phương trình lượng giác THPT

phương trình lượng giác THPT

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I) KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Bảng giá trị lượng giác

x

rad - - 

2

-

3

-

4

-

6 0



6



4



3



2

2

3

3

4

5

6 

độ -180o -90o -60o -45o -30o 0 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o

sin 0 -1

-3

2

-2

2

-1

2 0

1

2 2

2

3

2 1

3

2

2

2

1

2 0

1

2

2

2

3

2 1

3

2

2

2

1

2 0 -

1

2

-2

2

-3

2 -1

-1

3 0

1

3 1 3 || - 3 -1

-1

3 0

cot || 0 - 1

3 -1 - 3 || 3 1

1

3 0

-1

3 -1 - 3 ||

2) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau Góc hơn kém 

Góc hơn kém

2



cos() cos sin(  )sin sin cos

2

  sin(  )  sin sin cos

2

sin() sin cos(  )  cos cos sin

2

  cos(  )  cos cos sin

2

  

tan()  tan tan(  ) tan tan cot

2

  tan(  ) tan tan cot

2

  

cot() cot cot(  )  cot cot tan

2

   

  cot(  )cot cot 2  tan

3) Công thức lượng giác

1) Công thức cộng:

 cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

 cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

 tan(a - b) = 1 + tana.tanb tana - tanb

 sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

 tan(a + b) = 1 - tana.tanb tana + tanb

 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

2) Công thức nhân đôi :

 sin2x = 2sinxcosx = (sinx+cox)2 - 1

 cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x - 1 = 1 – 2sin2x

 tan2x = 2 2

1

tanx tan x



 cot2x = 2 1

2

cot x cotx



3) Công thức nhân 3:

cos3 x = 4cos x - 3cos x

sin3 x = 3sin x - 4sin x

 tan 3 3tan tan2 3

1 3tan

x

x

-=

- cot 3 3cot cot2 3

1 3cot

x

x

-=

-4) Công thức hạ bậc:

os

2

cos x

c x 

sin

2

x 

 2 1 cos2

tan

1 cos2













cot

1 cos2













sin (3sin sin 3 )

4

cos (cos 3 3cos )

4

5) Công thức tích thành tổng

2 cos xy cos xy

 sinxcosy=  ( ) ( )

2

1

y x Sin y x

2 cos x y cos x y

 cos sin 1[sin( ) sin( )]

2

6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:

 sinx + siny = 2 sin

cos

 sinx – siny = 2 os

c    sin   

 cosx + cosy = 2 cos

cos

 cosx–cosy = 2 sin

sin

 tanx + tany = ( )

cos

sin x y xcosy



 tanx – tany = ( )

cos

sin x y xcosy



 cotx + coty = ( )

sin

sin x y xsiny



 cotx – coty = ( )

sin

sin y x xsiny



 tanx= sinx , (x k )



  

 cotx= cosx , (x k )

 sin x2  cos x2  1



2 2

1

2 cos x





2 2

1

1 cot x, (x k )

 tanx.cotx=1,(x k )

2





 sin3x  c os3x  (sinx  cos )(1 sinx.cos ) x  x

 sin3x  c os3x  (sinx  cos )(1 sinx.cos ) x  x

x

8

4

1 sin 2  x  sin x  cos x

 sinx cosx 2sin x 4 2cos x 4

 sinx cosx 2sin x 4 2cos x 4

4) Phương trình lượng giác

a) Phương trình lượng giác cơ bản

Dạng: = a Û ê é = a + ê = p - a + p p

êë

sin x sin

sin x 0 x k

2

2

ïï

íï

ïïî

Dạng: = a Û ê é = a + ê = - a + p p

êë

cos x cos

ïï

íï

ïï ïïî

2 cos x 1 x k2

Dạng:

= a Û = a + p

p

a ¹ + p

2

t an x 0 x k

4

ïïï

ïïïî

a ¹ p

Ðk : x, k Đặc biệt:

2

4

ïïï

ïïïî

+)

arcsin + 2

sin + 2







       +) tan x    a x arc tan + a k  , k 

os + 2









Bài 1: Giải các phương trình sau:

s n(x-60 )

2

i = - i) sin(3x  1)  sin(x- 2) n) sin x 2 cot x = 0

b) 3 tan 3x - 3= 0 f) 0 3

(2x+50 )

2

cos = k)cos3x sin 2x o)sin 3x + sin 5x = 0

c) s nx+ 3 0

2

i = g) tan(2 x - 1) = 3 l) (1 2 - cox )(4 - cos ) x = 0 p) tanxtan2x= -1

d) s n2x i = 1 h) cot(2 ) 1

3

x - p = m) (cot 1)(cot 1) 0

r) cos(x2- 2 )x = 0

b) Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác

 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công

thức lượng giác để đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản

 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0

(hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t

bằng hàm số lượng giác.(Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)

2

2

2

a t an x + b t an x + c = 0 t = t an x

2

p

2

Nếu đặt 2

t = sin x hoặc t = sin x thì điều kiện là 0 £ t £ 1

Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ

1 + sin 2x = sin x + cos x + 2 sin x cos x = sin x + cos x

1 - sin 2x = sin x + cos x - 2 sin x cos x = sin x - cos x



sin 2x sin x cos x

2

=

sin x + cos x = sin x + cos x 1 - sin x cos x

 sin x 3 - cos x 3 = (sin x - cos x 1)( + sin x cosx)



t an x cot x

+





sin x cos x 1 sin 2x cos 2x

+

cos x - sin x = sin x + cos x cos x - sin x = cos 2x



sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 sin 2x

+

cos x - sin x = cos 2x sin x + cos x + sin x cos x



1 t an x t an

2 cos x



sin x cos x 2 sin x 2 cos x

æ p ö ÷ æ p ö ÷



1 sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cos x

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x - 3cos x + = 1 0 k) æ ç ç ç ç + p ö ÷ ÷ ÷ ÷ + æ ç ç ç ç - p ö ÷ ÷ ÷ ÷ + = + ( - )

cos 2x cos 2x 4 sin x 2 2 1 sin x

2cos 2 x + 3sin x = 2 l) 4 sin x cos x 5 - 4 cos x sin x 5 = sin 4x 2

3cos x - 2sin x + 2 = 0 m) cos 3cos 2 0

2

x

5sin x + 3cos x + 3 = 0 n) cot 2x+3cot2x+2=02

2cos 2x  2 3 1 cos2x   3  0

3cot x2 2 sin x 2 3 2 cosx g) 3sin 2x2  4cos 2x   4 0 q) 2  

tan x  3 1 tan x   3  0 h) sin x2  2sin 2x2  1 r) 2cos 2x2  2  3 1 cos2x    3  0

i) 42 t anx 7

-=

2 cos x sin x sin x cos x

0

2 2 sin x

(tanx+cotx) -(tanx+cotx)=2 s)

( + + ) æ ç ç ç + p ÷ ö ÷ ÷ ÷

= +

1 sin x cos 2x sin x

cos x

c) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2

a b c

Cách 1: asinx+bcosx=c

Đặt:

2 2

a b



 ; sin 2b 2

a b





2 2

sin( )

Cách 2: a sinx bcosx c

a

Đặt: b tan asinx cos tanx  c

a

Cách 3: Đặt: tan

2

x

t  ta có:

2



2

(b c t) 2at b c 0

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) 3 s inx- cosx = 1 h) sin 2x  cos 2x 1 

b) 2sin 3x + 5 cos 3x = - 3 i) sin8x  cos6x  3 sin 6x   cos8x 

c) sin 3x cos3x 3

2

e) 4sin x  cos x  4 l) 4sin 3cos 4(1 tan ) 1

cos

x

÷

2

sin cos 3 cos x 2

g) sin x 1 sin x     cos x cos x 1    n) æ ç p p ÷ ö

÷

- = - " Î ç ç ÷ ÷

2 6 cos 7x 3 sin 7x 2 , x ;

5 7

d) Phương trình lượng giác đẳng cấp

Cách 1:

 Bước 1 Kiểm tra xem = p + p ( Î )Û ìï ïï = ( x = p)

ïïî

¢ cos x 2 0

sin x 1

phương trình ( )1 hay không ? Nếu phải thì nhận nghiệm này

¹ + p Î ¢ Û íï ïïî 2 ¹ ¹ p

cos x 0

sin x 1

cos x (hay 2

sin x), ta được:

( )1 Û a sin x 2 + b sin x cos x 2 + c cos x 2 = d 2

cos x cos x cos x cos x

a t an x b t an x c d 1 t an x

 Bước 3: Đặt t = t an x để đưa về phương trình bậc hai đã biết cách giải

Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi

 Bước 1: Thế sin x 2 = 1 - cos 2x ; cos x 2 = 1 + cos 2x

sin 2x sin x cos x

2 vào ( )1 và rút gọn lại,

ta được: b sin 2x + (c - a cos 2x) = 2d - a - c ( )*

 Bước 2: Giải phương trình ( )* , tìm nghiệm Đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2xvà

cos 2x mà đã biết cách giải

( )

ê

êë

a sin x b sin x cos x c sin x cos x d sin x cos x e cos x 0 3

Cách giải: Chia hai vế của ( )2 cho cos X (hay 3 sin X ) hoặc chia hai vế của 3 ( )3 cho

4

cos X (hay 4

sin X) và giải tương tự như trên

Bài 4: Giải phương trình lượng giác:

a) cos x 2 - 3 sin 2x = 1 + sin x 2

b) 2 sin x 2 + (1 - 3) sin x cos x + (1 - 3) cos x 2 = 1

c) 4 sin x 2 - 5 sin x cos x - 6 cos x 2 = 0

d) sin x 2 - 3 sin x cos x + 2 cos x 2 = 1

e) 2 sin x 2 + 3 3 sin x cos x - cos x 2 = 4

f) 3 sin x 2 + 4 sin 2x + (8 3 - 9) cos x 2 = 0

g) sin x 2 + 2 sin x cos x - 2 cos x 2 = 1

2

h) - sin x 2 + 3 sin x cos x + 4 cos x 2 = 3

i) 2 sin x2 - cos x2 - sin x cos x = 2

j) 4 sin x 2 + 3 cos x 2 - 4 sin x cos x = 1

k) 3 sin x 2 + 4 cos x 2 - 3 sin x cos x = 1

l) 5 sin x 2 + cos x 2 + sin 2x = 2

e) Phương trình lượng giác đối xứng

Dạng 1 a sin x( + cos x)+ b sin x cos x + c = 0

2

2

Dạng 2 a sin x( - cos x)+ b sin x cos x + c = 0

2

2

a t an x + cot x + b t an x + cot x + c = 0

íï ¹

P P : t t an x cot x , t 2 t an x cot x t 2

a t an x + cot x + b t an x - cot x + c = 0

íï ¹

P P : t t an x cot x , t 2 t an x cot x t 2

a sin x + cos x + b sin 2x + c = 0

P P : t sin 2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x 1 t

a sin x + cos x + b cos 2x + c = 0

P P : t cos 2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x cos 2x t

a sin x + cos x + b sin 2x + c = 0

P P : t sin 2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x 1 t

a sin x + cos x + b cos 2x + c = 0

P P : t cos 2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x cos 2x t

Dạng 9

a sin x + b cos x + c cos 2x + d = 0

2

2 2

4

1 t

1 cos 2x 1 t

P P : t cos 2x, t 1

cos x

cos x

4

ìï

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a) 2 sin x   cos x   6sin x cos x   2 0 k) sin x  cos x  4sin x cos x 1 0  

b) sin x cos x  2 sin x   cos x    1 0 l) 6 sin x   cos x    1 sin x cos x

c) sin x cos x   2 6 sin x cos x m) 2 2 sin x   cos x   3sin 2x

d) 2sin 2x  3 3 sin x   cos x    8 0 n) sin x 2sin 2x 1 cos x

2

e) sin x 3 + cos x 3 - 1 = 3 sin 2x

f) 2 sin x( + cos x)= t an x + cot x

p) cos x3 - sin x3 = 1

g) 1 + cos x3 - sin x3 = sin x

q) sin 2x - 12 sin x( - cos x)+ 12 = 0

h) cot x - tan x = sin x + cos x

r)

+

= +

1

i) 1 + tan x = sin x + cos x

s) sin x cos x + 2sin x + 2cos x = 2

÷ + ç ç - ÷ ÷ =

çè ø

sin 2x 2 sin x 1

4

sin x cos x sin 2x

f) Một số dạng phương trình khác

Phương pháp:

 Phương trình chứa căn thức: Áp dụng công thức

●

2

ìï ³ ïï

= Û í ï

= ïïî

Lưu ý: Khi giải B ³ 0, ta áp dụng phương pháp thử lại

 Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Cách 1 Mở giá trị tuyệt đối dựa vào định nghĩa

Cách 2 Áp dụng công thức

●

é = ê

= Û ê =

éìï ³ ïê

= Û í ê Û ê ì

ï ê = - ï

ï ë

-ïîë

 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

 Loại 1 Tổng hai số không âm:

ìï ³

ïïî

 Loại 2 Phương pháp đối lập dạng 1:

ìï £

ïïî

 Loại 3 Phương pháp đối lập dạng 2:

ì ì £

ïî

Đặc biệt ● sin u sin v 2 sin u 1

sin v 1

ìï = ï

sin u 1 sin u sin v 2

sin v 1

ìï = -ï

+ = - Û í ï

= -ïî

● cos u cos v 2 cos u 1

cos v 1

ï

cos u 1 cos u cos v 2

cos v 1

ìï = -ï

+ = - Û í ï

= -ïî

●

sin u 1 sin v 1 sin u sin v 1

sin u 1 sin v 1

éìï = ïêíê

êïî

= Û êìï êï êí =

-ïê = -ïîë

●

sin u 1 sin v 1 sin u sin v 1

sin u 1 sin v 1

éìï = -ïêíê

êïî

= - Û êìï êï êí =

ïê = -ïîë

cos u 1 cos v 1 cos u cos v 1

cos u 1 cos v 1

éìï = ïêíê

êïî

= Û êìï êï =

-êí ïê

= -ïîë

●

cos u 1 cos v 1 cos u cos v 1

cos u 1 cos v 1

éìï = -ïêíê

êïî

= - Û êìï êï =

êí ïê

= -ïîë