Phương pháp nhiễu giải phương trình vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS... LÍI CAM OANEm xin cam oan Khâa luªn n y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng em d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y PGS.TS.. Khâa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI – 2018

º ho n th nh khâa luªn n y, em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìns¥u s­c ¸n PGS.TS Khu§t V«n Ninh - Ng÷íi trüc ti¸p tªn t¼nhh÷îng d¨n, ch¿ b£o v  ành h÷îng cho em trong suèt qu¡ tr¼nh em

l m b i khâa luªn cõa m¼nh çng thíi em công xin ch¥n th nh c£m

ìn c¡c th¦y cæ trong tê Gi£i t½ch v  c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2, Ban chõ nhi»m khoa To¡n ¢ t¤o

-i·u ki»n cho em ho n th nh tèt b i khâa luªn n y º câ k¸t qu£ nh÷

ng y hæm nay

M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè g­ng, song thíi gian v  kinh nghi»m b£nth¥n cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúngthi¸u sât r§t mong ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o, c¡cb¤n sinh vi¶n v  b¤n åc

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2018T¡c gi£ khâa luªn

Phòng Thà H÷ìng

LÍI CAM OAN

Em xin cam oan Khâa luªn n y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng

em d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y PGS.TS Khu§t V«n Ninh Trongkhi nghi¶n cùu, ho n th nh b£n khâa luªn n y em ¢ tham kh£o mët

sè t i li»u ¢ ghi trong ph¦n t i li»u tham kh£o

Em xin kh¯ng ành k¸t qu£ cõa · t i: Ph÷ìng ph¡p nhi¹u gi£iph÷ìng tr¼nh vi ph¥n l  k¸t qu£ cõa vi»c nghi¶n cùu v  né lüc håctªp cõa b£n th¥n, khæng tròng l°p vîi k¸t qu£ cõa c¡c · t i kh¡c.N¸u sai em xin chàu ho n to n tr¡ch nhi»m

H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2018T¡c gi£ khâa luªn

Phòng Thà H÷ìng

MÐ †U 1

1.1 Mët sè ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng 3

1.1.1 Mët sè kh¡i ni»m 3

1.1.2 Mët sè ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¢ bi¸t c¡ch gi£i 4 1.1.3 B i to¡n Cauchy 8

1.2 Chuéi lôy thøa 8

1.2.1 ành ngh¾a chuéi lôy thøa v  b¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa 8

1.2.2 ành lþ khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa 9

2 PH×ÌNG PHP NHI™U GIƒI PH×ÌNG TRœNH VI PH…N 10 2.1 Þ t÷ðng d¨n ¸n ph÷ìng ph¡p nhi¹u 10

2.2 Ph÷ìng ph¡p nhi¹u 14

2.3 Ph÷ìng ph¡p nhi¹u ký dà 27

2.4 Ph÷ìng ph¡p lîp bi¶n 33

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

LÍI NÂI †U

óng ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng

Vîi mong muèn t¼m hiºu v  nghi¶n cùu s¥u hìn v§n · n y, d÷îi

sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS Khu§t V«n Ninh em ¢ nghi¶n cùu ·

t i: Ph÷ìng ph¡p nhi¹u º gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ºthüc hi»n khâa luªn tèt nghi»p cõa m¼nh

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

+ Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu lþ luªn

+ Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu têng k¸t t i li»u

5 C§u tróc · t i

Khâa luªn ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1.Ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng n y nh­c l¤i mët sè ki¸nthùc v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, kh¡i ni»m chuéi lôy thøa, b¡n k½nh hëi

tö v  ành lþ khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p nhi¹u gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n Möc

½ch cõa ch÷ìng n y l  giîi thi»u v· c¡c ph÷ìng ph¡p nhi¹u º gi£ic¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n v  mët sè v½ dö ¡p döng

H  Nëi, th¡ng 05 n«m 2018T¡c gi£ khâa luªn

Phòng Thà H÷ìng

trong â h m F x¡c ành trong mi·n D ⊂ R3.

N¸u trong mi·n D, tø ph÷ìng tr¼nh (1.1) ta câ thº gi£i ÷ñc y0:

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

th¼ ta ÷ñc ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët ¢ gi£i ra ¤o h m

ành ngh¾a 1.1 H m sè y = ϕ(x) x¡c ành v  kh£ vi tr¶nkho£ng I = (a, b) ÷ñc gåi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) n¸u

x, y, y0, , y(n−1) nh÷ng y(n) nh§t thi¸t ph£i câ m°t

N¸u tø (1.3) ta gi£i ra ÷ñc ¤o h m c§p cao nh§t, tùc l  ph÷ìngtr¼nh (1.3) câ d¤ng

â l  ph÷ìng tr¼nh d¤ng

Ð ¥y h» sè cõa dx l  h m ch¿ phö thuëc bi¸n x, h» sè cõa dy l  h mch¿ phö thuëc bi¸n y Ta s³ gi£ thi¸t r¬ng c¡c h m X, Y li¶n töc trongmi·n x¡c ành cõa chóng Khi â ph÷ìng tr¼nh (1.5) vi¸t d÷îi d¤ng

d[

ZX(x)dx +

Z

Y (y)dy] = 0

Do â

ZX(x)dx +

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

trong â p(x), q(x) li¶n töc tr¶n kho£ng (a,b) n o â

Nhªn th§y y ≡ 0 công l  nghi»m cõa (1.9) Nghi»m n y câ thº nhªn

÷ñc tø (1.12) n¸u trong biºu thùc (1.12) ta l§y c£ gi¡ trà C = 0Vªy nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t (1.9)

câ d¤ng

y = Ce−R p(x)dx, C ∈ R (1.13)

º t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t (1.8)

ta ¡p döng ph÷ìng ph¡p ÷ñc gåi l  ph÷ìng ph¡p bi¸n thi¶n h¬ng sènh÷ sau: Trong biºu thùc (1.13) ta coi C khæng ph£i h¬ng sè m  l 

mët h m cõa x : C = C(x) v  t¼m c¡ch chån C(x) sao cho biºu thùc

y = C(x)e−R p(x)dx (1.14)

thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1.8) Thay (1.14) v  (1.8) sau â gi£ ra ta s³t¼m ÷ñc C(x) Thay C(x) vøa t¼m ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh (1.14) v o(1.13) ta ÷ñc nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khængthu¦n nh§t (1.8):

y(x) = e−R p(x)dx[C +

Z(q(x)eR p(x)dx)dx]

d Ph÷ìng tr¼nh Becnulli

â l  ph÷ìng tr¼nh d¤ng

y0 + p(x).y = q(x).yα (1.15)trong â p(x), q(x) l  nhúng h m li¶n töc tr¶n kho£ng (a,b) n o â+ α = 1 th¼ (1.15) l  ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t c§p mët

+ α = 0 th¼ (1.15) l  ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t c§p mët.+ α 6= 0, α 6= 1 th¼ ta chia c£ hai v¸ cõa (1.15) cho yα sau â °t

z = y1−α v  ÷a v· ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

1.1.3 B i to¡n Cauchy

Gi£ sû iºm ban ¦u (x0, y0, y00, , y0(n−1)) ∈ D ⊂ Rn+1

trong â f l  h m x¡c ành tr¶n mi·n D ⊂ Rn+1

Gåi l  b i to¡n Cauchy hay b i to¡n ban ¦u

i·u ki»n (1.16) gåi l  i·u ki»n ban ¦u

1.2 Chuéi lôy thøa

1.2.1 ành ngh¾a chuéi lôy thøa v  b¡n k½nh hëi tö cõa chuéi

lôy thøa

ành lþ 1.1 Chuéi lôy thøa l  mët h m d¤ng

+∞

Xn=0

anxn = a0 + a1x + a2x2 + (1.17)Khi â tçn t¤i mët sè R (0 ≤ R ≤ +∞) sao cho

+ Chuéi (1.17) hëi tö trong kho£ng (−R, R) v  hëi tö ·u tr¶nméi o¤n [r, r] vîi 0 < r < R

+ T¤i måi x m  |x| > R chuéi (1.17) ph¥n ký

ành ngh¾a 1.3 Sè thüc R > 0 nâi tr¶n ÷ñc gåi l  b¡n k½nh hëi töcõa chuéi lôy thøa cán kho£ng (−R, R) ÷ñc gåi l  kho£ng hëi tö cõa

chuéi lôy thøa.

1.2.2 ành lþ khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa

ành lþ 1.2 Gi£ sû chuéi lôy thøa

+∞

Xn=0

an(x − x0)n câ b¡n k½nh hëi

tö R > 0 v  f(x) =

+∞

Xn=0

an(x − x0)n; x ∈ (x0 − R, x0 + R) Khi â

a f l  h m kh£ vi væ h¤n trong (x0 − R, x0 + R)

b an = f

(n)(x0)n! , ∀n = 0, 1, 2,

v  f(x) =

+∞

Xn=0

f(n)(x0)n! (x − x0), ∀x ∈ (x0 − R, X0 + R)

ành lþ 1.3 Gi£ sû f l  h m câ ¤o h m måi c§p trong mët l¥n cªn

n o â cõa x0 Kþ hi»u: Rn(x) l  ph¦n d÷ d¤ng Lagrange cõa cængthùc Taylor:

ành lþ 1.4 N¸u trong mët δ l¥n cªn (x0−δ, x0+δ) cõa iºm x0 h m

sè f câ ¤o h m måi c§p f(n) (n=1,2, ) v  tçn t¤i mët sè M > 0 ºsao cho:

f(n)(x) ≤ M (n = 1, 2, ), vîi måi x ∈ (x0− δ, x0+ δ) th¼ h m f câ thºkhai triºn ÷ñc th nh chuéi Taylor t¤i x0

Ch֓ng 2

PH×ÌNG PHP NHI™U GIƒI PH×ÌNG TRœNH VI PH…N

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p nhi¹u º gi£i c¡c ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n câ chùa tham sè nhä ε bao gçm: ph÷ìng ph¡p nhi¹u,ph÷ìng ph¡p nhi¹u ký dà v  ph÷ìng ph¡p lîp bi¶n, còng vîi mët sè v½

dö cho tøng ph÷ìng ph¡p Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£otrong c¡c t i li»u [3],[4]

2.1 Þ t÷ðng d¨n ¸n ph÷ìng ph¡p nhi¹u

Ta x²t hai v½ dö sau ¥y

V½ dö 2.1.1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

y00 + εy0 = 1, y(0) = 0, y0(0) = 0 (2.1)Líi gi£i

°t z = y0 Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.1) trð th nh

z0 + εz = 1

z0 = 1 − εzdz

dx = 1 − εz

dz = (1 − εz)dxT½ch ph¥n hai v¸ ta câ

y0 = 1 − e

−εx−εC 1

εTi¸p töc t½ch ph¥n hai v¸ ta câ

y(x) = e

−εx + εx − 1

ε2Nghi»m n y ÷ñc minh håa ð H¼nh 1

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

H¼nh 1 ç thà nghi»m ch½nh x¡c y(x) ùng vîi c¡c gi¡ trà kh¡c nhau cõa ε.Quan s¡t H¼nh 1 ta th§y r¬ng mët sü thay êi nhä cõa tham sè ε câg¥y ra mët ë l»ch nhä cõa nghi»m

V½ dö 2.1.2

εy00− y0 = 1, y(0) = 0, y0(1) = 0 (2.2)Nghi»m ch½nh x¡c cõa b i to¡n l 

y = 1 − εx − e

−εx

ε2Nghi»m n y ÷ñc minh håa ð H¼nh 2

H¼nh 2 ç thà nghi»m ch½nh x¡c y(x) ùng vîi c¡c gi¡ trà kh¡c nhau cõa ε.

Ð ¥y, ta èi chi¸u vîi v½ dö tr÷îc th¼ câ thº th§y r¬ng mët sü thay

êi nhä cõa tham sè ε d¨n ¸n sü thay êi ë l»ch lîn cõa nghi»m t¤i

iºm x = 1

Tø ¥y, ta ÷a ra mët sè nhªn x²t sau

Tham sè ε xu§t hi»n ð hai v½ dö tr¶n ÷ñc gåi l  tham sè nhi¹u v 

nâ câ £nh h÷ðng ¸n nghi»m cõa b i to¡n ban ¦u V¼ vªy, düa tr¶n

sü thay êi â ng÷íi ta ph¥n th nh hai lo¤i b i to¡n nh÷ sau

1 B i to¡n nhi¹u

2 B i to¡n nhi¹u ký dà

Trong â b i to¡n nhi¹u · cªp ¸n nhúng b i to¡n m  sü thay

êi nhä cõa tham sè nhi¹u g¥y ra sü thay êi nhä cõa nghi»m cán b ito¡n nhi¹u ký dà th¼ · cªp ¸n nhúng b i to¡n m  sü thay êi nhä

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

cõa tham sè nhi¹u l¤i g¥y ra sü thay êi lîn cõa nghi»m

V  ð hai b i to¡n nhi¹u tr¶n ta th§y r¬ng d¹ d ng câ thº t¼m ra

÷ñc nghi»m ch½nh x¡c cõa nâ, nh÷ng èi vîi nhúng b i to¡n phùct¤p hìn th¼ vi»c t¼m ra nghi»m ch½nh x¡c trð n¶n khâ kh«n Vªy ºgi£i quy¸t c¡c b i to¡n nh÷ vªy th¼ ta t¼m hiºu mët sè ph÷ìng ph¡psau

B÷îc (ii) Th¸ y(x) v o ph÷ìng tr¼nh ban ¦u

B÷îc (iii) Mð rëng c¡c ph÷ìng tr¼nh nh÷ mët chuéi lôy thøa cõa ε,c¥n b¬ng c¡c h» sè câ còng sè mô cõa ε Sau â gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n kh¡c nhau cho yo(x), y1(x),

º hiºu hìn v· c¡c b÷îc l m tr¶n ta xem x²t mët sè v½ dö sau

V½ dö 2.2.1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

y00 + εy2 = 0, y(0) = 1, y0(1) = 0 (2.4)

Líi gi£i

Gi£ sû nghi»m cõa b i to¡n l 

y(x) = yo(x) + εy1(x) + ε2y2(x) +

Th¸ biºu thùc n y v o ph÷ìng tr¼nh (2.4) ¢ cho, ta ÷ñc

(y000 + εy100 + ε2y200 + ) + ε(yo + εy1 + ε2y2 + )2 = 0

C¥n b¬ng h» sè cõa εo ta câ

y000 = 0

Tø ¥y suy ra

y0(x) = C1x + C2K¸t hñp vîi i·u ki»n ban ¦u yo(0) = 1, yo0(1) = 0 ta suy ra

C1 = 0, C2 = 1

Khi â

yo(x) = 1Ti¸p töc c¥n b¬ng h» sè cõa ε1 ta ÷ñc

y100+ yo2 = 0

Thay yo(x) = 1 v o ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta câ

y100 = −1

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

Suy ra

y1(x) = −1

2x

2+ C1x + C2Vîi i·u ki»n ban ¦u y1(0) = 0, y01(1) = 0 ta t¼m ra ÷ñc

Ti¸p töc thüc hi»n c¡c qu¡ tr¼nh nh÷ tr¶n

Vªy nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n ¢ cho l 

Th¸ biºu thùc n y v o ph÷ìng tr¼nh ban ¦u, ta ÷ñc

(yo00 + εy100 + ε2y200 + ) + ε(y00 + εy10 + ε2y20 + ) = 1

C1 = 0, C2 = 1

Khi â

y0(x) = 1 + 1

2x2

C¥n b¬ng h» sè cõa ε1 ta câ

y100 + y00 = 0

Suy ra

y001 + x = 0T½ch ph¥n hai v¸ ta ÷ñc

y1(x) = −x

3

3! + C1x + C2Vîi i·u ki»n ban ¦u y1(0) = 0, y01(0) = 0 suy ra C1 = 0, C2 = 0Khi â

y1(x) = −x

3

3!

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

2(x4

V½ dö 2.2.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

y00 + y + εy3 = 0, y(0) = 1, y0(0) = 0 (2.6)Líi gi£i

Gi£ sû nghi»m cõa b i to¡n l 

y(x) = yo(x) + εy1(x) + ε2y2(x) +

Th¸ biºu thùc n y v o ph÷ìng tr¼nh ban ¦u, ta ÷ñc

(yo00+ εy001+ ε2y200+ ) + (yo+ εy1+ ε2y2+ ) + ε(y0+ εy1+ ε2y2+ )3 = 0

C¥n b¬ng h» sè ε0 ta câ

y00 + y0 = 0

º gi£i ÷ñc ph÷ìng tr¼nh n y ¦u ti¶n ta x²t ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

Gi£i ph÷ìng tr¼nh (2.7)

y001 + y1 = −cos3x

4Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng

A = 1

32, B = 0Suy ra

T÷ìng tü gi£i ph÷ìng tr¼nh (2.8)

y001 + y1 = −3cosx

4Ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng

suy ra C1 = −0, C2 = 0 Khi â

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

Vªy nghi»m cõa b i to¡n d¦n ¸n x§p x¿ g¦n nh§t l 

th¸ biºu thùc n y v o ph÷ìng tr¼nh ban ¦u, ta ÷ñc

(yo00+ εy001+ ε2y200+ ) − (y00+ εy01+ ε2y02+ ) + ε(y0+ εy1+ ε2y2+ )2 = 0

K¸t hñp vîi i·u ki»n ban ¦u y0(0) = 1, y00(0) = 1 th¼ ta t¼m ra ÷ñc

C1 = 0, C2 = 1

Khi â

y0(x) = exTi¸p töc c¥n b¬ng h» sè ε1 ta câ

y001 − y10 + y02 = 0 (2.10)Thay biºu thùc y0(x) v o ph÷ìng tr¼nh (2.10) ta ÷ñc

y100− y10 = −e2x (2.11)X²t ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng

A = 12Suy ra

y∗1(x) = 1

2e2x

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

Khi â ta câ

y1(x) = C1 + C2ex+ 1

2e2x

K¸t hñp vîi i·u ki»n ban ¦u y1(0) = 0, y10(0) = 0 ta thu ÷ñc

C1 = 1

2, C2 = −1Khi â

y1(x) = −1

2e

x+ 1

2e2x

Vªy nghi»m x§p x¿ cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l 

y(x) = ex+ ε(−1

2e

x+ 1

2e2x) +

th¸ biºu thùc n y v o ph÷ìng tr¼nh ban ¦u, ta ÷ñc

(y00 + εy01+ ε2y20 + ) + (y0+ εy1+ ε2y2+ ) = ε(y0+ εy1+ ε2y2+ )2

C¥n b¬ng h» sè cõa ε0 ta câ

y00 + y0 = 0

y01 + y1 = y02

Thay biºu thùc y0(x) = e−x v o ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta ÷ñc

y10 + y1 = e−2x

¥y l  ph÷ìng tr¼nh Becnulli, ta s³ nh¥n c£ hai v¸ vîi ex

Khi â ta câ

y1ex = −e−x + C

Do â

y1(x) = −e−2x+ ce−x

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

K¸t hñp vîi i·u ki»n ban ¦u y0(0) = 1 th¼ ta t¼m ra ÷ñc C = 1Suy ra

y1(x) = e−x− e−2xVªy nghi»m x§p x¿ cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l 

th¸ biºu thùc n y v o ph÷ìng tr¼nh ban ¦u, ta ÷ñc

(y00 + εy10 + ε2y20 + ) + ε(1 + y0+ εy1+ ε2y2+ )(y0+ εy1+ ε2y2+ ) = 1

Khi â

y0(x) = xC¥n b¬ng h» sè ε1 ta câ

Vªy nghi»m x§p x¿ cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l 

V½ dö 2.3.1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh

εy0 + y = 1, y(0) = 0 (2.14)

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

Líi gi£i

Gi£ sû nghi»m cõa b i to¡n l 

y(x) = yo(x) + εy1(x) + ε2y2(x) +

th¸ biºu thùc tr¶n v o ph÷ìng tr¼nh ban ¦u, ta ÷ñc

ε(y00 + εy10 + ε2y20 + ) + (y0 + εy1 + ε2y2 + ) = 1

C¥n b¬ng h» sè cõa ε0 ta câ

y0 = 1

Ta th§y i·u n y khæng thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u y(0) = 0 Do â

ta nâi ¥y l  mët lîp ban ¦u t¤i x = 0 B¥y gií º t¼m ÷ñc nghi»mcõa b i to¡n ta ÷a ra mët ph²p bi¸n êi

ξ = xεKhi â ph÷ìng tr¼nh trð th nh

dy

dξ + y = 1

⇔ dy

1 − y = dξT½ch ph¥n hai v¸ ta ÷ñc

y = 1 − e−ξ−C

K¸t hñp vîi i·u ki»n ban ¦u y(0) = 0 suy ra C = 0

Vªy nghi»m cõa b i to¡n ¢ cho l 

y = 1 − e−ξ = 1 − e−

xε

thay biºu thùc n y v o ph÷ìng tr¼nh ban ¦u, ta ÷ñc

ε(y00 + εy10 + ε2y20 + ) + (y0 + εy1 + ε2y2 + ) = 0

C¥n b¬ng h» sè cõa ε0 ta câ

y0 = 0

i·u n y khæng thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u y(0) = 1 Do â ta nâi

¥y l  mët lîp ban ¦u t¤i x = 0 B¥y gií º t¼m nghi»m cõa b i to¡n

ta ÷a ra mët ph²p bi¸n êi

ξ = xε

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

Khi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh

dy

dξ + y = 0Gi£i ph÷ìng tr¼nh n y ta ÷ñc

y = e−ξ+C

K¸t hñp vîi i·u ki»n ban ¦u y(0) = 1 suy ra C = 0

Vªy nghi»m cõa b i to¡n ban ¦u l 

y = e−ξ = e−

xε

thay biºu thùc n y v o ph÷ìng tr¼nh ban ¦u, ta ÷ñc

ε(y00 + εy10 + ε2y20 + ) − (y0 + εy1 + ε2y2 + )2 + 1 = 0

C¥n b¬ng h» sè cõa ε0 ta câ

−y02 + 1 = 0

⇔ y20 = 1

Ta th§y i·u n y khæng thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u y(0) = 2 Do â

ta nâi ¥y l  mët lîp ban ¦u t¤i x = 0 B¥y gií º t¼m nghi»m cõa

b i to¡n ta ÷a ra mët ph²p bi¸n êi

ξ = xεKhi â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh

1

2ln

y − 1

y + 1

2ln3

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc PHÒNG THÀ H×ÌNG

Vªy nghi»m cõa b i to¡n ¢ cho l 

y = 2

√3

√

3 − e2ξ − 1V½ dö 2.3.4 Gi£i b i to¡n bi¶n

εy00 − y0 = 1, y(0) = 0, y(1) = 0 (2.17)

Líi gi£i

Gi£ sû nghi»m cõa b i to¡n l 

y(x) = yo(x) + εy1(x) + ε2y2(x) +

th¸ biºu thùc n y v o ph÷ìng tr¼nh ban ¦u, ta ÷ñc

ε(y000+ εy100+ ε2y200+ ) − (y00 + εy10 + ε2y20 + ) = 1

C¥n b¬ng h» sè cõa ε0 ta câ

y00 = −1

Bði v¼ ¥y l  mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n bªc mët v  câ hai i·u ki»n

Rã r ng nghi»m cõa nâ khæng thº thäa m¢n hai i·u ki»n n y mëtc¡ch çng thíi Tø â ta nâi r¬ng câ mët lîp bi¶n ð iºm bi¶n kh¡c

m  i·u ki»n l  khæng thäa m¢n

Vîi v½ dö n y, b¬ng c¡ch xem x²t i·u ki»n y0(0) = 0 th¼ nghi»m cõa

nâ l  y0(x) = −x v  lîp bi¶n ÷ñc nâi l  t¤i x = 1(bði v¼ nghi»m n ykhæng thäa m¢n i·u ki»n t¤i x = 1)

Nghi»m cõa nâ l  y0(x) = 1 − x khi y0(1) = 0 v  trong tr÷íng hñp n y

lîp bi¶n ÷ñc nâi l  t¤i x = 0 Tø â, trong tr÷íng hñp kh¡c chóng ta

câ thº hy vång câ mët lîp bi¶n t¤i bi¶n kh¡c

Nh÷ng ð h¼nh 2, chóng ta th§y r¬ng nghi»m cõa b i to¡n n y ÷ñcthay êi trong l¥n cªn iºm bi¶n x = 1 Tø â, ¥y l  mët lîp bi¶nt¤i x = 1 nh÷ng khæng t¤i x = 0

Ta th§y r¬ng khæng ph£i lóc n o nâ câ thº t¼m ÷ñc lîp bi¶n b¬ngc¡ch v³ ç thà nghi»m ch½nh x¡c cõa b i to¡n m  æi khi chóng ta ph£it¼m ra mët ph÷ìng ph¡p gióp x¡c ành mët iºm Ph÷ìng ph¡p nh÷vªy ÷ñc gåi l  ph÷ìng ph¡p lîp bi¶n

º t¼m hiºu ta chuyºn sang nëi dung ti¸p theo

2.4 Ph÷ìng ph¡p lîp bi¶n

B÷îc (i) T¼m nghi»m ngo i (k½ hi»u l  Yo(x))

Th¸ biºu thùc

y(x) = yo(x) + εy1(x) + ε2y2(x) +

v o ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ban ¦u Sau â c¥n b¬ng h» sè cõa ε0 ta

÷ñc mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n cõa y0, gi£i ph÷ìng tr¼nh k¸t hñp vîimët i·u ki»n bi¶n n o â ta s³ t¼m ÷ñc y0(x) â ch½nh l  nghi»mngo i c¦n t¼m

Quay trð l¤i v½ dö 2.3.4 ta gi£ sû lîp bi¶n l  t¤i x0 = 0 th¼ khi ânghi»m ngo i l  Yo(x) = 1 − x

B÷îc (ii) T¼m nghi»m trong ho°c nghi»m lîp bi¶n (k½ hi»u l  Yi(ξ)t¤i iºm x0)

v o phữỡng trẳnh vi phƠn ban Ưu Sau õ cƠn bơng hằ số cừa 0 ta

ữủc mởt phữỡng trẳnh vi phƠn cừa y0, giÊi phữỡng trẳnh kát... cừa 0 ta cõ

y00 =

Bi vẳ Ơy l mởt phữỡng trẳnh vi phƠn bêc mởt v cõ hai iÃu kiằn

Ró rng nghi»m cõa nâ khỉng thº thäa m¢n hai i·u ki»n