phương pháp,bài tập lượng giác có giải

phương pháp,bài tập lượng giác có giải chi tiết

1 Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác

Quan sát và dùng các cơng thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung gĩc giống nhau, chẳng hạn:

4

x x

2cos

32

x k x

 2  2

pt3 1 2sin x 7sinx   2 0 6sin x7sinx 5 0

5sin

31sin

2

x x

26

sin 1

1sin

4

x x

 Với cos2x2 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 6 Giải phương trình: 1tan2 2 5 0

ÀI T V N ỤN

BT 1 [1D1-2]Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2sin2xsinx 1 0 b) 4sin2x12sinx 7 0

c) 2 2 sin2x (2 2)sinx 1 0 d) 2sin3xsin2x2sinx 1 0

e) 2

2cos x3cosx 1 0 f) 2

2cos x3cosx 2 0

g) 2cos2x( 22) cosx 2 h) 4cos2x2( 3 2) cosx 6

i) tan2x2 3 tanx 3 0 j) 2 tan2x2 3 tanx 3 0

k) tan2x (1 3) tanx 30 l) 3cot2x2 3 cotx 1 0

m) 3 cot2x (1 3) cotx 1 0 n) 3 cot2x (1 3) cotx 1 0

Lời giải

22

s in 1

2 ,1

6sin

2

726

2

22

2cos 1

,1

2cos

32

x k x

3cos

2

2cos

42

2cos

62

,3

cos

42

 

cot 1

4

, ,3

g) 3sin2x2cos4 x 2 0 h) 4sin4x12cos2 x7

i) 4cos4x4sin2x1 j) 4sin4x5cos2x 4 0

2

4sin

cos2 0cos

2cos 1 02

x x

x

x x

cos2 0cos

x x

BT 3 [1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2cos 2x8cosx 5 0 b) 1 cos 2 x2cos x

c) 9sinxcos 2x8 d) 2 cos 2 x5sinx0

e) 3sinxcos 2x2 f) 2cos 2x8sinx 5 0

g) 2cos 2x3sinx 1 0 h) 5cos 2sin 7 0

 

2

3cos

2

4 cos 8cos 3 0

1cos

26

2

1sin

26

j) [1D1-3] cos 2xcos2xsinx 2 0.

Ta có: cos 2xcos2xsinx   2 0 1 2sin2x 1 sin2xsinx 2 0

BT 4 [1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3cos2x2cos 2x3sinx1 b) cos 4x12sin2x 1 0

c) cos 4x2cos2 x 1 0 d) 16sin2 cos 2 15

6sin 3xcos12x4 j) 5(1 cos ) x  2 sin4xcos4x

k) cos4xsin4xcos 4x0 l) 4(sin4xcos4x) cos 4 xsin 2x0

 

223

    f) cos 2x 3 sin 2x 3 sinx 4 cos x

g) 3 sin 2x 3 sinxcos 2xcosx2 h) 2 cos2 42 9 2 cos 1

sin 0

2 ,1

6sin sin

sin

62

526

x k

x k x

x x

Xét phương trình cos 2x 3 sin 2x 3 sinx 4 cos x

Xét phương trình 3 sin 2x 3 sinxcos 2xcosx2 biến đổi tương tự như câu f ta được:

t t

2

x

   hoặc cosx4 (loại)

Với sin 1 sin

,7

26

Vậy tập nghiệm của phương trình: Sk2 , k 

BT 6 [1D1-2] Giải các phương trình lượng giác sau:

2 4

cos 1

x

x k x

k x

BT 7 [1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 8sin cosx xcos 4x 3 0 b) 2sin 82 x6sin 4 cos 4x x5

h) 3cos 4x2cos2x 3 8cos6x k) 3cosx  2 3(1 cos ).cot x 2x

l) sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2 x x m) 2cos5 cos3x xsinxcos8 x

n) 4(sin6xcos6x)4sin 2 x o) sin 4x 2 cos3x4sinxcos x

Lời giải

a) 8sin cosx xcos 4x 3 0.

x x

23

2sin 3 2 sin sin 2 1

1 2sin 3 2 sin sin 2 1 1 sin 2(sin cos )

   2   

2cos 1

2cos

32

x k x

3 2

2cos

3

1cos

23

21

6sin

2

726

2sin 2 cos 2x x 2 2cos 2 cosx x 4sinx 2sin cos cos 2x x x 1 cos 2 cosx x 2sinx

2 cos 1 cos 1 0cos 2 cos 1 0

x x

c) (2 tan2x1) cosx 2 cos 2 x d) 2cos2x3cosx2cos3x4sin sin 2 x x

e) 4sinx 3 2(1 sin ) tan x 2 x f) 2sin3x 3 (3sin2 x2sinx3) tan x

g) 5sin 3(1 cos ) cot2 2

x x

2 3 2

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

c) (2 tan2x1) cosx 2 cos 2 x

(2 tan x 1) cosx 3 2cos x

x x x

x x

1cos

2

x x

x x

x x

2

x x x

3 3

cos 3 sin 3 4 cos 3cos 3sin 4sin

(thỏa mãn điều kiện)

k) 32 tan 2 3 sin 1 tan tan

3

x x

2 Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cosin (phương trình cổ điển)

Dạng tổng quát: asinx b cosxc ( ) ,  a b,  \ 0  

Điều kiện cĩ nghiệm của phương trình: 2 2 2

 Giả sử: cos 2a 2 , sin 2b 2 ,  0; 2  

Lưu ý Hai công thức sử dụng nhiều nhất là: sin cos cos sin sin( )

1  3   3 nên phương trình luôn có nghiệm

23

,2

Phương trình tương đương với: 1sin 3cos 1

k k x

Phương trình tương đương với: cos 2x 3 sin 2x1 1cos 2 3sin 2 1

1cos cos 2 sin sin 2

,23

,2

cos12 cos 2 3 sin 2 1 cos12 cos 2

sin 4 sin 2 3 cos 2 3 sin 4 sin 2

3sin 2 3 cos 2 3 sin 2

Phương trình tương đương với:  2 2  2 2 

2 cos xsin x cos xsin x  1 3 cosxsinx

3cos x sin x 3 cosx sinx

     3 cosxsinx 3 cosxsinx 1 0

2 ,2

26

2 3 sin cosx x2cos x 1 2cosx1

1sin

Phương trình tương đương với: 2

2sin x3sinx 2 2sin cosx xcosx0

sinx 2 2sin x 1 cosx2sinx 1 0

      2sinx1 sin xcosx20

Phương trình tương đương với: cos 2 cos 2 2sin 3cos 2 1sin 2

BT 10 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3 sin cos 2sin

b) cosx 2 sin 2xsin x

Phương trình tương đương với: sinxcosx 2 sin 2x 2 sin 2 sin 2

.2

c) sin 3x 3 cos 3x2sin 2 x

Phương trình tương đương với: 1sin 3 3cos 3 sin 2

d) sinxcosx2 2 sin cos x x

Phương trình tương đương với: 2 sin 2 sin 2 sin sin 2

.2

e) 2cos 3x 3 sinxcosx0

f) (sinxcos )x 2 3 cos 2x 1 2cos x

Phương trình tương đương với: 1 sin 2 x 3 cos 2x 1 2cosx

g) 2 cos 2xsinxcosx0

Phương trình đã cho tương đương với: 2 cos 2 cos sin 2 cos 2 x 2 cos

,2

g) sin 3x 3 cos 3x2sinx0

Phương trình đã cho tương đương với:sin 3 3 cos 3 2sin 1sin 3 3cos 3 sin

l) sinx 3 cosx 2 4cos2x

sinx 3 cosx4cos x2

sinx 3 cosx 2 2cos x 1

,5

26

m) 4sin2xsinx 2 3 cosx

sinx 3 cosx 2 4sin x

sinx 3 cosx 2 1 2sin x

n) 2 cosx 3 sinxcosx 1 1

2 3 sin cosx x2cos x2cosx1

3 sin 2x cos 2x 1 2cosx 1

      3 sin 2xcos 2x2cosx cos 2 cos

,2

k k x

o) 3 sin 2x2sin2 x 4sin 3 cosx x 2

3 sin 2x 2 1 sin x 4sin 3 cosx x

Xét TH 2: 3 sinxcosx2sin 3x0

3 sinx cosx 2sin 3x

k k x

24 2

k x

Phương trình tương đương với : 3 cos5xsin 5xsinxsinx  3 cos 5xsin 5x2sinx

k k x

4cos5 cosx x2 3 cos x2sin cosx x

k k x

Phương trình tương đương với: 3 sin 7xcos 7xcosxcosx

3 sin 7 cos 7 2 cos cos 7 cos

Lời giải

Phương trình tương đương với: 2

2sin (1 2sinx  x)sinx 3 cos 3 x

Phương trình tương đương với: 2 sin 2

26

k x

Phương trình tương đương với:  2 

sin 2x 3 cos 2x2 2cos 3x1

x) 3 sin 2x2cos2 x2 2 2cos 2  x

2 3 sin cosx x2cos x2 2(1 cos 2 ) x

 * cos 2 3 sin 2 cos 4 0

BT 11 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 2xcosxcos 2xsin x

Lời giải

k x

sin 2xcosxcos 2xsinx 2

2sin cosx x cosx 2cos x 1 sinx

2

2sin

cos 2x 3 sin 2x 3 sinxcosx 1cos 2 3sin 2 3sin 1cos

k x

cos3x 3 sin 3x 3 cos 2x sin 2x

10 5

k x

cos 7x 3 sin 7x 3 cos5x sin 5x

sin 2x2cos xsinxcosx1 2

sin 2x 2cos x 1 cosx sinx

.2

2

k x

f) 4sin2xtanx 2(1 tan )sin 3 x x1

Điều kiện cosx0

(thoả điều kiện)

 2 sin 2xcos 2x  2 sin 3x

k x

3 cosx 3 sin 2x 1 sinx 2sin x

      sinx 3 cosx 3 sin 2xcos 2x

k x

Điều kiện 2 2

1sin

Điều kiện cosxcos 3x 0 sin 2 sinx x 0 sin 2x 0

Với điều kiện trên phương trình trở thành

cosx 2sin cosx x 3 2sin x sinx 1

1 3cos 2

k x

cos2

2

x

cos 2x sin 2x cosx sinx

BT 12 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 2x2 3 cos2x2cos x

26

2 ,3

c) sin 2xcosxsinx1

1 sin 2x sinx cosx

e) 3 sin 2xcos 2x4sinx1.

Phương trình tương đương với :  2 

3sin2x 1 2sin x 4sinx1

x x

phương trình tương đương với : tan sin 1 cos 2 tan sin cos 1

sin sin cos cos cos

 2cos 2 cosx x 1 sinxcos 2x 2

2cos 2 cosx x2sin cosx x2cos x

 cos (cos 2x xsinxcos )x 0 2 2  

cosxcos xsin x sinxcosx 0

 cosxsinxcosxcosxsinx 1 0

x x

8sin xcosx 3 sinxcosx

 4 1 cos 2  xcosx 3 sinxcosx

 4cosx4cos 2 cosx x 3 sinxcosx

 4cosx2 cos 3 xcosx 3 sinxcosx

 cosx 3 sinx2cos 3x

(thỏa điều kiện)

Cách 2: Nhân 2 vế (h) cho sin x ta được:

 8 tan2 2 3 t anx 1

1 tan

x

 ( đưa về phương trình bậc 3 theo ttanx)

k) 3 cos 2 sin 2 2sin(2 ) 2 2

3 Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4)

Dạng tổng quát: a.sin2 X b.sinXcosX c.cos2 X d (1) a b c d, , , 

Dấu hiệu nhận dạng: Đ ng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cosin (tan

và cotan được xem là bậc 0)

 cĩ phải là nghiệm hay khơng ?

 Bước 2 Khi , ( ) cos2 0

atan2 XbtanX c d(1 tan 2 X)

 Bước 3 Đặt ttanX để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn tx

 Lưu ý Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn

Ví dụ 1 Giải phương trình: 2cos2x2sin 2x4sin2x1

1tan

arctan5

5

x

k x

pt4sin xsin xcosx3sinx3cos x0

 Xét cosx0 thì sin2x 1 sinx 1, phương trình trở thành

4.1 3.1 0  (vơ lí); hoặc 4.( 1) 3  3.( 1) 0(vơ lí)

Suy ra cosx0

 Xét cosx0, chia hai vế phương trình cho 3

cos x ta được

4 tan xtan x3tanx 1 tan x  3 0 3 2

tan x tan x 3tanx 3 0

Điều kiện cosx0

 Dễ thấy sinx0 không là nghiệm của phương trình

 Chia hai vế phương trình cho 2

sin x ta được

1 tan x3 cotx 1 3 1 cot x 0    2 

3cotx cotx 1 3cotx 1 cot x cotx 1

BT 13 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2sin2x3 3 sin cosx xcos2x2

b) sin2xsin cosx x2cos2x0

c) cos2 x 3 sin 2x 1 sin2 x

d) 2cos2x3 3 sin 2x 4 4sin2 x

e) 3 sin2 x (1 3)sin cosx xcos2x 1 3

f) 2sin2x (3 3)sin cosx x( 3 1) cos 2 x 1 0

g) 4sin2x5sin cosx x6cos2x0

h) cos (32 2 ) 3 cos 4 9 1 sin 2 2

2

     

BT 14 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx2cos3x b) cos3xsin3xsinxcos x

c) sinx4sin3xcosx0 d) 4(sin3xcos3x)cosx3sin x

e) 6sinx2cos3x5sin 2 cos x x f) cos3x4sin3xsinx3cos sinx 2x

g) 3cos4xsin4x4sin2xcos2x h) 4sin3x3(cos3xsin )x sin2 xcos x

i) 2 2 cos3 3cos sin

cos xtan 4x 1 sin 2x0 l) tan sinx 2x2sin2x3(cos 2xsin cos ).x x

m) sin3x 3 cos3xsin cosx 2 x 3 sin2 xcos x

n) 4sin4x4cos4x5sin 2 cos 2x xcos 22 x6 o)

3cot x2 2 sin x (2 3 2) cos x

GIẢI BÀI T P V N DỤNG 3

BT 13

a) 2sin2x3 3 sin cosx xcos2x2

 Xét cosx0 thì sin2x1, phương trình trở thành 22 (đúng)

b) sin2xsin cosx x2cos2x0

 Xét cosx0 thì sin2x1, phương trình trở thành 1 0 (vô lí)

ptcos x2 3 sin cosx xsin x1

 Xét cosx0 thì sin2x 1 sinx 1, phương trình trở thành

1 1  (vô lí); Suy ra cosx0

 Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x2 ta được

d) 2cos2x3 3 sin 2x 4 4sin2x 2 2

cos x 3 3 sin cosx x 2sin x 2

f) 2sin2x (3 3)sin cosx x( 3 1) cos 2x 1

 Xét cosx0 thì sin2x1, phương trình trở thành 2 1 (vô lý)

tan 1

4

,3

3

arctantan

44

cos 2x 2 3 sin 2 cos 2x x sin 2x 1

 Xét cos 2x0 thì sin 22 x 1 sin 2x 1, phương trình trở thành

1 1

  (vô lí); Suy ra cos 2x0

 Xét cos 2x0, chia hai vế phương trình chocos 2x2 ta được

k x

 2 2 cosx sin cosx x sin x 2cos x 0

  (vô lí); Suy ra cosx0

 Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

  (vô lí); Suy ra cosx0

 Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

  (vô lí); Suy ra cosx0

 Xét cosx0, chia hai vế phương trình cho 3

  (vô lí); Suy ra cosx0

 Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

g) 3cos4xsin4x4sin2xcos2x

 Xét cosx0 thì sin2x 1 sinx 1, phương trình trở thành

1 0 (vô lí); Suy ra cosx0

 Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x4 ta được

 Xét cosx0 thì 2

sin x 1 sinx 1, phương trình trở thành

1 0

  (vô lí); Suy ra cosx0

 Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

pt cosxsinx 3cosxsinx0 2 3

2sin cosx x 2cos x 0

(Lưu ý: bài này cũng có thể đặt 2

cos x làm nhân tử chung) j)

  (vô lí); Suy ra cosx0

 Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

k) 2 2

cos xtan 4x 1 sin 2x0

Đk: cos 4x0

 Xét cosx0 thì phương trình trở thành

1 0 (vô lí); Suy ra cosx0

 Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x2 ta được

 2 2

pttan 4x tanx1 0 tan 1

tan 4 0

x x

k k

  (vô lí); Suy ra cosx0

 Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

m) sin3x 3 cos3xsin cosx 2x 3 sin2xcos x

 Xét cosx0 thì sin2x 1 sinx 1, phương trình trở thành

1 0

  (vô lí); Suy ra cosx0

 Xét cosx0, chia hai vế phương trình chocos x3 ta được

2 2

pt 2sin 2x5sin 2 cos 2x xcos 2x2

 Xét cos 2x0 thì sin 22 x 1 sin 2x 1, phương trình trở thành

2 2

  (vô lí); Suy ra cos 2x0

 Xét cos 2x0, chia hai vế phương trình chocos 2x2 ta được

1tan

arctan4

4

k x

cos 2 2 cos 03cos 2 2 cos 0

21cos

2

x x

,23

4 Phương trình lượng giác đối xứng

 Dạng 1 a(sinxcos )x  b sin cosx x c 0 (dạng tổng/hiệu – tích)

PP

 Đặt tsinxcos , x t  2  t2 và viết sin cosx x theo t

Lưu ý, khi đặt t sinxcosx thì điều kiện là: 0 t 2

a x x  b x x  c

PP

 Đặt ttanxcot , x t    2 t2 và biểu diễn tan2 xcot2x theo t và

lúc này thường sử dụng: tan cot 1, tan cot 2

ÀI T V N ỤN

BT 15 Giải các phương trình lượng giác:

a) sin 2x2 2 sin xcosx5

d) 1 2 sinxcosx2sin cosx x 1 2.

Với t 1

22

3 2(L)2

sinxcosx  Điều kiện: sin 2x0

Ta có: sin cos 2 2 sin cos 2 2 sin cos

  Điều kiện: sin 2x0.

 sin cos 2 2 cos

Đặt sin cos 2 cos , 2

BT 16 Giải các phương trình lượng giác:

a) 3tan2x4 tanx4cotx3cot2x 2 0 Điều kiện sin 2x0

b) 22 2 tan2 5 tan 5cot 4 0.

sin x x x x  Điều kiện sin 2x0

2 1 cot 2 tan 5 tan 5cot 4 0

2 sin sin 2 cos cos 1 0

2 sin 1 cos 2 cos cos 1 0

2.sin 1 cos 1 cos 1 cos 2 cos 1 0

1 cos 2 sin 1 cos 2 cos 1 0

1 cos 2 sin cos 2 sin cos 1 0

 Với cosx  1 x k2

 Với 2sin cosx x2 sin xcosx 1 0

Đặt sin cos 2 cos , 2

2 cos cos 1 2 sin sin 0

2 cos 1 sin 2 sin sin 1 0

2.cos 1 sin 1 sin 1 sin 2 sin 1 0

1 sin 2 cos 1 sin 2 sin 1 0

1 sin 2 sin cos 2 sin cos 1 0

 Với 2sin cosx x2 sin xcosx 1 0

Đặt sin cos 2 cos , 2

2sin sin sin 2 cos cos cos

2 sin cos sin cos 1 0

2 sin cos 1 sin cos sin cos 1 0(*)

sin cos 1 sin cos sin cos

sin cos 1 sin cos sin cos 0

2 cos 1 5 2.(2 cos )(sin cos )

cos 2 2sin 2 cos cos sin cos

2 sin cos cos sin 2 0

3 2 cos 2 1 sin cos 2

2 2

Với : sinxcosxsin cosx x0.

Đặt sin cos 2 sin , 2

arcsin 24

3arcsin 24

5 Một số phương trình lượng giác dạng khác

Dạng 1 m.sin 2x n cos 2xp.sinx q cosx r 0

Ta luơn viết sin 2x2sin cos ,x x cịn:

2 2

cos sincos 2 2 cos 1

( ), ( )i ii thành nhân tử dựa vào: at2  bt c a t t(  1)(t t 2) với t1, t là hai 2

nghiệm của at2  bt c 0 để xác định lượng nhân tử chung

Ví dụ 1 Giải phương trình: cos 2xcosx3sinx 2 0

  phương trình vơ nghiệm

 Với sinx2cos x3 thì phương trình vô nghiệm vì 1222 32

26

BT 17 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos 2x3cosx 2 sin x b) 5 cos 2 2 cos

3 2 tan

x

x x

g) cosxsinxsin 2xcos 2x1 h) sin 2xcosx2sinxcos 2x3sin2x

i) sin 2x2cos2x3sinxcos x j) 2 2 sin 2xcos 2x7sinx 4 2 2 cos x

k) sin 2xcos 2x3sinxcosx1 l) sin 2xcos 2x3cosx 2 sin x

m) sin 2x2cos 2x 1 sinx4cos x n) 2sin 2xcos 2x7sinx2cosx4

cos sin cos sin 2 cos sin cos sin 2 0

cos sin cos sin 2 cos sin 2 0

cos sin 1 cos sin 2 0



cos 3 sin 2 sin cos 1 sin

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: xk2k 

c) 3sinxcosx 2 cos 2xsin 2 x

2

2sin 3sin 1 2sin cos cos

sin 1 2sin 1 cos 2sin 1

5 cos sin 3 sin 2 cos 2

5 cos sin 3 2 sin cos 2 cos 1

2 cos 5 cos 2 2 sin cos sin 0

cos 2 2 cos 1 sin 2 cos 1 0

2 cos 1 sin cos 2 0

 sinxcosx  2 0 sinxcosx2 (PTVN)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 2