Một lớp phương trình vi tích phân với điều kiện ban đầu không cục bộ

TRAN ĐÌNH KẾ đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình thực hiện luận văn này.Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong Khoa To

Nhân dịp luận văn được hoàn thành em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS TRAN ĐÌNH KẾ đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình thực hiện luận văn này.

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ

và tạo điều kiện thuận lợi để em có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực hiện đồ tài và ngliicn cứu khoa học

Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi

những hạn chế và thiếu sót nhất định Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên

Hà Nội, ngày 19 tháng 06 năm 2013 Tác giả

Nguyễn Đức NhậtTôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Đình Kế, luận văn tốt nghiệp “Một lớp phương trình vi tích phân với điều kiện ban đầu không cục bộ” được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nào khác

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với

sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 19 tháng 06 năm 2013 Tác giả

Nguyễn Đức Nhật

LỜI CẢM ƠN

bộ đối với phương trình vi tích phân, chúng tôi lựa chọn đề tài

"Một lớp phương trình vi tích phân với điều kiện ban đầu không cục bộ"

làm mục tiêu nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

2

- Nghiên cứu tính giải được và tính chất tập hợp nghiệm của bài toán Cô-si không cục bộ với phương trình vi tích phân tổng quát trong không gian Banach;

Tìm hiểu một số phương pháp của giải tích hàm phi tuyến

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

1. Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén;

2. Tìm hiểu lý thuyết giải thức;

3. Nghiên cứu tính giải được của bài toán Cô-si không cục bộ

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu là bài toán Cô-si không cục bộ đối với phương trình vi tích phân

• Phạm vi nghiên cứu: tính giải được, cấu trúc hình học của tập hợp nghiệm

5. Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các công cụ và các kết quả của lý thuyết nửa nhóm, giải thức suy rộng và độ đo không compact, (MNC)

M Ụ C

5

trong đó Kị : X —V X là các toán tử tuyến tính Liên quan đến (1.3), trong trường hợp X = L2(0,a), các toán tử Ki có thể cho bởi

K i x ( t i , v ) = f k i ( ị , y ) x ( t i , ị ) d ị , (1.6)

với kị (i = 1, ,£>) là các hàm liên tục.

Bài toán (1.1)-(1.2) với F = 0 đã được nghiên cứu trong nhiều công trình

Trong các công trình [4, 5, 6] các kết quả về tồn tại và duy nhất nghiệm đã

được chứng minh nhờ vào các định lý điểm bất động Banach, đối với g và h

thỏa mãn điều kiện Lipschitz Với giả thiết Carathéodory trên g, các tác giả

trong bài báo [7] đã chứng minh tính giải được khi S(t) là compact Mặc dù

vậy, như đã chỉ ra trong công trình [8], nếu điều kiện Lipschitz không đặt ra,

việc chứng minh tính compact của toán tử nghiệm gặp rất nhiều khó khăn do t S(t), trong trường hợp tổng quát, không liên tục đều trên [0,T], ngay cả khi S(t) compact.

Ta biết rằng, trong trường hợp F = 0, nghiệm của (1.1)-(1.2) trên J được

định nghĩa bởi

x(t) = 5(í)[x0 — h(x)] + f S(t — s)g(s,x(s))ds, t € J.

J 0 Trong trường hợp F Ỷ để xác định nghiệm của bài toán ta cần xác định giải

2 Với mỗi V € X, hàm t \-ì R(t)v liôn tục trcn J,

3 Nến Y là không gian Banach xác định bởi D(A) (miền xác định

của A), với chuẳn đồ thị, thì R(t) G L{Y), R{‘)y GC l ( J \ X ) n

C Ụ \ Y ) với y e Yv ầ

CJ

~^R{t)y = A[R{t)y + j F(t — s)R(s)yds]

6

= R(t)Ay + Í R(t — s)AF(s)ds, t 6 J.

J 0

Sự tồn tại của họ giải thức này được đề cập trong công trình [15]

Chú ý rằng từ định nghĩa của giải thức và nguyên lýbị chặn đều,

ta có thể tìm được hằng số Cfí < +oo sao cho

sup ||fi(í)||i(A') < C R (1.8)teJ

Khi đó nghiệm của bài toán ban đầu được cho bỏi

x(t) = R(t)[x0 — h(x)] + í Rịt — s)g(s,x(s))ds, t

(1.9)

J 0

Định nghĩa 1.1 Cho £ ỉà không gian Danach (A, là một tập sắp thứ tự từng

phần Một hàm, ß : V ( 8 ) —> A đĩỉỢc gọi là một độ đo không c o m p a c t ( M N C ) t r ê n 8 n ế u n ó t h ỏ a m ẫ n

ß(cö íì) = ß(Si) với mọi tập bị chặn Q G V ( £ ) , trong đócõũ, ỉ,à bao lồi đốnq của Q Độ đo ß được qọi là

i) đơn điệu, nếu íío?^i £ ^(£) thỏa mãn Qq c ííi, kéo theo

ii) không kỳ dị, nếu ß({a} UQ) = /3(0) với mọi a E £, £ V ( S ) ; Ui) bất biến với nhiễu compacẦ, nếu ß(K ufì) = ß(£l) với mọi t,ậ,p compact tương đối K c £ và Q G V ( 8 ) ;

Giả sử A là một nón trong không gian định chuẩn, ta nói ß là

iv) nửa cộng tính đại số, nếu ß ( Q f ) + ííi ) ^ ß(ü0) + ß(tti) với mọi Q0J ^1 £

^(£)/

v) chính quy, nếu đẳng thức /3(ũ) = 0 tương đương với tính com- pact tương đối của Q.

7

Ví dụ tiêu biểu về MNC là độ đo không compacẦ HausdorỊỊ’ một đô đo

thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trên:

x(íì) = inf{e : íì có e-lưới hữu hạn}.

Các ví dụ khác về MNC trcn không gian các hàm liên tục C ( J ; X ) (xác định trên J, lấy giá trị trong X ) :

(i) mô-đun không compact theo lát cắt

7(fi) = s n p ỵ ( í ì ( t ) ) (1.10)

t e J trong đó X là độ đo không compact Hausdorff trcn X và íì(t) = {y(t.) :

Giả sử T G L ( Ẽ ) và /9 là một MNC trên Ẽ Ta nhắc lại khái niệm

/3-chuấn của toán tử tuyến tính (xem [17]) như sau:

lini/ĩ := inf{M : ị3(T£l) ^ A//?(Í2), Q c £ là tập bị chặn} (1.12) Khi đó

/3-clmẩn của r xác định bởi

IITII, = p{TSi) = 0(TB,),

trong đó Si và Bi lần lượt là mặt cầu và hình cầu trong s Có thể thấy rằng

IITIU < \ \ T \ \ L { X ) (1.13)Định nghĩa 1.2 Một hàm liên tục T : z c 8 —> £ được gọi là nén ứng với MNC ị3 (73-nén) nếu với mọi tập bị chặn Q c z không là tập com,pacẦ tương đối,

ta có

ạựm ỉ P(ũ).

Giả sử Ị3 là một MNC đơn điệu và không kỳ dị ứng dụng lý thuyết bậc

tô-pô cho ánh xạ nén (xem [17, 16]) ta có các định lý điểm bất động sau đây.Định lý 1.1 ([16, Bổ đồ 3.3.1]) Giả sử Ai là một tập con lồi, đóng và bị chặn

của £ và T : M —» M là Ị3-nén Khi đố VixT = {x = F { x ) } là tập khác rỗng và compact.

8

Định lý 1.2 Cho V c £ là một lân cận của, /3 là một MNC đơn điệu, không kỳ

dị trong £, và T : V £ là /3-nén thỏa mẫn điều kiện biên

X ^ \ T ( x ) với mọi X G dv và 0 < A ^ 1 Khi đó tập các điểm bất động Fix(T) = {x =

T ( x ) } c V là khác rỗng và compacẦ.

Quay lại bài toán (1.1) - (1.2), ta giả thiết các hàm g và, h thỏa

mãn những điều kiện sau đây:

(Gl) hàm g : J X X —» X liên tục;

(G2) tồn tại /i G Ll Ụ ) và hàm đơn điệu tăng T : —)• R+ saocho

HíKi.^lU < Mí)T(IMU)

với hầu khắp t € J và với mọi r j £ X \

(G3) tồn tại hàm k £ L l ( J ) sao cho với mọi tập con bị chặn í] c I ta có

với hầu khắp í G J, trong đó X là độ đo không compact Hausdorff trong

(H2) tồn tại hằng số C h sao cho

Nhận xét 1.1 1 Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì ta có thể

bỏ quo, điều kiện (G3) bởi nó được suy ra từ (G2).

2 Ta biết Tằng (xem [17, 16]) điều kiện (G3) sẽ được thỏa mãn nếu

9{t,n) = 9i(t,v) + Ũ 2{t,n) trong đó gi là hàm, Lipschitz ứng với biến thứ hai:

Ta sử dụng các giả thiết sau, như trong [3]:

(FI) F ( t ) G L ( X ) với t G J và x ( - ) liên tục với giá trị trong Y =

D ( A ) ~ A F ( - ) x { - ) e L ' l J i X ) ;

(F2) Với X G X, hàm t I—>• F ( t ) x khả vi liên tục trên J

Ta biết rằng, với điều kiện (F1)-(F2) giải thức cho (1.7) hoàn toàn xác định Ta giả thiết thêm rằng

(HA) t I—R ( t ) liên tục theo chuẩn với t > 0.

1.1 T Í NH G I ẢI

$ : ứ ụ - X ) -> C ( J ; X ) , $(/)№ = [

R ( t - s ) f ( s ) d s

Trước khi nói vồ tính chất của <ĩ>, ta nhắc lại khái niộm sau

Định nghĩa 1.3 Tậ,p Q của L l Ụ \ X ) được gọi là bị chặn tích phân nếu tồn tại một hàm, [I G L l ( J ) s a o c h o

№(011* ^ ỉi{t) với hầu khắp t G J,

\ \ f ( t ) \ \ x ^ ịi(t) với hầu khắp t G J

và với mọi / GỖ- Cho trước € > 0, điều kiện (HA) suy ra rằng tồn tại ô > 0

sao cho

với 0 < tị < t2 < T, t 2 — tị < ố, trong đó C f l = j‘Ị fi(s)ds Hơn nữa ta có thể

giả thiết rằng với 0 < t2 — tị < ỗ ta có

(1.1Xét toán tử sau:

Với 0 < t ị < t 2 < T, t 2 — t ị < ố, lấy 0 < ( < t ị đủ nhỏ sao cho

1 1 T Í N H G I Ả I

1

J h - Q + [ \\R(t-2 - s ) \ \ L ( x ) \ \ f { s ) \ \ x d s

($2) với mỗi tập compact K c X và với dẫy {£n} c L l { J \ X ) sao cho

{Ẹ,n{t)} c K với hầu khắp t £ J, từ sự hội tụ yếu £n ị

suy ra $(£„) -4 $(£)•

Mệnh đề 1.2 cho ta kết quả sau, tương tự như [16, Định lý 4.2.2]

Mệnh đề 1.3 Giả sử dẫy {£n} c L l ( J \ X ) bị chặn tích phân sao cho tồn tại

2

ỊJ.

Định nghĩa 1.4 Dãy hàm, {£„} c L l ( J ; X ) được gọi ỉ,à nửa com/pữcẦ nếu nó bị chặn tích phân và tập {£?i(£)} ỉà compact tương đối trong X với hầu khắp t e J.

con không quá đếm được của íì và max được xác định theo thứ tự trong nón M 2

+ Như trong [16], ta có V là hoàn toàn xác định, nghĩa là., max đạt được trong A(fỉ)

và do đó V là một MNC trong C ( J ; X ), nó có các tính chất phát biểu

trong Định nghĩa 1.1(xem chi tiết trong [16, Ví dụ 2.1.3])

Định lý 1.3 Giả sử F thỏa mẫn (F1)-(F2) Nếu (G1)-(G3), (Hl)- (H3) được thỏa mãn và

i : = C R { C h + 2 [ k ( s ) d s ) < 1 J 0

thì ty ỉ,à ư-nén.

Chứnq minh Giả sử Q c C ( J ; X ) thỏa mãn điều kiện

Ta sẽ chứng tỏ rằng Q là tập cornpact tương đối trong C ( J ; X ) Theo định nghĩa

compact tương đối □Nhận xét 1.2

N ế u R ( t ) compact với

t > 0, ta có thể loại bỏ điều kiện (G3) Thật vậy, với dẫy

bị chặn {xn}

c C Ụ \ X ) , đặt Ẹn(t, s)

= R(t —

s ) g ( s 1

x n ( s ) ) , với giả thiết (G2) ta cố {£»(£,•)} bị chặn tích phân trong

L l ( 0 , t ] X ) Ngoài ra, do R(t)vit > 0 compact, ta có

v ớ i

h ầ u

k h ắ p

E

[0,

t]

K h i

đ ó

s ử

d ụ n g

[ 1 6 ,

B ổ

đ ề

ị 2 5

] ,

t a

đ ư ợ c

Định lý 1.4 Với giả thiết của Định lý 1.3, nếu

lim inf —-( 0(r) + Y(r) / f i ( s ) d s ) <1 (1.27)

í/?i tậ,p nghiệm) của bài toán (1.1)-(1.2) là khác rỗng và compacẦ.

Chứng minh Ta sử dụng Định lý 1.1 Áp dụng kết quả quả Định lý 1.3, ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại r > 0 sao cho

V ( B r ) c B r ì

với B r làhình cầu đóng trong C { J \ X ) với tâm tại 0 và bán kính

r Thật vậy, giả sửngược lại rằng với mỗi n G N\{0}, tồn tại x n e

Qua giới hạn bất đẳng thức cuối khi n —> +00, ta nhận được mâu thuẫn

do có điều kiện (1.27) Định lý được chứng minh □

Ta xét một số trường hợp đặc biệt của các hàm T và 0

Hệ quả 1.1 Trong Định lý 1.3, (G2) và ( H l ) thay t h ế bởi

(G2’) \\g(t,ri)\\ x < 1 + \\n\\ p ),iJ-6 LVKO < p < 1,

(í, r/) G J X I;

(Hr) /?, : C Ụ \ X ) —»> X liên tục và

\ \ h ( x ) \ \ x < /l0 + /ỉi|MlcA)A > 0,0 < ợ < 1,

vđz mọz £ G C ( J ; X ) ;

Khi đỏ tập nghiệm, của bài toán (1.1)-(1.2) khác rỗng và compacẦ.

Chứng minh Do p < 1 và q < 1, điều kiện (1.27) trong Định lỷ 1.4 rõ ràng

được thỏa mãn Do vậy ta có kết luận của định lý □

Hệ quả 1.2 Trong Định ỉý 1.3, (G2) và ( H l ) được thay thế bởi

£/?,z tập nghiệm của bài toán (1.1)-(1.2) khác rỗng và compact.

Chứnq minh Với giả thiết (G2") và (Hl"), điều kiện (1.28) tương đương với

Chú ý rằng, nếu q = 0 trong (HT), tức là hàm cục bộ bị chặn đều, ta

không cần giả thiết về độ tăng của T, như lý luận trong công trình của [18]

Định lý 1.5 Trong Định lý l.s, điều kiện ( H l ) được thay bởi

(Hlb) h liên tục và ||/z(x)||x < Mh với mọi X € C Ụ \ X ) , trong đó Mh là m,ột hằng số dương.

Giả sử (Y, Q Y ) và (Z, Q z ) là các không gian metric; Ỉ C ( Z ) ký hiệu tập các tập con khác rỗng, compact của z Một hàm đa trị G : Y — > J C ( Z ) được gọi là: (i) nửa liên tục trên (u.s.c.) nếu với mỗi y £ Y và 6 > 0 tồn tại ô = ô ( y, e ) >

0 sao cho Q Y { y, y ' ) < ỗ suy ra G ( y ' ) c U e ( G ( y ) ) , trong đó ư t ( G ( y ) ) là lân cận của G ( y ) xác định theo Q z ; ( i i ) đống nếu đồ thị của nó: {(?/, z) 6 Y X

Do {?;„} là compact, từ (1.31) ta có

х({жп(*)}) < ỵ { { R { t ) h { x n ) } ) + х({ф5п^)})- (1-32)

1 2 S ự P H Ụ T H U Ộ C

2

Vậy ư ( { x n } ) = (о, 0) và {xn} là tập compact tương đối trong C ( J ; X )

Dể chứng minh w là U.S.C., theo Bổ đề 1.1, ta còn phải chứng minh w (có

trong C ( J ; X ) theo (Hl) Hơn nữa do g là hàm liên tục, ta có g ( s , x n ( s ) )

—»• g ( s , x ( s ) ) với hầu khắp s G J Sử dụng định lý hội tụ trội Lebesgue, ta

3

Định nghĩa 2.1 Một tập con B của không qỉan metric Y được gọi là co rút

không, nghĩa là, tồn tại ĨJQ G Y và một hàm, liên tục h : B X [0,1] —> Y sao cho h(y, 0) = y và h(y, 1) = 2/0 với mọi 1J e B.

Ta sử dụng khái niệm quan trọng sail đây ([19])

Định nghĩa 2.2 Giả sử Y Ị,à một không gian meẦric, một tập con B c Y

được gọi ỉ,à có cấu trúc Rs nếu B có thể biểu diễn dưới dạng giao của một họ giảm các tập compact, co rút được.

Bổ đề sau cho ta một cách kiểm tra một tập có cấu trúc Rịị.

Bổ đề 2.1 ([20]) Giả sử X ỉ,à một không gian metric, E là không gian Banach và V : X —> E ỉà một hàm chuẩn, nghĩa là V liên tục và có tính chất V ~ l ( K ) compacẤ với mọi tập compact K c E Giã sử tồn tại một dãy các hàm, {v^} từ X vào E sao cho

1 Vn là CẨỈC hàm, chuẩn và {Vn} hội tụ đều về V trong X;

2 với y0 G E cho trước và với mọi y thuộc một lăn cận A f ( ĩ j o ) của y[) trong E, tồn tại duy nhất m,ột nghiệm, xn của phương trình V n ( x ) = y.

Khi đó V ~ ỉ ( y 0 ) là một tập có cấu trúc Rỹ.

Để sử dụng được Bổ đề này ta cần đến Định lý xấp xỉ Lasota-Yorke (xcm [21])

Bổ đề 2.2 Giả sử E là một không gian định chuẩn, X là m,ột không gian

metric và f : X E là m,ột hàm, liên tục Khi đó với mỗi € > 0; tồn tại một làm Lipschitz địa phương f e : X — ^ E Ố(JL 0 chu:

II f € ( x ) - f(x)\\E < 6, với mọi X G X.

Định lý sau đâ,y cho ta kết quả VC cấu trúc tập hợp nghiệm của bài toán

Định lý 2.2 Giả sử hàm g thỏa mẫn (Gl)-(G2) và hàm, h thỏa mẫn (H2’)

Nếu Rịt) compact với t > 0 và

C R Ỉ I Q + C R [ f i ( s ) d s lim inf—— < 1,

thì t,ập hợp nghiệm, của bài toán (1.1)-(1.2) có cấu trúc Rfi.

Chứng minh Theo Định lý 2.1 và Chú ý 2.1, các giả thiết của Định lý 2.2 đảm bảo sự tồn tại nghiệm, có nghĩa,

Fix(tt) í 0.

Ta sẽ chứng tỏ rằng Fix(^) là một tập dạng R 5

Xét hàm g Do Bổ đề 2.2, tồn tại một dãy các hàm { g n } sao cho

• g n : J X X —> X licn tục và Lipschitz địa phương;

• \ \ 9 n { t , v ) - 9 ( t , n ) \ \ x < e.1 với mọi ( t , r i ) e J X X , ỡ đây e„ -> 0

nhờ có (2.8) Do đó, có điểm bất động theo Định lý 1.1 và phương trình

(2.9) có ít nhất một nghiệm Hơn ĩũía, do /?,(•) là hàm Lipschitz và g n (t,

■) là các hàm Lipschitz địa phương, nghiệm của (2.9) là duy nhất

ta thấy rằng {14} hội tụ về V đều trong C { J \ X ) Ngoài ra, với y G

C ( J \ X ) cho trước, phương trình

v „ ( x ) = Ị J

CÓ duy nhất nghiệm, là điểm bất động của toán tử \Ị/„ đề cập ở trên

Ta còn phải chứng minh V và V n là các hàm chuẳn Ta chứng minh cho

V Tlì trường hợp của V được chứng minh tương tự Rõ ràng, 14 là hàm liôn

tục Giả sử K c C ( J ; X ) là tập compact và 14(íí) = K Ta chứng minh ũ là tập compact trong C Ụ \ X ) Do V n liên tục và K đóng, ta suy ra rằng Q đóng Giả sử {Xj} là một dã.y trong Q, ta có thể chọn được một dãy { ĩ j j }

nhờ có (H2’) và (2.8) Do vậy

Ikillc' < Itellc + C R ( ị ị x 0 \ ị x + ||/*(0)IU) + TCR

+ CRhị)\\xj\\c + C r ỉ T ( \ \ x j \ \ c ) / ụ.(s)ds.

Nếu {Xj} không bị chặn thì tồn tại một dãy con (vẫn ký hiệu là {x7-})

sao cho ||^j||c —ì +00 khi j -ỳ- +00 Khi đó

1 < 77- -ri— r 112/j 11C7 + C R { \ \ X { ) \ \ X + ll^(O)IU) + T C ỵ \

fT

/ n ( s ) d s - JQ + c,h„ + c, 1

x.i