Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 - THPT

phương trình lượng giác

Phần I MỞ ĐẦU

I CƠ SỞ LÍ LUẬN.

Thời gian gần đây đã có rất nhiều cuộc hội thảo khoa học bàn về vấn đềlàm thế nào để đẩy nhanh sự phát triển của giáo dục mà nội dung then chốt làđổi mới để nâng cao chất lượng dạy và học Một trong những phương phápđược chú ý nhất ,có tính ưu việt nhất đó là dạy học theo quan điểm hoạt động

Phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động được hình thành trên những tư tưởng chủ đạo sau.

i) Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động thành phần

tương thích với nội dung và mục đích dạy học

ii) Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động.

iii) Truyền thụ tri thức ,đặc biệt là những tri thức phương pháp như

phương tiện và kết quả hoạt động

iv) Phân bậc hoạt động

Bản sáng kiến kinh nghiệm này trình bày về một khía cạnh nhỏ củaphương pháp dạy học trên, đó là “Thực hiện các hoạt động thành phần trongquá trình dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổthông” mà tác giả đã trực tiếp giảng dạy và kiểm nghiệm

Hoạt động dạy học phương trình lượng giác là một hoạt động phức hợp

có thể chia làm nhiều hoạt động thành phần, ký hiệu một cách hình thức là

6 5 4 3

II.CƠ SỞ THỰC TIỄN.

1.Về phía học sinh.

Giải phương trình lượng giác là một nội dung rất quan trọng trongchương trình Đại số và giải tích 11,hơn nữa đây cũng là nội dung “cứng”trong cấu trúc ra đề thi đại học của Bộ GD và ĐT Tuy nhiên khi đụng đếnbiến đổi lượng giác nói chung và giải phương trình lượng giác nói riêng thìhọc sinh còn khá lúng túng,thậm chí một bộ phận lớn học sinh còn cảm giác

“sợ” nội dung này

Có rất nhiều tài liệu tham khảo về giải phương trình lượng giác ,nhưnghầu hết đều chú ý đến số lượng các ví dụ nhiều hơn là đi định hướng cho họcsinh có một cái nhìn sâu sắc ,bản chất

2.Về phía giáo viên.

Việc cung cấp kiến thức cho học sinh một cách chi tiết là khó khăn,bởi

số tiết dành cho nội dung này là hạn chế,so với một lượng kiến thức có thể nói

là rất đồ sộ.Vì vậy việc tìm ra cho mình một phương pháp giảng dạy có tínhhiệu quả cao,trong một thời gian ngắn là một điều rất cần thiết đối với bất kìgiáo viên nào

Do đó tôi muốn chia sẻ qua sáng kiến kinh nghiệm nhỏ này với mongmuốn mang đến cho bạn đọc một cách nhìn mới trên nội dung cũ nhằm gópphần đưa những tiết học về nội dung giải phương trình lượng giác trở nên sôiđộng và hiệu quả hơn

THỰC HIỆN CÁC HOẠT ĐỘNG THÀNH PHẦN TRONG QUÁ TRÌNHDẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11

1 Nhận dạng phương trình.

Khi học giải phương trình lượng giác nhiều học sinh đã nhầm tưởngrằng sẽ học được những thuật toán tổng quát nhất cho phép giải mọi phươngtrình lượng giác, nhưng thực ra không có một phương pháp tổng quátnào Các phương trình lượng giác trong chương trình phổ thông rất đa dạng

về thể loại, phong phú về cách giải ,vì vậy một yêu cầu quan trọng mà giáoviên phải đạt được là giúp học sinh nhận dạng được các phương trình lượnggiác khác nhau và thể hiện các phương pháp giải chúng

Có nhiều cách phân dạng phương trình lượng giác ,chẳng hạn sách giáoviên Đại số và giải tích 11 Ban khoa học tự nhiên thì các phương trình lượnggiác được phân loại thành:

- Phương trình lượng giác cơ bản

- Một số phương trình lượng giác thường gặp (phương trình bậc nhất ,bậchai hay phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác ,phương trình thuầnnhất đối với sinx và cosx ,phương trình đối xứng theo sinx và cosx)

- Những phương trình lượng giác khác: Cách phân loại như vậy có ưuđiểm là chi tiết ,tuy nhiên chưa nhấn mạnh đến các đặc điểm về dạng thức vàphương pháp giải Theo kinh nghiệm cá nhân tôi nhận thấy sử dụng hệ thốngphân dạng nói trên với một sự thay thích hợp về cách sắp xếp ,tổ chức lại sẽ

có một hệ thống phân dạng đầy đủ chi tiết tạo điều kiện giúp học sinh nhậndạng phương trình và tìm được giải pháp thể hiện phương pháp giải chúng

Trước hết, một sự phân dạng (còn rất thô) có thể chia các phương trìnhthành hai loại :

Loại phương trình lượng giác không có tham số và loại phương trình lượng giác có tham số

Về nguyên tắc các phương trình không có tham số là những phươngtrình cụ thể nên phép giải chúng tương đối đơn giản Các phương trình cótham số nhìn chung sẽ phức tạp ,vì vậy học sinh phải có khả năng phân tích

để chia tập hợp các giá trị của tham số thành những bộ phận ,trong đó phươngtrình có dạng chung thống nhất và lập luận thống nhất về biến đổi tươngđương phương trình

I.Phương trình lượng giác cơ bản

II.Phương trình lượng giác gần cơ bản.

III.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

IV.Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa.

V.Các phương trình lượng giác có thể biến đổi về phương trình tích VI.Các phương trình lượng giác có điều kiện ràng buộc về ẩn.

VII.Các phương trình lượng giác không mẫu mực.

Các dạng IV,V ,VI,VII có thể phân dạng một cách chi tiết hơn như sau:

IV1 Phương trình có thể đại số hóa.

a Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác

b Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

c Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

V1 Phương trình lượng giác có thể biến đổi về tích.

a Dạng asinx+bsin2x+csin3x=0

b Dạng sử dụng công thức hạ bậc ,tích thành tổng,tổng thành tích

c Dạng chứa những biểu thức có thừa số chung

d Dạng phương trình có những liên quan đặc biệt

VI1 Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn.

a Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức

b Phương trình lượng giác chứa ẩn trong dấu căn

c Phương trình lượng giác chứa ẩn trong lôgarit

d Phương trình lượng giác trên một miền

VII1 Phương trình lượng giác không mẫu mực.

a Các phương trình không mẫu mực giải được nhờ sử dụng phươngpháp đánh giá các số hạng ,nhân tử

b Các phương trình không mẫu mực giải được dựa vào tính chất của hàm số

và đồ thị

Về các phương trình có chứa tham số ,học sinh có thể gặp các dạng cụ thể sau.

a Biện luận phương trình.

b Biện luận số nghiệm của phương trình

c Điều kiện để phương trình có nghiệm,nghiệm duy nhất

d Điều kiện để hai phương trình tương đương

1.1 Phương trình lượng giác cơ bản.

Là lớp phương trình đơn giản nhất nhưng lại là quan trọng nhất vì việcgiải bất cứ phương trình nào cũng dẫn đến giải một trong những phương trìnhdạng này

Các phương trình lượng giác cơ bản gồm:sinx=a,cosx=a,tanx=a,cotx=a,với x là ẩn, a là số đã cho

1.2.Phương trình lượng giác gần cơ bản.

Là các phương trình dạng sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a

1.3.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Là phương trình có dạng:asinx+bcosx+c=0

1.4.Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa.

Về nguyên tắc, mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờphép đặt ẩn phụ t=tan(x/2) và sử dụng các công thức hữu tỉ hóa:

1

1 cot , 1

2 tan

, 1

1 cos ' 1

2 sin

t

t x t

t x t

t x t

t x

a.Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác

b.Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.

c.Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.

Phương pháp đưa phương trình về dạng tích là một trong những kĩ thuậtquan trọng nhất để giải phương trình nói chung và phương trình lượng giácnói riêng.Mục đích của phương pháp này là quy việc giải một phương trìnhphức tạp về việc giải một tập hợp các phương trình cơ bản.

Các em học sinh có thể chú ý ghi nhớ những biểu thức có thừa sốchung cho trên bảng sau

f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x)

2 4 ( cos , cot ,

x

Sinx+cosx cos 2x, cot 2x, 1  sin 2x, 1  tanx, 1  cotx, tanx cotx

Sinx-cosx cos 2x, cot 2x, 1  sin 2x, 1  tanx, 1  cotx, tanx cotx

Bảng 1

1.6 Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn.

Với dạng phương trình này khi giải ta phải đặt điều kiện và chú ý cácphepa biến đổi tương đương ,khi giải xong nghiệm ta phải kiểm tra lại điềukiện để loại đi nghiệm vi phạm điều kiện

1.7 Phương trình lượng giác không mẫu mực.

Một số phương trình lượng giác không thể áp dụng những phương pháptruyền thống

Gặp những dạng này học sinh cần vận dụng khéo léo phương pháp đánhgiá các số hạng có trong phương trình(sử dụng tính chất của bất đẳng thức )

sử dụng các tính chất đơn điệu ,hay tính bị chặn của hàm số ,hoặc dùng đồ thịcủa hàm số để giải được chúng

2 Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc.

Đây là hoạt động thành phần quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt

giác có dạng thức không chỉ ra ngay con đường đi đến lời giải Việc nhận ra dạngphương trình cần giải mới chỉ gợi ý cho người làm một thuật toán chung, tổngquát để suy nghĩ tìm tòi lời giải Do đó,trong hoạt động thành phần này, giáo viêncần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải.

Một giờ học toán sinh động hay khô khan buồn tẻ, có trở thành niềmsay mê, háo hức của học sinh hay không là tùy thuộc và năng lực điều khiểncủa giáo viên Vì vậy mỗi giáo viên cần thường xuyên rèn luyện nhằm khôngngừng nâng cao năng lực tiến hành biến đổi phương trình

2.1 Phương trình lượng giác cơ bản và gần cơ bản.

* Phương trình lượng giác cơ bản :sinx=a,cosx=a, tanx=a,cotx=a.Các

phương trình lượng giác dạng này đã có công thức nghiệm chi tiết.Cần nhấnmạnh các phương trình

sinx=sinb,cosx=cosb,tanx=tanb,cotx=cotb

* Phương trình lượng giác gần cơ bản.

Là những phương trình :sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a

Bằng phép đặt f(x)=t,ta đưa về phương trình dạng trên

Cần chú ý điều kiện trong phương trình tanf(x)=a,cotf(x)=a

2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Dạng phương trình :asinx+bcosx+c=0

Bằng cách chia hai vế của phương trình cho a 2 b2 và chú ý rằng

1 2 2 2 2

a

a

,nên ta có thể đặt cos 2 2 , sin 2 2

b a

b b

c x





  ,đây chính là phươngtrình cơ bản

Sử dụng cách giải phương trình này ta có thể áp dụng được cho nhữngphương trình dạng sau:

2 2 2 2

), ( cos )

( sin ) ( cos ) (

sin f x b f x c g x d g x a b c d

2.3 Lựa chọn phép biến đổi lượng giác.

Để nhanh chóng lựa chọn những phép biến đổi lượng giác thích hợpcho việc đại số hóa phương trình ,giáo viên cần lưu ý học sinh một số nhậnxét hữu ích sau:

a Các biểu thức lượng giác có thể biểu diễn qua một đa thức của cosx gồm:sin2x,cos2x,cos3x

Các biểu thức biểu diễn được qua một đa thức của sinx gồm:cos2x

c Các phương trình dạng f(cosx-sinx,sinxcosx) =0 cũng đại số hóa như trên

d Một dạng đặc biệt của phương trình đối xứng đối với cosx và sinx làphương trình đối xứng với tanx và cotx.Chú ý rằng :tanx.cotx=1,tanx+cotx=2/sin2x

nên có phép đặt ẩn phụ t= tanx+cotx hoặc t=sin2x.Khi đặt t=tanx+cotx

ta có các công thức biến đổi:S2 =tan 2x cot 2xt2  2

Bước 3.Đặt t =tanx và giải phương trình đại số thu được

2.4 Biến đổi phương trình về dạng tích

Muốn biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích trước tiên cần giúphọc sinh thuộc tất cả các công thức biến đổi lượng giác Trong thực tế đa sốhọc sinh không nhận thức được tầm quan trọng của việc thuộc lòng các phép

biến đổi ,có khả năng áp dụng chúng ,nhưng lại không nhớ được có nhữngcông thức nào,không hình dung được các công thức đó một cách tường minh,

vì thế không có khả năng so sánh phân tích ,tổng hợp.Vì lẽ đó các em chỉ cóthể giải toán một cách thụ động ,hiểu vấn đề một cách lơ mơ và không có khảnăng sáng tạo

Thiết nghĩ rằng nếu tổ chức tốt việc dạy học các công thức biến đổilượng giác sẽ bảo đảm một kết quả chắc chắn và tiết kiệm thời gian cho họcsinh rất nhiều

Cách tổ chức dạy học biến đổi lượng giác nên dựa vào hai yếu tố :hệ thốnghóa các công thức; phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động học tập

Hệ thống công thức biến đổi có thể tóm tắt trong sơ đồ sau

Để phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động chúng tôi sắp xếp cáccông thức theo một trật tự thích hợp để về mặt âm thanh có thể đọc trơn tru, tốt íthơi và yêu cầu học sinh luyện đồng thời nói - nhìn - nghe - viết

Ví dụ 1: Công thức biến tích thành tổng dưới dạng viết cho bởi:

)) cos(

) (cos(

2

1 cos

cosx y  x y  xy

)) cos(

) (cos(

2

1 sin

sinx y x y  xy

)) sin(

) (sin(

2

1 cos

Các em có thể nhận xét quy luật viết khai triển ở vế phải (góc trừ trước,góc cộng sau) rồi luyện đọc thành lời:

Cos nhân cos bằng một phần hai cos trừ cộng cos cộng…

Bằng cách cho cả lớp đọc đồng thanh, đọc đuổi nhau… học sinh rấtnhanh chóng thuộc tất cả các công thức nói trên Sau đây là một số kỹ năngbiến đổi thường dùng:

a Phương trình asinx + bsin2x + csin3x = 0 tương đương với

0 ) sin 4 sin 3 ( cos sin 2

sin(    

phương trình trở thành

x a x

x sin 3 sin

2

0 )) 1 ( cos 2 cos 4 (

Ví dụ 3.Giải phương trình:sinx sin 2x sin 3x cosx cos 2x cos 3x

H2: Hai vế phương trình là những tổng lượng giác, không có số hạngđồng dạng để đơn giản, vì vậy ta nên nghĩ đến việc biến tổng thành tích nhằmmục đích làm xuất hiện nhân tử chung để đưa phương trình về dạng tích Chú

ý đến các góc nửa tổng và nửa hiệu ta thấy nên nhóm sinx+3sinx ở vế trái,

cosx + 3cosx ở vế phải, còn góc nửa tổng sẽ là x x 2x

 2 sin 2xcosx sin 2x 2 cos 2xcosx cos 2x

0 ) 2 cos 2 )(sin 1 cos 2 (

) 1 cos 2 ( 2 cos ) 1 cos 2 ( 2 sin

2 cos cos

2 cos 2 2 sin cos 2 sin 2

x

x x

x

x x

x x

x x

Ví dụ 4: sin3x+sin6x=sin9x

H2: Chú ý đến các cung chứa ẩn (3x+6x =9x) ta thấy ngay nên biến đổi

0 ) 2

3 cos 2

9 (cos 2

9 sin 2

2

9 cos 2

9 sin 2 2

3 cos 2

9 sin 2

x

x x

x x

Cũng có thể biến đổi theo cách khác, chẳng hạn đặt t=3x và dùng côngthức góc bội ta biến đổi phương trình thành

sint+sin2t = sin3t (dạng asinx+bsin2x + csin3x = 0)

0 ) 2 cos 2 sin 4 (

cos 3

cos cos

0 2

8 cos 1 2

4 cos 1 2

3 cos 1 2

x x

x x

x x

chỳ ý rằng x23x 8x24x nên có thể nhóm cosx + cos3x, cosx +cos8x, phương trình tương đương với:

0 ) 6 cos (cos

2 cos 2

0 2 cos 6 cos 2 cos 2

x

x x x

x

Trong nhiều trường hợp, 2 vế phương trình là tổng nhiều tích nhữnghàm số lượng giác mà không có thừa số chung, khi đó nên tìm cách biến tíchthành tổng để rút gọn các số hạng đồng dạng rồi mới biến tích thành tổng

Ví dụ 6: cos3xcos6x= cos4xcos7x

H2: Hai vế là hai tích không có nhân tử chung, nếu biến tích thành tổngthì phương trình tương đương với

x x

x x

x x

9 cos 11

cos

) 11 cos 3

(cos 2

1 ) 9 cos 3

) 1 cos 2 )(

1 cos 2 ( sin

4

3

) 1 sin 2 )(

1 sin 2 ( 1 sin 4 ) sin 1 ( 4 3 cos

4

3

) cos 1 )(

cos 1 ( cos 1 sin

) sin 1 )(

sin 1 ( sin 1 cos

2

2 2

2

2 2

2 2

x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

cos 4 3 ) 1 2 sin 2 )(

1 sin 2

H2: Vế phải là biểu thức 3  4 cos 2x có nhân tử chung 2sinx-1 với vếtrái, phương trình dược biến đổi thành:

0 ) 1 cos 2 ( sin 2 )(

1 sin

2

(

0 ) sin 2 2 sin 2 )(

1 sin

x

x x

x

Ví dụ 8: Giải phương trình:sinx sinxcosx 1  cosx cos 2 x

H2: Có coscos2x x sin1 xsincos2x x cos(1 xsin(1 xsin)(1x)sinx)

2 2 )(

sin 1

(

0 ) sin cos 2 )(

sin 1

(

0 sin 1 ) sin 1 ( cos ) sin

x x x

x x

x x

d Sử dụng công thức nhân đôi:

Từ công thức cos 2x cos 2x sin 2x 2 cos 2 x 1  1  sin 2x, bằng cách ápdụng đồng nhất công thức cos2x+sin2x=1 một cách khéo léo ta có:

cos4x -cos2x = cos4x - (cos2x - sin2x)

= cos2x(cos2x-1)+sin2 x = -sin2xcos2x+sin2xhoặc cos4x-cos2x=cos4x-(2cos2x-1)=(1-cos2x)2=sin4x

hoặc cos2x = cos2x - sin2x=cos2x - sin4x - sin4x

cos4x-cos2x = sin4x

Ví dụ 9:Giải phương trình: Cos4x-cos2x+2sin6x=0

H2: Trong phương trình có mặt hai loại hàm số lượng giác (cos và sin),với bậc khác nhau (bậc 3 và bậc1) và các công chứa ẩn khác nhau (x và 2x)

Để làm cho các số hạng bớt khác biệt có thể chú ý đến bậc hoặc cung chứa ẩn.Nếu muốn làm cho các số hạng đồng bậc thì phải dùng công thức hạ bậc

cos 3 cos

3

x  nhưng như vậy sẽ xuất hiện thêm cung 3x Nếu muốn

làm cho các cung chứa ẩn giống nhau thì phải biến đổi 2cos2x Nếu dùngcos2x-sin2x thì phương trình được biến đổi thành.

0 )]

cos (sin

2 ) cos )[(sin

sin 1

(

0 ] cos 2 sin 2 cos sin 2 1 )[

sin 1

(

0 ) sin 1 ( sin ) 1 cos 2 )(

sin 1

(

0 ) sin 1 ( sin ) 1 cos 2 ( cos

0 sin sin

cos cos

2

2

2 2

2 2

x x

x

x x

x x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x

Nếu dựng công thức cos2x=2cos2x -1 thì phương trình được biến đổi thành

0 ) sin 1 ( ) 1 (cos cos

2

0 sin 1 cos 2 cos

2

2

2 3

x

x x

x

e Đặt thừa số chung: Sử dụng bảng 1 học sinh có thể tiến hành đặt

thừa số chung một cách thuận lợi trong nhiều trường hợp

Ví dụ 10: Giải phương trình: x x x

sin 1

cos 1 tan 2

x x

x x

sin 1

cos 1 sin 1

cos 1 sin

1

cos 1

2 2

1 cos

1 (

0 cos

) sin (cos cos

cos 1

0 ) 1 sin 1

cos 1 ( sin

x

x x x

x x

x x

x

f Chú ý đến đặc điểm các hệ số: trong nhiều phương trình lượng giác,những mối liên hệ số học giữa các hệ số lại chứa đựng chìa khoá giải bài toán

Ta sẽ thấy từ điều này qua các ví dụ sau:

Ví dụ 11: Giải phương trình:3sinx+2cosx=2+3tanx

H2: nhóm các số hạng cùng hệ số ta được

3sinx-3tanx = 2-cosx

0 ) tan 3 2 )(

cos 1

(

) cos 1 ((

2 ) 1 (cos tan

3

) cos 1 ( 2 tan 3 cos tan

x x

x

x x

x x

Ví dụ 12: 2(tanx-sinx)+3(cotx-cosx)+5=0

H2: chú ý đến mối liên hệ giữa các hệ số 5=2+3 ta biến đổi vế tráiphương trình thành

) sin

2 cos

2 )(

cos sin cos (sin

x x

x x x



2.5 Các phép toán chia, khai căn, logarit không phải luôn xác định, vìthế khi có hàm số lượng giác chứa ẩn có mặt ở mẫu số hay dưới dấu căn thức,hoặc trong biểu thức logarit thì tập xác định của phương trình nói chung chỉ làmột tập con thực sự của tập số thực Mặt khác, hầu như các phép biến đổiđồng nhất liên quan đến các phép toán nói trên đều làm thay đổi miền xácđịnh của phương trình nên đứng trước mỗi phép biến đổi phương trình chúng

ta phải luôn tự đặt câu hỏi các phép biến đổi đó có ảnh hưởng như thế nào đếntập hợp nghiệm của phương trình Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơbản sau đây:

a Các định lý về biến đổi tương đương phương trình

- Nếu nhân hai vế một phương trình với một biểu thức có nghĩa và, ta đượcphương trình tương đương (giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức)

- Nếu hai vế một phương trình có nghĩa và cùng dấu thì nâng hai vế củaphương trình ấy lên cùng một lũy thừa ta được phương trình tương đương.(giải phương trình vô tỉ)

- Nếu hai vế một phương trình cùng có nghĩa thì mũ hoá phương trình

ấy ta được một phương trình tương đương (giải phương trình lôgarit)

b Các phép biến đổi đồng nhất và điều kiện kèm theo:

) 0 , 1 , 0 (

log log

) : (

log

) 0 ,

1 , 0 ( log log

) 0 ( )

(

) 1 tan tan , 0 cos , (cos tan tan 1

tan tan

) tan(

) 0 sin , (sin sin sin

) sin(

cot cot

) 0 cos , (cos cos cos

) sin(

tan tan

log

2 1

2 1

2 1 2

b a

b b

b b

b b a

b b

a a a

b a b

a b a

b a

b a

b a b a

b a b

a

b a b a

b a b

a

b

a a

a

a a

ví dụ tôi sẽ trình bày sau đây sẽ chỉ trừ những trường hợp nào cần và nên đặtđiều kiện bổ xung, đồng thời nên xử lý các điều kiện như thế nào

Ví dụ 13:

x x

x

sin

1 cos

3 sin

H2: để khử mẫu số, cần nhân 2 vế phương trình với cosx.sinx; để bảođảm không xuất hiện nghiệm ngoại lai khi áp dụng phép biến đổi đó cần cóđiều kiện cosxsinx ≠0 Mặt khác việc đặt điều kiện bổ xung này không làmthu hẹp tập các giá trị cần xem xét của x và tập xác định của phương trình làtập tất cả các x thoả mãn điều kiện cosx.sinx≠0 Vậy phương trình đó chotương đương với hệ: 

) ( 0 sin cos

2x x x x

a x x

Chú ý rằng, nếu x là một nghiệm của (1) và không thoả mãn điều kiện(a) thì ta có đồng thời 2 đẳng thức

Phương trình (1) là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với sinx, cosx nên

có thể giải theo phương pháp giải phương trình đẳng cấp:

(1)  8 sin 2xcosx ( 3 sinx cosx)(sin 2x cos 2x)

0 cos cos

sin 3 cos sin 7 sin

sin 3 cos sin 7 sin

x x

x

x x

x x

cos sin 3 3 cos cos

2

cos sin

3 sin

2 sin 4 )

Xem phương trình được như phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx ta

viết:

) 3 cos(

) 3 cos(

) 2 cos(

3 cos

cos 2

1 sin 2

3 3

cos

cos sin

3 3 cos )

1 (

x x

x x

x

x x

x

Qua ví dụ trên, giáo viên cần nhấn mạnh để học sinh nhận thức đượcnhững lập luận căn bản sau đây:

- Thực hiện phép nhân hai vế một phương trình với một biểu thức, cần

có điều kiện biểu thức đó phải khác không

- Bổ sung điều kiện biểu thức khác không, không làm thu hẹp tậpnghiệm và không làm thay đổi tập xác định của phương trình

- Không cần thiết và không nên giải điều kiện bổ sung vừa đặt ra, đốivới các nghiệm của phương trình thu được cần tìm cách thử trực tiếp hoặcgián tiếp các điều kiện đó

Ví dụ 14: 3tan3x + cot2x=2tanx+sin24x

H2: Chú ý đến đặc điểm các hệ số có thể biến đổi phương trình thành tan3x+tan2x+2(tan3x-tanx)=2sin2x2cos2x

x x x

x

x x x

x x x

x

x x

x

x x

2 cos 2 sin

1 2

sin 3 cos

sin 2 sin 4 cos

2 cos 2 sin

1 cos

3 cos

2 sin 2 2

sin 3 cos

) 2 3 cos(

2 cos sin 2 sin 4 cos 2 cos

3 cos ) sin 2 sin 4 (cos 2

cos

x x x

x x x

x

x x

x x

cos

0 2 sin 0

sin

0 2 sin

x

loai x

x

x

Để thử điều kiện cos3xsin2xcos2x≠0 ta biểu diễn điều kiện này thông qua cos2x:

0 cos 3 cos 4 0 3

3 cos 4

0 2

2 cos 1 0 cos 0

cos

2

2

x x

x x

4

0 2

2 cos 1 0 cos 0 cos

2

2

x x

x x

x

2

1 2 cos , 1 2

cos x   x

Có nghĩa là

2

1 , 1 , 0 2 cos x  và nghiệm

4

1 2 cos x thoả mãn điều kiện đã nêu

Ví dụ 15: tan(1200+3x)-tan(1400-x)=2sin(800+2x)

H2: có thể thực hiện phép biến đổi tổng thành tích cho vế trái nhưng họcsinh không tìm thấy thừa số chung để đưa phương trình về dạng tích Tuy nhiên,chú ý rằng 800 +2x=2(400+x), 1400-x=1800-(400+x), 1200+3x=3(400+x) do đó nếuđặt t= 400+x và sử dụng quy gọn góc ta biến đổi phương trình thành

tan3t+tant=2sin2t

t t

t

t t

t t

t

t t

t t

t t

2 sin 2 1 cos 2 2

cos

2 cos 2 sin

4

2 sin 2 ) 4 cos 2 (cos

2

1

2 cos 2 sin 2

2 sin 2 cos 3 cos

4 sin

cos , 1 2

cos

1 2

cos 0

2 sin

0 ) 1 2

cos 2

cos 2 ( 2 sin

t t

t t

t t

1 2

cos

1 2

cos

t t

x x x

x 1 cos 4 sin cos cos

1    

Nếu khử căn bằng cách sử dụng công thức góp nhân đôi thì lại xuấthiện giá trị tuyệt đối

2 cos 2 cos

1

2 sin 2 cos

1

x x

x x

0 ) 1 sin 2 sin 4 )(

1 sin

2

(

0 1 sin 8 sin 8

) 0 sin )(

sin 2 2 ( sin 4 1

) sin 2 2 ( sin

4

1

2 3

2

2 2

x x

x do x x

x x

4

5 1 sin , 2

1 sinx loai x  (loại)

4

5 1 sinx  (thoả mãn điều kiện cosx≠0 sinx≠±1 và sin x<(0)

2 (sin log ) sin 3 (sin log

3 1

H2: Áp dụng công thức đối cơ số, phương trình được biến đổi thành

) 2 cos 2 (sin log ) sin 2 (sin log

0 ) 2 cos 2 (sin log ) sin 2 (sin log

3 3

3 3

x x

x x

x x

x x

2

0 sin 2 sin : ( sin 2 1 sin

0 2 cos 2 sin sin

2 sin

x x

dk x x

x x

x x

k x

x x

7

2 6

2 2

2

1 sin

1 sin