Một số vấn đề về hàm lồi và ứng dụng trong giải tích lồi

Lời nói đầuGiải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết toánhọc nói chung, các bài toán cực trị và các ngành toán học ứng dụng nói riêng.Hàm lồi là kiến thức cơ

Lời nói đầuGiải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết toánhọc nói chung, các bài toán cực trị và các ngành toán học ứng dụng nói riêng.Hàm lồi là kiến thức cơ bản nhất của giải tích lồi Việc nghiên cứu, tìm hiểu vềhàm lồi và ứng dụng của nó trong giải tích lồi là rất cần thiết Vì vậy chúng tôi

đã chọn đề tài “Một số vấn đề về hàm lồi và ứng dụng trong giải tích lồi”.

Mục đích của đề tài là nêu lên một số nội dung chính của hàm lồi và 5 định

lý quan trọng của giải tích lồi

Khoá luận đợc chia làm hai chơng:

Chơng 1 trình bày những kiến thức cơ bản và các vấn đề liên quan đến hàmlồi

Chơng 2 trình bày một số định lý quan trọng của giải tích lồi

Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh với sự giúp

đỡ, hớng dẫn nhiệt tình và chu đáo của thầy giáo TS Trần Xuân Sinh và những

ý kiến đóng góp của các thầy giáo thuộc tổ Điều khiển khoa Toán

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy hớng dẫn và các thầygiáo trong tổ Điều khiển và các thầy giáo trong khoa Toán đã tạo điều kiện giúp

đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận

Cho các điểm x1, x2, , x k  R n Điểm x = 



k i

1.1.1.2 Đoạn thẳng

Cho 2 điểm x1, x2  R n Tập hợp các điểm là tổ hợp lồi của hai điểm đã cho

gọi là đoạn thẳng nối x1, x2, ký hiệu [x1, x2] Nghĩa là

Từ khái niệm đoạn thẳng cho thấy: Tập M lồi khi và chỉ khi đoạn thẳng nối 2

điểm thuộc M thì nằm trọn trong M

Ví dụ: Các nửa không gian là các tập lồi

Các tam giác và hình tròn là các tập lồi

Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi

1.1.1.4 Hớng chấp nhận đợc

Cho tập hợp M lồi và điểm x0  M Hớng z  R n đợc gọi là chấp nhận đợc từ

x0 nếu tồn tại 0  0 sao cho

1.1.1.10 Tập lồi đa diện

Cho các nửa không gian M i = x  R n : x, c i  i

Dễ dàng thấy rằng các tập M i là tập lồi

Tập M = i I M i gọi là tập lồi đa diện (I hữu hạn)

Nếu tập lồi đa diện không có phơng vô tận thì gọi là đa diện lồi.

1 ) Khi đó tích Đề cac A1A2 A m là tập lồi trong Y1Y2 Y m

1.1.2.4 Mệnh đề Cho ánh xạ tuyến tính T: R n  R n Khi đó

a) A lồi thuộc R n thì T(A) lồi.

b) B lồi thuộc R n thì nghịch ảnh T-1(B) của B là tập lồi.

Từ định nghĩa 1.1.1 ta có đính lý sau:

1.1.2.5 Định lý Giả sử tập A lồi thuộc R n , với x1, , x m  A, theo đó, A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1, , x m

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp

Với m = 2, với mọi 1, 2  0, 1 + 2 = 1, x1, x2  A, theo định nghĩa 1.1.3

ta có 1x1 + 2 x2  A.

Giả sử kết luận đúng với m = k Ta sẽ chứng minh rằng với mọi x1, , x m 

gọi là trên đồ thị (epigraph) của hàm f.

Hàm f đợc gọi là lồi trên M nếu tập epif lồi trong R n R.

1.2.1.2 Miền hữu hiệu (effective danain) của hàm f, kí hiệu là domf, đợc

Hàm f lồi thì domf lồi.

Thật vậy, tập domf là hình chiếu của epif trên M

Ta thấy, trên đồ thị của nó là một nửa không gian trong R n  R không chứa

đờng thẳng đứng, do đó epif là tập lồi thì f(x) là hàm lồi, hay

Lấy (x(*), r)  epi(.) nghĩa là x(*)  r, x(*)  M lồi

(y(*), s)  epi(.) nghĩa là y(*)  s, y(*)  M lồi.

Hay x + (1- )y  epi(.).

Do đó epi(.) là tập lồi, nên   là hàm lồi

Ví dụ 3: Hàm một biến bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a > 0) là hàm lồi.

Chứng minh Lấy (x, r)  epif nên f(x)  r hay ax2 + bx + c  r,

(y, s)  epif nên f(y)  s hay a y’y 2 + b y ’y + c’y  s.

Xét (x, r) + (1- )y.

Ta có

(x, r) + (1- )y = (x, r) + (1- )(y, s) = (x + (1- )y; r + (1- )s).

(X + (1- )y ; r + (1- )s)  epif   ((X, r) + (1- )(y, s))  epif.

Vậy epif là tập lồi, suy ra f là hàm lồi

Ví dụ 5: Giả sử M  R n , M   Khi đó hàm chỉ (indicatos function) (.\ M)

Ví dụ 7: Hàm khoảng cách của tập lồi M  R n (M  )

d M (x) = yinfM x - y

Từ đó

f[x + (1- )y]  f(x) + (1- )f(y)  r + (1- )s

Tức là

[x + (1- )y , r + (1- )s]  epif Hay là (x, r) + (1- )(y, s)  epif 

1.2.2.Tính chất (Bất đẳng thức Jensen).

Cho X là tập lồi Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi  i  0 (i = i = 1 ,k ), 

) (

i i k

i k

k

f

1 1

1

1 1

1 ) 1

1

1 1

k i i k

 f(x i).

1.2.3 Hệ quả Cho X là tập lồi Hàm f : X  [-, +] là lồi khi và chỉ khi

f(x + (1 -)y)  r + (1 -)s, (2.3) trong đó   [0, 1] và x, y  X thoả mãn f(x)  r, f(y)  s.

Điều kiện đủ: Cho f(x + (1 -)y)  r + (1 -)s chứng minh f lồi.

Lấy (x, r)  epif, (y, s)  epif Khi đó

là lồi.

Chứng minh Đặt A = x  X : f(x)   Theo tính chất 1.2.4, A lồi và do

đó

A = I A lồi

Định nghĩa Hàm f xác định trên tập lồi X đợc gọi là thuần nhất dơng

(poritively homogencous), nếu với mọi x  X,   (0, +), ta có

2 2

Từ đó cho thấy epif là nón lồi, vậy f lồi 

1.2.7 Hệ quả Giả sử f là hàm lồi chính thờng, thuần nhất dơng Khi đó

Khi đó f là hàm lồi

(Hay tổng của các hàm lồi là hàm lồi).

Chứng minh Theo tính chất 1.2.3 ta cần chứng minh

Cho qua giới hạn của vế phải khi   0+, ta đợc

f(x) - f(y)  f(y), x - y 

Nhận xét Tính chất 1.2.9 có ứng dụng trong lý thuyết quy hoạch lồi Bài

toán quy hoạch lồi có dạng:

lồi

X xmin f(x), trong đó f là lồi.

Sử dụng tính chất 1.2.9 thì ta có f lồi khi và chỉ khi

f(y), x - y  f(x) - f(y), (x, y  X).

 f(y * ) = xminXlồif(x).

Định nghĩa Cho hàm lồi f(x) xác định trên tập lồi X Điểm x0  X đợc gọi là cực tiểu địa phơng của f(x) nếu tồn tại lân cận x0sao cho

f(x0)  f(y) = f[x’y + (1 - ) x0]  f(x’y) + (1 - )f(x0), (vì f lồi).

Suy ra f(x0)  f(x’y),x’y  X

Với mọi  > 0,  đủ bé thì

f(x0)  f(x’y), x’y  X.

Bất đẳng thức trên nói lên rằng x0 là cực tiểu tuyệt đối (toàn cục) 

x1 < 1 < 1x1 + 2x 2 sao cho

f(1x1 + 2x2) - f(x1) = (1x1 + 2x2 - x1)f’y(1)

1 2 2 1 1

1 2

2 1

(

x x x

x f x x

1 2

2 1 1 1

) (

x x x

x f x x

2 1 1 1

) (

x x

x f x x

Cũng theo định lý Lagrăng tồn tại 2, 1x1 + 2x 2 < 2 < x2 sao cho

2 2 1 1 2

2 2 1 1 2

x x x

x x f x f

2 2 1 1 2

x x

x x f x f

x x

x x f x f

2 1 1 1

) (

x x

x f x x

x x

x x f x f

Vậy f(x) là hàm lồi trên [a, b] 

Vì vậy, epif đóng theo tất cả các tập L f đóng.

Ngợc lại, giả sử tất cả các tập L f đóng, ta chứng minh epif đóng.

Thật vậy,

L f =  L f (*) Giả sử (x0, 0) epif Để chứng minh epif đóng, ta chứng minh tồn tại lân cận V của (xo, o) sao cho

(epif)  V = .

Bởi vì (x0,0) epif cho nên x  L 0f Từ công thức (*) suy ra  > 0 sao

cho x0  L f Do đó, tồn tại lân cận V của xo sao cho

Tính chất lồi của hàm không giống tính chất đóng Cụ thể nếu hàm f lồi thì

tất cả các tập mức dới của nó là lồi Nhng điều ngợc lại không đúng

Chẳng hạn: Hàm f(x) = x3 (x  R) có tất cả các tập mức lồi, nhng f không lồi trên R.

Hàm f(x) = x 12, (x R) có tất cả các tập mức lồi nhng f không lồi.

1.2.15 Tính chất.

Cho (X  R) là tập lồi trong R n+1 , và f(x) = inf  R : (x, )  (X  R) Khi đó f là hàm lồi trên R n

Chứng minh áp dụng tính chất 1.2.3 ta suy trực tiếp kết quả 

p i : các số thực lấy giá trị hữu hạn hoặc p i = - 

y q y

p y

q p

Xét tập lồi M  X Y với X là không gian tuyến tính, Y = R n Giả sử p  q và với mỗi điểm u = (x, y) x  X, y  Y có ít nhất một điểm (x', y')  M sao cho y' = - y với mọi  > 0.

2.1.1 Bổ đề Hoàng Tụy

Với những giả thiết đã nêu, để một hàm lồi f(u) trên M thoả mãn hệ thức

p, q, y + f(u)  0, (u = (x, y)  M) (2.1) thì điều kiện cần và đủ là có một vectơ a = (a i )  R n sao cho p  a  q và

n

i 1

 a i y i + f(u)  0 (2.2) Chứng minh Điều kiện cần:

Với n = 1 ta kiểm tra thấy mệnh đề đúng.

Xét với n > 1, với mỗi u = (x, y) ta thấy:

Khi y = 0 thì hiển nhiên.

Khi y  0, ta đặt

f(u0)  1y f(u) - 1y'f(u').

Nhng f(u0) = (x0, y0) với y0 = 0, theo (2.1) ta có f(u0)  0

Do vậy, với mọi u = (x, y), y > 0 và u' = (x', y'), y' < 0 ta có

maxz, p  minv, q và a  R sao cho p  a  q, z  t  v.

Từ z  t  v, suy ra với mọi u = (x, y), y  0 ta có

ay + f(u)  z(u).y + f(u) = 0.

Giả sử bổ đề đúng với n = k -1, ta chứng minh bổ đề đúng với n = k.

Ký hiệu M+ = (x, y)  M, y k > 0

M- = (x, y)  M, y k < 0

M0 = (x, y)  M, y k = 0

Nếu M0 = M thì theo giả thiết quy nạp bổ đề đúng.

Nếu M0  M thì có ít nhất một u = (x,y), y k  0, theo giả thiết ban đầu ta có

2.1.2 Các trờng hợp riêng của bổ đề Hoàng Tụy

Trờng hợp 1: Khi p, q, y là các số thực, từ bổ đề Hoàng Tụy ta có hệ quả

2.1.2.1 Hệ quả Với giả thiết đã nêu, nếu một hàm lồi f xác định trên M

2.1.2.2 Hệ quả Nếu M là tập lồi, nhận O làm điểm trong tơng đối thì điều

kiện cần và đủ để tồn tại vectơ a  R2 sao cho p  a  q và a,y = 0, y  M thì

p, q, y  0, y  M.

Trờng hợp 3: Nếu M là tập hợp các nghiệm của hệ phơng trình Ax  0, trong

đó A là ma trận cấp m  n và p = q, ta có hệ quả (gọi là bổ đề Farkas):

2.1.2.3 Hệ quả (Bổ đề Farkas)

Muốn cho p, x  0 với mọi x nghiệm đúng Ax  0, điều kiện cần và đủ là tồn tại một vectơ z  R k , sao cho z  0 và p = A * z.

(trong đó A* là ma trận chuyển vị của A)

Đ 2 Định lý Hahn - Banach

2.2.1 Một số kiến thức cơ sở

2.2.1.1 Không gian tuyến tính Một tập hợp X đợc gọi là một không gian

tuyến tính nếu ứng với mỗi cặp phần tử x, y  X, theo một quy tắc nào đó, ta đợc một phần tử thuộc X, ta gọi tổng của x và y (ký hiệu là x + y) Khi đó ứng với mỗi phần tử x  X và mỗi số thực , theo một quy tắc nào đó, ta đợc một phần

tử thuộc X, gọi là tích của x với  (Ký hiệu là x).

Đồng thời các quy tắc vừa nêu phải thõa mãn 8 điều kiện sau:

2.2.1.2 Không gian định chuẩn Một không gian tuyến tính X nếu ứng với

mỗi x  X, ta có một số x, gọi là chuẩn của nó, sao cho với x, y  X và một

số thực  thoả mãn các điều kiện

i) x > 0 nếu x  0 và x = 0 nếu x = 0

ii) ax =   x

iii) x + y  x + y.

Khi đó không gian tuyến tính X đợc gọi là không gian định chuẩn.

2.2.1.3 Dãy cơ bản Cho không gian định chuẩn X, dãy x n  gọi là dãy cơ bản nếu

m n m





2.2.1.4 Không gian Banach Không gian Banach X (còn gọi là “không gian

đủ”) là không gian định chuẩn X có mọi dãy cơ bản đều hội tụ.

2.2.1.5 Phiếm hàm, phiếm hàm tuyến tính.

Cho không gian tuyến tính X Một số hàm f(x) xác định trên X mà lấy giá trị thực (hoặc phức) đợc gọi là một phiến hàm trên X.

Nếu với x, x1, x2  X và   R thoã mãn

+ f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)

+ f(x) = f(x)

Khi đó X gọi là phiếm hàm tuyến tính.

2.2.1.6 Không gian liên hợp Cho phiếm hàm tuyến tính f liên tục, xác định

trên không gian định chuẩn X Khi đó chuẩn của f đợc xác định là

 x f f

1





x sup

Tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian tuyến tính định

chuẩn X lập thành một không gian tuyến tính định chuẩn X * và X * đợc gọi là

không gian liên hợp của X

2.2.1.7 Dới tuyến tính, sơ chuẩn.

 Cho không gian tuyến tính X, hàm f : X  R đợc gọi là dới tuyến tính nếu f(x1+x2)  f(x1) + f(x2), với  x1, x2  X

f(x) = f(x), x  X và   0.

 Một phiếm hàm dới tuyến tính f đợc gọi là một sơ chuẩn nếu với mọi số

 ( thực hoặc phức tuỳ vào không gian ta đang xét) ta có

f(x) =  f(x).

2.2.1.8 Cho tập M  X, điểm a  M đợc gọi là điểm bọc của M nếu với mỗi

vectơ t  X, tồn tại một số  > 0 sao cho toàn đoạn thẳng nối (a - t) với (a + t) nằm trọn trong M.

Cho tập lồi M, điểm x0 M đợc gọi là điểm trong của M nếu với mỗi x  M thì tồn tại y  M mà x0 = x + (1 - )y, (0 <  < 1)

Chú ý: Nếu tập M có điểm trong thì mọi điểm bọc của M cũng là điểm

Việc chứng minh có thể xem [1]

2.2.1.10 Tiên đề Zorn Nếu tập S đợc sắp một phần và mọi tập con đợc sắp

tuyến tính của S đều có cận trên thì S phải có một phần tử tối đại .

2.2.2 Định lý Hahn- Banach

2.2.2.1 Định lý Cho một phiếm hàm tuyến tính f, xác định trong không

gian con M của không gian tuyến tính thực X Nếu có một hàm dới tuyến tính  xác định trong X, sao cho

f(i = x)  (i = x) (i = x  M)

thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F(i = x) xác định trên X sao cho

1) F là khuếch của f, nghĩa là F(x) = f(x) (x  M)

2) F(x)  (x) (x  X).

Chứng minh Cho f1, f2 là 2 phiếm hàm tuyến tính xác định tơng ứng trên hai

không gian con M1, M2 của X Nếu M1  M2, f1(x) = f2(x), x  M1, f2(x) 

(x), x  M2, ta kí hiệu f1 < f2 Ta cần chỉ ra tồn tại hàm F xác định trên X và

có f < F (theo nghĩa “<” nh đã nêu).

Gọi C = Phiếm hàm tuyến tính g: f < g Khi đó C   vì f  C và đợc sắp

một phần bởi liên hệ “<”

Nếu P là một tập hợp con đợc sắp tuyến tính của S thì cận trên của nó là

phiếm hàm có miền xác định bằng hợp của tất cả các miền xác định của các

phiếm hàm g  P và trùng với giá trị của từng phiếm hàm g ấy trên miền xác

định của g Vậy theo tiên đề Zorn, C phải có một phần tử tối đại F Ta hãy chứng minh rằng miền xác định của F là toàn không gian X Khi ấy F sẽ thoả

mãn yêu cầu của định lý

Giả sử ngợc lại, có một phần tử x0  X không thuộc miền xác định M của F

Ta xét tập hợp Q = M  R, và đặt p = -, q = + với mọi z = (x,y)  Q (x  M, y  R) ta có (z)  F(x), cho nên

2.2.2.2 Hệ quả Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một

không gian con M của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể khuếch thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F, xác định trên toàn bộ X, mà có

F = f.

Chứng minh Với mọi x  M, ta có f(x  f.x Vì (x) = f.x

là một sơ chuẩn, thoả mãn yêu cầu của định lý Hahn - Banach, cho nên f có thể khuếch thành F sao cho

F(x)  f.x, (x  X).

Do đó F  f Mặt khác, vì F(x) = f(x), x  M, nên F  f Vậy F = f 

2.2.2.3 Hệ quả Với mọi phần tử x0  0 của một không gian định chuẩn X, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f sao cho f(x0) =  x0 và f = 1 Chứng minh Ta có f(x0) =  x0 là phiếm hàm tuyến tính liên tục xác

định trên không gian con tạo nên bởi tất cả các vectơ có dạng  x0, và f = 1.

Do đó, áp dụng hệ quả 2.2.2.1 ta suy ra hệ quả 2.2.2.3 

Đ3 Định lý tách

Giả sử X là không gian lồi địa phơng, X * là không gian liên hợp của X, tức là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.

2.3.1 Định nghĩa Tập hợp M  X thoả mãn bất cứ đờng thẳng nào đi qua

hai điểm của M cũng nằm trong M đợc gọi là một đa tạp tuyến tính trong M Chú ý: Khái niệm đa tạp tuyến tính chính là khái niệm tập affine trong

không gian hữu hạn chiều

Nhận xét: H(x *, ) là một đa tạp tuyến tính đóng có đối chiều bằng 1, kháiniệm siêu phẳng ở đây trùng với khái niệm siêu phẳng trong không gian hữuhạn chiều ở chơng 1

2.3.3 Định nghĩa Cho các tập hợp A, B  X Ta nói phiếm hàm tuyến tính

liên tục x *  0 tách A và B nếu tồn tại số thực  sao cho

x * , y    x * , x, (x  A, y  B) (*)

Nếu (*) có dạng

x * , y <  < x * , x, (x  A, y  B) thì ta nói x * tách ngặt A và B.

Siêu phẳng đóng H(x * , ) = x  X : x * , x =  đợc gọi là siêu phẳng tách A

và B Các tập A và B nêu nh trên đợc gọi là tách đợc.

Chú ý: (*) tơng đơng với

x * , y  x * , x, (x  A, y  B).

2.3.4 Định lý tách thứ nhất Giả sử A, B là hai tập lồi trong không gian lồi

địa phơng X, A  B = , intA   Khi đó tồn tại x *  X * , x *  0, tách A và B Chứng minh Ta có intA là tập lồi (theo “Giải tích lồi” - Phan Huy Khải, Đỗ

Văn Lu, tr.7 mệnh đề 1.5)

Vì (intA)  B =  nên (intA) - B lồi mở và 0  (intA) - B Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng H = x : x * , x = 0 (theo định lý 3.1 tr 68 “Giải tích lồi” - Phan Huy Khải, Đỗ Văn Lu) chứa không gian con tuyến tính 0 và không cắt (intA)

- B