bài tập phương trình lượng giác 11 có giải

bài tập phương trình lượng giác 11 có giải tham khảo

Trang 1

Chủ đề 3: Phương trình lượng giác cơ bản

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương trình sinx = sina

 



      2

sin sin

2

x

b/ sinx  a Ñieàu kieän :  1 a  1.





arcsin 2 sin

arcsin 2

x a

c/ sinu  sinv  sinu sin(v)

d/ sin cos sin sin

2

u  v  u   v



e/ sin cos sin sin

2

u   v  u  v 



Các trường hợp đặc biệt:



sinx 0 x k k  

sin  1     2

2



     

2

sin   1  sin2  1  cos2  0  cos  0    

2

2 Phương trình cosx = cosa

a/ cosx cos  x  k2 k  

b/ cosx  a Ñieàu kieän : 1  a1



cosx a x arccosa k2 k  

c/ cosu cosv  cosu cos( v)

d/ cos sin cos cos

2

u  v  u   v



e/ cos sin cos cos

2

u  v  u   v



cos 0

2



cosx 1 x k2 k  

Trang 2

cosx 1 cos x 1 sin x 0 sinx 0 x k k  

3 Phương trình tanx = tana

a/ tanx  tan  x k k  

b/ tanx  a  x arctana k  k  

c/ tanu  tanv  tanu tan(v)

d/ tan cot tan tan

2

u  v  u   v



e/ tan cot tan tan

2

u  v  u   v



tanx 0 x k k  



     

tan 1

4

4 Phương trình cotx = cota

cotx  cot  x k k  



cotx a x arccota k k  



cot 0

2



     

cot 1

4

5 Một số điều cần chú ý:

a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số

hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để

phương trình xác định

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện:   

2

x k k  

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: xk k  

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện  

2

x k k  

* Phương trình có mẫu số:

 sinx 0  x k k  

 cos  0    

2

 tan  0   

2

Trang 3

 cot  0   

2

b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng một

trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:

1 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức

điều kiện

2 Dùng đường tròn lượng giác

3 Giải các phương trình vô định

B BÀI TẬP MẪU

Hướng dẫn giải

a) Ta có biến đổi: sin 3x sin

3





2

k

k k





b) Ta có biến đổi: osx 2 osx os3

3 2 4 3 2 4







 



k  

c) Ta có biến đổi:  0 1  0 0

2

60 30 360

60 180 30 360

 



90 360

210 360

  

 



k   ;

cos 3 x    cos 3 x   cos 

Bài tập mẫu 1: Giải các phương trình sau:

sin 3x sin

3

2

b c  

 0 1 sin 60

2

2 cos 3

Trang 4

3







 



11

2 36 7 2 36







 





k  

a Ta có biến đổi:  3   

sin 2x sin 2x sin



 





6

3

k  

b Điều kiện: 1 xk x  1 k k  

Ta có biến đổi: 3 cot(1 x) 3 0 cot(1 x) 3

3

cot(1 x) cot

3



 

 

3



3



    k  

a Ta có biến đổi:  1   

sin 2x sin 2x sin



 





12 5

12

k  

       k  

Bài tập mẫu 3: Giải các phương trình sau:

a) 1 sin 2x

2 b) 3 tan(2x) 30

Bài tập mẫu 2: Giải các phương trình sau:

sin 2x

2 b) 3 cot(1 x)  30

Trang 5

Ta có biến đổi: 3 tan(2 x) 3 0 tan(2 x) 3

3

tan(2 x) tan

6



 



6



     k  

a Ta có biến đổi:  0 1  0 0

2

60 30 360

60 180 30 360

 



k  

90 360

210 360

  

 



k  

b Ta có biến đổi:

3

6 4 3





  



 

    



11

2 36 7 2 36







 





k  

3

c c x   c x  



k  

Bài tập mẫu 5: Giải các phương trình sau:

a sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin2

(2x+

4

 ) = 0

b 2 s in cosx x +6 s inx cosx  3 0

Bài tập mẫu 4: Giải các phương trình sau:

 0 1

/ sin 60

2

a x   ; b/ cos 3 2

3

c c x  

Trang 6

a Phương trình đã cho tương đương với:

Sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x +

4

 )=0

sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x +

2

 )

sinx + sin4x = 1+ sin4x sinx = 1 x =

2

 + k2 , k 

Vậy phương trình có họ nghiệm là: x =

2

 + k2 , k 

b Phương trình đã cho tương đương với:

(2s inx1)(cosx+3)0

1 sin

2 cos 3(v« nghiÖm)















x

x =

2 2

6 5 6





  



 



   



k l  , 

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là:

2 2





  





   



6 5 6

k l , 

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI

4

Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình lên đường tròn lượng

giác là:

Trang 7

Điều kiện : cosx 0(*)

Phương trình đã cho tương đương với:

x

2

cosx sin 2 cosx x 2 sin x.cosx s inx cosx s inx sin 2x cosx s inx 0

cos 0

4

x











(tm(*))…

x  k 

  k 

Lần lượt cho k 0;1; 2;3; 4 rồi biểu diễn nghiệm lên đường tròng lượng giác

ta có được số điểm biểu diển là 4 Vậy chọn đáp án C

4 sin x 12 sin cosx x 9 cos x 9 sin x 12 sin cosx x 4 cos x 25

13 24sin cos 25 12sin 2 12

1 2 sin 

 x  x k

4 k 

Bài tập 2: Cho phương trình 2sinx3cosx2 3sinx2cosx2 25

Có bao nhiêu nghiệm của phương trình thuộc đoạn 0; 2 

Trang 8

Lần lượt cho k  1; 0;1; 2; ta thấy trên đường tròn lượng giác chỉ có hai giá

trị k=0,1 để x thuộc vào 0; 2 Vậy chọn đáp án B 

2 2

k x









k  

2 2

2

k x







   



k  

Vậy chọn đáp án A

Bài tập 3: Nghiệm của phương trình

















2

3 2 sin 2

sin 4 sin cos 2 5

x x

x x x

a

2 2

2

k x







   



k  

b

2 2 2 6







   



k  

c

2 2 2

k x







  



k   d

2

2 2

x k









   



k  

Trang 9

Phương trình đã cho tương đương với: 4 sin 5 sinx x2 cos 4x 30

5

2 cos 4 cos 6 2 cos 4 3 cos 6

5 2







k  

Phương trình đã cho có hai bộ nghiệm là:  

5

36 3 5

36 3

k x

k Z k

x



 







   



Nhận xét: Mỗi họ nghiệm ở trên ta có được 6 điểm biểu diễn lên đường

tròn lượng giác Nên tổng cộng ta có 12 điểm biểu diện tất cả các họ

nghiệm của nó Vậy chọn đáp án C

Lưu ý: Để xét số điểm biểu diễn của cung lượng giác ta nhìn vào vòng

lặp ở k Số điểm biểu diễn sẽ được tính bởi công thức: k2

n

 với n là số

điểm biểu diễn lên đường tròn lượng giác

Bài tập 4: Cho phương trình 4 sin 5 sinx x2 cos 4x 30

Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình lên đường tròn lượng

giác là

Trang 10

Ví dụ: ở vòng lặp 2

k k 

 có số điểm biểu diễn là 6

Phương trình đã cho tương đương với: cosxsinx2sin cosx x2 osc 2x0

 sin (1 2 cos ) cos (1 2 cos )x  x  x  x 0. (sinxcos )(1 2 cos )x  x 0

 cos sin 0

1 2 cos 0

x





2 3

k





  



   





Vậy phương trình đã cho có các nghiệm: , 2 , ( )

Ta có:

4



   có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ (II) và (IV)

3



   có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ (I) và (IV)

Nên điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên thuộc vào góc phần tư

thứ (I),(II) và (IV)

Đáp án B

Bài tập 5: Cho phương trình: cosx sinx  1 sin 2x cos 2x

Điểm biểu diễn nghiệm của phương trình thuộc vào các góc phần

tư nào trên đường tròn lượng giác

a (I) và (II) b (I),(II) và (IV)

c (II) và (III) d (III)

Trang 11

2

 

1 sin

2

x



 









2 6

, 7

2 6

k





  







Chọn đáp án: A

Bài tập 7: Tập nghiệm của phương trình:

3

sin x 2sin x sin 2x 0

Bài tập 6: Nghiệm của phương trình

2

sin 2 x  2cos x  3sin x  cos x

a

2 6 7

2 6





  





k   b

2 6 7

2 6









k  

c

2 2 2 6









k  

d

5

2 6







   



k  

Trang 12

Phương trình đã cho tương đương với:  2 

s inx 1 2 sin x   cos 2x  0

k x

sin x.cos 2x cos 2x 0 cos 2x(sin x 1) 0

sin x 1

k2 2











 



k 

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: S k ; k2



    

Chọn đáp án: D

Bài tập 8: Cho phương trình 2cosx+ s inx  1 sin 2x  Tìm mệnh

đề đúng

a Phương trình trên vô nghiệm

b Phương trình có họ nghiệm là







2

3

k 

c Điểm biểu diễn nghiệm của phương trình nằm vào góc phần

tư thứ (IV)

d Phương trình đã cho tương đương với phương trình sinx 1

a

k

2 2



   

3 2 6



c S k ; k2

2 4



   



    

Trang 13

Phương trình đã cho tương đương với:  (2cosx-1) s inx(2cosx 1) 0   

 (2cosx-1)(1- sin x) 0 









1 cosx=

2









3

Chọn đáp án B

 2sin cosx x 1 2sin2x2sinx 1 2sinxcosxsinx 1 0

0 0

2 2

1



sin sin

x k x

x

x k





k  

Bài tập 9: Cho phương trình: sin 2xcos 2x 2sinx 1

Chọn mệnh đề đúng

a Phương trình đã cho tương đương với phương trình sinx 12

b Nghiệm của phương trình là Sk;2 k2

c Phương trình luôn có nghiệm âm

d Phương trình có 5 nghiệm thuộc vào đoạn 0; 2 

Trang 14

Tiến hành gộp nghiệm lại ta được: Nghiệm của phương trình là

2

Vậy chọn đáp án B

cos x sin x cosx sin x 1 2 cos x       0    



cosx sin x 0 sin x cosx 1

Giải ra và kết luận nghiệm là : x   k

4 , x  k2 

2 , x    k2  k  

Lần lượt cho k để tìm giá trị x dương nhỏ nhất ta được:

4

x 



Chọn đáp án D

Bài tập 11: Cho phương trình : sin 3 sin 2 sin

 là số dương nhỏ nhất của nghiệm của phương trình trên Khi đó

giá trị của biểu thức A sin 2 cos

Bài tập 10: Cho phương trình cos 2x1 2 cos  xsinx cosx 0

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là:

2



4



Trang 15

Phương trình tương đương với: sin 3 x  cos3 x  sin 2 x  sin x  cos x 

 sin x cos x  2sin 2 x 1  sin 2 x  sin x cos x  0

 sin x cos x  sin 2 x 1  0

sin 2 1

x x

 



4

k





  



  





Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là:  

k

x   k

Số dương nhỏ nhất của nghiệm phương trình là:

4



  Thay vào ta

được giá trị của A là: sin 2 cos 1 2 2 2

Bài tập 12: Cho phương trình sin2x2sinx3(cosx1) Tìm mệnh

đề đúng

a Phương trình có hai họ nghiệm

b Phương trình trên chỉ có một họ nghiệm

c Điểm biểu diễn nghiệm nằm trên trục tung

d Với  là một nghiệm của phương trình thì cos  0

a 2 2

2



b 2 2

2



c 2

Trang 16

Phương trình đã cho tương đương với: 2 sin (cosx x1)3(cosx1)

(cosx1)(2sinx3)0 cosx1xk2 k  

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: x k2 k 

Vậy chọn đáp án B

x





 Với s inx  0  xk

Với cos2x = 1 

2 1

2

x k











, k  

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm , 2

2

   , k  

Lần lượt cho k 0,1, 2 vào ta chỉ có

2

x 

 thuộc vào khoảng đó

Chọn đáp án B

Bài tập 14: Tìm x sao cho: sin2x - 2 3cos2x = 0 với x  3

2

Bài tập 13: Cho phương trình sin 2x c os2x2 sinx1 Có bao nhiêu

nghiệm của phương trình thuộc vào khoảng 0; 

a 0 b 1 c 4 d Nhiều hơn 4

Trang 17

Phương trình đã cho tương đương với: sin2x - 2 3cos2x = 0

<=> cosx(sinx- 3cosx)=0 cos 0 2

tan 3

3

x x





 









k  

Trên 0;3

2



  ta có tập nghiệm là: , ,4

3 2 3

Chọ đáp án D

Bài tập 15: Nghiệm của phương trình là:

2sin x2 2cosx 1 2sinx

a

.2 4 3 2 4 2 2 3





 



  



   

k  

b

.2 2 2 2 2 3





 



 



  



k  

c

.2 4 3 2 4 2 3





 



  



   



k  

d

.2 4 3 2 4 2 2 3





  



   



   



k  

a

4

0, ,

2 3

  b

4 0; ,

3 3

2 , ,

3 2 3

4 , ,

3 2 3

Trang 18

Phương trình đã cho tương đương với: 2 sin (2cosx x1) (2cos x1)0

( 2sinx1)(2cosx1)0 2 1 0

sinx cosx

 

 



*

.2

3 2

.2 4

sinx





 



  

  





      (k  )

Vậy chọn đáp án A

Ta có:  1   1 cos 2x 2015 co s 3x  1 c s o 2x

cos x3  0 3

2

   k  

Chọn đáp án C

Bài tập 16: Cho phương trình 2

2 sin x 2015 cos3x  1 cos 2x

Chọn mệnh đề đúng

a Phương trình có họ nghiệm là: 2

6

x  k



  k  

b Nghiệm của phương trình là:

2

x  k



 

c Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là

6

x 



d Phương trình này vô nghiệm

Trang 19

Phương trình đã cho tương đương với  2  2 2 

cosx sinx 2 cos x sin x 0

cos sin 3cos sin  0 cos sin 0

3cos sin 0





4



3cosxsinx0tanx  3 xarctan( 3) k

Vậy phương trình có các nghiệm là 4

arctan( 3)









k 

Vậy chọn đáp án D

Bài tập 18: Nghiệm của phương trình 1 2(cos sin )





Bài tập 17: Phương trình 1 2 cos 2 xsin 2x tương đương với

phương trình nào sau đây?

a Phương trình tanx 1

b Phương trình 3cosxsinx 0

c Phương trình cosx 1

d Phương trình cosxsinx3cosxsinx 0

Trang 20

Bạn vừa xem xong phần miễn phí trong bộ sách cùng tên của thầy giáo

Nguyễn Quốc Tuấn Để học những phần còn lại vui lòng mua trọn bộ sách của

chúng tôi để lĩnh hội được tất cả những kiến thức và Phương pháp mới nhất

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Đặt mua tại:

https://goo.gl/FajWu1

Xem thêm nhiều sách tại:

http://xuctu.com/sach/

Hổ trợ giải đáp:

sach.toan.online@gmail.com

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	644,16 KB