC và tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng () ABC )

Bài 22 Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác cân đỉnh A, AB a BAC ,  ,

2 2

a

SA SB SC   Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC Tìm điều kiện) của  để bài toán có nghĩa

Bài 23 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a , ' ' ' AA vuông' góc với mặt phẳng (ABC Đường chéo ) BC của mặt bên ' BCC B hợp với' '

ABB A góc ' ' 30 0

a) Tính AA ;'

b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng BA C ;' '

c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB Tính góc giữa MN và mặt phẳng ' BA C' '

Bài 24 Cho lăng trụ ABC A B C có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Gọi ' ' ' , ,

D E F lần lượt là trung điểm các cạnh BC A C C B Tính khoảng cách giữa các , ' ', ' ' cặp đường thẳng:

a) DE và AB ;' b) 'A B và ' ' B C ; c) DE và ' A F

Bài 25 Cho lăng trụ ABC A B C có ' ' ' AA vuông góc với mặt phẳng ABC và'

'

AA a Đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC2 ,a AB a 3

a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng ' BCC B ;' '

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng A BC ;' 

c) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng  ACC A và tính khoảng ' '

cách từ 'A đến mặt phẳng ABC '

Bài 26 Cho hình chóp S.ABC có SA ABC, SA a Xác định hình chiếu của S lên mặt (SBC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) trong các trường hợp sau:

a) ABC vuông tại A, AB b AC c , 

b) ABC đều cạnh a

c) ABC cân tại B,  120 ,

2

o a

Bài 27 Cho hình chóp S.ABC, SAABC , SA a 3, tam giác ABC cân tại A,

 120 ,o

A AB a Gọi M là trung điểm của SA Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MBC)

Bài 28 [D-07] Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thang, AD2AB2BC 2a,

DABABC Cạnh bên SAABCD SA a,  2, Gọi H là hình chiếu của A

lên SB

a) Chứng minh SCD vuông

b) Tính khoảng cách từ H tới (SCD)

Bài 29 Cho S ABC là một tứ diện có ABC là một tam giác vuông cân đỉnh B và

2

AC a ; cạnh SA vuông góc với mặt  ABC và SA a 

1 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

2 Gọi O là trung điểm AC Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC

Bài 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB2 ,a BC a Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a

1. Tính thể tích của hình chóp S ABCD

2. Gọi M N E F lần lượt là trung điểm của , , , AB CD SC SD Tính khoảng cách , , ,

từ S tới mặt phẳng MEF

3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD

Bài 31 Cho hình lập phương ABCD A B C D , có cạnh bằng a Tính theo a khoảng ' ' ' ' cách giữa hai đường thẳng A B B D ' , ' 

Bài 32 Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a , Gọi , ' ' ' ' M N lần lượt là trung

điểm của AB CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ' ,, A C MN

Bài 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a AD a  SA a  và SA vuông góc với mặt ABCD Gọi , M N lần lượt là

trung điểm của DA SC ; I là giao điểm của , BM AC Chứng minh rằng mặt , SAC 

vuông góc với mặt SMB Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Bài 34 Cho hình chóp S ABCD , ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , A 600 và

đường cao SO a

a) Tính kc từ O đến (SBC)

b) Tính khoảng cách giữa AD SB ,

Bài 35 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

a) Tìm khoảng cách giữa các cặp cạnh đối

b) Tìm khoảng cách từ A tới mặt BCD 

Bài 36 Cho tứ diện SA SB SC đôi một vuông góc với nhau và , , SA a SB b SC c ,  , 

a) Tính khoảng cách từ S tới mặt  ABC 

b) Tính khoảng cách AB với SC