Luận văn sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline đối với phương trình vi tích phân

45 2.3 Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline với phương trình vi tích phân .... Trong một số trường hợp phương pháp sắp xếp spline thường đạt tốc độ hội tụ nhanh, độ chính xác của ng

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp, BGH và tổ KHTN trường THCS Xuân Hòa thị xã Phúc Yên tỉnh Vĩnh Phúc đã cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Đ in h T h ị T h u

Lời cam đ o a n

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn Văn

Tuấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tà i:“S ự ổ n đ ị n h

M ụ c lục

M ỏ đầu

1 K iế n th ứ c cớ b ản

1.1 Không gian vectơ

1.2 Khống gian định chuần

8

8

12

1.2.1 Khái niệm không gian định c h u ẩ n 12

16 1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert 1.4 Không gian các hàm spline 1.4.1 Spline đa thức bậc ba với mốc cách đều 19 19 1.5 Sai số, tốc độ hội tụ 1.4.2 Spline đa thức tồng q u á t Ị 24

28

28

29

30

1.5.1 Sai số 1.5.2 Xấp xì tốt nhất 1.5.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xì 1.5.4 Ma trận dường chéo trội 31

32

1.5.5 Các khái niệm cơ bản của lỷ thuyết ổn định 2 Sự ổn đ ịn h củ a p h ư ơ n g p h á p sắp x ế p sp lin e đ ố i với p h ư ơ n g tr ìn h v i tíc h p h â n 36 2.1 Định nghĩa phương pháp sắp xếp spline 36

2.2 Sự ốn định của phưdng pháp sắp xếp spline với phưdng

2 2.1 Sử dụng ma trận đưòng chéo trội nghiên cứu tính

2 2.2 Sự ốn định của phường pháp sắp xếp spline cho

phương trình vi phân bậc hai 45 2.3 Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline với phương trình vi tích phân 48 2.3.1 Phương pháp sắp xếp spline cho phương trình vi

tích phân Volterra bậc hai 48 2.3.2 Sự ốn định của phưdng pháp sắp xếp spline cho

phương trình vi tích phân Volterra bậc hai

3 ứ n g d ụ n g

3.1 ứng dụng với phương trình vi phân

3.2 ứng dụng với phương trình vi tích phân

K ế t luận

Tài liệu th a m khảo

54 58 58 60 67 68

M ở đ ầu

1 L í d o c h ọ n đ ề tà i

Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, trong kinh tế, cũng như trong các lĩnh vực khác của cuộc sống ta gặp rất nhiều bài toán đưa tới việc nghiên cứu các phương trình vi phân, phương trình vi tích phân Giải đúng phương trình vi tích phân rất khó vì vậy người ta thường áp dụng các phương pháp xấp xỉ để giải Có rất nhiều phương pháp giải gần đúng khác nhau, phương pháp sắp xếp spline là một phương pháp thường được lựa chọn.

Ưu điểm của phương pháp sắp xếp spline là sử dụng các hàm đa thức tính toán để giải Các hàm đa thức dễ dàng lập trình đưa lên máy tính, tính toán thuận lợi, hiệu quả Trong một số trường hợp phương pháp sắp xếp spline thường đạt tốc độ hội tụ nhanh, độ chính xác của nghiệm gần đúng tốt hơn các phương pháp khác Có thể khái quát cho nghiệm xấp xỉ bằng spline bậc cao hoặc các hàm B-spline.

Sự ổn định của nghiệm xấp xỉ luôn được các nhà Toán học trong

và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Với mong muốn tìm hiểu về sự ổn định của nghiệm xấp xỉ và phương pháp sắp xếp spline nhằm nâng cao kiến thức đã học trong chương trình đại học và cao học nên em chọn đề tài này để nghiên cứu và làm luận văn tốt nghiệp cho mình.

Nghiên cứu ổn định của phương pháp sắp xếp spline với phương trình

vi phân, phương trình vi tích phân.

Nghiên cứu về lập trình Maple để ứng dụng.

4 Đ ố i tư ợ n g v à p h ạ m v i n g h iê n cứ u

Đối tượng nghiên cứu: “Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline Phạm vi nghiên cứu: các khái niệm, định lý các kết quả cơ bản của phương pháp sắp xếp spline Các phương trình vi phân, vi tích phân Lập trình Maple với phương pháp sắp xếp spline.

của một lớp phương trình vi tích phân bằng phương pháp sắp xếp spline.

Chương 1

K iến th ứ c cơ bản

Chương này trình bày một số không gian thường dùng như: Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian các hàm spline, sai số, tốc độ hội tụ, sự ổn định của nghiệm để phục vụ chứng minh ở chương sau.

1.1 K h ô n g g ia n v e c tơ

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 Cho ¥ là một tập khác rỗng mà các phần tử được

kí hiệu : a , / 3 , 7 , và K là một trường mà các phần tử được kí hiệu:

thỏa mãn các tiên đề sau:

• ã + /3 = /3 + ã, Va, ặ G V;

• ( ã + ặ) + 7 = a + + 7 ), V a ,/ĩ, 7 e ¥ ;

• tồn tại ớ € V sao cho ớ + (ĩ = a + ớ<= ( ĩ , Vổ ẽ ¥ ;

• Với mỗi ã tồn tại c ? ẽ V sao cho a' + ã = ã + a! — ớ;

• (x + 2/)õ; = x ã + y ã , Võ? ẽ V và X, y e K;

• a:(a + /3) = XÕ! + x ặ, Va, ịỡ G V và X Ễ K;

• x ( y ấ ) = ( x y ) ấ , \ / ã € V và x , y £ K;

• 1 • <5 = <5, Võ? G V và 1 là phần tử đơn vị của trường K.

Khi đó V cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường K, hay K-không gian vectơ,hay không gian tuyến tính.

Khi K = M thì V được gọi là không gian vectơ thực.

Khi K = c thì ¥ được gọi là không gian vectơ phức.

Ví dụ: Dễ dàng kiểm tra C[a, b] là một không gian vectơ.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 2 Trong không gian vectơ Y

Hệ vectơ ( ã i , , ã n) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 3 Giả sử Y là một không gian vectơ

Một hệ vectơ của Y được gọi là một hệ sinh của ¥ nếu mọi vectơ của

V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó.

Khi ¥ có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì ¥ được gọi là không gian vectơ hữu hạn sinh.

Một hệ vectơ của ¥ được gọi là một cơ sở của ¥ nếu nó là hệ sinh độc lập tuyến tính.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 4 Cho V là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn phần tử thì số phần tử trong cơ sở đó được gọi là số chiều của không gian vectơ.

Khi V là một K-không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu:

dim V = n( hay diĩĩiK V = n).

Nếu V = {0} ta quy ước dim ¥ = 0.

Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều.

Ví dụ: Trong K —không gian vectơ Kn xét hệ vectơ:

Vậy hệ (e) còn là một hệ độc lập tuyến tính Do đó hệ (e) là một cơ

sở của Kn Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc ( hay cơ sở tự nhiên )

của Kn Từ đó suy ra d ỉ m K n = n.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 5 Tập con w Ф 0 của một K -không gian vectơ E được gọi là không gian vectơ con của E nếu nó ổn định với hai phép toán của E , nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau:

1 VỔ, ß G w, ã + ß G w,

2 Va G w và Vx G к thì x ã G w

( xem [ 6 ])

1 2 K h ô n g g ia n đ ịn h c h u ẩ n

1 2 1 K h á i n iệ m k h ô n g g ia n đ ị n h c h u ẩ n

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 1 Ta gọi k h ôn g gian định chuẩn (hay không gian tuyến

tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường p ( P = R hoặc p = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là

ll-ll và đọc là chuẩn,thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1 (Vx ẽ X ) ||a;|| > 0, \\x\\ = 0 <=> X = 9 (kí hiệu phần tử không là 6 );

2 (Vx e X ) (Va e P ) IIQÍÍC|Ị = \a\ ||x|| ;

3 (Va:, y & X ) \\x + y\\ < ||x|| + \\y\\

Số ||x|| gọi là chuẩn của vectơ X Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X Các tiên đề trên gọi là hệ tiên đề chuẩn.

Ví dụ: Không gian M 2 là không gian định chuẩn với chuẩn thường chọn là chuẩn:

trong đó X = {X\,X 2 ) ẽ M2- Ví dụ: Không gian C[a,b] = { / : [a,b] —>

M I / liên tục trên [a, 6 ]} là không gian định chuẩn

II f ( t ) 11= max I f ( t ) I

a < t < b

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 2 Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn lllli và

IIII 2- Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0

Khi đó d là một metric trên X

Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và

hệ tiên đề tuyến tính.

Mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric (1.1) Do đó mọi khái niệm,mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 3 Dãy (x n) trong không gian định chuẩn X được gọi

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 4 Dãy điểm (x n) trong không gian định chuẩn X gọi

là dãy cơ bản, nếu

lim \[Xn — x m II = 0.

m , n —¥ 00

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 5 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 6 Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian metric đầy đủ (với khoảng cách d ( x , y ) = ||x — y II) Khi đó X được gọi

là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 7 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

p Ánh xạ A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y

được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu Ả thỏa mãn:

1 A ( x + y) = A x +

Ay-2 A (a x ) = a A (X).

- A được gọi là toán tử cộng tính nếu A chỉ thỏa mãn 1

- A được gọi là toán tử thuần nhất nếu A chỉ thỏa mãn 2

- Khi Y = p thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến

tính.

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 8 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn

t ạ i h ằ n g số c > 0 sao cho:

11 A x ||< c ỊỊ X II, với mọi X G X

Ả được gọi là ánh xạ giới nội.

Đ ịn h lý 1 2 2 Ánh xạ A : X —>■ Y tuyến tính, liên tục khi và chỉ khi

A giới nội.

Chứng minh Giả sử Ả giới nội Lấy { x n} c X , x n X tương đương với

x n — X —> 0.

Ta có ỊỊA(a:n) — A(a:)|| = ỊỊA(xn — rc)II < k \\xn — x|| 0.

Suy ra d ( A( x n) , A( x) ) = ||A(a;n) — i4(x)|| —> 0 suy ra A ( x n) —»• A ( x )

do đó A liên tục.

Ngược lại, giả sử Ả liên tục nhưng A không giới nội.

Tức Vm > 0, 3 x n e X : II A ( x m) II > m \\xm II.

Ta đăt ym — ĩýĩìi ra||a;m || u™ 77 ■ Ta đươc ■ 7n | | x m || = — —>• 0 , m —>• oo.m 5

Suy ra { y m} -> 0 Ta có IM»™)!! = > S |f e Ị > 1- Suy ™

m (ym )|| 0 ^ A ( y m) ^ 0 = A(0) (mâu thuẫn)

Vậy A giới nội.

Ta có điều phải chứng minh.

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 9 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Kí hiêu

L (X , Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y Ta đưa vào L ( x , Y ) hai phép toán:

1 Tổng của hai toán tử A, B £ L (X , Y ) là toán tử,kí hiệu A + B, xác

định bởi biểu thức.

(A + B) ( x ) = A x + B x , với mọi X £ X;

2 Tích vô hướng của a € P ( P — R hoặc p = c ) với toán tử A €

L ( X , Y ) là toán tử, kí hiệu OiA, được xác định bởi biểu thức

(o;^4)(a:) = ol ( A x )

Dễ kiểm tra được rằng A + B €E L ( x , Y ), a A ẽ L ( x , Y ) và hai phép toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính Khi đó, tập L ( x , Y ) trở thành một không gian tuyến tính trên trường p

Đ ịn h lý 1 2 3 Nếu Y là một không gian Banach thì L ( x , Y ) là không

gian Banach.

( xem [5])

1 2 2 S ự h ộ i t ụ t r o n g k h ô n g g ia n đ ị n h c h u ẩ n

Giả sử X là không gian định chuẩn và {^n}^°=i c X , X q € X .

1 x n —> X q ( dãy x n hội tu tới Xo) có nghĩa là ỊỊ x n — Xo II —> 0.

2 Nếu x n —> x ữ thì II x n ||—>11 x ữ II, tức là chuẩn II x n II là một hàm

Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ,tức là:

||z n — x m\\ —> 0 kéo theo sự tồn tại x ữ G X sao cho x n —> x ữ, thì không

gian đó được gọi là không gian đủ thường gọi là không gian Banach.

3 (Vx, y e X) (Va € P ) (aa;, 2/) = a {x, y );

4 (Vx e X ) (a:,a:) > 0, nếu X Ỷ 0 (9 là kí hiệu phần tử không), (x, X) = 0, nếu X = 6.

Các phần tử X, y , z , gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y)

gọi là tích vô hướng của hai nhân tử X và y ,các tiên đề trên gọi là tiên

đề tích vô hướng.

Đ ịn h lý 1 3 1 Đối với mỗi X G X Ta đ ặ t

Khi đó Vx, y G X ta có bất đẳng thức Schwarz

Công thức (1.2) xác định một chuẩn trên không gian X

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 2 Không gian tuyến tính trên trường p cùng với một tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 3 Ta gọi một tập H 7 ^ 0 gồm n h ữ n g phần tử x , y , z , nào đấy là không gian Hilbert,nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

1 H là không gian tuyến tính trên trường P\

2 H được trang bị một tích vô hướng (.,.);

3 H là không gian Banach với chuẩn ||a;|| = G H Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 4 (Trực giao) Cho không gian Hilbert H Hai phần

tử X, y G H gọi là trực giao,kỷ hiệu a;_Ly,nếu (x, y ) = 0.

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 5 Cho không gian Hilbert H và tập con A c H, A ^

0 Phần tử X ẽ H gọi là trực giao với tập A , nếu X-Ly (Ví/ ẽ A ) và kí

hiệu X-LA.

Đ ịn h lý 1.3 2 (Định lý hình chiếu lên không gian con) Cho không gian

Hilbert H và H ữ là không gian con của H Khi đó phần tử bất kì X e H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

Phần tử y trong biểu diễn (1.4) gọi là hình chiếu của phần tử X lên

không gian con H ữ.

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 6 (Hệ trực chuẩn) Cho không gian Hilbert H Một

tập (còn gọi là hệ thống) gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử (e n)n>1 c H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 7 Mọi họ các lân cận của điểm 0 (Kí hiệu: u ) được

gọi là họ cơ sở của lân cận nếu:

1 u bất kỳ là lân cận của điểm 0 thì tồn tại Uo c ĨÀ sao cho Uo c U\

2 Với Uị, LỈ 2 ẽ ỈA thì JJ\ n U 2 ẽ

Kí hiệu hi = ti — t ị - i , nếu hị = h = const thì các mốc nội suy

t 0, tị, Ỉ 2 , ■ , t n gọi là các mốc nội suy cách đều.

Đ ịn h n g h ĩa 1 4 1 Một spline đa thức bậc ba trên đoạn [a, b] với phân

hoạch 7r là hàm số y = s ( t ) thỏa mãn hai điều kiện sau:

tơ suy ra S ị (7 r) là không gian tuyến tính.

M ện h đ ề 1 4 1 Không gian Ss(ĩĩ) là không gian tuyến tính và không

g i an đó chứa t ấ t cả các đa thức có bậc nhỏ hơn bằng 3.

B à i to á n 1 4 1 Tồn tại duy nhất hàm số s ( t ) G Ss(7r) thỏa mẫn hệ

điều kiện:

s'{t0) = /'(to ),

y (0 = /'(*»).

Khi đó s ( t ) được pọỉ là đa thức nội suy spline bậc ba của hàm số f ( t )

Xây dựng sự tồn tại của hàm s ( t ) với các mốc nội suy cách đều

Bị{t) = h3 + 3h2(ti+1 - t ) + 3h(t i+1 - t ) 2 - 3 (íi+i - í ) 3,

í G [ ìi,íĩ+ i] , (íi +2 — £ [íj+i , í j + 2 ],

3 s(t) đồng nhất triệt tiêu bằng 0 ngoài khoảng ( t j - 2 , t j + 2 ).

Hơn nữa mỗi B ị ( t ) là bậc 3 trên [tj,tj+i\ nên B ị ( t ) € 63 ( 7 r).

Tính B^ịt), B j ( t ) chúng ta có bảng sau:

Đ ịn h lý 1 4 2 Với các không gian và B 3 (ĩr)nêu trên chúng ta có:

Vì f { t ) , g ( t ) ẽ c 2 [a, 6] nên g ( t ) ẽ c 2 [a, 6] theo định lý Rolle thì g'(t)

có n nghiệm thỏa mãn tị < Ui < tị.|_1 đồng thời t ữ, t n là hai nghiệm của g'(t) Như vậy g'(t) có ít nhất n + 2 nghiệm do đó g"(t) có ít nhất

n + 1 nghiệm và X i < Zị < ĩ j i , 0 < i < n

Nhưng g"(t) là đa thức có bậc cao nhất bằng 1 trên t ị , t ị+ 1 với các

đ iểm lưới củ a p h â n h o ạ ch 7T , v ì g " ( t ) n h ậ n Z ị , i = 0 , 1 , 2 , , n là các

nghiệm nên chúng ta suy ra g"(t) = 0 trên t ị , t ị +i

Do đó g"(t) = 0 trên ti, Íj+ 1 từ đó chúng ta được: g ( t ) = a t + /3 Mà

g{ t0) = g{ t n) = 0 suy ra a = Ị3 = 0 hay g(t) = 0 trên t 0, t n

H ệ qu ả 1 4 2 Tồn tại duy nhất một spline bậc 3 sị t ) là nghiệm của

bài toán (1.6) Hàm s ( t ) như vậy gọi là spline nội suy bậc 3 của f ( t )

Các spline bậc ba nội suy đến hàm f ( t ) không phải chỉ là đa thức nội suy bậc ba của f ( t ) tại các điểm nút t ị , 0 < ỉ < n nói trên Thực

tế nhiều vô hạn spline, có thể chứng minh rằng tồn tại duy nhất spline

s ( t ) cho bởi công thức:

/'(O-Spline s ( t ) được gọi là spline bậc ba tự nhiên nội suy của hàm số f ( t )

Ma trận Ả để xá định khi giải s ( t ) sai khác ma trận A ở dòng cuối

cùng Khi / G c 4 [a, 6 ] thì

/ - s ll<

1 4 2 S p lin e đ a t h ứ c t ổ n g q u á t

384 / (4) II h4

Để nghiên cứu khái niệm B — spline tổng quát chúng ta đi từ khái

niệm sai phân của hàm số

Chúng ta có:

A / ( z o ) = / ( z i ) - f ( x o),

(1.13)

A k+1f ( x 0) = A f ( x i ) - A f ( x 0).

Thật vậy: hàm Fị"(x) gián đoạn suy ra từ công thức sau:

Từ (1.16 )suy ra K ( t ) = 0,V í > £4,hơn nữa cố định t và X < t , F t ( x) là

đa thức bậc ba.Vì vậy A 4Ft (xữ) = 0 khi x 0 > t, nghĩa là K ( t ) = 0 khi

với m = 1 , 2 , 3 , mà (:Ej — í)™ = 0, í > Xị suy ra K ( t ) = 0 khi t < X0

và í > Xm+ 1 - Hơn nữa -ft"(í) là tổng của 777 , — 1 hàm số khả vi liên tục

và K (t ) khả vi liên tục, từ đó ta có

K { t ) e Sm(7T).

Đ ịn h n g h ĩa 1 4 2 Giả sử 7T là một phân hoạch to < tị < Ỉ 2 < <

tm {n > m + 1 ) của [a, 6 ], không gian

s m( 7r) = I s{t) G ơ m_1 [a, 6 ] I s ( t ) |[Í.JÍ.+1 là đa thức bậc m Ị

là không gian các hàm spline đa thức bậc m với các mốc nội suy của phân hoạch 7T Khi đó s ( t ) được gọi là một spline đa thức bậc m.

Đ ịn h n g h ĩa 1 5 1 số a được gọi là số gần đúng của số a* nếu a sai khác với a* không nhiều K í hiệu a w Qi ,

Đ ịn h n g h ĩa 1 5 2 Đại lượng A =1 a — a* I được gọi là sai số thực sự của a.

Nói chung ta không biết a* nên ta không biết A Tuy nhiên ta có thể

ước lư ợng sai số th ự c sự củ a a b ằ n g số d ư ơng A a > 0 sao cho:

Khi đó , ta có: ôa = = 0,1%, ôb = —p- = 1%

Vậy phép đo đoạn thẳng ^45chính xác hơn đoạn thẳng C D tuy chúng

có cùng sai số tuyệt đối A a = Ab = 0,01 m.

Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của một số gần đúng a của

số đúng a* là không duy nhất

Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối.

1 5 2 X ấ p x ỉ t ố t n h ấ t

Đ ịn h n g h ĩa 1 5 5 Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn IIII, M c

X và p E X Điểm y ữ G M được gọi là xấp xỉ tốt nhất tới p từ M nếu:

II p — 2/0 ||< || p - y II, Vỉ/ G M

x ấ p xỉ tốt nhất có thể tồn tai, có thể không và sự tồn tại nếu có cũng không phải là duy nhất.

Đ ịn h lý 1 5 1 Nếu X là không gian định chuẩn với chuẩn II II , và X ỵ

là không gian con hữu hạn chiều của X thì với mỗi X G X tồn tại xấp

xỉ tốt nhất X ỵ G , tức là:

ỊỊ X - XN 11= min \ \ x - y \\

y t x N Chứng minh: Lấy G X N và đặt d =11 X — Z ỊỊ.

K = z £ X N :|| X — z II < d.

Từ II X II là hàm liên tục của X nên K là tập đóng và bị chặn Mà

K là không gian hữu hạn chiều nên K compact.

Đặt g( z) =11 X — z II, z G K Khi đó , g là hàm liên tục của z.

Do K compact nên g đạt giá trị nhỏ nhất tại một số điểm Xjv € K

V ậ y ỊỊ X - XN 11= miĩ i yt K \ \ x - y \\.

1 5 3 T ố c đ ộ h ộ i t ụ c ủ a n g h i ệ m x ấ p x ỉ

Cho đoạn [a, 6 ] , chia đoạn [a, 6 ] thành n phần bằng nhau bởi các

điểm chia X ị , i = 0,77, thỏa mãn:

a = x ữ < XI < x 2 < < x n = b

Đặt h = b -=± TI

Giả sử X là nghiệm đúng và X* là nghiệm xấp xỉ của phương trình

đã cho (theo phương pháp gần đúng nào đó) Nếu có:

\\ X — X* 11= 0 ( h k).

thì X* được gọi là hội tụ bậc k về nghiệm X.

1 5 4 M a t r ậ n đ ư ờ n g c h é o t r ộ i

Đ ịn h n g h ĩa 1 5 6 Cho ma trận vuông A =

(ữij)"j=i-Ta nói ma trận A có tính chất đường chéo trội nếu nó thỏa mãn một

trong hai tính chất sau:

và Dy là một miền mở thuộc R n ở đây t ữ là một số hoặc ký hiệu

— 0 0 ,sau này để tiện thường viết 00 thay cho + 0 0 ( nếu không có gì nhầm lẫn ).

Để thỏa mãn định lí về tồn tại và duy nhất nghiệm cũng như có thể

kéo dài nghiệm về bên phải từ nay ta giả thiết rằng hàm vectơ F ( t , Y ) trong miền T liên tục theo t và có các đạo hàm riêng cấp một theo các biến y i , y 2, , y n liên tục

Đ ịn h n g h ĩa 1 5 7 Nghiệm z = Z( t ) (a < t < 0 0 ) của hệ (1.21)

được gọi là ổn định theo Liapunốp khi t —> + o o ( hay ngắn gọn là ổn định ) , nếu với mọi £ > 0 và t ữ G (a , oo) tồn tại ổ — ỏ ( e , t ữ) > 0 sao cho:

1 Tất cả các nghiệm Y = Y ( t ) của hệ (1 2 1 ) ( bao gồm cả nghiệm

z ( t )thỏa mãn điều kiện

Nói cách khác,nghiệm z{t) ổn định,nếu các nghiệm Y(t) khá gần

với nó ở thời điểm ban đầu t ữ bất kì sẽ hoàn toàn nằm trong ống £ nhỏ tùy ý được dựng quanh nghiệm z ( t )

Từ các bất đẳng thức (1.22) và (1.23)về ý nghĩa ta luôn luôn có thể