Luận văn thạc sĩ toán học phương pháp spline collocation với phương trình vi tích phân

Trong quá trìn h nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế th ừ a những th àn h tự u của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn, các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ

B ô GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO • • • TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG CÔNG HUÂN

PHƯƠNG PHÁP SPLINE COLLOCATION VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Tuấn

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Tuấn, th ầy đã định hướng chọn đề tà i và tậ n tìn h hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể hoàn th àn h luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn th ể các

th ầy cô giáo trường T H P T Tam Đảo, Vĩnh Phúc đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện th u ận lợi giúp tôi có th ể hoàn th àn h luận văn này

Q ua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân th à n h tới phòng Sau đại học, các th ầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tran g bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá trìn h học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân th àn h tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trìn h học

tậ p và hoàn th à n h luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

T á c g iả

D ư ơ n g C ô n g H u â n

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Tuấn

luận văn: P h ư ơ n g p h á p s p l i n e c o l l o c a t i o n g i ả i p h ư ơ n g t r ì n h t í c h

p h â n là công trìn h nghiên cứu của tác giả.

Trong quá trìn h nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế th ừ a những

th àn h tự u của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn, các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

T á c g iả

D ư ơ n g C ô n g H u â n

Không gian định chuẩn

Xấp xỉ bởi các không gian con hữu hạn chiều

33

8

10 1

K ế t lu ậ n

T à i liệ u t h a m k h ả o

7273

M ở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong to án học, phương pháp spline collocation là m ột trong những phương pháp giải xấp xỉ nghiệm của phương trìn h vi phân thường, phương tìn h đạo hàm riêng, phương trìn h vi tích phân Ý tưởng của phương pháp này là chọn m ột không gian hữu hạn chiều chứa các nghiệm

có th ể có của bài toán, không gian thường dùng là không gian các đa thức đặc biệt gồm các đa thức từng đoạn (piecewise polynomial)-gọi là các spline có bậc hữu hạn đã biết nào đó và chọn các điểm trong miền xác định nằm trong không gian các đa thức hữu hạn chiều đó, các điểm này gọi là các điểm collocation và chọn nghiệm m à th ỏ a m ãn phương trìn h đã cho tạ i các điểm collocation đó Như vậy, nghiệm xấp xỉ của phương trìn h nhờ đó th u được bằng phương pháp spline collocation.Với mong muốn tìm hiểu phương pháp spline collocation giải xấp

xỉ phương trìn h vi tích phân nói chung và nâng cao tốc độ hội tụ của

phương pháp (siêu hội tụ) m à các luận văn T hạc sỹ của học viên trước

chưa đề cập, đồng thời nâng cao kiến thức đã học trong chương trìn h

đại học và cao học, tôi chọn đề tà i P h ư ơ n g p h á p s p l i n e c o l l o c a t i o n

g i ả i p h ư ơ n g t r ĩ n h v i t í c h p h â n làm luận văn cao học của mình.

2 M ục đích ngh iên cứu

- Trình bày m ột số khái niệm về phương pháp spline collocation, về phương trìn h tích phân V olterra cấp hai, áp dụng phương pháp spline

collocation cho phương trìn h tích phân Volterra.

- Nghiên cứu sự siêu hội tụ của phương pháp spline collocation với các phương trìn h vi tích phân

- Xây dựng nghiệm spline collocation cho m ột lớp phương trìn h vi tích phân

3 N h iệm vụ n gh iên cứu

Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của phương trìn h vi tích phân, cụ th ể là lớp phương trìn h tích phân Volterra, sự siêu hội tụ của nghiệm xấp xỉ

4 Đ ối tư ợng và phạm vi n gh iên cứu

Đ ố i tư ợ n g n g h iê n c ứ u : Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của phương trìn h vi tích phân bằng phương pháp spline collocation

P h ạ m v i n g h iê n c ứ u : Các tà i liệu, các bài báo trong nước và nước ngoài liên quan đến giải xấp xỉ nghiệm của phương trìn h vi tích phân bằng phương pháp spline collocation

5 P h ư ơn g pháp n gh iên cứu

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tín h chất;

- T ham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 N h ữ n g đón g góp của đề tài

Xây dựng luận văn th àn h m ột tà i liệu th am khảo tố t cho sinh viên và học viên cao học về phương pháp spline collocation

bị hai phép toán cộng và nhăn như sau:

5. (A + ịì)x — \ x + ịix, VA, jiiG P , \/ x , e X ;

ổ A [ịix) = (A / jl ) x , va ,/i G P,Va:, € -X";

8 Vx £ X : 1 ■ X = x;

phần tứ —X gọi là phần tử đối của phần tứ X, phần tứ 8 gọi là phần

tử không, khi đó ta nói (X , +, •) (Taoặc đơn giản X ) là một không gian tuyến tính trên trường p Tùy theo trường p là thực hoặc phức thì ta gọi

X tương ứng là không gian tuyến tính thực hoặc phức.

X ét tậ p hợp tấ t cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tụ c trên

đoạn [a,b], (—oo < a < b < + oo) Các phép toán cộng và nhân với vô

Phép cộng:

+ : C[a, 6] X Cịa, 6] — > Cịa, 6]

(x ,y ) I - >x + y

xác định bởi (a? + y){ t) = x{t) + y(t), V í G [a,b].

Phép nhân với vô hướng:

• : M X C ị a , 6] — > C ị a , 6]

xác định bởi (Ax)(t) = Xx(t), V í e [a,b].

Dễ dàng th ấy rằng tậ p hợp C[a, b] cùng với hai phép to án cộng và

nhân với vô hướng ở trên lập th à n h m ột không gian vector trên trường

số thực K

V í d ụ 1 1 2 Đặt Pn[a,b] ỉà tập hợp tất cả các đa thức bậc không vượt

quá n xác định trên đoạn [a, tíị.

Tức là

P n [ a, b] = { a n t n + • • • + d ị t + a ữ : d ị E M , j = 1 , 2 , , n , a < t < b }

Tương tự như đối với C[a, b], ta dễ dàng th ấy rằng Pn[a, b] là m ột không

gian tuyến tín h thực P h ần tử không của không gian này là đa thức không

(hàm không) Hơn nữa, vì mọi đa thức đều liên tụ c nên, Pn [a, b] с [а, Ь].

V í d ụ 1 1 3 Đặt L 2[a, b] là tập hợp tất cả các hàm xác định và đo được

trên đoạn [a, b] và

b

Ị \ f { t ) \ 2dt < 00,

a

trong đó tích phẫn hiểu theo nghĩa Lebesgue.

Ta cũng kiểm tr a được rằng L 2[a, b] cùng với phép toán cộng hai hàm

số và nhân m ột vô hướng vổi m ột hàm số, tức là nếu f , g £ L 2[a, tíị và

V a e l :

f + g e L 2[a, b] và a f G L 2[a, b]

cũng là m ột không gian vectơ thực

Ta nhớ lại khái niệm về không gian con tuyến tính

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 2 Một tập con M của không gian tuyến tính X được

gọi là một không gian con của X nếu

i) M là tập con của X \

ii) Với mọi x , y € M ta có a x + ß y G -M, Va, ß

Dễ dàng th ấy rằng, tậ p hợp Pn[a, b] là không gian con của không gian

C[a, b] Không gian Cịa, b] là không gian con của không gian L 2[a, b].

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 3 Giả sử X là một không gian tuyến tính và B n =

{ x i i x 2, , x n} là tập hợp n phần tử của X Tập B n được gọi là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu từ phương trình

aiXi + a2x 2 + - b anx n = 6

kéo theo a,ị = a2 = • • • = an = 0

Nếu B n không độc lập tuyến tính thì ta gọi B n là phụ thuộc tuyến tính.

V í d ụ 1 1 4 X é t tập hợp

Mỗi hàm t k, 0 < k < n, có bậc là k Do đó, nếu ta lấy t trong đoạn [a, b], ta th ấy rằng B n là tậ p con của p n [a, 6] Khi đó, B n là tậ p con độc

quá n T h ậ t vậy, giả sử

p(t) = ant n + - 1- d ị t + aQ = 6.

Khi đó p ( t ) = 0, Ví ẽ [a, 6] Do đó, p ( t ) là m ột đa thức có nhiều hơn n nghiệm và theo định lí cơ bản của đại số th ì an = a n_ 1 = • • • = a0 = 0

Do đó, B n là độc lập tuyến tính.

là n nếu không gian X chứa một tập gồm n vectơ độc lập tuyến tính

tính.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 5 Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính {xi, x 2, •, x n}

trong X được gọi là một cơ sở của X nếu với mọi vectơ X e X ta có thể

biểu diễn X dưới dạng tổ hợp tuyến tính

Do đó, B n là m ột cở sở của X = Pn [a, 6] T ừ đây suy ra rằng, Pn [a, 6] có

s ố c h i ề u l à 77, + 1

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 6 Cho X là một không gian tuyến tính và B n =

{^1 ,X 2 , , x n} là một tập độc lập tuyến tính của X , span của B n là một không gian tuyến tính con hữu hạn chiều của X span của tập các vectơ {^1, , x n} là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính có thể có

đi qua gốc của ( y —t )-m ặt phẳng M ặt khác, tậ p các vectơ {(1,1), (—2,1)}

Đối với tậ p tấ t cả các đa thức {1, í, t 2, , t n} độc lập tuyến tín h và tạo th àn h m ột cơ sở của Pn[a, b] Nhưng mỗi đa thức trong Pn[a, b] là một hàm liên tụ c và các phần tử trong C[a,b] cũng là các hàm liên tục Do

1.2 K h ôn g gian định chuẩn

Cho X là m ột không gian vectơ trên trường p (p = M hoặc C).

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 1 Một chuẩn, kí hiệu II • II, trong X là một ánh xạ đi

từ X vào M thoả mãn các điều kiện:

1) IMI > 0 với mọi X £ X ;

2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi X = 9 (9 là kí hiệu phần tử không);

3) IIAa:|| = IAỊ ||x|| với mọi số X € p và mọi X € X ;

4) ||x + y II < ||a;|| + II.//II với mọi X, y € X

Số ||a;|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X & X Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy được gọi

là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tuỳ theo p là thực hay phức).

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 2 Dãy { x n} trong không gian định chuẩn X được gọi

là hội tụ đến x ữ € X nếu

Khi đó, ta kí hiệu

lim x n = x 0 hoặc x n —> £0, khi n —> 00.

ĩl— ^oo

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 3 Dãy { x n} trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản nếu

lim \\xm - x n \\ = 0

ra, n—>00

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 4 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,

nếu mọi dẫy cơ bản trong X đều hội tụ.

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 5 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

p Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính

nếu thoả mãn:

1) A ( x + y) = A x + A y với mọi X , y E X ;

2) A (ax) = a A x với mọi X G X , a € p.

A cúng được gọi là toán tử tuyến tính Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thoả mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất Khi Y = p thì toán tử A gọi là phiếm hàm, tuyến tính.

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 6 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến

tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho:

II ÁcII < c ||x|| với mọi X G X

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 7 Cho hai không gian định chuẩn X và Y K í hiệu

L ( X , Y ) là tập tất cả toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y Ta đưa vào L ( X , Y ) hai phép toán:

P l l = sup IIAxll, VA e L ( X , Y )

II XE II < 1

Khi đó, tập L ( X , Y ) trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn.

Đ ịn h lý 1 2 1 Nếu Y là một không gian Banach thì L ( X , Y ) là không

gian Banach.

V í d ụ 1 2 2 X é t không gian L 2[a,b] trong ví dụ

định bởi

V h = ( Ị l/(í)l2V

là một không gian Banach.

1.3 x ấ p x ỉ bởi các không gian con hữu hạn chiều

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 1 Giả sử f G Cịa, b] Một hàm g € C[a, b] được gọi là

một xấp xỉ tốt của f nếu II/ — g II < e với e đủ nhỏ.

1.1.3 với chuẩn xác

Bài toán tìm m ột xấp xỉ tố t n h ất của m ột hàm m ột biến cho trước

m à ta biết rằng phương pháp cổ điển n h ất là xấp xỉ hàm f ( t ) bởi m ột

tổng hữu hạn

f ( t) = C i ậ i ( t ) + c2Ộ2{t) + ■ ■ ■ + cnậ n (t )

nhờ các điều kiện áp đ ặt trên / Tổng quát hơn, ta xấp xỉ / như mộttổng vô hạn (chuỗi Fourier)

00

sin a kt + bỵ cos akt]

k=0

trong đó a là hằng số cho trước Khi sử dụng chuỗi Fourier để tín h toán,

ta thường chặt cụt các chuỗi vô hạn này và xấp xỉ bởi m ột tổng hữu hạn

f ( t ) = Co + Cị sin at + bị cos at + c2 sin 2at + &2 COS 2at + ■ ■ ■ + cn sin ant + bn COS a n t ,

trong đó các hằng số Cj và bị, 1 < ỉ < n, được x á c định nhờ các điều kiện

đ ặt trên f ( t )

Tiếp tụ c thực hiện cách như trên, ta th u được các hàm xấp xỉ đơn giản

hơn các hàm lượng giác Chẳng hạn, ta có th ể lấy ệi(t) là các đa thức

th ì

f { t) = c n t n + c n _ ị t n 1 + • • • + C ị t + C o

là một đa thức có bậc n hoặc nhỏ hơn n, và các hệ số Cfc được xác định nhờ các ràng buộc trên f ( t )

Bây giờ ta giả sử rằng f ( t ) là hàm được xấp xỉ, liên tụ c và thuộc C[a, b]

trong C[a,b], hàm xấp xỉ

f ( t ) = Cịội(t) + c2ậ 2(t) H - f cnộ n(t)

thuộc vào span của { ậ i , ,фп} m à là m ột không gian con hữu hạn

sp a n { 0 !, , фп} là m ột không gian con n chiều của C[a, b].

Nếu ta chọn kĩ th u ậ t này để xấp xỉ f ( t ) bởi hàm f ( t ) = Ciậi(t) +

Ciộiit) + • • • + cnậ>n(t) th ì ta phải quyết định xem những gì làm cho f i t )

là một xấp xỉ tốt của f ( t ) Như ta đã nói ở trên, một hàm / là xấp xỉ

tố t của / nếu chuẩn II/ — /II là nhỏ Như vậy, bài toán của ta là chọn

các hàm ộỉ và các hệ số Cị trong định nghĩa của hàm f ( t ) sao cho

là nhỏ và hi vọng / là nghiệm duy nhất đối với các hệ số Cị đó.

Vì ta phải xác định n hằng số chưa biết, nên ta phải áp đ ặt ít nhất

n ràng buộc hoặc điều kiện lên / để xác định các hằng số đó Hơn nữa,

ta phải chọn các ràng buộc theo hướng m à làm cho II/ — /II là nhỏ

Chương 2 Giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi tích phân bằng phương

pháp spline collocation

2.1 P h ư ơn g pháp splin e co llocation cho phương trìn h

tích phân V olterra cấp hai

2 1 1 H à m s p lin e

Đ ịn h n g h ĩa 2 1 1 Một hàm spline bậc ba là một đa thức bậc ba từng

đoạn khả vi liên tục hai lần.

Những hàm spline bậc ba x u ất hiện m ột cách tự nhiên khi ta cải tiến

các đa thức Lagrange bậc ba s 3(t) e C[a,b] và các đa thức từng đoạn bậc ba H erm ite s ( t ) G c l [a,b\ của m ột hàm f ( t ) cho trước.

Ta sẽ th ấy rằng các hàm như th ế là tồn tạ i và

3 1 1 - 1 6

và

Đặc biệt, liệu có tồn tạ i đa thức bậc ba từng đoạn hai lần khả vi liên tục

s ( t ) m à nội suy được các giá trị của f i t ) tạ i các nút íj, 0 < ỉ < n trong

phép phân hoạch 7r của đoạn [a, b] m à xấp xỉ tố t hàm / ( í ) ? Câu tr ả lời

là có, tồn tạ i những đa thức s ( t ) như vậy và các hàm như th ế thuộc vào

lớp <S3(7r) các hàm spline bậc ba dưới đây

Đ ịn h n g h ĩa 2 1 2 (Da thức spline bậc ba) Không gian Ss(7ĩ) là tập tất

cả các hàm s ( t ) e c 2[a, b] mà khi ta hạn chế xét trên các khoảng con

( t i , t i+1),0 < i < n — 1 của đoạn [a, b], các hàm đó trở thành đa thức bậc

ba.

s 3(ĩĩ) thự c sự là m ột không gian tuyến tín h và vì không gian này

chứa tậ p hợp tấ t cả các đa thức bậc ba nên có vô hạn các hàm trong

s ( t ) trong S3 (7r) th ỏ a m ãn điều kiện

s'{to) = f { t 0)

s iti) = f ( u ) 0 < i < n s'{tn) =

t € [íị+1, íi+2]còn lại (2.1.2)

Mỗi hàm Bị(t) là khả vi liên tụ c hai lần trên toàn bộ đường thẳng

và Bị (í) = 0 với t > t i + 2 và t < tị_ 2 - Kết quả này đã được J Schoenberg

(1966) chứng tỏ rằng các hàm B spline là các spline duy n h ất không âm

có giá com pact nhỏ n h ất với các nút tạ i í_2 < t - 1 < • • • < £ „ < tn+1 <

tn+ 2 - Tức là, b ất kì spline bậc ba s ( t ) với các nút như trên m à triệt tiêu

bên ngoài mọi khoảng ( t j - i , t j +2) phải đồng n h ất bằng 0 Hơn nữa, vì

mỗi B ị( t ) cũng là đa thức bậc ba từng đoạn với các nút của phân hoạch

chứa các giá trị B ị ( t ) và các đạo hàm của B ị ( t ) tạ i các nút đó Vì B ị ( t )

và các các đạo hàm của B ị ( t ) triệ t tiêu tạ i các nút khác nên ta không

đưa vào trong bảng

C h ứ n g m in h Giả sử s ( t ) € 5 3(7r), khi đó

Vì s(í) th ỏ a m ãn điều kiện (2.1.1) nên với 0 < ỉ < n ta có

ĩ ' { t ữ) , f itn) và < i < n hoàn to àn xác định Giả sử s ( t ) € B 3(7ĩ)

là spline duy n h ất từ (2.1.1) Khi đó f ( t ) — s(t) = g(t) triệ t tiêu tại mỗi tị, 0 < i < n và do đó g'(t0) , g'(tn) cũng vậy Vì cả / và s đều

g'{t) có ít n h ất n + 2 nghiệm, do đó g"{t) có tít n h ất n + 1 nghiệm zi: to < z0 < 2/0, y0 < Z\ < Vu 2/1 < ^2 < 2/2, • • ■ , ĩ / n - l < z n < tn.

M ặt khác, g"(t) là đa thức Lagrange từng đoạn tuyến tín h với các

bố của các nghiệm Zị của g"{t) nên g"{t) = 0 trên [to,tn] Nhưng do

g(t) = a t + b v ầ g(t0) = g(tn) = 0, g(t) - 0 Như vậy s(t) = f ( t ) € B 3(Tĩ)

nên S 3( ĩt ) c B 3(7r)

H ệ q u ả 2 1 1 dini(Sl3(7r) = 71 + 3 và B = { B _ 1 , B 0, , 5 n+1} /ồ một cơ

sở của không gian S 3 (ĩĩ).

H ệ q u ả 2 1 2 Tồn tại duy nhất spline bậc ba s ( t ) thỏa mãn (Ị2.1.1Ị)

Hàm s được gọi là nội suy spline bậc ba của f

Nội suy bậc ba duy n h ất của m ột hàm f ( t ) cho trước không chỉ là nội suy đa thức bậc ba f ( t ) tạ i các nút tị, 0 < i < n Có vô hạn các spline

như thế, chẳng hạn ta có th ể chứng m inh hoàn toàn tương tự định lí

trậ n A được sử dụng để chứng m inh sự tồn tạ i của hàm S (t) và trong

tín h to án từ m a trậ n A chỉ theo dòng đầu tiên và cuối cùng, điều này

cho phép nội suy bậc hai th ay th ế bởi các đạo hàm bậc n hất Các phần

số thực phân biệt tị < ĩ 2 <■■■ < ĩ n+3 và n + 3 số nguyên ĩiị, ta có thể

đ ặt câu hỏi: liệu có tồn tạ i m ột spline bậc ba s ( t ) là nghiệm nội suy của

bài toán

= /("<>№), I < i < n + Ĩ.

Trong các trường hợp câu tr ả lời là không.Trong trường hợp câu trả lời

là có th ì câu hỏi bằng cách nào xác định được các spline bậc ba nội suy

th ể xây dựng, các nội suy Lagrange bậc ba A0(t) và Ai(í) cho f ( t ) tại nhiều n h ất là các nút t 0 < ti < t 2 < và ín_3 < tn_2 < ín- 1 < t n Khi

đó, để th u được sL(t) cho trong (2.1.3) ta phải giải hệ

s'L{to) — K { t o)j

«Í(í») =

KMn)-(2.1.6)

Theo trên, hệ (2.1.6) tồn tạ i và duy n h ất của sL(t) Hơn nữa, ta có thể

th ay đổi vế phải của hệ A x = b của Định lí 2.1.1 Ta cần ước lượng sai

số II/ — -SiII, nếu II/ — s|| là o(h4) trên [to, tz] và nếu m ax I f ( t ) — A0(í)| =

o(/i4) = max \f (t ) - xn(t)\ trên [tn- 3 , t n] thì do

I f ( t ) - An(í)| < |/ ( í ) - Ao(í)| + |A0(Í) - s ự ) I trên [tn- 3 , t n] ta có th ể chứng tỏ được II/ — s l \\ = o(h4) nếu II/ — s\\ =

o{hA).

V í d ụ 2 1 1 Tìm hàm spline bậc ba s ( t ) nội suy hàm f ( t ) = 5t + 1 trên

6

w

(2.1.7)

2 1 2 P h ư ơ n g p h á p s p lin e c o llo c a tio n

Trong mục này giả sử X là không gian tuyến tín h con của C[a, b] Giả

sử L là to án tử tuyến tín h m à miền xác định là to àn bộ X , và to àn bộ

miền ảnh cũng thuộc không gian X Cho {01, 02, ■ ■ ,Ộ n } là tậ p con độc

lập tuyến tín h của X , và đ ặt

X ỵ = s p a n { 0 i , 02 , • • • ) Ộ n }

là m ột không gian con N chiều của X Xét phương trìn h tuyến tín h sau:

với y là cho trước trong không gian X Nghiệm xấp xỉ x ị t ) của (2.1.8)

th u được bằng phương pháp collocation là việc tìm m ột hàm x ^ i t ) sao

trong đó t ị , t 2, , t N là các điểm phân biệt của D m à tại đó các hạng

tử của (2.1.9) hoàn toàn xác định Hàm x N (t) nếu tồn tạ i được gọi là collocate của y ( t ) tạ i các điểm t ị , , t ] y B ất kì hàm / ( í ) th u được bằng cách đó được gọi là m ột nghiệm xấp xỉ th u được bằng phương pháp collocation

Trong mục này, ta nghiên cứu m ột vài lớp toán tử L và m ột số các không gian con X N sao cho nghiệm collocation tồn tại và duy n hất, và

đánh giá nhiễu ||z — Zjvll trong các trường hợp đó Trước khi trìn h bày nội dung phương pháp collocation ta xét m ột vài ví dụ sau:

V í d ụ 2 1 2 X é t bài toán giá trị ban đầu

L x { t ) = x"{t) — x ( t ) = 1,

a^(0) = z ( l ) = 0

sắp xếp lại vế phải của phương trìn h th ứ n h ất tạ i tị — 0, và t 2 — 1 được

cho bởi hệ phương trìn h tuyến tính

Ta trìn h bày giá trị của x ( t ) , x ( t ) và sai số e (t) = Ix(t) — x(t)\ theo

các giá trị của t trong bảng sau: Tiếp theo ta xét bài toán tổng quát hơn

và qua đó ta sẽ th ấy việc sử dụng các hàm spline để th u được nghiệmcollocation

V í d ụ 2 1 3 Giả sử bài toán biên ban đầu

L x ( t ) = x"(t) + p(t)x'(t) + q ( t )x (t), 0 < t < 1,

ж(0) = ж(1) = о,

có nghiệm duy nhất x ( t ) và p và q là các hàm liên tục trên [о, 1]

t x ( t ) x ( t ) x ( t ) — x ( t )

0.0 0 0 0 0 0 0000 0 0 0 0 0 0000 0 0 0 0 0 0000 0.1 -0.0 4 1 2 8461 - 0 0 1 8 0 0000 -0 0 2 3 2 8461 0.2 -0 0 7 2 9 7407 - 0 0 3 7 3 3333 -0 0 3 5 6 4073 0.3 -0 0 9 5 3 8554 - 0 0 5 6 0 0000 -0 0 3 9 3 8554 0.4 - 0 1 0 8 7 4333 - 0 0 7 2 0 0000 - 0 0 3 6 7 4333 0.5 -0.1131 8112 - 0 0 8 3 3 3333 -0 0 2 9 8 4778 0.6 - 0 1 0 8 7 4333 - 0 0 8 8 0 0000 - 0 0 2 0 7 4333 0.7 -0 0 8 4 0 0000 - 0 0 8 4 0 0000 -0 0 1 1 3 8554 0.8 -0 0 7 2 9 7407 - 0 0 6 9 3 3333 -0 0 0 3 6 4073 0.9 -0.0 4 1 2 8461 - 0 0 4 2 0 0000 0 0 0 0 7 1539 1.0 0 0 0 0 0 0000 0 0 0 0 0 0000 0 0 0 0 0 0000

Để xấp xỉ nghiệm x ( t ) bằng nghiệm collocation thông qua các hàm

0 < i < n , x N (l) = 0.

của Xiv(í) th ỏ a m ãn cùng các điều kiện biên như x(í)

Để tín h x N (t), trước tiên ta sử dụng tín h tuyến tín h của L Do đó,

vậy, nghiệm x N (t) tồn tạ i và duy n h ất nếu và chỉ nếu m a trậ n CN là

không suy biến

Trường hợp đặc b iệt đơn giản: Sự tồ n tạ i qua m a trận giải tích

Một trong những cách đơn giản n h ất để th u được các định lí tồn tại nghiệm của phương pháp collocation được áp dụng vào khi nghiên cứu các phương trìn h vi phân thường và phương trìn h đạo hàm riêng là

nghiên cứu trực tiếp các m a trậ n C ỵ nảy sinh khi chọn đặc biệt các hàm

của toán tử L.

Phương pháp này được m inh họa qua ví dụ sau

V í d ụ 2 1 4 X é t phương trình vi phẫn

L x (t ) = x " ( t ) — ơ ( t ) x ( t) = f ( t ) , a < t < b, (2.1.14)

ơ ( t ) > 0 với ơ liên tục trên [0,1], điều kiện biên là x ( a ) = x(b) = 0.

Để giải phương trìn h này bằng phương pháp collocation, ta đ ặt

7Tn : a = ỈQ < < • • • < = b

Tỉ

xN(t) = a0ệ 0(t) + diội(t) H - b anện(t),

xấp xỉ nghiệm duy n h ất x ( t ) của (2.1.14) sao cho

Lx„ (1 ?) = f W ) , 0 < i < n.

Cho ội là các 5 -sp lin e bậc ba th ỏ a m ãn điều kiện biên bằng 0, cụ thể

là, các hàm { Ồ ữ(t), Ồ i ( t ) , , B n(t)}, trong đó

B ị ( t ) = B ị ( t ), 2 < i < n — 2.

Đặc biệt,

B Q(t) = B Q(t) — 4 B - i ( t ) ,

Ổ1(í) = f i o ( í ) - 4 f i i ( í ) ,

Ốn- i ( t ) = B n{t) - 4B n- i ( t ) , Ồn(t) = 5 n(í) - 4 £ n+i(í).

Mỗi hàm trong các hàm trên đều th ỏ a m ãn Bị{a) = Ồị{b) = 0 Ma trậ n

collocation Cjv liên kết với bài toán này là Cjv = C^Ị, trong đó

Hiển nhiên rằng b ất kì x N (t) là nghiệm của bài toán nội suy này cũng

là nghiệm của các bài to án trước, và ngược lại Trong trường hợp này,

ta có m ột hệ tuyến tín h gồm n + 3 phương trìn h và 71 + 3 ẩn, m a trậ n collocation C n = (C"), —1 < i , j < n + 1 Dòng đầu tiên của m a trậ n

CN là các hệ số của điều kiện ban đầu x N (a) = 0, dòng cuối của Cjv là

các hệ số của điều kiện x N (b) = 0 T hay vào (2.1.15) ta có

ũ —l ~ị~4ữg -|- CL\ — 0

(2.1.18)

®7Ỉ- 1 + 4 an + an+1 = 0,

B ả n g 2.2: C ác giá trị củ a B j ( t ) và các đ ạ o h àm c ủ a B j ( t ) tạ i các nút.

trong đó các giá trị của B j ( t ị) được cho trong bảng 2.2 Để xác định các

Đặc biệt,

c" = L B j( tị ), 0 < % < n, - 1 < j < n + 1.

Vì L B j ( t ) = B "(t) — ơ ( t) B j(t ) , nên

4 = B ' № ) - 0 < i < n , - l < j < n + l

Lấy đạo hàm Bj (t ) và tính tại các nút trong phân hoạch của ta tìm trong

b ả n gI2.2Ị T hay vào các phương trìn h collocation (2.1.6) và nhân với h2,

Tương tự, khử aN+1 từ phương trìn h cuối của (2.1.19) và (2.1.5), ta thu được

Vì ơ ( t ) > 0, nên A n là m a trậ n đường chéo trội, do ã ố A N không suy

biến Do đó, ta có th ể giải được hệ (2.1.22) th u được a 0j a ij • • ■ J a n và

a0 Như vậy, phương pháp collocation được áp dụng vào (2.1.1Ị) trong đó

sử dụng m ột cơ sở các spline bậc ba và th u được nghiệm duy n h ất x N (t)

xác định bởi (2.1.2)

Để đánh giá sai số \\x — XN \\, ta đ ặt yN là spline duy n h ất nội suy

từ X th àn h nghiệm x ( t ) của bài to án biên (2.1.1) Nếu / € c 2[a,b] th ì

x ( t ) e c 4[a,b], và ta th u được

IID j (x - í/iv)|| < 7j h A j , j = 0, 1, 2, (2.1.23)

trong đó 7 j là các hằng số không phụ thuộc vào h và n Đặt

vì (A Nx N)i = h2f ( t ị ) và (A Ny N)i = h2f ( t ị ) Nhưng do tọ a độ th ứ i của

A n ( x n — y N) kéo theo phương trình thứ ỉ :

Khi \h\ đủ nhỏ ta có

(4/ìV i + 12)ej < r + 22(6 — ơịh2)e.

Vì 0 < ơ* < ơ ( t ) với mọi t, nên

(4h2ơị + 12)ej < r + 2(6 — ơ*h2)ẽ < T + 2(6 4- ơ*h2)ẽ,

Để ước lượng e0, e_i, en và en+i, từ hệ A N (xN - 2/^) = - 7^ ),

dòng th ứ n h ất và dòng cuối cùng của hệ này tương ứng là

( a _ i - ò _ i ) = — (ữi—&i)—4(a0—&o) và (an+i - 6n+i) = - ( a n- 6 n) - 4 ( a n-6 „ )

K ết hợp các kết quả trên ta th u được định lí sau:

Đ ịn h lý 2 1 3 Nghiệm xấp xỉ collocation Xftit) trong không gian các

spline bậc ba với các nút a = t 0 < tị < ■ ■ ■ < t n = b của nghiệm x ( t ) của bài toán biên ban đầu

—u"{t) + ơ ( t) u ( t) = f ( t ) , a < t < b, u(a ) = u(b) = 0

là tồn tại Hơn nữa, nếu f € c 2[a, b] thì ta có ước lượng sai số

2.1.3 N gh iệm xấp x ỉ của phương trìn h v i tích phân V olterra

{ ( t ,s ) : 0 < s < t < T } ) là các hàm hàm liên tụ c trong miền xác định

tương ứng của chúng Các phương trìn h ở trên đã được biết đến như các phương trìn h th ử cơ bản và đã được đề x u ất bởi B runner and Lam bert Các phương trìn h th ử được sử dụng rộng rãi để phân tích tín h ổn định

và các tín h chất của nghiệm của các phương pháp khác nhau

ở đây, chúng tôi trìn h bày phương pháp số giải phương trìn h vi tíchphân Volterra bậc 2 dạng (2.2.11) ở trên bằng cách sử dụng không gian các đa thức spline Để mô tả cách xấp xỉ nghiệm qua không gian các đa

thức spline, ta đ ặt ỴịN : 0 = t 0 < tị < ■ ■ ■ < t N = T ìầ tậ p các lưới của

khoảng I, và tập

ơn '•— \pm ^n+l]j h"n ■— ^71+1 tni TI — 0, l , , i V 1,

h = m ax{/in : 0 < n < N — 1} (đường kính lưới) (2.1.35)

Z N := { tn : n = 1,2, , — 1}, Z N = Z N u {T}.

ở đây m > 1 và d > - 1 là các số nguyên Nghiệm y cho bài to án giá

trị ban đầu (2.2.1 1), (2.2.1 2), sẽ được xấp xỉ bằng m ột phần tử u trong

không gian các đa thức spline,

S ^ l d{ZN) := {u := u(t)\tGơn := u n(t) <E 7Tm+d, n = 0 , 1 , , N - 1,

= Un]{tn) với j = 0 , 1 , , tn e Z N } (2.1.36)

tức là, bằng m ột hàm đa thức spline bậc m + d trong đó chứa những nút

Z N và là d lần khả vi liên tụ c trên I Nếu d = — 1, th ì các phần tử của

S ^ ị ( Z N) phải có các bước nhảy gián đoạn tạ i các nút Z N Như vậy, bài

to án giá trị ban đầu (2.2.1 1) và (2.2.1 2) thường được giải quyết bằng

phương pháp collocation trong không gian các đa thức spline S m \ Z N )

ta xét một tập của các tham số collocation { C j } j = i m, ở đây 0 < Ci <

< cm < 1, và định nghĩa tậ p các điểm collocation là:

điều kiện m à u th ỏ a m ãn bài toán giá trị ban đầu trên X { N ) dưới đây:

nhỏ th ì (2.1.40) có 1 nghiệm duy n h ất {an j } j = i m , Vn = 0,1, , iV — 1.Khi đó, phương trìn h (2.1.40) có th ể được viết lại thành:

un(tn,j) + Po{tn,j)u n{tn,j) + Pl{tn,iu n(ỳn,iỴ)

Trong hầu hết các ứng dụng tích phân x u ất hiện trong (2.1.44) không

th ể đánh giá được, vì vậy chúng ta cần các công thức phù hợp như ở

Í = 1

tậ p hợp các th am số th ỏ a m ãn các điều kiện sau:

0 < di < < < ^ 1; 0 < d j i *c <c — cj 5 0 • • • J ^ ) j

(2.1.47)

và IƯỈ, Wj I là các trọng số cầu phương.

Các hạng tử cầu phương tương ứng được định nghĩa như sau:

KẬUiì = KẬuủ

-j = 1,2, , m, i = 0,1, , n (n

(2.1.48)

0,1,Nhờ các quá trìn h cầu phương ở trên, (2.1.42) là m ột phương pháp col

location rời rạc hoàn to àn trong đó xác định m ột phần tử ủ e S ^ +d(ZN)

(trong đó, nói chung, sẽ khác với nghiệm xấp xỉ u được xác định bởi