ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN KIM PHÁT NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG STABILITY OF SOLUTIONS TO INTEGRO DIFFERENTIAL SYST[.]
Kí hiệu và quy ước
Gọi N, R và C lần lượt là tập các số tự nhiên, trường các số thực và trường các số phức Đối với số tự nhiên m, ta định nghĩa các tập hợp m := {1, 2, , m} và m 0 := {0, 1, , m} Với mỗi l, q ≥ 1, kí hiệu R l là tập hợp tất cả các vectơ thực l-chiều và R l×q là tập hợp tất cả các ma trận cỡ l × q với các số hạng trong R Đối với hai ma trận thực A = (a ij ) và B = (b ij ), bất đẳng thức A ⪰ B có nghĩa là a ij ≥ b ij với mọi 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ q Nếu a ij > b ij với mọi 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ q, ta viết A ≻ B Ma trận A = (a ij ) ∈ R l×q được gọi là ma trận không âm nếu a ij ≥ 0 với mọi 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ q Tương tự, R l + và R l×q + là tập hợp tất cả các vectơ thực không âm l-chiều và các ma trận thực không âm cỡ l × q Nếu m là số nguyên dương, kí hiệu I m là ma trận đơn vị trong R m×m Với x = (x 1 , x 2 , , x n ) T ∈ R n và P = (p ij ) ∈ R l×q, ta định nghĩa giá trị tuyệt đối của vectơ và ma trận.
Cho trước hai ma trận P, Q (với cỡ phù hợp), ta dễ dàng kiểm tra được
Cho ma trận \( A = (a_{ij})_{n \times n} \in \mathbb{R}^{n \times n} \), phổ của ma trận \( A \) được ký hiệu là \( \sigma(A) := \{ z \in \mathbb{C} : \det(zI_n - A) = 0 \} \) Bán kính phổ của ma trận \( A \) được xác định bởi \( \rho(A) := \max \{ |z| : z \in \sigma(A) \} \) Hoành độ phổ của ma trận \( A \) được xác định bởi \( \alpha(A) := \max \{ \mathfrak{R} z : z \in \sigma(A) \} \).
Ma trận A ∈ R n×n được gọi là ma trận ổn định Hurwitz (Hurwitz stable) nếu à (A) < 0 và được gọi là ma trận ổn định Schur (Schur stable) nếu ρ (A) < 1.
Một chuẩn trên \(\mathbb{R}^n\) được gọi là đơn điệu nếu \(|x| \preceq |y|\) thì \(\|x\| \leq \|y\|\) với \(x, y \in \mathbb{R}^n\) Từ định nghĩa này, có thể thấy rằng \(\|\cdot\|\) là một chuẩn đơn điệu nếu và chỉ nếu \(\|x\| = \||x|\|\) với mọi \(x \in \mathbb{R}^n\) Mỗi p-chuẩn trên \(\mathbb{R}^n\) đều có tính chất này.
Trong suốt Luận văn này, chuẩn của vectơ trên không gian R là đơn điệu Chuẩn ma trận của ma trận A ∈ R l×q được hiểu là chuẩn toán tử liên kết với các chuẩn vectơ đơn điệu trên R l và R q.
Nếu R n được trang bị bởi chuẩn ∥ ã ∥ 1 thỡ chuẩn toỏn tử của ma trận
|a ij | (giá trị lớn nhất của tổng các phần tử mỗi cột).
NếuR n được trang bị bởi chuẩn ∥ ã ∥ ∞ thỡ chuẩn toỏn tử của A được cho bởi
|a ij | (giá trị lớn nhất của tổng các phần tử mỗi dòng).
Nếu R n được trang bị bởi chuẩn ∥ ã ∥ 2 thỡ chuẩn toỏn tử của A được cho bởi ∥A∥ 2 = p ρ (A T A).
Với α, β ∈ R (β > α) ta kí hiệu C ([α, β], R n ), C ([α, β], R n×n ) lần lượt là không gian các hàm vectơ liên tục, không gian các hàm ma trận liên tục đi từ [α, β] vào R n và R n×n tương ứng.
Một số tính chất của ma trận Metzler
Ma trận A ∈ R n×n được gọi là ma trận Metzler (matrix Metzler) nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều không âm, tức là a ij ≥ 0, với mọi i, j ∈ n, i ̸= j.
Nếu A := (a_{ij}) ∈ R^{n×n} là một ma trận bất kỳ, ta có thể xác định ma trận Metzler tương ứng với A, được gọi là ma trận Metzler hóa của A.
M (A) := (ˆ a ij ) , trong đó ˆ a ij = |a ij | nếu i ̸= j, với mọi i, j ∈ n và ˆ a ii = a ii , với mọi i ∈ n.
(i) Phổ của ma trận A là σ(A) = {−1 + √
(ii) Bán kính phổ của A là ρ(A) = √
(iii) Hoành độ phổ của A là à(A) = −1.
(vi) Metzler hóa của ma trận A là M (A) =
(vii) Trị tuyệt đối của ma trận A là |A| =
Tính chất quan trọng sau đây của các ma trận Metzler được sử dụng trong Luận văn.
Bổ đề 1.2.1 ([2]) Cho M ∈ R n×n là ma trận Metzler Khi đó, những điều sau là tương tương:
(ii) Tồn tại p ∈ R n + , sao cho M p ≪ 0;
(iii) M là khả nghịch và M −1 ≤ 0;
(iv) Cho trước b ∈ R n , b ≫ 0, tồn tại x ∈ R n + , sao cho M x + b = 0;
(v) Với bất kì x ∈ R n + \{0}, vectơ dòng x T M có ít nhất một phần tử không âm.
Tính dương và ổn định nghiệm của hệ phương trình
Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các tính chất liên quan đến tính dương của hệ phương trình vi tích phân Volterra với các độ trễ vô hạn, được mô tả bởi phương trình $\dot{x}(t) = A_0 x(t) + \sum_{i \geq 1}$.
B(t − s)x(s)ds (2.1) trong đú ((A i ) i∈ N 0 , (h i ) i∈ N 0 , B (ã)) thỏa món
(A3) B(ã) ∈ L 1 ( R + , R nìn ), và (φ, x 0 ) ∈ L 1 ((−∞, 0); R n ) × R n là nghiệm của (2.1) có thể thỏa mãn điều kiện ban đầu không âm
Một hệ được gọi là hệ dương khi mọi điều kiện ban đầu không âm dẫn đến nghiệm không âm Cụ thể, một hệ thống động lực học với không gian trạng thái R^n là dương nếu mọi quỹ đạo bắt đầu từ trạng thái dương trong R^{n+} vẫn duy trì trong R^{n+} Hệ dương rất quan trọng trong việc mô hình hóa các hiện tượng động lực học với các biến không âm.
Lí thuyết toán học về hệ dương, dựa trên lí thuyết ma trận không âm của Perron và Frobenius, đã thu hút sự chú ý lớn từ các nhà nghiên cứu gần đây Các vấn đề liên quan đến hệ dương, như tính ổn định và ổn định vững, cùng với Định lí Perron – Frobenius, đang được khám phá sâu rộng Hệ dương có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực như Kinh tế, Dân số Động lực học, Sinh học, Hóa học, cũng như trong nghiên cứu về Lò phản ứng hạt nhân.
Khi B(ã) ≡ 0, (2.1) trở thành hệ sau ˙ x(t) = A 0 x(t) + X i≥1
A i x(t − h i ), t ≥ 0 (2.3) của hệ phương trình vi phân tuyến tính với vô số các chậm Đặc biệt, lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính với chậm rời rạc (tức là ∃m ∈ N , ∀i > m :
A i = 0) đã được nghiên cứu và với nhiều kết quả về tính dương và tính ổn định [18], tính ổn định vững [11, 19] và Định lí Perron – Frobenius [12]. Khi A i = 0, i ∈ N, (2.1) trở thành ˙ x(t) = A 0 x(t) +
Hệ vi - tích phân Volterra tuyến tính dạng tích chập được mô tả bởi phương trình B(t − s)x(s)ds, với t ≥ 0 Lớp hệ này đã được nghiên cứu sâu, và nhiều kết quả quan trọng về tính dương, Định lý Perron - Frobenius, cũng như tính ổn định và tính ổn định vững đã được công bố, xem [10].
Chúng tôi sẽ tóm tắt các kết quả từ [1] về lý thuyết hoàn chỉnh của các hệ dương (2.1), bao gồm định nghĩa về tính dương, các đặc điểm liên quan, Định lý Perron – Frobenius, cùng với các điều kiện cần thiết cho sự ổn định và ổn định vững.
Chương này trình bày các nội dung chính như sau: Mục 2.2 tổng hợp kết quả về lí thuyết nghiệm của (2.1) Mục 2.3 mô tả dữ liệu về tính dương hệ Mục 2.4 giới thiệu phiên bản tổng quát của định lí Perron-Frobenius, được hiểu như một kết quả trong Đại số tuyến tính, và được sử dụng để chứng minh kết quả ổn định trong các phần sau Mục 2.5 khảo sát khái niệm về sự ổn định, bao gồm các tiêu chuẩn phổ tường minh cho độ ổn định L 1 và tính ổn định tiệm cận hàm mũ của hệ vi - tích phân Volterra tuyến tính dương với các chậm (2.1) Cuối cùng, Mục 2.6 đề cập đến độ ổn định L 1 của (2.1), giới thiệu khái niệm bán kính ổn định phức, bán kính ổn định thực và bán kính ổn định dương của hệ dương, với công thức đơn giản để xác định bán kính ổn định.
Kết quả trong chương này được rút ra và làm rõ từ bài báo [1] Chúng tôi sẽ trình bày lại theo cách hiểu của mình và mở rộng các nội dung đã được trình bày một cách ngắn gọn.
Lí thuyết về nghiệm
Trong phần này, chúng ta sẽ ôn lại kiến thức về lí thuyết nghiệm của phương trình dạng (2.1) Theo Định nghĩa 2.2.1, cho cặp (φ, x₀) thuộc L₁((−∞, 0); Rⁿ) × Rⁿ, hàm x: R → Rⁿ được xem là nghiệm của bài toán giá trị đầu (2.1), (2.2) nếu và chỉ nếu
• x là liên tục tuyệt đối địa phương trên [0, ∞),
• x thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.2) trên (−∞, 0],
• x thỏa mãn (2.1) với hầu hết t ∈ [0, ∞).
Nghiệm này được kớ hiệu là x(ã; 0, φ, x 0 ).
Một nghiệm cơ bản cho (2.1) được đưa ra như sau.
Mệnh đề 2.2.1 ([17], Trang 301) Giả sử, với ((A i ) i∈ N 0 , (h i ) i∈ N 0 , B (ã)) thỏa mãn (A1) − (A3), bài toán giá trị ban đầu dạng ma trận
Khi đú, tồn tại một nghiệm X (ã) : R → R nìn của (2.5); nghiệm này là duy nhất và được gọi là nghiệm cơ bản.
Nhận xét 2.2.1 Trong [20, Trang 55] đã khẳng định rằng nghiệm cơ bản
X của (2.1) thỏa mãn tính chất nửa nhóm
Tuy nhiên, điều này nói chung là không đúng Một phản ví dụ có thể chỉ ra là phương trình sau đây ˙ x(t) = − 1
Z t 0 e −(t−s)/2 x(s)ds, ∀t ≥ 0 thỏa mãn (A1) − (A3) nhưng nghiệm cơ bản
2 không thỏa mãn tính chất nửa nhóm.
Do đó, X (t) không thỏa mãn tính chất nửa nhóm.
Mệnh đề sau đây đưa ra công thức biến thiên hằng số đối với (2.1).
Mệnh đề 2.2.2 ([17], Trang 300) Xột ((A i ) i∈ N 0 , (h i ) i∈ N 0 , B (ã)) thỏa món (A1) − (A3), và cộng thêm vế phải của (2.1) bởi g ∈ L 1 loc ( R + , R n ), ta có hệ phương trình vi - tích phân tuyến tính không thuần nhất ˙ x(t) = A 0 x(t) + X i≥1
Đối với bất kỳ giá trị ban đầu \((\phi, x_0) \in L^1 ((-\infty, 0); \mathbb{R}^n) \times \mathbb{R}^n\), tồn tại nghiệm duy nhất \(x(t; 0, \phi, x_0, g) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n\) của bài toán giá trị ban đầu (2.6), (2.2), và nghiệm này được biểu thị thông qua nghiệm cơ bản.
X của (2.1), thỏa mãn với mọi t ≥ 0, ta có x(t; 0, φ, x 0 , g) = X (t)x 0 + X i≥1
Trong phần tiếp theo, chúng tôi cải tiến công thức biến thiên hằng số của hệ phương trình (2.1) với thời gian ban đầu được dịch chuyển.
Nhận xột 2.2.2 Cho ((A i ) i∈ N 0 , (h i ) i∈ N 0 , B (ã)) thỏa món (A1) − (A3) và (σ, φ, x 0 ) ∈ R + × L 1 ((−∞, σ ); R n ) × R n Khi đó, bài toán giá trị ban đầu ˙ x(t) = A 0 x(t) + X i≥1
B(t − s)ds, t ≥ σ, (2.8) (x| (−∞,σ) , x(σ)) = (φ, x 0 ) cú nghiệm duy nhất x(ã; σ, φ, x 0 ) : R → R n và nghiệm này thỏa món, biểu thị thông qua nghiệm cơ bản X của (2.1), như sau x(t; σ, φ, x 0 ) = X (t − σ)x 0 + X i≥1
Để thuận tiện cho việc trình bày các nội dung tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một số ký hiệu Định nghĩa 2.2.2: Cho hàm F : R + → R l×q, phép biến đổi Laplace của F được xác định theo công thức sau.
Z ∞ 0 e −zt F (t)dt,trên tập S ⊂ C khi nó tồn tại, xem [21, Trang 42].
(ii) Với ((A i ) i∈ N 0 ), (h i ) i∈ N 0 , B(ã) thỏa món (A1) − (A3), hàm
A i e −h i z − B(z), ˆ được định nghĩa trên S ⊂ C tồn tại và được gọi là ma trận đặc trưng của (2.1) Trong trường hợp này, chúng ta cũng sử dụng
Nhận xột 2.2.3 Giả sử ((A i ) i∈ N 0 , (h i ) i∈ N 0 , B(ã)) thỏa món (A1) − (A3). Áp dụng Bất đẳng thức Gronwall cho (2.7) với trường hợp g ≡ 0, khi đó nghiệm cơ bản X của (2.1) thỏa mãn,
Do đó, áp dụng phép biến đổi Laplace cho phương trình đầu tiên trong (2.5), ta được
Tính dương của hệ phương trình tuyến tính dừng
Trong suốt thời gian qua, các bài toán về hệ dương đã và đang thu hút nhiều sự chú ý của các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước, xem [10, 12, 15,
Hệ phương trình (2.1) được coi là hệ dương nếu mọi giá trị ban đầu không âm, tức là \((\sigma, \phi, x_0) \in \mathbb{R}^+ \times L^1((-\infty, \sigma); \mathbb{R}^n_+) \times \mathbb{R}^n_+\), thì nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (2.8) cũng sẽ không âm.
Định lý chính của mục này cung cấp điều kiện cần và đủ để xác định tính dương của hệ phương trình (2.1) Cụ thể, định lý 2.3.1 khẳng định rằng cho các dãy ((A_i)_{i∈N_0}, (h_i)_{i∈N_0}, B(ã)) thỏa mãn các điều kiện (A1) - (A3), thì hệ phương trình (2.1) sẽ dương nếu và chỉ nếu.
Mệnh đề 2.3.1 Giả sử ((A i ) i∈ N 0 , (h i ) i∈ N 0 , B (ã)) thỏa món (A1) − (A3) và (2.1) là hệ dương Khi đó, với bất kì giá trị ban đầu không âm (φ, x 0 ) ∈
L 1 ((−∞, 0); R n + ) × R n + và với bất kỳ hàm không âm g : R → R n + thì nghiệm của bài toỏn giỏ trị đầu (2.6), (2.2) là khụng õm: x(ã; 0; φ, x 0 , g) : R → R n +
Nhận xét 2.3.1 Chú ý rằng tính dương của (2.1) suy ra tính đơn điệu, thật vậy nếu
(φ k , x k , g k ) ∈ L 1 ((−∞, 0); R n + ) × R n + × L 1 ( R + , R n ), k = 1, 2 thỏa mãn φ 1 ⩽ φ 2 , x 1 ⩽ x 2 , g 1 ⩽ g 2 thì x(t; 0, φ 1 , x 1 , g 1 ) ⩽ x(t; 0, φ 2 , x 2 , g 2 ), ∀t ≥ 0. Điều này được suy ra trực tiếp từ (2.7) và vì X (t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0,theo Mệnh đề (2.3.1).
Tiếp theo, chúng ta chứng minh Định lí 2.3.1 và Mệnh đề 2.3.1 Để chứng minh điều này, bổ đề là cần thiết Giả sử rằng ((A i ) i∈ N 0 , (h i ) i∈ N 0 , B (ã)) thỏa mãn (A1) − (A3).
Bổ đề 2.3.1 Cho σ ≥ 0 và xột cỏc hàm khụng õm B(ã) ∈ L 1 ([0, σ ], R nìn + ), g ∈ L 1 ([0, σ], R n + ), x 0 ∈ R n + và ma trận Metzler A 0 ∈ R n×n , bài toán giá trị ban đầu ˙ x(t) = A 0 x(t) +
Khi đú, nghiệm x(ã; 0, x 0 , g) của (2.10) khụng õm trờn [0, σ].
Chứng minh Áp dụng công thức biến thiên hằng số và viết
B(s − τ )ϕ(τ )dτ ds nghiệm x của (2.10) thỏa mãn x(t) = (T x)(t), ∀t ∈ [0, σ]. Đặt
Bằng phép quy nạp toán học đơn giản, ta được
Đối với mọi hàm số ϕ và ϕ̂ trong không gian C([0, σ], R^n), có một hằng số M k và một số nguyên k ∈ N sao cho bất đẳng thức ∥T k ϕ(t) ˆ − T k ϕ(t)∥ ⩽ M k t k k! ∥ ϕ ˆ − ϕ∥ ∞ luôn được thỏa mãn Điều này cho thấy tồn tại một số k ∗ ∈ N để ánh xạ T k ∗ là ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co, dãy (T lk ∗ ϕ) l∈ N sẽ hội tụ trong không gian C([0, σ], R^n) đến nghiệm duy nhất x(ã; 0, x 0 , g) của phương trình x = T x.
Chọn ϕ ≡ x 0 ∈ C([0, σ], R n + ) Vì A 0 là ma trận Metzler,αI n + A 0 không âm với α ≥ 0 Tức là e αt e A 0 t = e (αI n +A 0 )t ≥ 0 với mọi t ∈ [0, σ] Do đó, e A 0 t ≥ 0 với mọi t ∈ [0, σ] và tính không âm của g và B nên
Vì vậy, T lk ∗ ϕ ≥ 0 với mọi l ∈ N và x(t) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, σ] Điều phải chứng minh.
Bổ đề 2.3.2 Nếu A 0 ∈ R n×n là ma trận Metzler, A i ∈ R n×n + với mọi i ∈ N và B(ã) ≥ 0, khi đú nghiệm cơ bản của (2.1) là khụng õm: X (ã) ≥ 0.
Chứng minh Bài toán giá trị ban đầu của (2.5) có thể viết là
Vì G(t) = 0 với mọi t ∈ [0, h 1 ), nên theo Bổ đề (2.3.1), ta có X(t) ≥ 0 cho mọi t ∈ [0, h 1 ) Do đó, G(t) ≥ 0 cho mọi t ∈ [0, 2h 1 ) và áp dụng Bổ đề (2.3.1) cho X(t) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, 2h 1 ) Tương tự, ta cũng chứng minh được rằng X(t) ≥ 0 cho mọi t ∈ [0, kh 1 ) với mọi k ∈ N.
• "⇐ ": Suy ra từ Bổ đề 2.3.2 và (2.9).
• "⇒ ": Bước 1: Chúng tôi chỉ ra rằng A 0 là một ma trận Metzler.
Theo Nhận xét 2.2.3 và Bổ đề 2.3.2, với λ ∈ R, ta có sI n − X i≥0
Z ∞ 0 e −st X (t)dt ≥ 0, ∀s > λ và vỡ B(ã) ∈ L 1 ( R + , R nìn ) khi lim s→∞ B(s) = 0 ˆ , tồn tại p > λ để
= A 0 , nên với mọi i, j ∈ n, với i ̸= j, s→∞ lim e T i h sI n + X k≥1 s −(k−1) X i≥0
Vì vậy, A 0 là ma trận Metzler.
Bước 2: Giả sử rằng A l ≥ 0 với mọi l ∈ N Cho l ∈ N cố định và xét
Theo Mệnh đề 2.2.2, vì (2.1) là hệ dương, bài toán giá trị ban đầu (2.1),
(x| (−∞,0) , x(0)) = (ϕ, 0) cú nghiệm duy nhất x(ã) = x(ã; 0, ϕ, 0) với x(t) ≥
Xét hàm số \( x(t) = (x_1(t), \ldots, x_n(t))^T \) liên tục tuyệt đối trên khoảng \( (0, 1/k) \) với \( k \in \mathbb{N} \), \( x(t) \geq 0 \), và \( x(0^+) = 0 \) Hàm số này thỏa mãn điều kiện (2.1) hầu khắp nơi trên \( (0, 1/k) \) Áp dụng công thức Newton - Leibnitz, ta chọn \( t_k \in (0, 1/k) \) sao cho \( \dot{x}_i(t_k) \geq 0 \) và \( x(t) \) thỏa mãn (2.1) tại \( t_k \) Do đó, khi \( k \to \infty \), ta có \( \lim_{k \to \infty} \dot{x}_i(t_k) = e^T_i A l e_j = c_{ij} \geq 0 \) Vì \( i, j \in n \) tùy ý, nên \( A_l \in \mathbb{R}^{n \times n}_+ \).
Cố định i, j ∈ n Chọn ζ ∈ L 1 ((−∞, h 1 ), R + ) với ζ| (−∞,0] = 0 và đặt φ : (−∞, h 1 ) → R n + , t 7→ ζ (t)e j Bởi tớnh dương, nghiệm x(ã; h 1 , φ, 0) của bài toỏn giỏ trị ban đầu ˙ x(t) = A 0 x(t) +
Do đó, áp dụng công thức Newton - Leibnitz với mọi k ∈ N, tồn tại t k ∈ (h 1 , h 1 + 1/k) sao choe T i x(t ˙ k ) ≥ 0và phương trình vi phân (2.12) thỏa mãn tại t = t k Điều này tức là
Ngược lại, giả sử rằng
Chúng ta có thể chỉ ra rằng ζ thỏa ζ | [0,h 1 ] = χ N , trong đó χ N biểu thị hàm chỉ của N Khi đó,
Tuy nhiên, mess(N ) > 0, điều này mâu thuẫn −e T i B(t)e j > 0, t ∈ N.
Do vậy, B(t) ≥ 0 với hầu khắp t ∈ [0, h 1 ].
Chúng ta có thể khẳng định rằng B(t) ≥ 0 cho hầu hết t thuộc khoảng [h1, 2h1] Tương tự, B(t) cũng thỏa mãn điều kiện B(t) ≥ 0 cho hầu hết t trong khoảng [kh1, (k + 1)h1] với k thuộc tập số tự nhiên N Điều này cần được chứng minh.
Mệnh đề 2.3.1 là hệ quả của Bổ đề 2.3.2 kết hợp với (2.7) và Định lí2.3.1.
Định lí Perron - Frobenius
Định lý kiểu Perron - Frobenius là công cụ quan trọng trong phân tích ổn định của các hệ dương Gần đây, nhiều dạng mở rộng của định lý cổ điển đã được phát triển, như được đề cập trong các tài liệu [10, 12, 24, 25] Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một định lý Perron-Frobenius dành cho các hệ dương (2.1).
Chúng tôi sẽ sử dụng Định lý Perron - Frobenius để chứng minh tính ổn định và ổn định vững trong các Mục 2.5 và 2.6, trong khi các giả định (A1) - (A3) sẽ được giảm nhẹ trong phần này Định lý 2.4.1 nêu rõ rằng nếu ((A_i)_{i \in N_0}, (h_i)_{i \in N_0}, B(\hat{a})) thỏa mãn
(A1) ∀i ∈ N : A i ∈ R n×n + và A 0 ∈ R n×n là ma trận Metzler;
(A3) B(ã) : R + → R nìn là khả tớch Lebesgue và với t ∈ R + , B(t) ∈ R nìn + ;
Khi đó, sử dụng kí hiệu được giới thiệu trong Định nghĩa (2.2.2) à[A 0 , (A i ) i∈ N , B(ã)] := sup
Ngoài ra, nếu −∞ < à 0 := à[A 0 , (A i ) i∈ N , B(ã)], chỳng ta cú, với β < α < ∞,
(iii) α > à 0 ⇔ H(α) −1 ≥ 0. Định lí 2.4.1 là sự tổng quát của định lí Perron - Frobenius về các dạng hệ dương sau
• hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm, được chứng minh trong
• hệ phương trình vi - tích phân Volterra tuyến tính dạng tích chập (2.4), được chứng minh trong [10];
• hệ phương trình x(t) = ˙ A 0 x(t), được chứng minh trong [22].
Mệnh đề 2.4.1 Đối với ma trận Metzler A 0 ∈ R n×n và A i = 0 với mọi i ∈ N và B ≡ 0 trong (2.1), hoành độ phổ thỏa mãn
Tiếp theo, ta chứng minh Định lí 2.4.1, trước tiên ta cần bổ đề kĩ thuật sau đây.
Bổ đề 2.4.1 Giả sử ((A i ) i∈ N , (h i ) i∈ N , B(ã)) thỏa món (A1) − (A3) và R được định nghĩa (xem Định nghĩa 2.2.2), với λ ∈ R trên Cλ Khi đó,
Giả sử ngược lại à 0 = ∞ Khi đú,
Z ∞ 0 e −tz k ∥B(t)∥dt < ∞ và vì Bổ đề 2.4.1
∞ ⩽ lim k→∞ à(A 0 + R(k)) = à(A 0 ) < ∞, điều này mâu thuẫn với điều giả sử.
Nếu Rz = à 0, thỡ Bổ đề 2.4.1(iii) kộo theo (2.15).
Nếu Rz < à 0 , thỡ theo định nghĩa của à 0
∃(z k ) k∈ N : β < Rz k < à 0 , det H(z k ) = 0, lim k→∞Rz k = à 0 và một lần nữa theo Bổ đề 2.4.1(iii) chúng ta kết luận à 0 = lim k→∞Rz k ⩽ à(A 0 +R(à 0 )). Điều này chứng minh (2.15).
[β, ∞) nếu P i≥0 e −h i β ∥A i ∥ + R 0 ∞ e −βt ∥dt < ∞,(β, ∞) trường hợp khác.
Chúng ta thấy hàm liên tục f : J → R , θ 7→ θ − à(A 0 + R(θ)), thỏa món f (à 0 ) = 0.
Do (2.15), f (à 0 ) ⩽ 0, giả sử ngược lại rằng f (à 0 ) < 0 Chỳng ta cú thể chọn θ 0 > à 0 : f (θ 0 ) = 0 (2.16)
Do đú, θ 0 = à(A 0 + R(θ 0 )) Vỡ A 0 + R(θ 0 ) là ma trận Metzler, chỳng ta ỏp dụng Mệnh đề 2.4.1(i) ta kết luận rằng det H(θ 0 ) = 0, θ 0 > à 0, điều này mõu thuẫn với định nghĩa của à 0
• Bước 4: Bây giờ ta trình bày (i) − (iii).
Từ Bước 3, ta có công thức \$à 0 = à(A 0 + R(à 0))\$ và áp dụng Mệnh đề 2.4.1(i) Theo Mệnh đề 2.4.1(v), với điều kiện \$β < θ_1 \leq θ_2\$, ta kết luận rằng \$à(A 0 + R(θ_2)) \leq à(A 0 + R(θ_1))\$ Hơn nữa, hàm \$θ \mapsto f(θ)\$ được xác định ở Bước 3 là hàm tăng Với \$f(à 0) = 0\$, các kết luận (ii) và (iii) được suy ra từ Mệnh đề 2.4.1(iii) và (iv).
Tính ổn định của hệ tuyến tính dương
Trong mục này, chúng ta nghiên cứu một số khái niệm ổn định khác nhau đối với lớp hệ phương trình vi - tích phân tuyến tính, xem [26, Trang 3],
[27, 28]. Định nghĩa 2.5.1 Xét hệ (2.1) thỏa mãn (A1) − (A3) Khi đó,
(i) Hệ (2.1) (hay chính xác hơn, nghiệm không của nó) được gọi làổn định (stable) khi và chỉ khi ∀ε > 0, ∀σ ≥ 0, ∃δ > 0, ∀(φ, x 0 ) ∈ L 1 ((−∞, σ);
(ii) Hệ (2.1) được gọi là ổn định đều khi và chỉ khi ổn định và δ > 0 có thể chọn một cách độc lập với σ.
(iii) Hệ (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi hệ (2.1) là ổn định và ∀(σ, φ, x 0 ) ∈ R + × L 1 ((−∞, σ); R n ) × R n : t→∞ lim x(t; σ, φ, x 0 ) = 0.
(iv) Hệ (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều khi và chỉ khi hệ (2.1) là ổn định tiệm cận và ∃δ > 0, ∀ε > 0, ∃T (ε) > 0, ∀(σ, φ, x 0 ) ∈ R + ×
(v) Hệ (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận mũ khi và chỉ khi ∃M, λ >
(vi) Hệ (2.1) được gọi là ổn định L 1 , p ∈ [1, ∞] khi và chỉ khi X ∈
L p ( R + ; R n×n ), trong đó X là nghiệm cơ bản của (2.1).
Mệnh đề này trình bày các khái niệm ổn định liên quan, cụ thể là số hạng đặc trưng của nghiệm cơ bản X (ã) và ma trận đặc trưng H(ã), theo Định nghĩa (2.4.1).
Mệnh đề 2.5.1 Giả sử hệ (2.1) thỏa mãn (A1) − (A3) Khi đó, các phát biểu sau đây:
(i) (2.1) là ổn định tiệm cận;
(iii) (2.1) là ổn định L p với mọi p ∈ [1, ∞];
(iv) ∀z ∈ C 0 : det H(z) ̸= 0, trong đó H là ma trận đặc trưng của (2.1); (v) (2.1) là ổn định tiệm cận đều;
(vi) (2.1) ∃M, λ > 0∀t ≥ 0 : ∥X (t)∥ ⩽ M e −λt , trong đó X nghiệm đặc trưng của (2.1);
(vii) (2.1) là ổn định tiệm cận mũ; có mối quan hệ như sau
(v) ⇐ (vii) ⇒ (vi) ⇒ (iv) ⇔ (iii) ⇔ (ii) ⇒ (i).
Theo định nghĩa, ta có thể thấy rằng (v) ⇐ (vii) ⇒ (vi) và (vi) ⇒ (iii) Hơn nữa, (vi) ⇔ (iii) ⇔ (ii) đã được chứng minh trước đó trong tài liệu [17, Trang 303] Điều này chứng tỏ rằng (ii) ⇒ (i) Do đó, tích chập của một hàm cũng được xác nhận.
Với một hàm \$L^p\$ thuộc \$L^p\$ (xem [29, Trang 172]), điều này dẫn đến kết luận rằng \$\dot{X} \in L^1(\mathbb{R}^+; \mathbb{R}^{n \times +})\$ và theo [30, Bổ đề 2.1.7], ta có \$\lim_{t \to \infty} X(t) = 0\$ Cuối cùng, một ứng dụng của công thức biến thiên hằng số (2.9) cho ta kết quả (i).
Nhận xét 2.5.1 Đối với hệ phương trình vi - tích phân tuyến tính (2.4) khụng cú chậm và B(ã) ∈ L 1 ( R + , R nìn ), Miller trong [31] chỉ ra rằng
Đối với (2.1), ta có thể chỉ ra rằng (iv) tương đương với (v), trong đó (iv) chỉ ra rằng (2.1) là ổn định đều và ổn định tiệm cận Ngược lại, (v) có nghĩa là det H(z) ̸= 0 với z ∈ C 0, và đặc biệt, (v) tức là (iv) với điều kiện sup i∈ N h i < ∞ Tuy nhiên, nhìn chung, đây là một vấn đề mở.
(iv) ⇒ (v) hoặc (v) ⇒ (iv) là đúng.
Cuối cùng, Murakami [28] đã chỉ ra rằng ngay cả đối với (2.4)
Tiếp theo, chúng tôi đưa ra điều kiện đủ để hầu hết các điều kiện trong Mệnh đề 2.5.1 là tương đương. Định lí 2.5.1 Xét hệ (2.1)
Z ∞ 0 e αt ∥B(t)∥dt < ∞ (2.17) khi đó các phát biểu (ii), (iii), (iv), (vi) và (vii) trong Mệnh đề 2.5.1 tương đương.
Nếu dãy số \((A_i)_{i \in \mathbb{N}_0}\) và \(B(\hat{a})\) thỏa mãn các điều kiện (A1) - (A3), với \(A_i \in \mathbb{R}\) cho mọi \(i \in \mathbb{N}\), thì \(B(\hat{a})\) và điều kiện (vi) trong Mệnh đề 2.5.1 là đúng, và phương trình (2.17) cũng thỏa mãn Định lý 2.5.1 mở rộng các kết quả từ [28, Định lý 1 và 2] và [32, Định lý 3.1 và 3.2], trong đó hệ phương trình vi - tích phân chậm (2.4) được xem như hệ phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra chậm (2.1) Việc chứng minh Định lý 2.6.1 (i) khác với [28], trong khi chứng minh Định lý 2.5.1 (ii) dựa trên các ý tưởng từ [32, Định lý 3.2].
•(i) Theo Mệnh đề 2.3.1, nú chỉ đủ chỉ ra rằng (iv) ⇒ (vii) Gọi X (ã) và H(ã) lần lượt là nghiệm cơ bản và ma trận đặc trưng của (2.1) Ta cú
Từ (2.17), ta có det H(z) = 0 với z ∈ C −α
Vỡ det H(ã) giải tớch trờn C−α, cú nhiều nhất một số hữu hạn cỏc số không trong
D := {z ∈ C |α/2 ⩽Rz ⩽ 0, |ℑz| ⩽ T 0 + 1} và vì det H(z) ̸= 0 với mọi z ∈ C 0 c 0 := sup{ℜz|z ∈ C , det H(z) = 0} < 0.
Chọn ε ∈ (0, min{−c 0 , α}) Khi đó, dễ dàng kiểm tra rằng
Y (ã) = e αã X (ã), H ε (ã) = H(ã − ε) tương ứng, lần lượt là nghiệm cơ bản và ma trận đặc trưng của ˙ y(t) = (A 0 + εI n )y(t) + X i≥1 e εh i A i y(t − h i ) (2.19)
Vì det H(z) ̸= 0 với mọi z ∈ C −α nên det H ε (z) ̸= 0 với mọi z ∈ C 0 Áp dụng Mệnh đề 2.5.1 cho (2.19), chỳng ta cú thể kết luận rằngY (ã) = e αã X (ã) ∈ L ∞ ( R + , R nìn ) Điều này kộo theo (2.18) Ta cú
Khi đó, tính ổn định tiệm cận mũ của (2.1) theo sau từ (2.18) và công thức biến thiên hằng số (2.9).
Từ (2.18), ta có, với mọi t ≥ σ ≥ 0,
Kết hợp hai dãy bất đẳng thức trên cho ra (2.20) Điều này chứng minh khẳng định (i).
•(ii) : Sử giả rằng((A i ) i∈ N 0 , (h i ) i∈ N , B(ã)) thỏa món (A1) − (A3), A i ∈ R nìn + với mọi i ∈ N , B (ã) ≥ 0 và
Chọn α ∈ (0, λ) Khi đú, (2.21) suy ra rằng X ˆ (ã) là giải tớch trờn
C−α Rõ ràng, H(z) ˆ X (z) = I n , z ∈ C 0 Do đó, det ˆ X (0) ̸= 0 Vì hàm x 7→ det ˆ X (z) liên tục tại z = 0 nên tồn tại α 0 ∈ (0, α) sao cho det ˆ X (z) ̸= 0 với mọi z ∈ B α 0 (0) Do đú, X ˆ (ã) −1 tồn tại trờn B α 0 (0).
Vỡ cỏc phần tử của X ˆ (ã) giải tớch trờn B α 0 (0), nờn cỏc phần tử của
X ˆ (ã) −1 cũng giải tớch Vỡ vậy,
Vì A 1 , A 3 đúng theo các tính chất của phép biến đổi Laplace và dãy các hàm giải tích [33, Trang 230], ta có
Không mất tính tổng quát, ta có thể xét chuẩn sau có dạng:
• Bước 1: Chúng tôi trình bày theo cách quy nạp
M := ∥R ′ (0)∥. m = 1 :Tìm mâu thuẫn, giả sử rằng một trong các điều sau đây là đúng
Chọn δ 0 > 0 đủ nhỏ sao cho
Cỏc tớnh chất A i = (A(i) p,q ) ∈ R nìn + , ∀i ∈ Nvà B(ã) ≥ 0,với h > 0đủ nhỏ
Nếu bất đẳng thức đầu tiên trong (2.24) đúng, thì áp dụng bất đẳng thức đầu tiên trong (2.25) và (2.26) cùng với tính liên tục của chuẩn sẽ dẫn đến một mâu thuẫn.
∥B (t)∥(t − 1)dt > M.Nếu bất đẳng thức thứ hai trong (2.25) là hợp lệ, thì bằng cách gọi bất đẳng thức thức hai trong (2.25), (2.26), ta đi đến mâu thuẫn
Nếu (2.23) đúng với mọi m, thì nó được trình bày tương tự trong phần trước m = 1 rằng (2.2) đỳng với m + 1 bằng cỏch thay thế B(t), A i , R(ã) bởi t m B(t), h m i A i , R m (ã) tương tự Điều này chứng minh Bước 1.
•Bước 2: Chúng tôi trình bày (2.17) bởi (2.22) và (2.23), với bất kì m ∈ N
Vỡ R(ã) là giải tớch trờn B α 0 (0), chuỗi Maclaurin
R (k) (0) k! s k với α 1 > 0, là hội tụ tuyệt đối trên B α 1 (0) Do đó,
|R (k) pq (0)| k! α k 1 < ∞ và bởi tớnh khụng õm của B(ã), A i với mọi i ∈ N, và Bổ đề Fatou
Từ Định lí 2.5.1 và Mệnh đề 2.5.1 ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.5.1 Nếu (A(i) i∈ N 0 , (h i ) i N 0 , B(ã)) thỏa món (A1) − (A3), A i ∈
R nìn + với mọi i ∈ N , B(ã) ≥ 0 và (iv) trong Mệnh đề 2.5.1 được thỏa món, thì các điều kiện sau đây là tương đương:
(i) (2.1) ổn định tiệm cận mũ;
(ii) ∃M, λ > 0, ∀ ≥ 0 : ∥X (t)∥ ⩽ M e −λt , trong đó X là nghiệm cơ bản của (2.1);
Tiếp theo, chúng tôi trình một số điều kiện cho tính ổn định của hệ dương.
Từ tính dương, chúng ta có các tiêu chuẩn rõ ràng cho tính ổn định L p và tính ổn định của hệ dương (2.1), liên quan đến hoành độ phổ Định lý 2.5.2 chỉ ra rằng hệ dương (2.1) thỏa mãn các điều kiện (A1) − (A3) thì (2.1) là ổn định L p với mọi p ∈ [1, ∞] nếu và chỉ nếu A 0 + X i≥1.
(ii) (2.1) là ổn định tiệm cận mũ nếu và chỉ nếu, (2.17) được thỏa mãn, với α 0 > 0 và à A 0 + X i≥1 e α 0 h i A i +
Chứng minh •(i) Theo các khẳng định tương đương ‘(i) ⇔ (iii) ⇔ (iv)’ trong Mệnh đề 2.5.1 và sử dụng kí hiệu được giới thiệu trong Định nghĩa
2.2.2 đủ để chỉ ra rằng:
Do Bổ đề 2.4.1, ta có
Hàm liên tục f : [0; ∞) → R, với θ 7→ θ − à(A 0 + R(θ)), thỏa mãn điều kiện f (à 0 ) ⩽ 0 và lim θ→∞ f (θ) = ∞ Từ đó, chúng ta có thể chọn θ ≥ 0 sao cho f (θ) = 0, tương đương với θ = à(A 0 + R(θ)) Theo Mệnh đề 2.4.1 (i), điều này dẫn đến det(θI n − A 0 − R(θ)) = 0, tạo ra mâu thuẫn Do đó, khẳng định (i) được chứng minh.
•(ii) “⇐”: Điều này suy ra trực tiếp từ (i) và Định lí 2.5.1 (i).
Vì (2.1) là hệ dương, ta có A i ∈ R n×n + với mọi i ∈ N và B(ã) ≥ 0 Khẳng định (vi) trong Mệnh đề 2.5.1 cho thấy (2.1) ổn định mũ Từ Định lý 2.5.1(ii), ta suy ra (2.17) Do (2.1) ổn định tiệm cận mũ, nên (i) dẫn đến A 0 + X i≥1.
Vì g(0) < 0 nên tồn tại α 0 ∈ [0, α], sao cho g(α 0 ) < 0 Thật vậy, à A 0 + X i≥1 e α 0 h i s A i +
Z ∞ 0 e α 0 t ∥B(t)∥dt < ∞. Điều này được chứng minh.
Sau đây là hệ quả được suy ra từ Định lí 2.5.1 và 2.5.2.
Hệ quả 2.5.2 Cho hệ dương (2.1) thỏa mãn (A2) và (2.17), các khẳng định sau đây là tương đương:
(ii) (2.1) là ổn định L 1 , với mọi p ∈ [1; ∞];
(iii) ∃M, λ > 0∀t ≥ 0 : ∥X (t)∥ ⩽ M e −λt , trong đó X là nghiệm cơ bản của (2.1);
(iv) (2.1) là ổn định tiệm cận mũ;
Trong ví dụ sau chúng tôi chỉ ra rằng ngay cả đối với phương trình dương, ổn định tiệm cận mũ và ổn địnhL 1 (với ∀p ≥ 1) của (2.1) không trùng nhau.
Ví dụ 2.5.1 Xét một phương trình vi tích phân Volterra tuyến tính có chậm được cho bởi: ˙ x(t) = −2x(t) +
Z t 0 b(t − τ )x(τ )dτ, τ > 0 (2.27) đối với tham số h i ≥ 0 và a i ∈ R , i ∈ N và b(ã) : R + → R được xỏc định dưới đây: a) Với a i := 1/2 i+1 , i ∈ N và b(t) := 1
(t + 1) 2 , t ≥ 0 chúng ta có −2 + P ∞ i=1 a i + R 0 ∞ b(s)ds = −1/2 < 0 Theo Định lí 2.5.2(i) và hệ (2.27) là ổn định L p với mọi p ≥ 1 Tuy nhiên, do
Z ∞ 0 e αt (t + 1) 2 dt = ∞ với bất kìα > 0, (2.17) không còn đúng Do đó, (2.27) không là ổn định tiệm cận mũ, bởi Định lí 2.5.2(ii).
(b) Với m ∈ N a i := 1/2 i+1 i = 1, 2, , m, a i = 0 i > m và b(t) := e −t t ≥ 0, cả hai điều kiện của Định lí 2.5.2(ii) đúng Do đó, (2.27) ổn định tiệm cận mũ.
Nhận xét 2.5.2 Xét phương trình vi - tích phân tuyến tính có dạng: ˙ x(t) =
−h dη(θ)x(t + θ), t ≥ 0 (2.28) trong đó η : [−h, 0] → R n×n là hàm có biến phân bị chặn Trong tài liệu
[34], các tác giả đã chứng minh rằng (2.28) ổn định mũ nếu và chỉ nếu det sI n −
Ví dụ 2.5.1 chỉ ra rằng phương trình dương, ổn định tiệm cận mũ và ổn định L p (với p ≥ 1) của (2.1) không trùng nhau Theo Mệnh đề 2.5.1 ((iii) ⇔ (iv)), điều này có nghĩa là điều kiện det sI n − A 0 − X i≥ e −h i s − là cần thiết.
Tích phân từ 0 đến vô cực của hàm \( e^{-st} B(t) \) không bằng 0 với mọi \( s \in \mathbb{C} \) không đảm bảo rằng phương trình (2.1) ổn định tiệm cận Sự khác biệt này là cần thiết giữa ổn định mũ của phương trình (2.1) và ổn định mũ của hệ phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính (2.28).
Ổn định vững, bán kính ổn định
Năm 1986, Hinrichsen và Prichard đã giới thiệu khái niệm bán kính ổn định, xác định số r > 0 lớn nhất để đảm bảo tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân tuyến tính x(t) = ˙ Ax(t) Họ nghiên cứu các hệ có dạng ˙ x(t) = (A + D∆E)x(t) và chỉ ra rằng chúng sẽ ổn định tiệm cận mũ khi ∥∆∥ < r, trong đó ∆ là ma trận nhiễu chưa biết, D và E là các ma trận xác định cấu trúc của nhiễu Bán kính ổn định r đã được đặc trưng và công thức tính toán của nó cũng đã được đưa ra, cùng với nhiều mở rộng khác.
Khái niệm bán kính ổn định cho các hệ dương x(t) = ˙ Ax(t) đã được phân tích trong tài liệu [21, Chương 5.3] Gần đây, các kết quả quan trọng từ [22] đã được mở rộng cho nhiều loại hệ dương khác nhau, bao gồm hệ vi phân tuyến tính dương có chậm [36, 19], hệ dương rời rạc có chậm [11, 23], và hệ hàm vi phân tuyến tính dương [37].
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định vững của hệ dương, ổn định L 1 (2.1), thỏa mãn (A1) − (A3) Giả sử rằng hệ (2.1) chịu nhiễu có dạng sau ˙ x(t) = (A 0 + D 0 ∆ 0 E)x(t) + X i≥1
(B(s) + Dδ(s)E)x(t − s)ds, trong đó ma trận (D i ) i∈ N 0 , D, E xác định cấu trúc nhiễu và thuộc lớp
∥D i ∥ < ∞ và lớp chịu nhiễu là
, được trang bị bởi chuẩn có dạng
Mục tiêu của chúng ta là xác địnhr > 0cực đại sao cho với bất kì(∆, δ) ∈
P K thì hệ chịu nhiễu (2.29) vẫn duy trì tính ổn định L 1 khi ∥(∆, δ)∥ < r.
Cụ thể hơn, chúng ta nghiên cứu bán kính ổn định phức, bán kính ổn định thực và bán kính ổn định dương như sau r K := inf
, K = R , C , R + , tương ứng Dễ thấy rằng,
Cả ba loại bán kính ổn định đều bằng nhau, và chúng tôi sẽ giới thiệu một công thức để tính toán bán kính ổn định này Định lý 2.6.1 nêu rằng nếu ((A_i)_{i \in N_0}, (h_i)_{i \in N_0}, B(\hat{a})) thỏa mãn các điều kiện (A1) - (A3) và (2.1) là hệ dương và ổn định L_1, thì bất kỳ cấu trúc nhiễu ((D_i)_{i \in N_0}, D, E) đều có thể được xem xét.
S R + , bỏn kớnh ổn định thỏa món với ma trận đặc trưng H(ã) được xỏc định trong Định nghĩa 2.2.2 r C = r R = r R + = 1 max{sup i∈ N 0 ∥EH(0) −1 D i ∥, ∥EH(0) −1 D∥} (2.31)
Ta minh họa Định lí 2.6.1 bởi ví dụ sau đây:
Ví dụ 2.6.1 Xét hệ phương trình vi - tích phân Volterra có chậm sau ˙ x(t) = A 0 x(t) + X i≥1
Vì A 0 là ma trận Metzler, A i , B(t) là các ma trận không âm, nên theo Định lí 2.3.1, ta có (2.32) là hệ dương.
Theo Định lí 2.5.2, (2.32) là ổn định L 1
, i ∈ N , t ≥ 0, và a 1 , a 2 ∈ R , δ 1 , δ 2 ∈ L 1 ( R + , R ) là các tham số chưa biết Đặt
D = (0, 1) T , δ = (δ 1 , δ 2 ), E = I 2 và A i∆ = A i + D i ∆ i E, i ∈ N 0 và B δ (ã) = B(ã) + Dδ(ã)E Khi đú, (2.33) là hệ chịu nhiễu có dạng (2.29) Kiểm tra Định lí 2.6.1, ta có
Giả sử R 2 được trang bị bởi chuẩn Euclide, ta có:
Từ Định lí 2.6.1 cho thấy bán kính ổn định của (2.32) bằng 3 √
5/5 Vì thế, hệ chịu nhiễu (2.33) vẫn duy trì được tính ổn định L 1 nếu
5 Tiếp theo, chúng ta chứng minh Định lí 2.6.1 và một số bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.6.1 Giả sử hệ (2.1) thỏa mãn (A1) − (A3) dương và ổn định L 1 Khi đó,
Chứng minh •(i) Từ Định lí 2.5.2, ta có à A 0 + X i≥1
B(t)dt = à(A 0 + R(0)) < 0 và từ Bổ đề 2.4.1(iii), ta có, à(A 0 + R(z)) ⩽ à(A 0 + R(0)) < 0, ∀z ∈ C 0
Vì A 0 là ma trận Metzler, nên ta có thể chọn α 0 > 0 sao cho (A 0 + α 0 I n ) ≥ 0 và theo Bổ đề 2.4.1 Ta có điều sau đây: e α 0 θ |e θ(A 0 +R(z)) | = |e α 0 θ e θ(A 0 +R(z)) |
Z ∞ 0 e θ(A 0 +R(0)) dθ = H(0) −1 , ∀z ∈ C 0 và do đó khẳng định (i) được chứng minh.
•(ii) Với U và V không âm thì
Bởi tính đơn điệu của chuẩn vectơ và định nghĩa của chuẩn ma trận, ta có
Do đó, khẳng định (ii) được chứng minh.
Bổ đề 2.6.2 Giả sử hệ (2.1)thỏa mãn (A1) − (A3) và là hệ dương, ổn định
L 1 Cho ((D i ) i∈ N 0 , D, E) ∈ S R + và giả sử rằng, với H(ã) được định nghĩa trong Định nghĩa 2.2.2, ta có max{sup i∈ N 0
Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại nhiễu không âm (∆, δ) ∈ P R + sao cho hệ chịu nhiễu (2.29) là không ổn định L 1 và
Chứng minh Vì (2.1) là hệ dương và ổn địnhL 1 , theo Bổ đề 2.6.1(ii), H(0) −1 ≥
Ta sẽ xét hai trường hợp
•Trường hợp 1: sup i∈ N 0 ∥EH(0) −1 D i ∥ > ∥EH(0) −1 D∥.
Cho ε > 0 Vì sup i∈ N 0 ∥EH(0) −1 D i ∥, tồn tại k ∈ N 0 sao cho
Chọn u ∈ R l + k với ∥u∥ = 1 và ∥EH(0) − 1D k ∥ = ∥EH(0) −1 D k u∥.
Vì EH(0) −1 D k u ≥ 0 tồn tại, theo Định lí Haln - Banach cho các hàm tuyến tính dương (2.35), một hàm tuyến tính dương y ∗ ∈ ( C q ) ∗ của chuẩn
0, i ̸= k, điều này kéo theo (∆, δ) ∈ P R + và
Khi đó, từ Mệnh đề 2.5.1, hệ chịu nhiễu (2.29) là không ổn định L 1
•Trường hợp 2:max{sup i∈ N 0 ∥EH(0) −1 D i ∥, ∥EH(0) −1 D∥} ⩽ ∥EH(0) −1 D∥. Bằng cách lập luận tương tự như Trường hợp 1, tồn tại ma trận không âm
Với δ D (ã) := (t → e −t ∆ D ) ∈ L 1 ( R + , R lìq + ) chúng ta có
(∆, δ) := ((0) i∈ N 0 , δ D ) ∈ P R + thỏa mãn (2.36) Như vậy, Mệnh đề 2.5.1 cho thấy rằng hệ (2.29) là không ổn định L 1 Điều này hoàn thành chứng minh.
Tiếp theo, ta chứng minh Định lí 2.6.1.
Giả sử rằng r C < ∞ Cho (∆, δ) ∈ P C là một nhiễu phức gây mất ổn định Theo Mệnh đề 2.5.1, tồn tại s ∈ C 0 và x ∈ C n \{0}, sao cho
# x = sx. Điều này tương đương,
Vì (2.1) là ổn định L 1 , tức là
Theo Bổ đề 2.6.1, H(s) −1 ≤ H(0) −1 , do đó
∥δ(t)∥dt ∥Ex∥ ≥ ∥Ex∥. Suy ra max{sup i∈ N 0
Ta kết hợp max{sup i∈ N 0 ∥EH(0) −1 D i ∥, ∥EH(0) −1 D∥} > 0 và
Vì bất đẳng đúng với bất kì nhiễu phức, nên chúng ta kết luận rằng r C ≥ 1 max{sup i∈ N 0 ∥EH(0) −1 D i ∥, ∥EH(0) −1 D∥} Theo (2.30), (2.31), ta cũng chứng minh được r R + ⩽ 1 max{sup i∈ N 0 ∥EH(0) −1 D i ∥, ∥EH(0) −1 D∥} (2.37)
Vìmax{sup i∈ N 0 ∥EH(0) −1 D i ∥, ∥EH(0) −1 D ∥} > 0, nên từ Bổ đề 2.6.2, ta có r R + ⩽ 1 max{sup i∈ N 0 ∥EH(0) −1 D i ∥, ∥EH(0) −1 D∥} + ε, ∀ε > 0.
Do đó, (2.37) thỏa mãn Vậy, những lập luận ở trên cho thấy rằng r C = ∞ ⇔ max{sup i∈ N 0
∥EH(0) −1 D i ∥, ∥EH(0) −1 D∥} = 0. Điều này cho thấy (2.31) là đúng Định lí được chứng minh.
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu lại hệ (2.1) dương, ổn định L 1 , thỏa mãn (A1) − (A3) Không giống với dạng nhiễu ở Mục 2.6, hệ (2.1) chịu nhiễu afine có dạng sau: ˙ x = A 0 +
Trong đú, dóy ma trận (A ij ) (i,j)∈ N , (B j (ã)) j∈N xỏc định cấu trỳc nhiễu và thuộc lớp
∥A ij ∥ < ∞ o và lớp nhiễu là
S K a := n (α, β) = (α (i,j)∈ N 0 ×N , β j∈N ) ∈ ( K (n×n) ) N 0 ×N × K N ∥(α, β)∥ < ∞ o , với chuẩn của (α, β) được xác định như sau
|α ij |, max j∈N |β j | o với K = C , R , R + , tương ứng.
Tương tự như Mục 2.6.1, chúng tôi nghiên cứu bán kính ổn định phức, bán kính ổn định thực và bán kính ổn định dương như sau r a K := inf
Khi đó, bán kính này được nhắc lại rằng
Chúng tôi sẽ chứng minh sự bằng nhau của ba loại bán kính ổn định và cung cấp một công thức tường minh để tính toán chúng Theo Định lý 2.6.2, nếu hệ (2.1) thỏa mãn các điều kiện (A1) - (A3) và là hệ dương, ổn định L1, thì với mọi cấu trúc nhiễu thuộc tập hợp SR a +, bán kính ổn định sẽ thỏa mãn điều kiện rCa = rRa = r a R + = 1 H(ã) được xác định theo Định nghĩa 2.2.2, và công thức liên quan đến H(0) và các thành phần của hệ thống sẽ được trình bày chi tiết.
(2.39) Chứng minh Đầu tiên chúng ta cần chứng minh r a R + = 1 à(F ) , trong đú F := H(0) −1 X
Cho (α, β) = (α (i,j)∈ N 0 ×N ) ∈ S R a + là là nhiễu để cho (2.38) không ổn định
L 1 Theo Định lí 2.6.1, tồn tại s ∈ C 0 và x ∈ C n \{0}, sao cho
# x = sx. Điều này tương đương,
Do (2.1) là ổn định L 1 , nên
Z ∞ 0 e −st B j (t)dt x = x, và theo Bổ đề 2.6.1(i)
Vỡ F ≥ 0, nờn theo Mệnh đề 2.4.1(iii) ta cú à(F ) ≥ ∥(α, β)∥ −1 > 0. Điều này là đúng cho bất kì nhiễu không âm (α, β), do đó r a R + ≥ 1 à(F )
Tiếp theo chúng tôi chứng minh r R a + ⩽ 1 à(F ) Theo Mệnh đề 2.4.1(ii), tồn tại y ∈ R n R + \{0} sao cho F y = à(F )y và vỡ thế
# y = 0. Điều này có nghĩa là nhiễu không âm
(α, β) := (α (i,j)∈ N 0 ×N , β j∈N ) ∈ P R a + với α ( i, j ) = β j := 1/à(F ), (i, j) ∈ N 0 ì N , j ∈ N là khụng ổn định Theo định nghĩa của r R a + chỳng ta cú r a R + ⩽ 1/à(F ) Điều phải chứng minh.
Cuối cùng, chúng tôi trình bày bán kính r C a = r a R = r a R + Giả sử (α, β) = (α (i,j)∈ N 0 ×N , B j∈N ) ∈ P C a là một nhiễu phức, dẫn đến sự không ổn định của (2.38) trong không gian L 1 Bằng cách lập luận tương tự như trên, chúng tôi đã đạt được kết quả mong muốn.
B j (t)dt |x 0 | (2.40) cho x 0 ∈ C n , x 0 ̸= 0 Khi đó, theo Mệnh đề 2.4.1(iii) à H(0) −1 X
Mệnh đề 2.4.1(ii) cho thấy rằng Cx 1 = à(C )x 1, với x 1 ∈ R + /{0} Điều này cho ta
(i,j)∈ N 0 ×N , |β j | à(C) j∈N là một nhiễu không âm Do đó, theo nó tuân theo định nghĩa của bán kính r R a + , max sup
Kết hợp với bất đẳng thức r a C ⩽ r a R ⩽ r a R + , nghĩa là r C a = r a R = r a R + Ngoài ra, từ những chứng minh trên, chúng tôi thấy rằng r C a = r R a = r R a + = ∞ nếu và chỉ nếu à(F ) = 0 Điều phải chứng minh.
Chương 3 Ổn định mũ của hệ phương trình vi
- tích phân phi tuyến và ứng dụng
Giả sử không gian R mìn được trang bị bởi chuẩn ∥ ã ∥ và J là một khoảng con của R Không gian L 1 ( R + , R m×n ) đại diện cho các hàm khả tích trên R+ với giá trị trong R m×n, được trang bị bởi chuẩn L 1 Ký hiệu C(J, R m×n ) là không gian vectơ của tất cả các hàm liên tục trên J với giá trị trong R m×n Ký hiệu BC((−∞, σ], R m×n ) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục, bị chặn trên (−∞, σ ], được trang bị bởi chuẩn tương ứng.
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi - tích phân phi tuyến có chậm rời rạc và chậm phân phối, dựa trên việc tương tự hóa kết quả từ tài liệu [2] Cụ thể, hệ phương trình được mô tả bởi phương trình ˙ x(t) = f(t; x(t), X_j) với j ≥ 1.
, t ≥ σ, (3.1) x(t) = φ(t), t ∈ (−∞, σ], (3.2) trong đó, φ là hàm bị chặn trên (−∞, σ]; h j , j = 1, 2, là các chậm cho trước Cỏc hàmq (ã, ã, ã) : R ì R ì R n → R n , f (ã; ã, ã, ã) : R ì R n ì R n ì R n →
R n và A j (ã) : R → R nìn , j = 1, 2, , là cỏc hàm cho trước, liờn tục đối với tất cả các biến của chúng; P j≥1 ∥A j (t)∥ < ∞, t ∈ R
3.1 Ổn định mũ của hệ phương trình vi - tích phân phi tuyến
Xét hệ phương trình vi - tích phân (3.1) Trong suốt chương này, chúng tôi giả thiết rằng, các điều kiện sau đây được thỏa mãn
Hàm \( q(ã, ã, ã) : R^i R^i R^n \to R^n \) là hàm liên tục với tất cả các biến và thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với biến cuối trên các tập con compact của \( R \times R \times R^n \) Định nghĩa hàm \( Q(t) := R - \infty \int_{t}^{s} q(t, s, \phi(s)) ds \) với \( t \in (-\infty, b) \) cho thấy rằng \( Q(t) \) là hàm liên tục theo \( t \) đối với bất kỳ \( \phi \in BC((- \infty, b), R^n) \).
Hàm \( f (t; x, y, z) : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n \) là hàm liên tục với tất cả các biến và thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với ba biến cuối trên các tập con compact của \( \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \) Định nghĩa 3.1.1 nêu rõ rằng cho trước \( \sigma \in \mathbb{R} \) và \( \phi \in BC ((-\infty, \sigma ], \mathbb{R}^n) \), một hàm \( x(t) : (-\infty, \gamma) \rightarrow \mathbb{R}^n \) (với \( \gamma > \sigma \)) được gọi là nghiệm của hệ phương trình (3.1)-(3.2) nếu \( x(t) \) thỏa mãn phương trình (3.1) với mọi \( t \in [\sigma, \gamma) \) và điều kiện đầu (3.2).
Dưới điều kiện (H 1)-(H 2), hệ phương trình (3.1)-(3.2) có nghiệm xác định trên khoảng (−∞, γ) với γ ∈ R và σ < γ ≤ ∞, theo tài liệu [39, Trang 406] Nghiệm này được ký hiệu là x(ã; σ, φ) Nếu khoảng [σ, γ) là khoảng tồn tại nghiệm lớn nhất của x(ã; σ, φ), thì x(ã; σ, φ) được gọi là nghiệm không thể kéo dài (non-continuable) Sự tồn tại của nghiệm không thể kéo dài được chứng minh bằng Bổ đề Zorn, và khoảng tồn tại nghiệm lớn nhất phải là khoảng mở.
Trong phần tiếp theo, x(ã; σ, φ) biểu thị nghiệm không thể kéo dài Giả thiết rằng q(t, s, 0) = 0 cho mọi (t, s) ∈ ∆ và f(t; 0, 0, 0) = 0 cho mọi t ∈ R Điều này có nghĩa là x(ã) = 0 là một nghiệm của bài toán giá trị đầu (3.1)-(3.2) Dưới đây là định nghĩa về ổn định mũ của nghiệm không của (3.1) Định nghĩa 3.1.2.
Nghiệm không của phương trình (3.1) được xem là ổn định mũ (địa phương, ổn định theo hàm mũ) nếu tồn tại các số dương r, K, β sao cho với mọi σ ∈ R và mọi hàm φ ∈ BC ((−∞, σ], R^n) với ∥φ∥ ≤ δ, nghiệm x(ã; σ, φ) của hệ phương trình (3.1)-(3.2) sẽ thỏa mãn điều kiện ổn định.
Nghiệm không của phương trình (3.1) được coi là ổn định mũ toàn cục nếu tồn tại các hằng số dương K và β, sao cho với mọi σ thuộc R và mọi hàm φ thuộc BC((−∞, σ], R^n), nghiệm x(σ, φ) của hệ phương trình (3.1)-(3.2) thỏa mãn điều kiện nhất định.
Để đảm bảo tính ổn định mũ của nghiệm không của phương trình (3.1), cần thỏa mãn một số điều kiện nhất định Định lý 3.1.1 nêu rõ rằng hàm \( f(t; \alpha, y, z) \) phải là hàm khả vi liên tục trên \( \mathbb{R}^n \) với \( t \in \mathbb{R} \) và \( y, z \in \mathbb{R}^n \) Ngoài ra, điều kiện tồn tại một hằng số \( \delta > 0 \) và một hàm ma trận liên tục cũng là yếu tố quan trọng trong việc xác định tính ổn định này.
(3.3) với tùy ý t ∈ R và tùy ý x, y, z ∈ B δ ( R n ), và
Nếu tồn tại β > 0 và p ∈ R n + , p ≫ 0, sao cho
B(t, s)e β(t−s) ds p ≪ −βp,(3.7) với mọi t ∈ R Khi đó, nghiệm không của (3.1) là ổn định mũ.
Nếu điều kiện (3.3) được thỏa mãn cho mọi t ∈ R và mọi x, y, z ∈ R^n, điều kiện (3.4) thỏa mãn cho mọi t ∈ R và mọi y, z ∈ R^n, và điều kiện (3.5) thỏa mãn cho mọi (t, s) ∈ ∆ và mọi x ∈ R^n, thì nghiệm không của (3.1) sẽ ổn định mũ toàn cục.