CHỦ ĐÊ: XÁC SUẤT VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THẦY NGUYỄN TIẾN CHINH

Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB; Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600.. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và góc giữa hai

1.Đội tuyển văn nghệ của trường THPT Bình Minh có 3 học sinh khối nữ khối 12 ,

4 học sinh nam khối 11 và 2 học sinh nữ khối 10 Để thành lập đội tuyển văn nghệ dự thi cấp tỉnh nhà trường cần chọn 5 học sinh từ 9 học sinh trên Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có cả học sinh nam , học sinh nữ và có cả học sinh ở ba khối

2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm Ivà có cạnh bằng a,

S

H

E K

Số hạng tổng quát của khai triển trên là C ( 1) 220k  k 20k x20 3 k

a) 1 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 2 2

Bài 2.

Kẻ Ax//BD nên BD//(SAx) mà SA (SAx)

(BD,SA) (BD, (SAx)) (B, (SAx)) 2 (H, (SAx))

3 Gọi hình chiếu của S trên AB là H

Ta có SH  AB SAB, ( )(ABCD) AB SAB, ( )(ABCD)SH (ABCD)

Vậy hệ số của x8 trong khai triển P(x) là C ( 1) 2204  4 16

1 ) Trong một bình có 2 viên bi trắng và 8 viên bi đen Người ta bốc 2 viên bi

bỏ ra ngoài rồi bốc tiếp một viên bi thứ ba Tính xác suất để viên bi thứ ba là bi trắng

2. ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB; Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và góc giữa hai đường thẳng SB và AC

Bài 3.

H

D

C A

B

S

Tính được:

3

+) Do A A'  A B'  A C' và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

nên A K' ABC( 'A AC)ABC

BC AC Trên các đoạn A B A A ’ , ’ lần lượt lấy M N , sao cho MA ’  2 BM AA , ’  3 ’ A N

Tính thể tích khối tứ diện MNKL , biết A L  ’ 10.

2 Cho hình chóp S ABC có độ dài các cạnhSA  BC  x SB ,  AC  y SC ,  AB  z

thỏa mãn x2  y2  z2  12 Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC.

Bài 4.

1 Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 8 người từ 20 người, mỗi kết quả của phép thử

ứng với một cách chọn được 8 người từ 20 người => Số phần tử của không gian

2 +) Từ giả thiết suy ra tam giác ABC đều cạnh a và SH(ABC) với H là tâm của

tam giác đều ABC => AH = 3

3

a

và SH là đường cao của hình chóp S.ABC

Từ giả thiết => SA = a 3 => trong tam giác vuông SAH vuông tại H có

2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng

3

a Tính thể tích khối chóp S.ABC và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp S.ABC theo a

Bài 5.

+) Diện tích tam giác ABC bằng:

+) SH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trong mặt phẳng (SAH) kẻ

đường trung trực của cạnh SA cắt SH tại I => I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp S.ABC có bán kính R = IS Hai tam giác vuông SMI và SHA đồng dạng =>

A Vậy tập A có 1

5

A + 2 5

A + 3 5

A + 4 5

A + 5 5

a

+ Gọi G là tâm của tam giác ABC, qua G kẻ đt (d) // A’H cắt AA’ tại E

+ Gọi F là trung điểm AA’, trong mp(AA’H) kẻ đt trung trực của AA’ cắt (d) tại I

=> I là tâm m/c ngoại tiếp tứ diện A’ABC và bán kính R = IA

Ta có: Góc AEI bằng 600, EF =1/6.AA’ = a/6

3

1 Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm các chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Lấy ngẫu nhiên một số trong A , tính xác suất để lấy được số có chứa chữ số 3

2 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc 300 Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ

ABC.A’B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC

Bài 6.

  G

4

1 Đội bóng chuyền nam Trường THPT Hùng Vương có 12 vận động viên gồm 7 học sinh K12 và 5 học sinh K11 Trong mỗi trận đấu, Huấn luyện viên Trần Tý cần chọn ra 6 người thi đấu Tính xác suất để có ít nhất 4 học sinh K12 được chọn.

2 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1 có đáy ABC là tam giác đều, cạnh AB a,

M H

5

1 Trong một đợt phỏng vấn học sinh trường THPT Kim Liên để chọn 6 học sinh đi du

học Nhật Bản với học bổng là được hỗ trợ 75% kinh phí đào tạo Biết số học sinh đi phỏng vấn gồm 5 học sinh lớp 12C3, 7 học sinh lớp 12C7, 8 học sinh lớp 12C9 và 10 học sinh lớp 12C10 Giả sử cơ hội của các học sinh vượt qua cuộc phỏng vấn là như nhau Tính xác suất

a) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(ACB’ )

Bài 8.

Gọi A là biến cố có ít nhất 2 h/s lớp 12C3 được chọn

4427501

 P A A

k

x C

x C

8

0

8 2 8

8

2

.3.2.3

.2.3

2

Số hạng trong khai triển chứa 6

x khi 16-2k = 6 hay k = 5 Vậy hệ số của 6

x trong khai triển là: C85.25. 33 48384

3 a) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

Diện tích tam giác ABC là:

2

1

2

1

a BC AB

1

1

2 2 2

2

2

a HK a

HE HI

1 Một hộp đựng 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ, 5 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó

ra 3 viên bi Tính xác suất để 3 viên bi vừa lấy ra có đúng 2 viên bi cùng màu

2 Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC),



SA a 6, AB AC a 3, góc BAC bằng 120 ; lấy điểm M trên cạnh BC sao 0cho MC = 2MB Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC

Bài 9.

H

M

C A

a

*) Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABC ta có :

BC2 = 2AB2 – 2AB2cos1200  BC = 3a  MB = a

Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABM ta có:

1 Một hộp chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp

ra 4 viên bi Tính xác xuất để 4 viên bi được chon có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất

2 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a hình chiếu vuông góc của A’ trên ABC là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’)

Bài 10

Vậy    

 

1691

+Gọi I là hình chiếu vuông góc của của H trên AC; K là hình chiếu vuông góc của

H trên A’I Suy ra HK d H ,ACC A' ' 

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 0

60





ABC Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 0

60 Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên SI

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a

Bài 11

E I





SCA ABCD

SA

3 0

1. Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó

có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và một môn do thí sinh tự chọn trong số các môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí Trường A có 30 học sinh đăng kí

dự thi, trong đó có 10 học sinh chọn môn Lịch sử Lấy ngẫu nhiên 5 học sinh bất kỳ của trường A, tính xác suất để trong 5 học sinh đó có nhiều nhất 2 học sinh chọn môn Lịch sử

2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a, hình chiếu của S lên mặt phẳng

(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AH Góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC) bằng 0

60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và

BC

Bài 12

111010.

a AK

theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MN

Bài 13

d N SBF AF

1 Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ

số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 60 0 Tính thể tích khối chóp

S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a.

Ta có SH CH.tan600  CB2 BH2.tan600 a 15.

2

Qua A vẽ đường thẳng  song song với BD Gọi E là hình chiếu vuông góc của

H lên  và K là hình chiếu của H lên SE, khi đó  (SHE) HK suy ra

a AH

31

2.C C

+ TH2: 1Đ, 2T, 1V có 1

7 2 5 1

2.C C

+ TH3: 2Đ, 1T, 1V có 1

7 1 5 2

2.C C

Vậy số cách lấy 4 viên bi có đủ 3 màu là 2

7 1 5 1

2.C C

7 2 5 1

2.C C

7 1 5 2

6161001

3851001

3 5



1 Trong một hộp kín đựng 2 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 7 viên bi vàng ( các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc) Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi, tìm xác suất để 4 viên bi lấy ra không có đủ cả ba màu

2 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

Bài 15

111010.

, kết hợp với điều kiện của n ta được n 18

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là:  

2 Người khách thứ nhất có 5 cách chọn một cửa hàng để vào

Người khách thứ hai có 5 cách chọn một cửa hàng để vào

Người khách thứ ba có 5 cách chọn một cửa hàng để vào

Người khách thứ tư có 5 cách chọn một cửa hàng để vào

Người khách thứ năm có 5 cách chọn một cửa hàng để vào

Theo quy tắc nhân có 5.5.5.5.5 = 3125 khả năng khác nhau xảy ra cho 5 người vào

5 cửa hàng Suy ra số phần tử của không gian mẫu là:  3125

Để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 khách vào thì có các trường hợp (TH) sau:

TH1: Một cửa hàng có 3 khách, một cửa hàng có 2 khách, ba cửa hàng còn lại không có khách nào TH này có C C C C 51 53 41 22 200 khả năng xảy ra

TH2: Một cửa hàng có 3 khách, hai cửa hàng có 1 khách, hai cửa hàng còn lại không có khách nào TH này có C C C P 51 53 42 2 600 khả năng xảy ra

TH3: Một cửa hàng có 4 khách, một cửa hàng có 1 khách, ba cửa hàng còn lại không có khách nào TH này có C C C 51 54 41 100 khả năng xảy ra

1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

5

12

n

x x

n   thỏa mãn điều kiện C n0C1n1C n n2 10n30

2 Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó Tính xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào

Bài 16

TH4: Một cửa hàng có 5 khách, các cửa hàng khác không có khách nào TH này

có C 51 5 khả năng xảy ra

Suy ra có tất cả 200 600 100 5   905 khả năng thuận lợi cho biến cố “có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào”

3! 

1 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ

số sao cho trong mỗi số đó có đúng ba chữ số 1, các chữ số còn lại đôi một khác nhau và hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB2 , ADa a 3 Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Biết đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 450 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD

Bài 17

B

C A

S

K

I

N

2 Gọi hình chiếu của S trên AB là H

Ta có SH  AB SAB, ( )(ABCD) AB SAB, ( )(ABCD)SH (ABCD)

Kẻ Ax//BD nên BD//(SAx) mà SA (SAx)

(BD,SA) (BD, (SAx)) (B, (SAx)) 2 (H, (SAx))

Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H trên Ax và SI

Chứng minh được HK  (SAx)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và HC

Gọi E là trung điểm CD  AE // HC  HC // (SAE)

 d(HC, SA) = d(HC, SAE) = d(H, SAE)

Hướng dẫn giải

a) Tìm hệ số của số hạng chứa 10

x trong khai triển của biểu thức :

5 3

2

2

3x x

x là : 1 1 4 1

5 1 3 2 810

b) Một hộp chứa 20 quả cầu giống nhau gồm 12 quả đỏ và 8 quả xanh Lấy ngẫu

nhiên3quả Tính xác suất để trong 3 quả cầu chọn ra có ít nhất một quả cầu màu

2

2

3x x

3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC, gọi M là điểm thuộc cạnh

SC sao cho MC 2MS Biết AB3, BC3 3 , tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BM.

Bài 18

111010.

Gọi Hlà trung điểm ABSH AB ( do

3

77

1. Một trường có 55 đoàn viên học sinh tham dự đại hội Đoàn trường, trong đó khối 12 có

18 em, khối 11 có 20 em và 17 em khối 10 Đoàn trường muốn chọn 5 em để bầu vào ban chấp hành nhiệm kì mới Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho 5 em được chọn có cả 3 khối, đồng thời có ít nhất 2 em học sinh khối 12

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAa 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết tam giác SAB cân và góc giữa SD với mặt đáy bằng 300

a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC

Bài 19

Hướng dẫn giải

1.Chọn 5 em học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán xảy ra 3 trường hợp:

+ Trường hợp 1: Khối 12 có 2 em, khối 11 có 2 em, khối 10 có 1 em:

AH  AF SA  

O

E D

A S

F H

C

C C C C C C A P

2

Gọi I SOAM Do (P) // BD và HK (P)(SBD) nên HK //BD

Do đó từ I ta kẻ đường thẳng song song với BD sẽ cắt SB tại H và cắt SD tại K

Gọi J là trung điểm của MC

Ta có HK // BD, OJ // AM do đó

SM

SC SI

SO SM

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M là điểm di động trên SC và (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD Tìm các giao điểm H và K của (P) với SB và SD

Chứng minh

SM

SC SK

SD SH

SB



 là một hằng số.

Bài 20