Một số vấn đề về hàm suy rộng l schwartz

Lý do chọn đề tài Hàm suy rộng kể từ khi ra đời vào thế kỷ XX đã góp phần quan trọng vào việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.. - Nghiên cứu về phép biến đổi Fourie

LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Trước sự bỡ ngỡ và khó khăn khi mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong Khoa Em xin chân thành cảm

ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong khoa Toán cùng toàn thể các thầy cô trong Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em trong suốt quá trình học tập tại Khoa

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS Tạ Ngọc Trí,

người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Dương Thị Thanh

LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí cùng với sự cố gắng nỗ lực

của bản thân, em đã hoàn thành bài Khóa luận của mình Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện Khóa luận tốt nghiệp, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan những kết quả trong Khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Sinh viên

Dương Thị Thanh

MỤC LỤC

Nội dung Trang

Lời nói đầu

Chương I : Không gian hàm thử 6

1.1 Một vài kí hiệu và khái niệm 6

1.2 Không gian các hàm thử D(Ω) 8

Chương II : Không gian các hàm suy rộng 13

2.1 Không gian hàm suy rộng D’(Ω) 13

2.2 Không gian các hàm giảm nhanh và không gian các hàm suy rộng tăng chậm 18

Chương III : Tích chập và phép biến đổi Fourier 21

3.1 Tích chập 21

3.1.1 Tích chập giữa các hàm trong S ¡( n) 21

3.1.2 Tích chập giữa hàm suy rộng và hàm cơ bản 23

3.1.3 Tích chập giữa các hàm suy rộng 24

3.2 Phép biến đổi Fourier 26

3.2.1 Phép biến đổi Fourier trong S ¡( n) 26

3.2.2 Phép biến đổi Fourier trong S ¡( n) 31

Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 35

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hàm suy rộng kể từ khi ra đời vào thế kỷ XX đã góp phần quan trọng vào việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Do nghiệm của phương trình đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nói riêng, thường không tồn tại toàn cục, nên nhu cầu mở rộng khái niệm nghiệm cho phương trình đạo hàm riêng ngày càng trở nên cấp thiết

Sự ra đời của lý thuyết hàm suy rộng với những đóng góp chủ yếu của nhà Toán học người Pháp L Schwartz đã giải quyết được cơ bản những vấn

đề của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, đồng thời góp phần thúc đẩy sự phát triển của nhiều ngành khoa học khác

Trong khi đó những hiểu biết về hàm suy rộng vẫn còn rất xa lạ và mới

mẻ đối với sinh viên Với mong muốn được tìm hiểu về vấn đề này và bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài:

“MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM SUY RỘNG L SCHWARTZ”

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học Từ đó hình thành tư duy logic đặc thù của bộ môn và tìm hiểu những kiến thức về biến đổi Fourier và hàm suy rộng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về không gian các hàm suy rộng

- Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier trong một số không gian hàm: không gian S( n), L1( n), L2( n) và không gian hàm suy rộng S’( n

)

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích, tổng hợp

- Đọc tài liệu, tra cứu

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung của khoá luận gồm 3 chương :

Chương 1: Không gian hàm thử

- Chương này giới thiệu một số kí hiệu và khái niệm cần thiết cho nội dung của luận văn

- Nêu định nghĩa và các tính chất của không gian các hàm thử D( )

Chương 2: Không gian hàm suy rộng

- Chương này nêu định nghĩa, tính chất của không gian hàm suy rộng

D’( ) Các phép toán, tính chất của hàm suy rộng

- Nêu định nghĩa, tính chất của không gian các hàm giảm nhanh S( n)

- Nêu định nghĩa, tính chất của không gian hàm tăng chậm S’( n)

Chương 3: Tích chập và phép biến đổi Fourier

- Chương này nêu định nghĩa, tính chất của phép toán tích chập giữa các hàm cơ bản, hàm cơ bản với hàm suy rộng và giữa các hàm suy rộng

- Nêu định nghĩa, tính chất của phép biến đổi Fourier của các hàm trong S( n), L1( n), S’( n)

CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN HÀM THỬ

1.1 Một vài kí hiệu và khái niệm

C k( ): tập các hàm khả vi liên tục tới cấp k trên

C ( ): tập các hàm khả vi vô hạn, liên tục trên

L p( ): tập các hàm f đo được theo nghĩa Lebesgue trong sao cho

1

p p

L loc p ( ): tập hợp các hàm khả tích địa phương bậc p, 1 p trên (hay tập các hàm xác định trên sao cho với mọi tập V compact trong

thì f khả tích trong V )

Một vectơ có dạng ( 1, 2, , n), j ¢ , (j 1,2, , )n được gọi

là một đa chỉ số (hay n- chỉ số) với độ dài (hay cấp của ) là

Cho là một tập mở khác rỗng trong ¡ n Ta nói hàm số f : £

thuộc £ ( )nếu toán tử vi phân D f tồn tại và liên tục với mọi đa chỉ số

,

n

¢ nghĩa là f £ ( ) nếu f là hàm khả vi liên tục mọi cấp

Giá của hàm liên tục f : £ , kí hiệu là supp f , được xác định bởi:

supp f cl x : ( )f x 0 Nếu K là tập compact trong ¡ n, kí hiệu:

( ): supp

Nếu K thì có thể đồng nhất DKvới C ( )

1.1.2 Một vài khái niệm

Một không gian vectơ tôpô X trên trường (với ¡ hoặc £ ) là một không gian vectơ trên trường được trang bị một tôpô sao cho các ánh

xạ ( , )x y a x y và ( , )y a y liên tục

Trong không gian vectơ tôpô X một tập hợp , E X gọi là tập bị chặn,

nếu với mọi lân cận V của gốc 0, có một số s 0 sao cho t s thì E tV .Nếu gốc 0 có một lân cận bị chặn thì không gian X gọi là bị chặn địa

phương (locally bounded)

Một tập hợp E X của không gian vectơ tôpô X gọi là tập hút nếu

x X t t x sao cho x tE Nếu £ mà 1, ta có E E

thì E được gọi là tập con cân (balanced subset) của X

Một không gian vectơ tôpô X gọi là không gian lồi địa phương (locally convex) nếu có một cơ sở lân cận của gốc 0 gồm toàn những tập lồi

Một không gian lồi địa phương gọi là một không gian Fréchet nếu nó là một không gian metric đủ với metric cảm sinh d thỏa mãn

Một không gian vectơ tôpô X gọi là có tính chất Heine- Borel nếu mọi

tập con đóng và bị chặn của X đều là tập compact

1.2 Không gian các hàm thử D( )

Nếu K là tập compact trong ¡ n thì ta kí hiệu DK là không gian tất cả các hàm f C (¡ n) sao cho suppf K

Nếu K thì DK f C ( ) : supp f K

Để xây dựng một tôpô trên C ( ) sao cho C ( ) trở thành một

không gian Fréchet có tính chất Heine- Borel và DK là một tập con đóng của

Khi đó p xác định một tôpô lồi địa phương, khả mêtric trên N C ( )

Với mỗi x , hàm số xa f x( ) là liên tục theo tôpô này Vì DK là giao của không gian các hàm khác 0 tại x nên DK là đóng trong C ( )

Một cơ sở địa phương của không gian này được cho bởi các tập hợp

1( ) : ( ) , ( 1, 2, )

D f f E trên K N 1 nếu N 1. Theo định lý Ascoli và nguyên lý Cantor thì mọi dãy trong E đều chứa một dãy con f sao cho i D f hội i

tụ trên các tập compact của với mỗi đa chỉ số Do đó f hội tụ theo i

tôpô của C ( ), chứng tỏ E là tập compact

Vậy C ( ) có tính chất Heine- Borel

Định nghĩa 1.1: Hợp của tất cả các không gian DK khi K chạy trên tập tất cả các tập compact của , gọi là không gian các hàm thử (hay không gian các hàm cơ bản) trên , kí hiệu là D( )

Hiển nhiên D( ) là một không gian vectơ với phép cộng và phép nhân với vô hướng thông thường của các hàm nhận giá trị phức

Với mỗi D( ) thì

gọi là chuẩn của hàm

Cho là một tập không rỗng và mở trong ¡ n Kí hiệu:

K là tôpô của không gian Fréchet DK với mọi tập compact K

là tập tất cả các tập lồi cân đối W D( ) sao cho DK W K với mọi tập compact K

là tập của tất cả các hợp của các tập hợp có dạng W, với D( )

và W

Trong suốt chương này ta luôn giả sử K là một tập mở không rỗng của

Mệnh đề 1.1:

a) là một tôpô của không gian D( ) và là một cơ sở địa phương của

b) D( )cùng với là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương

Nếu W thì tồn tại 0 sao cho 0 1W.

c) Nếu E là một tập con bị chặn của D( ) thì E D( ), K và

có các số M N sao cho E thoả mãn bất đẳng thức:

e) Nếu j 0 trong tôpô của D( ) thì có một tập compact K

nào đó chứa tất cả supp j và D j hội tụ đều tới 0 khi j với mọi đa chỉ

số

f) Trong D( ), mọi dãy Cauchy đều hội tụ

Mệnh đề này được chứng minh chi tiết trong [5], trang 140

Mệnh đề 1.3: Giả sử u là ánh xạ tuyến tính từ D( ) vào một không gian lồi địa phương Y Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

a) u liên tục

b) u bị chặn

c) Nếu j 0 trong D( ) thì u j 0 trong Y

d) Khi thu hẹp u trên bất kỳ DK D( ) thành u thì K u luôn liên tục K Mệnh đề này được chứng minh chi tiết trong [5], trang 140

Hệ quả 1.1: Mọi toán tử vi phân D là một ánh xạ liên tục từ D( ) vào chính nó

CHƯƠNG II: KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG

2.1 Không gian hàm suy rộng D'( )

Định nghĩa 2.1: Một phiếm hàm tuyến tính u: ( )D £ gọi là một hàm suy rộng (theo nghĩa Schwartz) xác định trên , nếu với mọi tập compact K ,

có một số thực C 0 và một số nguyên không âm N sao cho

x N

với supp K

Tập tất cả các hàm suy rộng xác định trên lập thành một không gian, gọi là không gian các hàm suy rộng trên , kí hiệu là D'( )

Dựa vào định nghĩa trên ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 2.1: Các hàm số liên tục trên là các hàm suy rộng

Thật vậy, giả sử f là một hàm liên tục trên Khi đó f là một hàm khả tích trên Hơn nữa,

Vậy f là hàm suy rộng (theo nghĩa Schwartz)

Ví dụ 2.2: Các hàm f trong L p( ), 1 p cũng là các hàm suy rộng với

Ví dụ 2.3: Hàm Dirac :

: ( ) , (0)

n

a

D

Vì , (0) 1.sup ( ) ,x D(¡ n), mà supp K, với K là tập compact trong ¡ n nên là một hàm suy rộng (gọi là hàm suy rộng Dirac hay hàm Delta Dirac)

Ví dụ 2.4: Hàm x :

: ( ) , ( )

, , , ,

2 Phép nhân một số với một hàm suy rộng:

Cho D’(Ω) và thì D’(Ω) được xác định theo qui tắc:

Với hai phép toán trên thì D’(Ω) trở thành một không gian tuyến tính

3 Hai hàm suy rộng bằng nhau:

Hai hàm suy rộng , g D’(Ω) được gọi là bằng nhau nếu:

4 Đạo hàm của hàm suy rộng:

Định nghĩa 2.2: Cho f D' , 1, 2, , n Z Phiếm hàm tuyến n.tính D f, ( 1) f D, , D được gọi là đạo hàm suy rộng cấp

α của hàm suy rộng trong Ω, kí hiệu là D f

Nếu f, C với mọi DK thì

a Khi đó f là hàm khả tích địa phương trên ¡ Do đó f là một hàm suy rộng với

2.2 Không gian các hàm giảm nhanh và không gian các hàm suy rộng tăng chậm

Định nghĩa 2.3: Không gianS ¡( n) là không gian tuyến tính con của C0 (¡ n)

xác định bởi tập các hàm số f trên ¡ n sao cho x D f x( ) bị chặn trên ¡ n

S ¡ được gọi là không gian các hàm giảm nhanh

Ví dụ 2.7: Hàm số f x( ) x e m x2thuộc S ¡( ) với mỗi m ¢

Định nghĩa 2.4: Các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S ¡( n) được gọi là các hàm suy rộng tăng chậm Không gian tuyến tính của các hàm suy rộng tăng chậm được kí hiệu là S ¡'( n)

Vậy T S ¡'( n) khi và chỉ khi hàm T S ¡: ( n) £ liên tục và f n f

trên S ¡( n), nghĩa là hàm (T f n) T f trên ( ) £

Bổ đề 2.2: Từ ( )T f n T f( ) T f( n f và ) f n f trên S ¡( n) khi và chỉ khi (f n f) 0 trên S ¡( n), ta thấy một ánh xạ tuyến tính trên S ¡( n) là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại 0 S ¡( n)

Mệnh đề 2.3: Ánh xạ tuyến tính T S: (¡ n) S(¡ n) thỏa mãn

,

n nghĩa là T liên tục tại 0 Vậy T S ¡'( n)

Định nghĩa 2.5: Với mỗi k m, ¢ , f S(¡ n) Đặt

k m

k m

(Mọi ( , )k m với k max k k', '' và m max m m ) ', ''

Bổ đề 2.4: f n f , 0 với mỗi , ¢n khi và chỉ khi f n f k m, 0

với mỗi ,k m ¢ , nghĩa là một phiếm hàm tuyến tính T trên S ¡( n) là hàm suy rộng tăng chậm khi và chỉ khi ( )T f n 0 với f n k m, 0, k m, ¢

Mệnh đề 2.5: Một phiếm hàm tuyến tính T trên S ¡( n) là một hàm suy rộng tăng chậm khi và chỉ khi tồn tại C 0 với mỗi ,k m ¢ thỏa mãn:

trên S ¡( n) là hàm suy rộng tăng chậm

Mệnh đề trên được chứng minh chi tiết trong [6], trang 9

CHƯƠNG III: TÍCH CHẬP VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

3.1.Tích chập

3.1.1 Tích chập giữa các hàm trong S ¡( n)

Định nghĩa 3.1: Giả sử f x( ) và g x( ) thuộc S ¡( n)

Vì f g, L1loc(¡ n) nên f g, là các hàm khả tích trên ¡ n, nghĩa là tồn

tại tích phân xác định bởi (3.1) Giả sử g là hàm có giá compact, ta có:

3.1.2 Tích chập giữa hàm suy rộng và hàm cơ bản

Định nghĩa 3.2: Cho f D' ¡ n , D ¡ n Tích chập của hàm suy rộng f

theo hàm , kí hiệu là f được xác định như sau :

Vì f ( )x f y( ), (x y nên supp ) I supp f , hay tồn tại

supp

Vì tổng của hai tập đóng là tập đóng nên

supp (f ) (supp f supp )

( ), ( 1) ,

=( 1) ( ), ( ), ( )

=( 1) ( ), ( ), ( )

= ( ), ( ), ( )

= ( ) ( ),

x y D f g f g D f x g y D x y f x g y D x y f x D g y x y f x D g y ( ) = ,

x y f D g Suy ra D (f g) f D g Do tính chất giao hoán nên ( ) ( ) D f g D g f g D f D f g Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3.1: Với f D' ¡ n có f f f Thật vậy, , ( ), ( ), ( ) = ( ), ( )

= ,

f f x y x y f x x f , ( ), ( ), ( ) = ( ), ( )

= ,

f y y f

Hơn nữa, D f D f D f

3.2 Phép biến đổi Fourier

3.2.1 Phép biến đổi Fourier trong S ¡ n

a Định nghĩa

Định nghĩa 3.4: Giả sử f S ¡( n). Biến đổi Fourier của hàm , kí hiệu là f

hoặc f , hoặc Ff, là hàm được xác định bởi:

Phép biến đổi Fourier của một hàm thuộc S ¡( n) là bị chặn trên ¡ n

nên tích phân (3.2) là tồn tại Hơn nữa,

n ix

( ) 2

Ánh xạ : (S ¡ n) S(¡ n) có thể thác triển duy nhất tới một toán tử đơn vị trên L ¡2( n).

Mệnh đề này được chứng minh chi tiết trong [7], trang 15

3.2.2 Phép biến đổi Fourier trong 'S ¡ n

a Định nghĩa:

Định nghĩa 3.6: Cho f S ¡' n Biến đổi Fourier của hàm suy rộng , kí

hiệu là f , hoặc f , hoặc Ff, là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi :

Mệnh đề 3.13: Giả sử f S' ¡ n , S(¡ n) Khi đó:

a.Với f S' ¡ n , S(¡ n) thì f * S ¡' n Khi đó, biến đổi Fourier

( * )f là hàm suy rộng tăng chậm được xác định:

Trong giải tích hiện đại, hàm suy rộng là một trong những kiến thức mới mẻ, đã có những đóng góp khá quan trọng trong nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Thông qua việc giới thiệu một số kí hiệu và khái niệm cơ sở, đặc điểm và một số tính chất của không gian các hàm thử

( )

D ở chương I để nêu các đặc điểm, tính chất của hàm suy rộng ở chương

II và tìm hiểu về tích chập và phép biến đổi Fourier ở chương III

Khóa luận này đã giúp em tiếp thu, nâng cao kiến thức hiểu biết về hàm suy rộng và cũng thấy được vai trò quan trọng của nó trong Toán học Thông qua việc thực hiện khóa luận này em đã học được cách trình bày một đề tài nghiên cứu khoa học, học được cách trình bày nội dung kiến thức một cách có

hệ thống theo sự hiểu biết của mình Trong khóa luận này em đã đưa ra một

số ví dụ minh họa cho các khái niệm cũng như một số kết quả

Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên khóa luận của em còn có nhiều thiếu xót, rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO