Phương pháp spline collocation với phương trình vi tích phân

Giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi tích phân bằng phương pháp spline collocation.. Lý do chọn đề tài Trong toán học, phương pháp spline collocation là một trong nhữngphương pháp giải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG CÔNG HUÂN

PHƯƠNG PHÁP SPLINE COLLOCATION VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Tuấn

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Tuấn, thầy đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thểhoàn thành luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn thể cácthầy cô giáo trường THPT Tam Đảo, Vĩnh Phúc đã giúp đỡ, tạo mọiđiều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này

Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đạihọc, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình họctập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Tác giả

Dương Công Huân

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Tuấnluận văn: Phương pháp spline collocation giải phương trình tíchphân là công trình nghiên cứu của tác giả

Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Tác giả

Dương Công Huân

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian tuyến tính 3

1.2 Không gian định chuẩn 8

1.3 Xấp xỉ bởi các không gian con hữu hạn chiều 10

Chương 2 Giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi tích phân bằng phương pháp spline collocation 13

2.1 Phương pháp spline collocation cho phương trình tích phân Volterra cấp hai 13

2.1.1 Hàm spline 13

2.1.2 Phương pháp spline collocation 19

2.1.3 Nghiệm xấp xỉ của phương trình vi tích phân Volterra tuyến tính cấp hai 31 2.1.4 Sự siêu hội tụ của nghiệm xấp xỉ 35

2.1.5 Nghiệm xấp xỉ của phương trình Volterra phi tuyến cấp hai 44

2.2 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích phân Fredholm-Volterra cấp cao 50

Chương 3 Ứng dụng tìm nghiệm xấp xỉ của một số phương trình Volterra cấp hai 63

Kết luận 72

Tài liệu tham khảo 73

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong toán học, phương pháp spline collocation là một trong nhữngphương pháp giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân thường,phương tình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân Ý tưởng củaphương pháp này là chọn một không gian hữu hạn chiều chứa các nghiệm

có thể có của bài toán, không gian thường dùng là không gian các đathức đặc biệt gồm các đa thức từng đoạn (piecewise polynomial)-gọi làcác spline có bậc hữu hạn đã biết nào đó và chọn các điểm trong miềnxác định nằm trong không gian các đa thức hữu hạn chiều đó, các điểmnày gọi là các điểm collocation và chọn nghiệm mà thỏa mãn phươngtrình đã cho tại các điểm collocation đó Như vậy, nghiệm xấp xỉ củaphương trình nhờ đó thu được bằng phương pháp spline collocation.Với mong muốn tìm hiểu phương pháp spline collocation giải xấp

xỉ phương trình vi tích phân nói chung và nâng cao tốc độ hội tụ củaphương pháp (siêu hội tụ) mà các luận văn Thạc sỹ của học viên trướcchưa đề cập, đồng thời nâng cao kiến thức đã học trong chương trìnhđại học và cao học, tôi chọn đề tài Phương pháp spline collocationgiải phương trình vi tích phân làm luận văn cao học của mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Trình bày một số khái niệm về phương pháp spline collocation, vềphương trình tích phân Volterra cấp hai, áp dụng phương pháp spline

collocation cho phương trình tích phân Volterra.

- Nghiên cứu sự siêu hội tụ của phương pháp spline collocation với cácphương trình vi tích phân

- Xây dựng nghiệm spline collocation cho một lớp phương trình vi tíchphân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi tích phân, cụ thể làlớp phương trình tích phân Volterra, sự siêu hội tụ của nghiệm xấp xỉ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của phươngtrình vi tích phân bằng phương pháp spline collocation

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong nước và nướcngoài liên quan đến giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi tích phânbằng phương pháp spline collocation

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất;

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của đề tài

Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên vàhọc viên cao học về phương pháp spline collocation

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian tuyến tính

Trong mục này, ta nhớ lại các khái niệm về không gian tuyến tính,không gian con, chuẩn và cơ sở

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là tập hợp gồm các phần tử x, y, z, mà tagọi là các vectơ, và cho P là trường số thực hoặc phức Trên X ta trang

bị hai phép toán cộng và nhân như sau:

Phép cộng, kí hiệu là:

+ : X × X −→ X(x, y) 7−→ x + y

Phép nhân với vô hướng, kí hiệu là

· : P × X −→ X(λ, x) 7−→ λx

và thỏa mãn 8 tiên đề sau đây:

1 (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X;

2 x + y = y + x, ∀x, y ∈ X;

3 ∃θ ∈ X, ∀x ∈ X : x + θ = x;

4 ∀x ∈ X, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = θ;

5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ P, ∀x, ∈ X;

6 λ(µx) = (λµ)x, ∀λ, µ ∈ P, ∀x, ∈ X;

7 λ(x + y) = λx + λy, ∀x, y, z ∈ X;

8 ∀x ∈ X : 1 · x = x;

phần tử −x gọi là phần tử đối của phần tử x, phần tử θ gọi là phần

tử không, khi đó ta nói (X, +, ·) (hoặc đơn giản X) là một không giantuyến tính trên trường P Tùy theo trường P là thực hoặc phức thì ta gọi

X tương ứng là không gian tuyến tính thực hoặc phức

Ví dụ 1.1.1 Không gian tuyến tính thực C[a, b]

Xét tập hợp tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trênđoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞) Các phép toán cộng và nhân với vôhướng trên C[a, b] xác định như sau:

Phép cộng:

+ : C[a, b] × C[a, b] −→ C[a, b]

(x, y) 7−→ x + y

xác định bởi (x + y)(t) = x(t) + y(t), ∀ t ∈ [a, b]

Phép nhân với vô hướng:

Ví dụ 1.1.2 Đặt Pn[a, b] là tập hợp tất cả các đa thức bậc không vượtquá n xác định trên đoạn [a, b].

Tức là

Pn[a, b] = {antn + · · · + a1t + a0 : ai ∈ R, i = 1, 2, , n, a ≤ t ≤ b}.Tương tự như đối với C[a, b], ta dễ dàng thấy rằng Pn[a, b] là một khônggian tuyến tính thực Phần tử không của không gian này là đa thức không(hàm không) Hơn nữa, vì mọi đa thức đều liên tục nên, Pn[a, b] ⊂ [a, b]

Ví dụ 1.1.3 Đặt L2[a, b] là tập hợp tất cả các hàm xác định và đo đượctrên đoạn [a, b] và

b

Z

a

|f (t)|2dt < ∞,

trong đó tích phân hiểu theo nghĩa Lebesgue

Ta cũng kiểm tra được rằng L2[a, b] cùng với phép toán cộng hai hàm

số và nhân một vô hướng với một hàm số, tức là nếu f, g ∈ L2[a, b] và

∀α ∈ R :

f + g ∈ L2[a, b] và αf ∈ L2[a, b]

cũng là một không gian vectơ thực

Ta nhớ lại khái niệm về không gian con tuyến tính

Định nghĩa 1.1.2 Một tập con M của không gian tuyến tính X đượcgọi là một không gian con của X nếu

i) M là tập con của X;

ii) Với mọi x, y ∈ M ta có αx + βy ∈ M, ∀α, β ∈ R

Dễ dàng thấy rằng, tập hợp Pn[a, b] là không gian con của không gianC[a, b] Không gian C[a, b] là không gian con của không gian L2[a, b].Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X là một không gian tuyến tính và Bn ={x1, x2, , xn} là tập hợp n phần tử của X Tập Bn được gọi là độc lậptuyến tính nếu và chỉ nếu từ phương trình

a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = θkéo theo a1 = a2 = · · · = an = 0

Nếu Bn không độc lập tuyến tính thì ta gọi Bn là phụ thuộc tuyếntính

Ví dụ 1.1.4 Xét tập hợp

Bn = {1, t, t2, , tn}

Mỗi hàm tk, 0 ≤ k ≤ n, có bậc là k Do đó, nếu ta lấy t trong đoạn[a, b], ta thấy rằng Bn là tập con của Pn[a, b] Khi đó, Bn là tập con độclập tuyến tính của không gian Pn[a, b] là các đa thức có bậc không vượtquá n Thật vậy, giả sử

p(t) = antn + · · · + a1t + a0 = θ

Khi đó p(t) ≡ 0, ∀t ∈ [a, b] Do đó, p(t) là một đa thức có nhiều hơn nnghiệm và theo định lí cơ bản của đại số thì an = an−1 = · · · = a0 = 0

Do đó, Bn là độc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.1.4 Không gian tuyến tính X được gọi là có số chiều

là n nếu không gian X chứa một tập gồm n vectơ độc lập tuyến tính{x1, x2, , xn} và mọi tập hợp gồm n + 1 vectơ là phụ thuộc lập tuyếntính

Định nghĩa 1.1.5 Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính {x1, x2, , xn}trong X được gọi là một cơ sở của X nếu với mọi vectơ x ∈ X ta có thểbiểu diễn x dưới dạng tổ hợp tuyến tính

x = c1x1 + c2x2 + · · · + cnxncủa các vectơ xi, 1 ≤ i ≤ n và các hệ số ci, i = 1, 2, , n là duy nhất

Ví dụ 1.1.5 Đặt X = Pn[a, b] và Bn = {1, t, , tn}

Ta thấy rằng, mỗi đa thức p(t) trong X được biểu diễn duy nhất dướidạng tổ hợp tuyến tính

p(t) = antn+ · · · + a1t + a0

của các vectơ trong Bn Hơn nữa, tập Bn là độc lập tuyến tính trong X

Do đó, Bn là một cở sở của X = Pn[a, b] Từ đây suy ra rằng, Pn[a, b] có

số chiều là n + 1

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là một không gian tuyến tính và Bn ={x1, x2, , xn} là một tập độc lập tuyến tính của X, span của Bn làmột không gian tuyến tính con hữu hạn chiều của X span của tập cácvectơ {x1, , xn} là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính có thể có

a1x1 + a2x2 + · · · + cnxncủa các vectơ {x1, , xn}

Lưu ý rằng, các vectơ span của các vectơ ψ không nhất thiết là độclập tuyến tính Chẳng hạn, tập hợp các hàm {t, |t|} trong tập hợp tất cảcác hàm C[0, 1] không độc lập tuyến tính trong C[a, b] nhưng span của{t, |t|} tồn tại và gồm tập hợp của tất cả các đoạn thẳng

y = mt, m ∈ R, 0 ≤ t ≤ 1

đi qua gốc của (y−t)-mặt phẳng Mặt khác, tập các vectơ {(1, 1), (−2, 1)}

là độc lập tuyến tính trong R2 và span của hệ là toàn bộ không gian R2.Đối với tập tất cả các đa thức {1, t, t2, , tn} độc lập tuyến tính vàtạo thành một cơ sở của Pn[a, b] Nhưng mỗi đa thức trong Pn[a, b] là mộthàm liên tục và các phần tử trong C[a, b] cũng là các hàm liên tục Do

đó, span của {1, t, t2, , tn} là một không gian tuyến tính con n-chiềucủa không gian C[a, b]

1.2 Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C)

Định nghĩa 1.2.1 Một chuẩn, kí hiệu k · k, trong X là một ánh xạ đi

từ X vào R thoả mãn các điều kiện:

1) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X;

2) kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);

3) kλxk = |λ| kxk với mọi số λ ∈ P và mọi x ∈ X;

4) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X

Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X Một khônggian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy được gọi

là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tuỳ theo P là thực hayphức)

Định nghĩa 1.2.2 Dãy {xn} trong không gian định chuẩn X được gọi

là hội tụ đến x0 ∈ X nếu

lim

n→∞kxn − x0k = 0

Khi đó, ta kí hiệu

lim

n→∞xn = x0 hoặc xn → x0, khi n → ∞

Định nghĩa 1.2.3 Dãy {xn} trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản nếu

lim

m, n→∞kxm − xnk = 0

Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Định nghĩa 1.2.5 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

P Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tínhnếu thoả mãn:

1) A (x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X;

2) A (αx) = αAx với mọi x ∈ X, α ∈ P

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn 1)thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thoả mãn 2) thì A đượcgọi là toán tử thuần nhất Khi Y = P thì toán tử A gọi là phiếm hàmtuyến tính

Định nghĩa 1.2.6 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyếntính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tạihằng số c ≥ 0 sao cho:

kAxk ≤ c kxk với mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.2.7 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Kí hiệuL(X, Y ) là tập tất cả toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vàokhông gian Y Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:

kAk = sup

kxk≤1

kAxk, ∀A ∈ L (X, Y )

Khi đó, tập L(X, Y ) trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn

Định lý 1.2.1 Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là khônggian Banach

Ví dụ 1.2.1 Không gian C[a, b] là không gian Banach

Ví dụ 1.2.2 Xét không gian L2[a, b] trong ví dụ 1.1.3 với chuẩn xácđịnh bởi

là một không gian Banach

1.3 Xấp xỉ bởi các không gian con hữu hạn chiều

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử f ∈ C[a, b] Một hàm g ∈ C[a, b] được gọi làmột xấp xỉ tốt của f nếu kf − gk <  với  đủ nhỏ

Bài toán tìm một xấp xỉ tốt nhất của một hàm một biến cho trước

mà ta biết rằng phương pháp cổ điển nhất là xấp xỉ hàm f (t) bởi mộttổng hữu hạn

˜

f (t) = c1φ1(t) + c2φ2(t) + · · · + cnφn(t)theo các hàm đơn giản φi(t) Các hệ số ck là các hằng số được xác địnhnhờ các điều kiện áp đặt trên ˜f Tổng quát hơn, ta xấp xỉ f như mộttổng vô hạn (chuỗi Fourier)

∞

X

k=0

[cksin akt + bkcos akt]

trong đó a là hằng số cho trước Khi sử dụng chuỗi Fourier để tính toán,

ta thường chặt cụt các chuỗi vô hạn này và xấp xỉ bởi một tổng hữu hạn

˜

f (t) = c0 + c1sin at + b1cos at + c2sin 2at+ b2cos 2at + · · · + cnsin ant + bncos ant,trong đó các hằng số ci và bi, 1 ≤ i ≤ n, được xác định nhờ các điều kiệnđặt trên ˜f (t)

Tiếp tục thực hiện cách như trên, ta thu được các hàm xấp xỉ đơn giảnhơn các hàm lượng giác Chẳng hạn, ta có thể lấy φi(t) là các đa thứchoặc các đa thức từng mẩu Đặc biệt, nếu φk(t) = tk−1, 1 ≤ k ≤ n + 1thì

trong C[a, b], hàm xấp xỉ

˜

f (t) = c1φ1(t) + c2φ2(t) + · · · + cnφn(t)thuộc vào span của {φ1, , φn} mà là một không gian con hữu hạnchiều của C[a, b] Nếu {φ1, φ2, , φn} là độc lập tuyến tính thì Xn =span{φ1, , φn} là một không gian con n chiều của C[a, b]

Nếu ta chọn kĩ thuật này để xấp xỉ f (t) bởi hàm ˜f (t) = c1φ1(t) +

c2φ2(t) + · · · + cnφn(t) thì ta phải quyết định xem những gì làm cho ˜f (t)

là một xấp xỉ tốt của f (t) Như ta đã nói ở trên, một hàm ˜f là xấp xỉtốt của f nếu chuẩn k ˜f − f k là nhỏ Như vậy, bài toán của ta là chọncác hàm φi và các hệ số ci trong định nghĩa của hàm ˜f (t) sao cho

kf − (c1φ1(t) + c2φ2(t) + · · · + cnφn(t))k

là nhỏ và hi vọng ˜f là nghiệm duy nhất đối với các hệ số ci đó

Vì ta phải xác định n hằng số chưa biết, nên ta phải áp đặt ít nhất

n ràng buộc hoặc điều kiện lên ˜f để xác định các hằng số đó Hơn nữa,

ta phải chọn các ràng buộc theo hướng mà làm cho k ˜f − f k là nhỏ

Chương 2 Giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi tích phân bằng phương

pháp spline collocation

2.1 Phương pháp spline collocation cho phương trình

tích phân Volterra cấp hai

Ta sẽ thấy rằng các hàm như thế là tồn tại và

là có, tồn tại những đa thức s(t) như vậy và các hàm như thế thuộc vàolớp S3(π) các hàm spline bậc ba dưới đây.

Định nghĩa 2.1.2 (Đa thức spline bậc ba) Không gian S3(π) là tập tất

cả các hàm s(t) ∈ C2[a, b] mà khi ta hạn chế xét trên các khoảng con(ti, ti+1), 0 ≤ i ≤ n − 1 của đoạn [a, b], các hàm đó trở thành đa thức bậcba

S3(π) thực sự là một không gian tuyến tính và vì không gian nàychứa tập hợp tất cả các đa thức bậc ba nên có vô hạn các hàm trongkhông gian S3(π) này Tuy nhiên, ta sẽ chứng tỏ tồn tại duy nhất hàms(t) trong S3(π) thỏa mãn điều kiện

s0(t0) = f0(t0)s(ti) = f (ti) 0 ≤ i ≤ n (2.1.1)

h3 + 3h2(t − ti−1) + 3h(t − ti−1)2 − 3(t − ti−1)3, t ∈ [ti−1, ti]

h3 + 3h2(ti+1− t) + 3h(ti+1 − t)2 − 3(ti+1 − t)3, t ∈ [ti, ti+1]

(2.1.2)Mỗi hàm Bi(t) là khả vi liên tục hai lần trên toàn bộ đường thẳng

có giá compact nhỏ nhất với các nút tại t−2 < t−1 < · · · < tn < tn+1 <

tn+2 Tức là, bất kì spline bậc ba s(t) với các nút như trên mà triệt tiêubên ngoài mọi khoảng (tj−1, tj+2) phải đồng nhất bằng 0 Hơn nữa, vìmỗi Bi(t) cũng là đa thức bậc ba từng đoạn với các nút của phân hoạch

π, mỗi Bi(t) ∈ S3(π) Để tính s(t) ta sử dụng bảng dưới đây, trong đóchứa các giá trị Bi(t) và các đạo hàm của Bi(t) tại các nút đó Vì Bi(t)

và các các đạo hàm của Bi(t) triệt tiêu tại các nút khác nên ta khôngđưa vào trong bảng

Đặt B = {B−1, B0, , Bn+1} và B3(π) = spanB Các hàm trong B làđộc lập tuyến tính trên [a, b] do đó B3(π) có số chiều là (n + 3) Ta cókết quả sau

Định lý 2.1.1 Tồn tại duy nhất hàm s(t) trong B3(π) thỏa mãn (2.1.1)

Chứng minh Giả sử s(t) ∈ B3(π), khi đó

Vì ma trận A có đường chéo trội Do đó A không suy biến nên hệ (2.1.4)

là spline duy nhất từ (2.1.1) Khi đó f (t) − s(t) = g(t) triệt tiêu tạimỗi ti, 0 ≤ i ≤ n và do đó g0(t0), g0(tn) cũng vậy Vì cả f và s đềuthuộc C2[a, b], g(t) ∈ C2[a, b] Nên theo định lí Rolle ta có g0(t) có ítnhất n nghiệm tại yi, ti < yi < ti+1 và hai nghiệm tại t0 và tn Vì vậy

Hệ quả 2.1.1 dimS3(π) = n + 3 và B = {B−1, B0, , Bn+1} là một cơ

sở của không gian S3(π)

Hệ quả 2.1.2 Tồn tại duy nhất spline bậc ba s(t) thỏa mãn (2.1.1).Hàm s được gọi là nội suy spline bậc ba của f

Nội suy bậc ba duy nhất của một hàm f (t) cho trước không chỉ là nộisuy đa thức bậc ba f (t) tại các nút ti, 0 ≤ i ≤ n Có vô hạn các splinenhư thế, chẳng hạn ta có thể chứng minh hoàn toàn tương tự định lí2.1.1, có tồn tại duy nhất spline ¯s(t) xác định bởi (2.1.3) là nghiệm củabài toán

trận ¯A được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của hàm ¯s(t) và trongtính toán từ ma trận A chỉ theo dòng đầu tiên và cuối cùng, điều nàycho phép nội suy bậc hai thay thế bởi các đạo hàm bậc nhất Các phần

tử được cho trong bảng 2.1 Trong trường hợp tổng quát, cho trước n + 3

số thực phân biệt ¯t1 < ¯t2 < · · · < ¯tn+3 và n + 3 số nguyên ni, ta có thểđặt câu hỏi: liệu có tồn tại một spline bậc ba ˆs(t) là nghiệm nội suy củabài toán

ˆ

s(ni )(¯ti) = f(ni )(¯ti), 1 ≤ i ≤ n + 3

Trong các trường hợp câu trả lời là không.Trong trường hợp câu trả lời

là có thì câu hỏi bằng cách nào xác định được các spline bậc ba nội suy

ra f (t), hoặc không nội suy f0(t0) và cũng không nội suy f00(tn) Ta cóthể xây dựng, các nội suy Lagrange bậc ba λ0(t) và λ1(t) cho f (t) tạinhiều nhất là các nút t0 < t1 < t2 < t3 và tn−3 < tn−2 < tn−1 < tn Khi

đó, để thu được sL(t) cho trong (2.1.3) ta phải giải hệ

Ví dụ 2.1.1 Tìm hàm spline bậc ba s(t) nội suy hàm f (t) = 5t + 1 trênđoạn [0, 1] với các nút t = i

Do đó, ta thu được s(t) = 5t + 1

2.1.2 Phương pháp spline collocation

Trong mục này giả sử X là không gian tuyến tính con của C[a, b] Giả

sử L là toán tử tuyến tính mà miền xác định là toàn bộ X, và toàn bộ

miền ảnh cũng thuộc không gian X Cho {φ1, φ2, , φN} là tập con độclập tuyến tính của X, và đặt

xN(t) = a1φ1(t) + a2φ2(t) + · + anφN(t)trong XN là nghiệm của hệ N × N phương trình tuyến tính:

trong đó t1, t2, , tN là các điểm phân biệt của D mà tại đó các hạng

tử của (2.1.9) hoàn toàn xác định Hàm xN(t) nếu tồn tại được gọi làcollocate của y(t) tại các điểm t1, , tN Bất kì hàm f (t) thu được bằngcách đó được gọi là một nghiệm xấp xỉ thu được bằng phương phápcollocation

Trong mục này, ta nghiên cứu một vài lớp toán tử L và một số cáckhông gian con XN sao cho nghiệm collocation tồn tại và duy nhất, vàđánh giá nhiễu kx − xNk trong các trường hợp đó Trước khi trình bàynội dung phương pháp collocation ta xét một vài ví dụ sau:

Ví dụ 2.1.2 Xét bài toán giá trị ban đầu





Lx(t) = x00(t) − x(t) = 1,x(0) = x(1) = 0

ˆx(t) = 1

có nghiệm duy nhất x(t) và p và q là các hàm liên tục trên [0, 1]

t x(t) x(t) ˆ x(t) − ˆ x(t) 0.0 0.0000 0000 0.0000 0000 0.0000 0000 0.1 -0.0412 8461 -0.0180 0000 -0.0232 8461 0.2 -0.0729 7407 -0.0373 3333 -0.0356 4073 0.3 -0.0953 8554 -0.0560 0000 -0.0393 8554 0.4 -0.1087 4333 -0.0720 0000 -0.0367 4333 0.5 -0.1131 8112 -0.0833 3333 -0.0298 4778 0.6 -0.1087 4333 -0.0880 0000 -0.0207 4333 0.7 -0.0840 0000 -0.0840 0000 -0.0113 8554 0.8 -0.0729 7407 -0.0693 3333 -0.0036 4073 0.9 -0.0412 8461 -0.0420 0000 0.0007 1539 1.0 0.0000 0000 0.0000 0000 0.0000 0000

Để xấp xỉ nghiệm x(t) bằng nghiệm collocation thông qua các hàmspline, ta xét phân hoạch đoạn [0, 1]

π : 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1,

và đặt φi(t) = Bi(t) là các hàm spline với các nút tại π : 0 = t0 < t1 <

· · · < tn = 1 Đặt XN = span{B−1, B0, , Bn+1} Sử dụng phương phápcollocation với các hàm φi đó, ta có

xN(t) = a−1B−1(t) + a0B0(t) + · · · + an+1Bn+1(t) (2.1.10)sao cho

Ta sắp xếp lại tại n + 1 nút và đưa vào hai hàm spline đặc biệt B−1, Bn+1

của xN(t) thỏa mãn cùng các điều kiện biên như x(t)

Để tính xN(t), trước tiên ta sử dụng tính tuyến tính của L Do đó,

xN(0) = a−1 + 4a0 + a1,và

xN(1) = an−1+ 4an + an+1.Hơn nữa, do Bi(t) ≡ 0 khi t ≥ ti+2 và t ≤ ti−2 với mỗi i, và từ (2.1.11)

Trường hợp đặc biệt đơn giản: Sự tồn tại qua ma trận giảitích

Một trong những cách đơn giản nhất để thu được các định lí tồntại nghiệm của phương pháp collocation được áp dụng vào khi nghiêncứu các phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng lànghiên cứu trực tiếp các ma trận CN nảy sinh khi chọn đặc biệt các hàm

cơ sở {π0, π1, , φn} span thành không gian XN và cách chọn đặc biệtcủa toán tử L

Phương pháp này được minh họa qua ví dụ sau

Ví dụ 2.1.4 Xét phương trình vi phân

Lx(t) = x00(t) − σ(t)x(t) = f (t), a ≤ t ≤ b, (2.1.14)σ(t) > 0 với σ liên tục trên [0, 1], điều kiện biên là x(a) = x(b) = 0

Để giải phương trình này bằng phương pháp collocation, ta đặt

Đặc biệt,

ˆ

B0(t) = B0(t) − 4B−1(t),ˆ

B1(t) = B0(t) − 4B1(t),ˆ

Bn−1(t) = Bn(t) − 4Bn−1(t),ˆ

LxN(tNi ) = f (tNi ), 0 ≤ i ≤ n (2.1.16)và

Hiển nhiên rằng bất kì xN(t) là nghiệm của bài toán nội suy này cũng

là nghiệm của các bài toán trước, và ngược lại Trong trường hợp này,

ta có một hệ tuyến tính gồm n + 3 phương trình và n + 3 ẩn, ma trậncollocation CN = (cNij), −1 ≤ i, j ≤ n + 1 Dòng đầu tiên của ma trận

CN là các hệ số của điều kiện ban đầu xN(a) = 0, dòng cuối của CN làcác hệ số của điều kiện xN(b) = 0 Thay vào (2.1.15) ta có

trong đó các giá trị của Bj(ti) được cho trong bảng 2.2 Để xác định cácphần tử còn của ma trận CN ta thay vào các phương trình collocation.Đặc biệt,

(σ0h2 − 6)a−1 + (4h2σ0 + 12)a0 + (4h2σ0 + 12)a1 = h2f (x0),

và phương trình thứ nhất của (2.1.5):

a−1 + 4a0 + a1 = 0,

ta thu được

Tương tự, khử aN +1 từ phương trình cuối của (2.1.19) và (2.1.5), ta thuđược

36aN = h2f (tNN) (2.1.21)Kết hợp (2.1.20), (2.1.21) và (n − 1) phương trình trong (2.1.19) ta thuđược hệ gồm (n + 1) phương trình tuyến tính

Vì σ(t) ≥ 0, nên AN là ma trận đường chéo trội, do đóAN không suybiến Do đó, ta có thể giải được hệ (2.1.22) thu được a0, a1, , an vàthay vào các phương trình điều kiện ban đầu (2.1.5) để thu được a−1 và

a0 Như vậy, phương pháp collocation được áp dụng vào (2.1.1) trong đó

sử dụng một cơ sở các spline bậc ba và thu được nghiệm duy nhất xN(t)xác định bởi (2.1.2)

Để đánh giá sai số kx − xNk, ta đặt yN là spline duy nhất nội suy

từ X thành nghiệm x(t) của bài toán biên (2.1.1) Nếu f ∈ C2[a, b] thìx(t) ∈ C4[a, b], và ta thu được

kDj(x − yN)k ≤ γjh4−j, j = 0, 1, 2, (2.1.23)

trong đó γj là các hằng số không phụ thuộc vào h và n Đặt

|LxN(ti) − LyN(ti)| = |f (ti) − LyN(ti)| ≤ γh2, (2.1.24)trong đó β = [γ0h2||σ|| + γ2] Đặc biệt,

vì (ANxN)i = h2f (ti) và (ANyN)i = h2f (tˆ i) Nhưng do tọa độ thứ i của

AN(xN − yN) kéo theo phương trình thứ i :

(a−1−b−1) = −(a1−b1)−4(a0−b0) và (an+1−bn+1) = −(an−bn)−4(an−bn).

Từ đó, tồn tại hằng số γ sao cho

−1≤i≤n+1|δi| = max

−1≤i≤n+1|ai− bi| ≤ γh2, (2.1.29)trong đó γ phụ thuộc vào x và σ∗

Bất đẳng thức (2.1.29) cho phép ta ước lượng kxN − yNk, và do đó

Kết hợp các kết quả trên ta thu được định lí sau:

Định lý 2.1.3 Nghiệm xấp xỉ collocation xN(t) trong không gian cácspline bậc ba với các nút a = t0 < t1 < · · · < tn = b của nghiệm x(t) củabài toán biên ban đầu

2.1.3 Nghiệm xấp xỉ của phương trình vi tích phân Volterra

ki(t, s)y(i)(s)ds, t ∈ I := [0, T ],

(2.1.33)với

y(0) = y0, y(1)(0) = y1, (2.1.34)

ở đây q : I → R, pi : I → R, và ki : D → R (i = 0, 1) (với D :={(t, s) : 0 ≤ s ≤ t ≤ T }) là các hàm hàm liên tục trong miền xác địnhtương ứng của chúng Các phương trình ở trên đã được biết đến như cácphương trình thử cơ bản và đã được đề xuất bởi Brunner and Lambert.Các phương trình thử được sử dụng rộng rãi để phân tích tính ổn định

và các tính chất của nghiệm của các phương pháp khác nhau

Ở đây, chúng tôi trình bày phương pháp số giải phương trình vi tíchphân Volterra bậc 2 dạng (2.2.11) ở trên bằng cách sử dụng không giancác đa thức spline Để mô tả cách xấp xỉ nghiệm qua không gian các đathức spline, ta đặt Q

N : 0 = t0 < t1 < · · · < tN = T là tập các lưới củakhoảng I, và tập

σn := [tn, tn+1], hn := tn+1− tn, n = 0, 1, , N − 1,

h = max{hn : 0 ≤ n ≤ N − 1} (đường kính lưới) (2.1.35)

ZN := {tn : n = 1, 2, , N − 1}, Z¯N = ZN ∪ {T }

Đặt πm+d là tập các đa thức (đa thức thực) có bậc không vượt quá m+d,

ở đây m ≥ 1 và d ≥ −1 là các số nguyên Nghiệm y cho bài toán giátrị ban đầu (2.2.11), (2.2.12), sẽ được xấp xỉ bằng một phần tử u trong

không gian các đa thức spline,

Sm+d(d) (ZN) := {u := u(t)|t∈σn := un(t) ∈ πm+d, n = 0, 1, , N − 1,

u(j)n−1(tn) = u(j)n (tn) với j = 0, 1, , tn ∈ ZN} (2.1.36)tức là, bằng một hàm đa thức spline bậc m + d trong đó chứa những nút

ZN và là d lần khả vi liên tục trên I Nếu d = −1, thì các phần tử của

Sm−1(−1)(ZN) phải có các bước nhảy gián đoạn tại các nút ZN Như vậy, bàitoán giá trị ban đầu (2.2.11) và (2.2.12) thường được giải quyết bằngphương pháp collocation trong không gian các đa thức spline Sm(0)(ZN)

điều kiện mà u thỏa mãn bài toán giá trị ban đầu trên X(N ) dưới đây:

u(0) = y0, u(1)(0) = y1, (2.1.41)với dãy lưới đều {ΠN}, hn = h, với mọi n = 0, 1, , N −1, nhưng với h đủnhỏ thì (2.1.40) có 1 nghiệm duy nhất {an,j}j=1, ,m, ∀n = 0, 1, , N − 1.Khi đó, phương trình (2.1.40) có thể được viết lại thành:

wj,lk1(tn,j, tn + dj,lhn)u0n(tn + dj,lhn)dv, i = n,

µ 0P

Các hạng tử cầu phương tương ứng được định nghĩa như sau:

En,ij [ui] = Φjn,i[ui] − ˆΦjn,i[ui],