MỘT số vấn đề về hàm đơn điệu TOÁN tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂMKHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Nguyễn Thị Vân MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015... KHOA H

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

Nguyễn Thị Vân

MỘT SỐ VẤN ĐỀ

VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2015

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

NGUYỄN THỊ VÂN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ

VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Hồ Minh Toàn

Hà Nội – Năm 2015

Mục lục

1.1 Toán tử tuyến tính và ma trận 4

1.2 Giá trị riêng và vectơ riêng 5

1.3 Toán tử nửa xác định dương Toán tử xác định dương 8

1.4 Ma trận khối 9

2.1 Hàm toán tử 12

2.2 Hàm đơn điệu toán tử 15

2.3 Một số phép toán trên tập các hàm đơn điệu toán tử 17

2.4 Ví dụ 19

2.5 Hàm đơn điệu toán tử trên không gian Hilbert vô hạn chiều 23

3 Một số đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử 26

3.1 Tính chất trơn 26

3.2 Đặc trưng Hansen – Pedersen 27

3.3 Biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu toán tử 40

Kết luận chung 53

Ký hiệu toán học

B (H) Không gian các toán tử tuyến tính trên không gian

Hilbert H

Mn Không gian các ma trận vuông cấp n trên trường số

phức C

A∗ Toán tử liên hợp của toán tử A

A > 0 (> 0) Toán tử nửa xác định dương (xác định dương).B(H)sa Tập các toán tử Hermite trên không gian Hilbert H

Msan Tập các ma trận Hermite cấp n

σ (A) Phổ của toán tử A

r (A) Bán kính phổ của toán tử A

KerA Hạch của toán tử A

ImA Miền giá trị của toán tử A

Diag (α1, , αn) Ma trận đường chéo với các phần tử α1, α2, , αn

nằm trên đường chéo

Ck(J ) Lớp các hàm khả vi liên tục cấp k trên khoảng J

Một trong những lớp hàm quan trọng và hữu ích của hàm thực là

lớp các hàm đơn điệu toán tử Năm 1934, nhà toán học L¨owner đã giới

thiệu lớp hàm này trong một bài viết chuyên đề [1] Lớp hàm này phát

sinh tự nhiên trong lí thuyết ma trận và toán tử và thuyết L¨owner đã

chỉ ra hàm đơn điệu toán tử thuộc lớp hàm Pick Năm 1936, Kraus đã

chứng minh tính đơn điệu toán tử có liên quan chặt chẽ với tính lồi/

lõm toán tử Cho đến nay, đây luôn là lĩnh vực thu hút sự quan tâm của

nhiều nhà toán học trên thế giới Nó có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực

như toán học, vật lí, kĩ thuật điện, đặc biệt ứng dụng trong phân tích

các mạng điện, nghiên cứu các vấn đề về hạt cơ bản Lí thuyết Kubo

– Ando được giới thiệu trong [5] giữ vai trò quan trọng trong lí thuyết

mạng và thông tin lượng tử Mặc dù đã có nhiều công trình nghiên cứu

về đề tài này song nó vẫn còn rất nhiều vấn đề mở cần được nghiên cứu

Đây cũng là một đề tài còn khá mới đối với nền Toán học Việt Nam Tài

liệu chuyên khảo [4] của tác giả Fumio Hiai và [7] của tác giả Rajendra

Bhatia là một trong những cẩm nang khá đầy đủ và chi tiết về hàm

đơn điệu toán tử Bản luận văn đã trình bày lại một số kết quả chọn

lọc về hàm đơn điệu toán tử được trích dẫn từ các tài liệu này Khi tìm

Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân

hiểu về hàm đơn điệu toán tử, tác giả quan tâm đến đặc trưng Hansen

– Pedersen và biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu toán tử trên tập số

thực không âm Ngoài ra, tác giả trình bày các ví dụ minh họa cho các

Chương 2 "Hàm đơn điệu toán tử" trình bày khái niệm hàm đơn

điệu toán tử, một số phép toán bảo toàn tính đơn điệu toán tử và đưa ra

ví dụ minh họa cho lớp hàm này Ngoài ra, tác giả trình bày khái niệm

hàm đơn điệu toán tử trên không gian Hilbert vô hạn chiều

Chương 3 "Một số đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử" là phần

chính của luận văn, tác giả trình bày đặc trưng Hansen – Pedersen và

biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu toán tử trên tập số thực không

âm Đồng thời, tác giả cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho các đặc

trưng này

Bản luận văn được tác giả hoàn thành tại Viện Toán học, Viện

Khoa học và Công nghệ Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu

sắc tới TS Hồ Minh Toàn, người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong

suốt quá trình tìm hiểu và hoàn thiện luận văn Tác giả cũng xin chân

thành cảm ơn các thầy cô giáo, cán bộ nhân viên và các bạn học viên

của Viện Toán học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình

học tập và thực hiện bản luận văn này

Dù đã cố gắng rất nhiều song do trình độ và thời gian còn hạn chế

nên bản luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót Tác giả rất mong nhận

được sự góp ý chân thành từ quý thầy cô để bản luận văn hoàn thiện

hơn Tác giả xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 27 tháng 08 năm 2015

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Vân

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Cho H là không gian Hilbert phức n chiều với tích vô hướng h., i Kí

hiệu B (H) là không gian các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert

H và Mn là không gian các ma trận vuông cấp n trên trường số phức C.Gọi {e1, e2, , en} là cơ sở trực chuẩn của H

Xét ánh xạ

Φ : B (H) → Mn

A 7→ [aij]ni, j=1, aij = hei, Aeji ; i, j = 1, 2, , n

Ta có Φ là đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn

Φ (AB) = Φ (A) Φ (B) , Φ (A∗) = (Φ (A))∗với mọi A, B ∈ B (H) ,trong đó toán tử A∗ là toán tử liên hợp của A được xác định bởi

hx, Ayi = hA∗x, yi , ∀x, y ∈ H

Do vậy, ta đồng nhất B (H) với Mn

Ta gọi kAk = inf {K > 0 : kAxk 6 K kxk , ∀x ∈ H} là chuẩn của toán

tử A

Định lý 1.1 kAk = sup

x6=0

kAxkkxk = supkxk=1kAxk.

Một số dạng toán tử thường gặp

Định nghĩa 1.1 Toán tử A được gọi là toán tử co nếu kAk 6 1

Toán tử A được gọi là toán tử Hermite nếu A∗ = A Kí hiệu B(H)sa

là tập các toán tử Hermite trên không gian Hilbert H

Toán tử A được gọi là toán tử Unita nếu U∗U = I

Toán tử A được gọi là toán tử chuẩn tắc nếu AA∗ = A∗A Toán tửHermite và toán tử Unita là các trường hợp đặc biệt của toán tử chuẩn

tắc

Cho H là không gian Hilbert n chiều và toán tử A ∈ B (H) Ta nói

λ ∈ C là một giá trị riêng của toán tử A nếu phương trình Ax = λx cónghiệm x không tầm thường Khi đó, x được gọi là một vectơ riêng của

A ứng với giá trị riêng λ

Ker (A − λI) là không gian con riêng ứng với giá trị riêng λ

Tập các giá trị riêng của A được gọi là phổ của A, kí hiệu là σ (A)

Bán kính phổ của A: r (A) = max {|λ| : λ ∈ σ (A)}

Bán kính số của A: w (A) = sup

Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân

(ii) r (A) 6 w (A) 6 kAk Dấu "=" xảy ra nếu và chỉ nếu A là chuẩntắc

Định lý 1.2 [4, Theorem 1.4.1, p 144] Nếu toán tử A chuẩn tắc, tức

là A∗A = AA∗ thì luôn tồn tại λ1, , λn ∈ C và u1, u2, , un ∈ H saocho {u1, u2, , un} là cơ sở trực chuẩn của H và Aui = λiui với mọi

i = 1, 2, , n, tức là mỗi λi là một giá trị riêng của A và ui là vectơriêng tương ứng

Định lý 1.3 [4, Theorem 1.4.6, p 146] Với mỗi ma trận chuẩn tắc

A ∈ Mn thì tồn tại λ1, , λn ∈ C và ma trận Unita U ∈ Mn sao cho

A = U Diag (λ1, , λn) U∗ (1.1)

Hơn nữa, λ1, , λn được xác định duy nhất là các giá trị riêng của Atính cả bội

Chứng minh Theo Định lí 1.2, tồn tại λ1, , λn ∈ C và u1, , un ∈ Cn

sao cho u1, , un là cơ sở trực chuẩn của Cn và Aui = λiui với mọi

i = 1, 2, , n Khi đó, ma trận U = [u1u2 un] là Unita với u1, u2, , un

là n vectơ cột của U Ta có

AU = [Au1Au2 Aun] = [λ1u1λ2u2 λnun]

= [u1u2 un] Diag (λ1, , λn) = U Diag (λ1, , λn) Suy ra biểu diễn (1.1)

Hệ quả 1.1 Cho ma trận chuẩn tắc A ∈ Mn Giả sử σ (A) = {α1, , αm},

αi 6= αj với i 6= j và Pj là phép chiếu trực giao trên không gian con riêng

Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân

Với α1 = 2, không gian con riêng sinh bởi vectơ (1; 1) và phép chiếutrực giao của A trên không gian riêng đó là P1 =



1/2 1/2

hu, X∗BXui = hXu, BXui > hXu, AXui = hu, X∗AXui

Suy ra X∗BX > X∗AX

Cho H1 và H2 là hai không gian Hilbert hữu hạn chiều Kí hiệu B (H1, H2)

là không gian các toán tử tuyến tính từ H1 vào H2

Định nghĩa không gian tổng trực tiếp

H1 ⊕ H2 := {x1 ⊕ x2|x1 ∈ H1, x2 ∈ H2}với tích vô hướng

hx1 ⊕ x2, y1 ⊕ y2i := hx1, y1i + hx2, y2i , x1, y1 ∈ H1, x2, y2 ∈ H2

Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân

Toán tử A ∈ B (H1 ⊕ H2) được biểu diễn bởi ma trận khối cấp 2

Chương 2

Hàm đơn điệu toán tử

Trong chương này, ta định nghĩa hàm xác định trên tập các toán tử

Hermite Từ đó, trình bày khái niệm hàm đơn điệu toán tử và một số

phép toán bảo toàn tính đơn điệu toán tử Các mục 2.1, 2.2, 2.3, 2.4,

ta xét H là không gian Hilbert hữu hạn chiều, mục 2.5 là mở rộng định

nghĩa hàm đơn điệu toán tử trên không gian Hilbert vô hạn chiều

Ví dụ 2.1.1 Với mỗi toán tử A ∈ B(H)sa.

(a) Hàm lũy thừa f (x) = xp Ta có

Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân

Nhận xét 2.1 Cho hàm f : J → R

(a) f bất biến qua tương đương Unita

(b) Nếu f > 0 (> 0) thì với mỗi A ∈ B(H)sa, f (A) > 0 (> 0)

Bổ đề 2.2 Cho hai toán tử A, B ∈ B(H)sa với σ (A) , σ (B) ⊂ J Khiđó

Chứng minh Vì A, B là toán tử chuẩn tắc nên tồn tại U, V ∈ B(H) là

các toán tử Unita sao cho

A = U∗D1U, B = V∗D2V,trong đó

D1 = diag (α1, α2, , αn) , αi ∈ σ (A) ,

D2 = diag (β1, β2, , βn) , βi ∈ σ (B) Suy ra

Định nghĩa 2.1 Cho hàm thực f xác định trên khoảng J

(i) Hàm f được gọi là đơn điệu toán tử cấp n nếu với mọi A, B ∈

(iii) Hàm f lõm toán tử nếu (−f ) lồi toán tử

Nhận xét 2.2 Hàm f đơn điệu toán tử thì hàm f đơn điệu tăng trên

J Hàm f lồi toán tử thì hàm f lồi trên J

Ví dụ 2.2.1 (a) f (t) = a + bt là hàm đơn điệu toán tử với a ∈ R, b > 0.Hàm f lồi toán tử với mọi a, b ∈ R

Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân

2.3 Một số phép toán trên tập các hàm đơn điệu

toán tử

(i) Hợp thành của hai hàm đơn điệu toán tử

Cho hàm f : J → R và g : I → R với I ⊃ f (J) là các hàm đơnđiệu toán tử Khi đó hàm g ◦ f : J → R đơn điệu toán tử trên J.Thật vậy, với A, B ∈ B(H)sa, σ (A) , σ (B) ⊂ J và A 6 B thì

Suy ra g ◦ f đơn điệu toán tử

(ii) Tổ hợp tuyến tính không âm các hàm đơn điệu toán tử là hàm đơn

điệu toán tử, nghĩa là cho các hàm thực f1, , fn đơn điệu toán tửtrên khoảng J và α1, , αn > 0, ta có

Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân

(2) Với mỗi λ ∈ J , hàm ϕt(λ) đơn điệu toán tử trên J và µ là độ

đo xác suất trên J Khi đó f (t) =

Z

J

ϕt(λ) dµ (λ) là hàm đơnđiệu toán tử trên J

Chứng minh (2) Với mỗi λ ∈ J , ϕA(λ)−ϕB (λ) > 0 với mọi A > Btrên B(H)sa, σ (A) , σ (B) ⊂ J Ta có:

ϕA(λ) − ϕB(λ) = U D (λ) U∗,trong đó D (λ) = Diag (α1, , αn) với α1, , αn là các giá trị riêngcủa ϕA(λ) − ϕB (λ) và U là Unita

J

D (λ) dµ (λ)



U > 0hay f (A) > f (B)

Nhận xét 2.3 Tích và thương của hai hàm đơn điệu toán tử chưa chắc

là hàm đơn điệu toán tử

Ví dụ 2.3.1 Hàm f (t) = g (t) = t đơn điệu toán tử trên [0, ∞) nhưng

f (t) g (t) = t2 không đơn điệu toán tử

λ + t đơn điệu toán tử trên (0, ∞).

Chứng minh (i) Cho B > A > 0

Nếu B = I thì I > A > 0 và IA = AI = A Theo Mệnh đề 1.3, ta có

A−1 = A−1/2IA−1/2 > A−1/2AA−1/2 = I−1.Suy ra f (A) 6 f (I)

Nếu A, B 6= I Ta có

I = B−1/2BB−1/2 > B−1/2AB−1/2.Suy ra

−I = f (I) > f B−1/2AB−1/2
= −B1/2A−1B1/2,hay I 6 B1/2A−1B1/2

t đơn điệu toán

tử trên (0, ∞) Lại có hàm h (t) = 1 + t đơn điệu toán tử trên (0, ∞)

Suy ra f (t) = g ◦ h (t) đơn điệu toán tử trên (0, ∞)

Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân

Ví dụ 2.4.2 Chứng minh nếu c /∈ (α, β) thì f (t) = (c − t)−1 đơn điệutoán tử trên (α, β)

Chứng minh Cho A, B ∈ Msan với σ (A) , σ (B) ⊂ (α, β) và A > B

Nếu c 6 α thì A − cI > B − cI > 0 Vì f (t) = −t−1 đơn điệutoán tử trên (0, ∞) nên (A − cI)−1 6 (B − cI)−1 Suy ra (cI − A)−1 >(cI − B)−1 hay f (A) > f (B)

Nếu c > β thì 0 < cI − A 6 cI − B Suy ra (cI − A)−1 > (cI − B)−1hay f (A) > f (B)

Ví dụ 2.4.3 Xét tính đơn điệu của hàm f (t) = at + b

c+

bc − ad

t đơn điệu toán tử trên (0, ∞) nếu bc − ad < 0 hay ad − bc > 0.

Do đó f = h ◦ g đơn điệu toán tử trên (0, ∞) nếu và chỉ nếu

ad − bc > 0

Định lý 2.1 Hàm f (t) = tp đơn điệu toán tử trên [0, ∞) với p ∈ [0, 1].Chứng minh Xét A, B ∈ B(H)sa, A > B > 0 Đặt ∆ := {p ∈ R : Ap > Bp}

Vì p 7→ Ap và p 7→ Bp là các hàm liên tục nên ∆ là tập đóng Dễthấy 0, 1 ∈ ∆ Để chỉ ra [0, 1] ⊂ ∆, ta chỉ cần chứng minh với p, q ∈ ∆

thì p + q

2 ∈ ∆

Vì p, q ∈ ∆ nên Ap > Bp và Aq > Bq Theo Mệnh đề 1.3, ta có

A−p/2BpA−p/2 6 A−p/2ApA−p/2 = I

Lại có

Bp/2A−p/2 2 = Bp/2A−p/2
∗ Bp/2A−p/2
= A−p/2BpA−p/2 6 1.Suy ra Bp/2A−p/2 6 1

Với p > 1, hàm f không đơn điệu toán tử (xem ví dụ 2.2.1)

Ví dụ 2.4.4 Xét tính đơn điệu toán tử của hàm f (t) = et trên khoảng(0, ∞)

Cho A, B ∈ B(H)savới σ (A) , σ (B) ⊂ (0, ∞) và A 6 B

Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân

Trường hợp 2 : AB 6= BA Ta có hàm f không đơn điệu toán tử trên

u =

√4t2 + 1 + 12t , v =

√4t2 + 1 − 12t

Lấy t = 0, 5, ta có detK ≈ −97, 899 < 0.

Suy ra eB − eA không nửa xác định dương

vô hạn chiều

Cho H là không gian Hilbert vô hạn chiều và P (H) là tập các phép

chiếu trực giao trên H Ta có định lí phổ cho toán tử vô hạn chiều

Định lý 2.2 [8, The Spectral Theorem, p 216] Với mỗi A ∈ B(H)sa,tồn tại duy nhất độ đo P trên X = [− kAk , kAk] với các giá trị trong

P(H) sao cho

A =Z

X

Bây giờ ta mở rộng định nghĩa hàm toán tử trên không gian Hilbert

vô hạn chiều

Cho f là một hàm thực (liên tục) xác định trên khoảng J Theo Định

lí 2.2, với mỗi A ∈ B(H)sa, σ (A) ⊆ J , ta có

A =Z

σ(A)

λP (λ)

Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân

Ta định nghĩa f (A) như sau

f (A) =

Z

σ(A)

f (λ) P (λ)

Như vậy, định nghĩa hàm toán tử được mở rộng trên tập B(H)sa với

H là không gian Hilbert vô hạn chiều Khái niệm hàm đơn điệu toán tử

trên không gian Hilbert vô hạn chiều cũng được định nghĩa một cách tự

nhiên như sau

Định nghĩa 2.2 Hàm thực (liên tục) f xác định trên khoảng J được

gọi là đơn điệu toán tử nếu

A 6 B ⇒ f (A) 6 f (B) ,với mọi A, B ∈ B(H)sa; σ (A) , σ (B) ⊆ J

Kí hiệu Pn là lớp các hàm đơn điệu toán tử cấp n trên khoảng J và

P∞ là lớp các hàm đơn điệu toán tử trên khoảng J Trong không gianHilbert vô hạn chiều, ta có

tử cấp n với mọi số nguyên dương n (giống Định nghĩa 2.1)

Với mỗi số nguyên dương n, ta có

Pn+1 ( Pn.Khẳng định này được chỉ ra trong [6] nhưng chứng minh được hoàn

thành trong [3]

Lớp hàm nội suy

Một hàm h xác định trên (0, ∞) được gọi là nội suy cấp n nếu với mọi

tập n điểm S ⊂ (0, ∞), tồn tại hàm f ∈ P sao cho f (s) = h (s) , ∀s ∈

S Kí hiệu tập các hàm nội suy cấp n là Cn Năm 1961, Foias và Lions

đã tìm ra lớp hàm nội suy và chứng minh được

∩Cn = P∞.Năm 2007, Y Ameur, S Kaijser, S Silvestrov đã chỉ ra trong [11]

C1 ! C2 ! C3 ! C4 ⊇ C5 ⊇ C6 ⊇

Câu hỏi mở cần được nghiên cứu thêm: Bao hàm Cn ! Cn+1, n =

4, 5, 6, còn đúng không?

Chương 3

Một số đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử

Trong chương này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về đặc trưng Hansen

– Pedersen và biểu diễn tích phân của hàm đơn điệu toán tử trên tập số

thực không âm Do thời gian có hạn nên tác giả chỉ xét trên không gian

Hilbert hữu hạn chiều và mục 3.1 chỉ nhắc lại nội dung một số định lí

chính về tính chất trơn của hàm đơn điệu toán tử được dùng cho việc

chứng minh các kết quả trong mục 3.2 và 3.3

f[1](D) = f[1](λi, λj)ni,j=1.Nếu A ∈ Msan và A = U DU∗ với U là toán tử Unita thì

f[1](A) = U f[1](D) U∗.Định lý 3.1 [7, Theorem V.3.4, p 126] Cho f ∈ C1(I) và A ∈

Msan với σ (A) ⊂ I Khi đó, f là hàm đơn điệu toán tử trên I nếu vàchỉ nếu f[1](A) > 0

Định lý 3.2 [4, Theorem 2.4.1, p 163] Nếu hàm f đơn điệu toán tử

cấp 2 trên khoảng (a, b) thì f là C1 trên khoảng (a, b), f0 > 0 và f0 làhàm lồi trên (a, b) nếu f khác hằng số

Định lý 3.3 [4, Theorem 2.4.3, p 166] Cho n ∈ N, n > 2 và f là hàmgiá trị thực trên (a, b) Khi đó hàm f đơn điệu toán tử cấp n khi và chỉ

khi hàm f là C1 và f[1](λi, λj)ni,j=1 > 0, với mỗi việc chọn λ1 < λ2 < < λn trên (a, b)

Định lý 3.4 [7, Theorem V.3.6, p 127] Mọi hàm đơn điệu toán tử trên

I thì khả vi liên tục trên I

Định lý 3.5 [7, Theorem V.3.10, p 129] Cho f ∈ C2(I) và f là hàmlồi toán tử Khi đó với mỗi µ ∈ I, hàm g (λ) = f[1](µ, λ) đơn điệu toántử

Trong phần này, chúng ta nghiên cứu mối quan hệ giữa hàm đơn điệu

toán tử và hàm lồi toán tử dựa trên phương pháp Hansen – Pedersen

trong [2] sử dụng tính chất của ma trận khối cấp 2