Một số vấn đề về hàm đơn điệu toán tử và ứng dụng

Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng một số kết quả của các tácgiả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc.. cụ chính trong giải tích ma trận là định lý phổ trong trường hợp hữu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————–o0o——————–

LÀNH THỊ THÙY

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————–o0o——————–

LÀNH THỊ THÙY

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Giải Tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS HỒ MINH TOÀN

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập củariêng bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Hồ Minh Toàn.Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực và chưatừng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây

Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng một số kết quả của các tácgiả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc Nếu phát hiện bất kỳ sựgian lận nào tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn tôi

đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của người hướng dẫn, T.S Hồ MinhToàn

Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ môn Giải tích, Khoa Toán, đã tạomọi điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tôi có thể hoàn thành tốtluận văn này Do thời gian có hạn, bản thân tác giả còn hạn chế nên luậnvăn có thể có những thiếu sót Tác giả mong muốn nhận được ý kiến phảnhồi, đóng góp và xây dựng của các thầy cô, và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019

Tác giả

Lành Thị Thùy

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản 3

1.1.1 Ma trận 3

1.1.2 Toán tử tuyến tính 4

1.1.3 Khai triển phổ 6

1.2 Hàm ma trận 9

1.3 Hàm đơn điệu ma trận 13

2 Một số ứng dụng của hàm đơn điệu ma trận 16 2.1 Bất đẳng thức Jensen 16

2.2 Bất đẳng thức Power-Størmer 23

2.2.1 Vết 23

2.2.2 Bất đẳng thức Power-Stømer 25

cụ chính trong giải tích ma trận là định lý phổ trong trường hợp hữu hạnchiều.

Gần đây, nhiều lĩnh vực của giải tích ma trận được nghiên cứu kỹlưỡng như lý thuyết về các hàm đơn điệu ma trận và hàm lồi ma trận, lýthuyết về trung bình ma trận, lý thuyết phân hóa trong thông tin lượngtử, Lý thuyết về các hàm như vậy được nghiên cứu mạnh và trở thànhmột chủ đề quan trọng trong lý thuyết ma trận vì những ứng dụng rộng lớncủa chúng trong lý thuyết ma trận cũng như trong lý thuyết lượng tử Hàmđơn điệu toán tử lần đầu tiên được C L¨owner nghiên cứu trong bài báo [1]của ông năm 1934 Năm 1936, Kraus đã chứng minh tính đơn điệu toán tử

có mối quan hệ chặt chẽ với tính lồi toán tử Năm 2008, một số ứng dụngcủa lớp hàm này trong lý thuyết lượng tử được nhà toán học Dénes Petztrình bày trong tài liệu chuyên khảo [2] Tài liệu chuyên khảo [3] của nhàtoán học F Hiai và [4] của nhà toán học R Bhatia là những cẩm nang khá

đầy đủ và chi tiết về hàm đơn điệu toán tử Bản luận văn đã trình bày lạimột số kết quả chọn lọc về hàm đơn điệu toán tử và ứng dụng của nó đượctrích dẫn từ những tài liệu trên.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luậnvăn gồm hai chương sau

Chương 1 Hàm đơn điệu toán tử

Trong Chương này tôi trình bày: Thứ nhất, hệ thống hóa kiến thức cơ bản

về ma trận và toán tử tuyến tính Thứ hai, trình bày định nghĩa hàm toán

tử (hàm ma trận) và một số tính chất của hàm toán tử Thứ ba, trình bàyđịnh nghĩa hàm đơn điệu toán tử cùng một số định lý liên quan, đồng thờiđưa ra một số ví dụ nhằm minh họa cho lớp hàm này

Chương 2 Một số ứng dụng của hàm đơn điệu toán tử

Đây là phần chính của luận văn Tôi trình bày ứng dụng của hàm đơn điệutoán tử trong Bất đẳng thức Hansen-Pedersen, cho thấy mối liên hệ chặtchẽ giữa hàm đơn điệu toán tử và hàm lồi toán tử Trình bày ứng dụng củalớp hàm này trong Bất đẳng thức Power-Stømer, tôi nhắc lại kiến thức vềVết và trình bày chứng minh cụ thể cho Bất đẳng thức này Đồng thời trìnhbày ví dụ cụ thể nhằm minh họa cho ứng dụng của lớp hàm này

Do khả năng và thời gian còn khá hạn chế nên luận văn không tránhkhỏi nhiều thiếu sót Ngoài ra, một số kết quả đã được trích dẫn được thừanhận mà bỏ qua chứng minh Tôi rất mong nhận được sự góp ý quý báu từquý thầy cô để bản luận văn hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019

Tác giả

Lành Thị Thùy

Các ma trận sau là các ma trận vuông cấp n.

• Ký hiệu X := Diag(x1, x2, , xn) là ma trận đường chéo (hay matrận chéo), tức là các phần tử xij đều bằng 0 nếu i 6= j và xii = xi vớimọi i Ma trận chéo mà các phần tử trên đường chéo chính đều bằng

1 được gọi là ma trận đơn vị Ký hiệu là I

• Ma trận X∗ := (X)T = (xji) là ma trận liên hợp của X X được gọi

là tự liên hợp (hay Hermite) nếu X∗ = X Ký hiệu Msan là tập tất cảcác ma trận tự liên hợp cấp n

• Một ma trận E được gọi là Unita nếu E−1 = E∗ Trong trường hợpnày thì EE∗ = E∗E = I và các cột của E là một hệ trực chuẩn.

• Ma trận A được gọi là ma trận chuẩn tắc nếu AA∗ = A∗A Ma trậnHermite và ma trận Unita là hai trường hợp đặc biệt của ma trận chuẩntắc

ta cũng có thể gọi là hàm ma trận trong suốt luận văn này

Như trong ánh xạ tuyến tính ta có một số khái niệm và kết quả sau:

Cho X, Y ∈ Msan ta viết X ≥ Y nghĩa là X − Y ≥ 0.

Tính chất cơ bản sau được trích trong [3], Mệnh đề 1.3.2

Mệnh đề 1.1.2 Cho X, Y ∈ Msan Khi đó

X ≥ Y ⇒ C∗XC ≥ C∗Y C, ∀C ∈ Mn.Chứng minh Lấy bất kỳ véc tơ u, ta có

hu, C∗Y Cui = hCu, Y Cui ≥ hCu, XCui = hu, C∗XCui

Do đó C∗Y C ≥ C∗XC

Giả sử W là không gian con (đóng) của H Khi đó

H = W ⊕ W⊥

Ta gọi ánh xạ tuyến tính T (x) = x1, trong đó x được biểu diễn duy nhất

x = x1 + x2 với x1 ∈ W, x2 ∈ W⊥, là toán tử chiếu trực giao lên W Saunày ta nói toán tử chiếu (hay phép chiếu) nghĩa là toán tử chiếu trực giao.Đặc trưng đại số sau đây được trích trong [3], Mệnh đề 1.3.4

Mệnh đề 1.1.3 Giả sử T ∈ L(H) Khi đó các mệnh đề sau là tương đương(i) T là toán tử chiếu;

(ii) T∗ = T = T2

1.1.3 Khai triển phổ

Định nghĩa 1.1.4 Cho X ∈ Mn Ta nói λ ∈ C là một giá trị riêng của Xnếu phương trình Xu = λu có nghiệm u ∈ Cn không tầm thường Khi đó,

u được gọi là một vectơ riêng của X ứng với giá trị riêng λ

Ker(X − λI) là không gian con riêng ứng với giá trị riêng λ

Tập các giá trị riêng của X được gọi là phổ của X, ký hiệu là σ(X), nghĩalà

σ(X) = {λ1, , λn}

Ký hiệu r(X) là bán kính phổ của X được xác định:

r(X) = max{|λ| : λ ∈ σ(X)}

Ký hiệu w(X) là bán kính số của X xác định như sau:

w(X) = max{| hu, Xui | : u ∈ H, kuk = 1}

Phương pháp giải tìm giá trị riêng, vectơ riêng

Bước 1: Giải phương trình đặc trưng det(X − λI) = 0 Nghiệm của phươngtrình đặc trưng là các giá trị riêng cần tìm

Bước 2: Tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ: Ứng với mỗi giá trị riêng

λi vừa tìm được, ta giải hệ thuần nhất (X − λiI)u = 0 Nghiệm không tầmthường của hệ này là các vectơ riêng cần tìm Sau đây chúng ta trích dẫnmột số kiến thức chuẩn bị trong tài liệu chuyên khảo [3]

Định lý 1.1.6 Với mỗi ma trận chuẩn tắc X ∈ Mn thì tồn tại các giá trịriêng λ1, λ2, , λn ∈ C của X và ma trận Unita U ∈ Mn sao cho

X = U Diag(λ1, , λn)U∗.Chứng minh Xem chứng minh của Định lý 1.4.6 trong [3]

Mệnh đề 1.1.7 Giả sử E là ma trận Unita và T là toán tử chiếu Khi đó

Vậy P là toán tử chiếu Lập lập tương tự với E∗T E

Hệ quả 1.1.8 Giả sử X ∈ Mn là ma trận chuẩn tắc có tập phổ là{λ1, λ2, , λm}, trong đó họ {λi} là đôi một khác nhau Khi đó X có khaitriển phổ là

trong đó Pj là toán tử chiếu lên hạch Ker(X − λjI)

Chứng minh Theo Định lý 1.1.6, ta có X = U Diag(λ1, , λn)U∗, trong đó

U = [u1u2 un] là Unita Suy ra

Gọi α1, α2, , αn (αi 6= αj, i 6= j) là họ n nghiệm đầy đủ của đa thức đặctrưng của X, tức là αi và αj không nhất thiết phải khác nhau khi i, j khácnhau Đặt

Pj := X

i:λ i =α j

uiu∗i,với mọi j = 1, 2, , m Với cách định nghĩa trên thì Pj là toán tử chiếu lênKer(X − αjI) với mọi j và

2 −1/√

21/√

2 1/√

2



.Suy ra

X =U Diag(0, 4)U∗

=0



1/2 −1/2



.Vậy X = 0P1 + 4P2, trong đó P1, P2 là các toán tử chiếu lên không gianh1i , h2i

X12 và X21 đều là ma trận không thì X còn được viết Diag(X11, X22) Khi

đó ta có tiêu chuẩn để một ma trận nửa xác định dương như sau

Định nghĩa 1.2.1 Cho h là hàm số giá trị thực xác định trên khoảng J

và X ∈Msan Ta biết X có biểu diễn phổ

trong đó {l1, l2, , lm} = σ(X) và Tj là toán tử chiếu lên Ker(X − ljI).

Nếu giả thiết thêm rằng σ(X) ⊂ J, thì h(li) xác định được và ta cóthể định nghĩa:

Xét hàmh(x) = x2 Ta cóh(A) = h(0)P1+h(4)P2 VìP1P2 = 0, ∀i 6=

j và Pin = Pi nên h(A) = (0P1 + 4P2)2 hay h(A) = A2

Bổ đề 1.2.3 Cho h là hàm số có miền xác định J, X ∈ Msan có phổ nằmtrong J Khi đó với mọi ma trận Unita U, thì

Nhận xét 1.2.4 Cho hàmh : K → R Nếuh ≥ 0(> 0)thìh(X) ≥ 0 (> 0)với mọi X ∈Msan

0 h(Y )





Chứng minh Vì X, Y ∈ Msan nên tồn tại U, V ∈ Mn là các ma trận Unitasao cho

X = U D1U∗, Y = V D2V∗,trong đó

n-đơn điệu với mọi n ∈ N∗.

(ii) Hàm h được gọi là ma trận lõm cấp n hay n-lõm nếu nó thỏa mãn

h(tX + (1 − t)Y ) ≥ th(X) + (1 − t)h(Y ), (1.4)với mọi ma trận tự liên hợpX, Y cấpncó phổ nằm trongI và mọi0 ≤ t ≤ 1

n ∈ N∗

(iii) Hàm h được gọi là n-lồi nếu bất đẳng thức (1.4) đúng chiều ngược lại.Định lý 1.3.2 [3, Theorem 2.1.1, p 155] Với mỗi X, Y ∈ L(H)sa, X ≥ Ysuy ra Xt ≥ Yt, ∀t ∈ [0, 1] Quy ước X0 = I

Chứng minh Xét X ≥ Y > 0 Đặt ∆ = {t ∈ R : Xt ≥ Yt} Ta cần chứngminh ∆ chính là đoạn đóng J = [0, 1] bằng cách chứng minh ∆ đóng vàchứa một tập trù mật trong J

Các hàm t 7→ Xt và t 7→ Yt là liên tục nên hiệu 2 hàm cũng liêntục ∆ là nghịch ảnh của tập đóng của hàm hiệu nên cũng là tập đóng Rõràng 0, 1 ∈ ∆ Trước hết khẳng định rằng: t + q

2 ∈ ∆ với mọi t, q ∈ ∆ Giả

sử khẳng định này đúng, ta suy ra tập các số 2-adic cũng thuộc ∆ nên ∆chứa tập con trù mật trong [0, 1] Vậy để kết thúc chứng minh, ta cần chứngminh khẳng định vừa nêu trên

Với t, q ∈ ∆, ta có Xt ≥ Yt, Xq ≥ Yq Theo Mệnh đề 1.1.2, ta suy ra

Chú ý 1.3.3 Định lý 1.3.2 không đúng trong trường hợp t > 1.



Do đó với mọi t > 1, Xt − Yt không là nửa xác định dương

Mệnh đề 1.3.4 Cho h : [0, ∞) → [0, ∞) là hàm số Khi đó h là n-đơnđiệu khi và chỉ khi h là n-lõm với mọi số tự nhiên n

Chứng minh Theo Hệ quả 2.5.4, trang 171 của [3]

Ví dụ 1.3.5 Hàm h(s) = st là hàm đơn điệu ma trận đồng thời là n-lõmtrên [0, ∞) với t ∈ [0, 1] và mọi số tự nhiên n

Chứng minh Giả sửX, Y ∈ Msan , σ(X), σ(Y ) ⊂ [0, ∞) vàX ≥ Y Áp dụngĐịnh lý 1.3.2,

Xt ≥ Yt, ∀t ∈ [0, 1]

Vậy h là n đơn điệu trên J = [0, ∞)

Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.3.4, ta có h là n-lõm

Ví dụ 1.3.6 h(s) = −s−1 là hàm n-đơn điệu trên (0, ∞) với mọi số tựnhiên n

Chứng minh Ta sử dụng Mệnh đề 1.1.2 để chứng minh rằng nếuY ≥ X > 0thì Y−1 ≤ X−1 Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Chương 2

Một số ứng dụng của hàm đơn điệu

ma trận

Trong chương này, ta trình bày vài ứng dụng quan trọng của hàm

n-đơn điệu trong Bất đẳng thức Hansen-Pedersen và Bất đẳng thức

Power-Stømer Đồng thời, đưa ra một vài ví dụ minh họa cho kết quả đã nêu trongmục 2.1 và 2.2

2.1 Bất đẳng thức Jensen

Bất đẳng thức Hansen-Pedersen (hay còn gọi là bất đẳng thức Jensen)cho một đặc trưng của lớp hàm n-đơn điệu Các kết quả trong mục này đượctrích từ [3] Trước khi trình bày kết quả chính, ta trình bày một số kết quảchuẩn bị

Định lý 2.1.1 Nếu hàm h khác hằng là 2-đơn điệu trên khoảng (a, b) thì h

là hàm khả vi liên tục trên khoảng (a, b), h0 > 0 và h0 là hàm lồi trên (a, b).Chứng minh Theo Định lý 2.4.1, trang 163 của [3]

Bổ đề sau đây được trích dẫn từ Bổ đề 2.5.1 trong [3]

Bổ đề 2.1.2 Giả sử A ∈ Mn và h hàm thực có miền xác định chứa phổcủa ma trận A∗A Khi đó các ma trận Ah(A∗A) và h(A∗A)A là bằng nhau.Chứng minh Ta có phổ củaA∗Avà phổ củaAA∗ là bằng nhau, nên h(AA∗)

là xác định được Dễ dàng chứng minh được rằng Ah(A∗A) = h(AA∗)A,với mọi đa thức h

Trong tường hợp h không phải là đa thức, ta gọi {α1, α2, , αm} làtập phổ của A∗A Xét đa thức

Mệnh đề 2.1.3 [3] Cho h là hàm thực xác định trên[0, a) với 0 ≤ a ≤ +∞

và h(0) không âm Nếu h là n-lõm với mọi số thự nhiên n thì

trong đó Y, Z lần lượt là căn bậc hai của I − XX∗ và I − X∗X Theo Bổ

đề 2.1.2, ta có XZ = Y X Kết hợp với định nghĩa của các ma trận F, F tasuy ra E, F là các ma trận Unita Hơn nữa,

∗Diag(h(A), 0)E + F∗Diag(h(A), 0)F ]

= Diag(X∗f (A)X, Y h(A)Y

So sánh các ma trận khối tương ứng của ma trận đầu và cuối, ta suy rađược điều cần chứng minh

Ta đã sẵn sàng phát biểu và chứng minh kết quả chính của mục này(đây là kết quả chính trong bài báo [5] và được trình bày lại trong [3]).Định lý 2.1.4 Cho 0 < a ≤ +∞ và h : [0, a) → R là một hàm số Khi

đó, các mệnh đề sau tương đương

(i) Hàm h là hàm n-lõm với mọi số tự nhiên n và h(0) ≥ 0;

(ii) h(A∗XA) ≥ A∗h(X)A với mọi X ∈ Msan có phổ nằm trong [0, a) và

A ∈ Mn có chuẩn không vượt quá 1;

(iii) h(P XP ) ≥ P h(X)P với mọi X ∈ Msan có phổ nằm trong [0, a) và

P ∈ Mn là toán tử chiếu

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Hiển nhiên đúng theo Mệnh đề 2.1.3

(ii) ⇒ (iii) Từ (ii) áp dụng với X = P, và kXk = 1 (vì X = P là toán tửchiếu) ta có điều phải chứng minh

(iii) ⇒ (i) Lấy X, Y là các ma trận nửa xác định dương, vuông cấp n và

có các giá trị riêng không vượt quá a Lất 0 ≤ l ≤ 1 Đặt

(1 − l)I √

lI





Dễ dang kiểm tra trực tiếp được rằng Z∗ = Z có phổ nằm trong [0, a), E

là Unita và P là toán tử chiếu Vì

Diag(h(lX + (1 − l)Y ), 0) = h(P E∗ZEP )

Cho hàm h xác định trên [0, a) Nếu giới hạn bên phải limt→0+ h(t)tồn tại thì ta ký hiệu h(0+) := limt→0+h(t).

Định lý 2.1.5 Cho hàm số f : [0, a) → R với 0 < a ≤ +∞ Khi đó cácmệnh đề sau là tương đương

(i) f là hàm n-lõm với mọi số tự nhiên n và f (0) ≥ 0;

(ii) f là hàm n-lõm trên khoảng mở (0, a) với mọi số tự nhiên nvà f (0+) ≥

f [t(X + I) + (1 − t)(Y + I)] ≥ tf (X + I) + (1 − t)f (Y + I).Khi cho  → 0, ta thu được

f0(tX + (1 − t)Y ) ≥ tf0(X) + (1 − t)f0(Y )

Vậy f là hàm n-lõm trên [0, a) với mọi số tự nhiên n.

(i) ⇒ (iii) Lấy X, Y bất kỳ trong Msan sao cho X ≥ Y > 0 Đặt

A := X−1/2Y1/2 Khi đó AA∗ = X−1/2Y X−1/2 ≤ I nên A có chuẩn khôngvượt quá 1 Theo Mệnh đề 2.1.3), ta có

f (Y ) = f (A∗XA) ≥ A∗f (X)A = Y1/2X−1/2f (X)X−1/2Y1/2

Áp dụng Mệnh đề 1.1.2, ta có

B−1/2f (B)B−1/2 ≥ A−1/2f (A)A−1/2

Do đó X−1f (X) ≤ Y−1f (Y ) và điều này chứng tỏ hàm s−1f (s) là hàm

n-đơn điệu giảm trên (0, a) với mọi số tự nhiên n

(iii) ⇒ (ii) Trước tiên, ta chứng minh nếu g là hàm n-đơn điệu giảmliên tục trên [0, a) với mọi số tự nhiên n, thì hàml(t) := tg(t) là hàm n-lõmtrên [0, a) với mọi số tự nhiên n

Giả sử X là ma trận vuông xác định dương cấp n và P ∈ Mn là toán

Bây giờ giả sử hàm s−1f (s) là hàm n-đơn điệu giảm trên (0, a) TheoĐịnh lý 2.1.1, hàm s−1f (s) liên tục trên (0, a) Với bất kỳ số  dương, đủnhỏ, hàm f (s + )

s +  liên tục và n-đơn điệu giảm trên [0, a − ). Theo trên,s

s + f (s + ) là hàm n-lõm lồi trên [0, a − ). Cho  → 0, ta thu được f làhàm n-lõm trên (0, α)

Áp dụng trực tiếp 2 định lý vừa chứng minh ở trên, ta thu được:

Hệ quả 2.1.6 Cho hàm số h : (0, ∞) → (0, ∞) Khi đó các các mệnh đềsau là tương đương

(i) Hàm h là hàm n-đơn điệu với mọi số tự nhiên n;

(ii) Hàm s−1h(s) là hàm n-đơn điệu với mọi số tự nhiên n;

(iii) h là hàm n-lõm với mọi số tự nhiên n;

(iv) 1

h(s) là hàm n-lồi với mọi số tự nhiên n.

Ví dụ 2.1.7 Hàm h(s) = st là hàm n-lồi trên (0, ∞) với mọi số tự nhiên

n khi và chỉ khi t thuộc [−1, 0] ∪ [1, 2]

Chứng minh Áp dụng Hệ quả 2.1.6 cho hàm h(s) = st với −1 ≤ t ≤ 0, tađược h là hàm n-lồi trên khoảng mở J := (0, ∞) Do đó cũng suy ra hàm

s−t là n-đơn điệu trên J với mọi số tự nhiên n

Con trong trường hợp 1 ≤ t ≤ 2, hàm st−1 là n- đơn điệu trên J.Theo Định lý 2.1.5, st là hàm n- lồi trên J

Với s không rơi vào các truognwf hợp trên , ta dùng Định lý 2.1.5 vàlập luận tương tự ta cũng suy ra được hàm h không phải là n-lồi với mọi số

tự nhiên n