Luận văn phổ của một số toán tử

Tôi cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này làtrung thực và không trùng lặp với đề tài khác.. Lý do chọn đề tài Sự phát triển Giải tích hàm đã là công cụ quan trọn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Ngọc Trí

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người đã tận tình hướng dẫn

chỉ bảo cho tôi trong quá trình làm luận văn

Thông qua luận văn này, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong tổGiải tích- khoa Toán- trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 cùng gia đình, bạn bè vàcác thành viên trong lớp Toán giải tích Khóa 17 đã động viên, giúp đỡ tôi hoànthành luận văn này

Bùi Thị Hồng Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn của TS TạNgọc Trí Tôi cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này làtrung thực và không trùng lặp với đề tài khác Các thông tin trích dẫn, các tài liệutham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc Luận văn chưa được công bốtrên bất kỳ tạp chí, phương tiện thông tin nào

Hà Nội, tháng 7 năm 2015 Tác

giả

Bùi Thị Hồng Hoa

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Sự phát triển Giải tích hàm đã là công cụ quan trọng cho việc giải một số cáchiện tượng trong vật lý và là tiền đề để phát triển các nhánh mới của Toán học

Một trong số đó là Lý thuyết phỗ Mặc dù rất nhiều kết quả thuộc Lý thuyết phổ

có nguồn gốc đã lâu (như các kết quả của Riesz) song có lẽ Lý thuyết phổ

(Spectral Theory) được xem như một nhánh nghiên cứu "riêng", chẳng hạn là một

thư mục riêng trong các bài báo tiền ấn phẩm ở đường linkhttp://arxiv.org/archive/math chỉ vài chục năm trở về đây

Từ xây dựng ban đầu của Hilbert cùng với sự phát triển sau này của khái niệmkhông gian Hilbert trừu tượng dẫn đến các vấn đề về phổ của một toán tử chuẩntắc trên không gian Hilbert, một vấn đề trong vật lý, lý thuyết cơ học lượng tử Córất nhiều nhà khoa học đã bỏ công để nghiên cứu phát triển và làm giàu thêm các

kết quả trong Lý thuyết phổ, ví dụ như có Von Newman Các kết quả đó có thể kể

ra ở đây bao gồm việc nghiên cứu sang đại số Banach theo một cách trừu tượng,hay đại diện Gelfand trong các trường hợp giao hoán, phân tích điều hòa khônggian giao hoán và khác biệt nữa trong các phân tích Fourier (Xin tham khảo

thêm ở Wikipedia mục viết về Lý thuyết phổ).

của một số toán tử ” Tôi hy vọng rằng đề tài này sẽ giúp tôi hiểu thêm hơn nữa các vấn đề cơ bản

của Lý thuyết phổ, giúp tôi các thông tin hữu ích về Tính chất phổ của một số lớp

toán tử và phổ của một số toán tử cụ thể Đặc biệt chúng tôi mong muốn được tìmhiểu một cách tiếp cận mà không tách ra một cách cụ thể trường hợp toán tử tuyếntính bị chặn và không bị chặn Chúng tôi cũng hy vọng từ đó luận văn này cũng

giúp những ai quan tâm hiểu thêm về một số các vấn đề cơ bản trong Lý thuyết

phổ, làm tiền đề cho việc học tập nghiên cứu tiếp theo.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Nghiên cứu cách trình bày về phổ mà không tách riêng nghiên cứu toán tử bịchặn và không bị chặn Nghiên cứu các tính chất cơ bản về phổ của toán tửcompact, toán tử tự liên hợp và một số ví dụ cụ thể về phổ của toán tử tự liên hợp

+ Một tài liệu trình bày một cách tổng quan các vấn đề cơ bản nhất về lýthuyết phổ

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Kí hiệu X ^ {0} , Y Ỷ {0}) và z ^ {0} là các không gian Banach trên c với chuẩn

II-Ị| (hoặc ||-||x) Không gian

N { A ) = { x e D (A) : A x = 0} ,

R (A) = ịy G Y : tồn tại X G D (^4) với y = Ax} là hạch và

Do đó, lim (Axn) = A( lim xn) nếu cả hai (xn) và (Axn) hội tụ.

) Cho X = ơ([0,1]) và Af = f' với

D(A) = { f e C 1 ( [ 0 ì l ] ) : f ( 0 ) = 0}.

và f,g G X sao cho f n f và Af n = f n g trong X khi n—>00 Tồn tại / G O1 ([0,1]) sao

A là đóng trên X Ta thấy rằng Aịf = f' với

fn(t) = <

với mỗi 77, € N Do đó, f n —>• f và —»• /' trong X khi 71 —>• 00, ở đây /(í) = t 2

Tuy nhiên, supp/ = [0,1] và / ị D(A).

c) Cho X = Lp(Rd), 1 < p < 00, và m : R d —>• c là đo được Định nghĩa Af =

mf với

D ( A ) = { f e x : m f e X }

d) Cho X = L 1 ([0,1]), Y = c, và Af = /(0) với D{A) = c ([0,1]).

Định nghĩa 1.2.3 Cho A là một toán tử tuyến tính đi từ X đến Y Đồ thị của A

được cho bởi

gr(^4) = {(a;, Ax) G X X Y : X G D(A)}

nếu ta nhóm D(A) với \\-\\ A

tụ trong [D (-A)], tương ứng Do đó, [D (i4)] là đầy đủ nếu và chỉ nếu (gr(^),

IHl^xy) là đầy đủ nếu và chỉ nếu gr(^) с X X y là đóng 4)Mệnh đề 4)suy ra từmệnh đề 3) do

gr(A_1) = {(у, А~ г у) :y <E R ( A ) } = {(Ах, x) : X <E D (A)}

Định lý 1.2.5 (Định lý đồ thị đóng) Cho X và Y là các không gian Banach và

A là một toán tứ đóng đi từ X đến Y Khi đó A là bị chặn (tức là, ||Ar|| < с ||ж|| với mỗi с > 0 và với mọi X G D (Á)) nếu và chỉ nếu D(A) là đóng trong X Nói riêng, một toán tử đóng với D(A) = X thuộc £ ( X , Y )

Chứng minh ” <= Cho D ( A ) là đóng trong X Khi đó D ( A ) là một không gian

Banach cho II-\\ x và \\-\\ A - Do ЦжЦд- < ||ж||л với mọi X £ D (A), theo hệ quả của

định lý ánh xạ mở (xem ví dụ Định lý 3.17 trong [8]) chỉ ra rằng một số с > 0 saocho II Ac||y < ||ж||л < сЦжЦд với mọi X G D(A).

” =>■ ” : Cho A là bị chặn và lấy x n G D (A) hội tụ đến X G X với ||-||x Khi đó

IIAx n — Axm||y < с||жп — жт||х, và vậy dãy (Ax n ) n là Cauchy trong Y Sao cho tồn tại у := lim Ax n trong Y Tính đóng của Ả chỉ ra rằng X G D(A)\ tức là D(A) là

Mệnh đề 1.2.6 Cho A là đóng đi từ X đến Y, T £ £ ( X , Y ) , v à s £ C { Z , X )

Khi đó cấc toán tử sau là đóng.

1 В = A + T với D{B) = D{A),

b) Cho z n G D (С) ,n G N, vầ z £ z,y G Y sao cho z n —)■ г trong z

và ASz n —> у trong Y khi n —> 00 Do s là bị chặn, x n := Sz n hội tụ

С ([0,1]) sao cho т = о trên

với mọi f Е X Khi đó toán tử T A với D ( T A ) = D{Á) là không đóng Để thấy

được điều này, lấy hàm f n G D (Ä) sao cho f n = l trên -, 1

1.3 Phổ của toán tử

và phổ của nó là

a ( A ) = c \ p ( A )

Ta tiếp tục xác định điểm phổ của A bởi

ơp (A) = {л G С : tồn tại V G D (Л) \ {0} , với Ằv = Av} с ơ (A),

A e ơp (i4) là giá trị riêng của Ả và tương ứng V là véctơ riêng hoặc hàm riêng của

A Cho A e p (A) toán tử

R (A, A) := (XI - AỴ l ■ X ^ X

А) : л G p (A)} được gọi là giải thức.

Ví dụ 1.3.2 a) Cho X = c d và T € C { X ) Khi đó ơ (T) chỉ gồm các giá trị riêng Ai, \ m của T , ở

đây m < d

b) Cho X = С ([0,1]), và A u = u ' với D (Л) = с1 ([0,1]) Khi đó ел e D (Л)

và A e \ = Лед với mỗi A Ễ c Do đó, X & ơ p (A) vậy ơ (A) =

ơ" ( A ) = c.

c) Cho X = С ([0,1]), và A u = u ' với

Định lý 1.3.3 Cho A là một toán tử đóng trên X và lấy X e p (A) Khi đó ta có

nếu |A — /xỊ < V||iỉ(A j4)II• C ấ c chuỗi hội tụ hoàn toàn trong c (X, [D (A)]), đều

trên B (A, V||iỉ(A A)||) với mỗi ố e (0,1) Mặt khác,

I , ^ / M I c ( À )

\ \ R ( ^ Á ) \ \ C ( X , [ D ( A ) ] ) ^

mọi ịi £ B (A, ố/||iỉ(A A)||) và một hằng số c(À) chỉ phụ thuộc vào À.

3 Hàm p(A) —>■ c, [X, [D (-A)]), A I—y R ( \ , A , ) , là đồng nhất thức

thường khác với (J^j R ( \ , A ) = {-l)"n\R(X,A) n+ ' với mỗi ĩỉẽR.

4

-Chứng minh 1) Theo mệnh đề 1)

R (A, A ) {ịiR (/X, i4) - j4Æ (/z, A)) = R (A, i4).

Phương trình giải thức được biểu diễn bởi phép trừ và hoán vị A và ụ,.

2) Cho \n — A| < ổ/||iỉ(A^)|| với mỗi ỏ e (0,1) và X € X với ỊỊa^ll < 1 Ta có

Il (A - Mr-R^r'xIL < ||Æ(^)|r (IIMfl (A,yl) Rị\ A)"i|| + I|/Ỉ(A, j4)n+1ĩ||)

< s n (||Aiỉ (A, ,4)11 + 1 + \\R (A, A) II) =: s n c (A) ,

ở đây ta áp dụng 1) Vậy các chuỗi trong 2) hội tụ hoàn toàn trong £ (X, [D (A)]) đều trên B (A, & /\\R{\ j4)||) và chuẩn có thể được ước lượng bởi c (À) (1 — ổ)-1

(i4)]) là liên tục Phương trình giải thức cũng chỉ ra mệnh đề

3) cho n = 1 Thừa nhận 3) có giá trị với mọi 71 e N Khi đó ta được

Chứng minh Lấy Л Ệ m (fỉ) và g G Cb (fỉ) Hàm / := — -g thuộc

c b (П) và Л/ - mf = g vì vậy mf = Xf - g G с ъ ( n ) Vậy / е D ( A ) và / là nghiệm

duy nhất trong D ( A ) của phương trình Л/ — A f = g

cho t > 0.

/

e (R.A № -.) W | á s < £ J e - B ^ ẵ r =

với mọi t > t s , ò đây ta thay r = s — t Vậy Дд/ € Со (M+) và Л ẽ p ( Á )

với R \ = R (А, Л) Nếu ReA < 0, thì ел € X và e ' x = Лед € X Do đó, ел là mộthàm riêng với giá trị riêng A và {А e с : Re А < 0} С ơ ( А ) Do ơ ( A ) là

đóng, ta suy ra

{Л <E С : Re Л < 0} = Ơ ( А )

Định lý 1.3.6 C h o T € £ { X ) K h i đ ó ơ ( T ) là một tập compact khác rỗng.

Bán kính phổ r (T) := max {|A| : A e ơ (T)} được cho bởi

r ( T ) = lim ||T"||i = inf uni- <11711,

và cho Л G с với IЛI > r (T) ta có

R (А, T ) = J2^~ n ~ 1 T n :=

và tương tự R\ (XI — T) = I Do đó, Л e p(T) và R\ = R (A, T) Do nó là tính đóng, phổ ơ (T) С В (0, r) là compact Lại có, tồn tại r(T) là giá trị cực đại của một tập con compact của M, và r(T) < r.

với mọi Л e С và Ф G C { x * ) Áp dụng định lý Hahn-Banach (xem ví dụ của định lý 2.9 trong [8]), ta có R ( X , T ) = 0, điều này không xảy ra khi R ( А, T ) là

Định nghĩa 1.3.8 Cho A là một toán tử bị đóng trên X Khi đó ta gọi

ơ ap (A) = Л € С : tồn tại x n € D (А) với ||жп|| = lvới mọi íỉẽff,

và \x n — Ax n —»• 0 khi n —>• oo là phổ điểm xấp xỉ của A và

là phổ thặng dư của A.

Mệnh đề 1.3.9 Cho một toán tử đóng A trên X ta có các mệnh đề sau:

2 ơ (A) = ơ ap (А) u oy ( A )

3 d ơ ( А ) С ơ a p ( A )

(Chú ý rằng các hợp không cần rời nhau.)

Chứng minh 1) Ta có Л ị ơ ap (i4) nếu và chỉ nếu с > 0 sao cho

= \ x n — A x n y trong X khi n — > oo với mỗi x n G D (i4), khi đó tacó ( x n ) là

đó, A x n = \ x n — y n —>■ X x — y và tính đóng của A tại X € D ( A ) và

Xx — Ax = y.

Kết quả, nếu ( X I — A ) D ( A ) là đóng và Л ị ơ p (i4), khi đó tồn tại nghịch đảo ( X I — A )_1 và đóng trên miền xác định ( X I — A ) D ( A ) Định lý đồ thị đóng 1.2.5 chỉ ra tính bị chặn của ( X I — Ay 1 Do đó,

||x|| = \ \ ( X I — Ay 1 ( X I — A)x\\ < С \ \ { X I - A ) x \ \

2) Mệnh đề 2) suy ra từ 1)

3) Cho Л Ç ỠƠ (A) Khi đó tồn tại An € p ( Á ) với An —> A khi n —> 00.

Theo định lý 1.3.3(4), II-R (A„,-A)|| —> oo khi n —> oo và do đó ta có

x n — —R (An, Á)y n G D ( A ) Khi đó ta có ||жп|| = 1 với mọi 71 e N và

X x n — Ax n = (A — An) x n + —y n —> 0 khi n —>• 00 Vậy Л G сгор (A) □

í Ẽ 1 Từ ví dụ 3.8 trong [8], ta có T ( t ) là phép đẳng cự trên X với nghịch đảo (T (í))-1 = T (—t )

với mỗi í Ễ R Theo định lý 1.3.6 ta có ơ ( T ( t ) ) С 5(0,1) Theo mệnh đề 1.3.10

với mọi s e M Do đó, ơ ( T (t)) = ơp ( T (t)) = Ỡ5 (0,1) cho p = oo.

A* y* = z*.

Ta thấy rằng

(Ах, y*) = (x, A*y*) với mọi X G D ( A ) và y* €

D (A*) Nhận xét 1.3.13 Cho A là tuyến tính đi từ X đến Y với D (Л) = X

a) Do D ( A ) là trù mật, có ít nhất một véctơ г* = A*y* theo định nghĩa 1.2.12

vì vậy A* : D ( А * ) — > X * là một ánh xạ Rõ ràng A * là tuyến tính Nếu А £

£ ( X , Y ) , khi đó theo định nghĩa 1.3.12 trùng với định nghĩa của A * trong §4.4

của [8J, ở đây D ( A * ) = Y *

b) Toán tử A* là đóng đi từ Y* đến X*.

Chứng minh Cho y* G D (A*) ,y* G Y*, và z* G X* sao cho 2/* —> y* trong

Y* và z* := A*y* n z* trong X * khi n —> oo Lấy X G D ( A ) Khi đó

( x , z * ) = lim (x,z* n ) = lim (Ax,y* n ) = ( A x , y *).

chỉ nếu có một véctơ y* e x*\{0} sao cho (Xx — A x , y *) = 0 với mỗi X e D ( A ) Điều này tương đương với đẳng thức (A x , y *) = (x , X y *) với mỗi X e D ( A ) ,

2) Cho À € p(-A) Lấy ÍC € D ( A ) , X * € X*, và tập y* = R ( X , A ) * x * Khi

đó ta có

((À/ — i4) y*) = (i? (À, -A) (À/ — A ) X , X * ) = ( x , X *).

Do đó, y * e D ( A * ) và X* = ( X I — A)*y* = (\I — A * ) y * i ta sử dụng nhận xét 1.3.13 Điều này có nghĩa là X I — A * là toàn ánh Mặt khác, lấy X * e D ( A * )

và X e X Ta tính

{ x , R ( X , A Ỵ ( X I - A * ) X * } = { R (À, A ) X , (ÀI - A * ) X *)

= ( ( X I — A ) R (À, A ) X , X *) = ( x , X *),

theo định nghĩa 1.3.12 và R (A, A ) X thuộc D ( A )

Do đó, R ( A, A ) * (AI — A * ) X * = X * sao cho X I — A * cũng là đơn ánh Khi đó tồn tại R (A, A * ) — R { A, A Ỵ

Kết quả, cho A e p ( A * ) Lấy X e D ( A ) Với mỗi a;* e -X-*, ta tính được

R) = ơ p (L ) = В (0,1) nếu X = c0 hoặc X = ữ với

< p < oo và ơ> (R) = cTp (L) = 5 (0,1) nếu X = Ế 1 Nếu X = ỉ°°, thì R = L* cho L

trên i 1 vì vậy ơ (R) = в (0,1)

Chương 2 PHỔ CỦA TOÁN TỬ COMPACT

Một số kiến thức cơ bản cần dùng trong khóa luận đã được trình bày trong chương

1, tiếp theo ta đi tìm hiểu một số khái niệm và tính chất cơ bản của toán tửcompact, sau đó trình bày một số kết quả cơ bản về phổ của toán tử compact Nộidung chương này được trích dẫn từ các tài liệu [6J, [8] ỊỊTÕ]

Một tập con khác rỗng в с X được gọi là compact tương đối nếu bao đóng của nó

là compact trong X Ta sẽ sử dụng tính chất nếu và chỉ nếu mỗi dãy trong в đều có một dãy con hội tụ (giới hạn trong в) Trên thực tế sự cần thiết của các điều kiện sau là rõ ràng Kết quả, ta thừa nhận rằng mỗi dãy trong в đều có một dãy con hội

tụ Lấy ( x n ) là một dãy trong B Khi đó, với mỗi 77, e N thì tồn tại một y n € в

với

IIx n — 2/n II < • Giả sử, ta có một dãy con (y n ) j với giới hạn у trong B

b) Cho т : X —>■ Y là tuyến tính Khi đó ta có các mệnh đề sau là tương

đương:

(г) T là compact.

( и ) T tập các ánh xạ bị chặn của X đến các tập compact tương đối của Y

(iii) Với mỗi dãy bị chặn (x n ) n ç X đều tồn tại một dãy con hội tụ {Tx n ) ủ trong

Y.

Chứng minh, (г) => (гг): Nếu T là compact và в с X là bị chặn, thì В С В (0, r)

với г > о và ТВ с ТВ (о, г) = гТВ (о, 1), là compact Do đó, ТВ là compact Suy

Tập u m = x v (m) Do đó, (T n u m ) m hội tụ khi m —> oo với mỗi ìỉẽN Lấy £ > 0.

\\Tu M — Twm|| < II (T — T N ) U M II + ||ĩjv (% — u m )\\ + ||(7jv — T) u m II

Ví dụ 2.1.4 Cho X <E { C ([0,1]), L p ([0,1]), 1 < p < oo} , Y = с ([о, 1]) và к

b) Cho z = L 2 ([0,1]) và k € L 2 ^[0, l]2^ Xác định T e C { z ) như

trong phần a)(Xem ví dụ 2.23 trong [8j) Ta có k n G c ^[0, l]2^ hội tụ về

k € L 2 ^[0, l]2^ Lấy T n là tích phân của toán tử tương ứng trong C ( Z ) và c ( Z ,

c ([0,1])) như trong a) Theo bất đẳng thức Hôlder

\ T f ( t ) - T n f ( t ) \ < í \ k ( t , r ) — k n (í, r)| I/ (r)| d r

Jo

~ (/ ~ k n { t , T ) \ 2 d T ^ j ||/||2

với mọi n G N, / e và t e [0,1] Do đó IIT f - T n f ||2 < IIk - M2II/II2 và vì T n —

> T khi n — > o o trong C { z ) Lấy (f k ) c z là bị chặn và n ẽ N Do a) (T n fk )j

là một dãy con hội tụ với II'II00, và do đó II'II2 (vì À ([0,1]) < oo) Vậy T n e C Q

(z) và tính compact của T được biểu diễn từ Mệnh đề 2.1.3.

Định lý 2.1.5 (Schauder) Một toán tử T € £ { X , Y ) là compact nếu và chỉ nếu

T* e £ ( Y * , X * ) là compact.

Chứng minh 1) Cho T compact và y* e Y*, n e N, với supneN ||y*|| := c < oo Tập

K := TBx (0,1) là một không gian metric compact với giới hạn của chuẩn của Y.

Tập /n := yl\K £ c (K ) với mỗi 71 e N Đặt C ị := max^g^ ||y|| < oo, ta có

II/ n II00 = max \ ( y , y * n ) \ < C Ũ Ị

yeK