Luận văn thạc sỹ một thuật toán tự thích nghi giải bài toán chấp nhận tách trong không gian banach

trong tài liệu [19] về một thuật toán tự thích nghi giải Bài toán0.2 trong không gian Banach... Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về không gian Banac

Không gian Banach p-lồi đều và không gian Banach trơn đều

Không gian Banach phản xạ

Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn và X ∗ là không gian đối ngẫu của nó Để cho đơn giản và thuận tiện hơn, chúng tôi thống nhất sử dụng kí hiệu ∥.∥để chỉ chuẩn trênX vàX ∗ ; giá trị của phiếm hàm tuyến tính x ∗ ∈X ∗ tại điểm x∈X được ký hiệu là ⟨x, x ∗ ⟩. Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E được gọi là phản xạ nếu với mọi x ∗∗ ∈E ∗∗ , tồn tại x∈ E sao cho

Ví dụ 1.1.2 Mọi không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều, các không gian l p hay L p (Ω), với 1 < p 0 và một dãy con {x n k } ⊂ {x n } sao cho

Vì tập hợp {x n k} là một tập con của A và A là tập compact tương đối, nên tồn tại một dãy con {x n kl} thuộc {x n k} sao cho x n kl hội tụ về y Sự hội tụ mạnh dẫn đến hội tụ yếu, do đó x n kl ⇀ y và suy ra y = x Thay thế x n k bằng x n kl trong bất đẳng thức (1.1) sẽ cho kết quả mới.

∥xn kl −y∥ ≥ ε, mâu thuẫn với x n kl ⇀ y.

Trong luận văn này, chúng tôi thường xuyên sử dụng tính chất dưới đây của không gian Banach phản xạ.

Trong không gian Banach E, các khẳng định sau đây là tương đương: (i) E là không gian phản xạ và (ii) mọi dãy bị chặn trong E đều có một dãy con hội tụ yếu.

Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trong không gian tuyến tính định chuẩn.

1 Cho X là không gian Banach, Y là không gian tuyến tính định chuẩn và {A n } ⊂ L(X, Y ) Nếu với mỗi x ∈ X, dãy {A n x} hội tụ trong Y , thì sup n ∥A n ∥ < ∞.

Mệnh đề 1.1.9 Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian không gian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu.

Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử có một dãy \(\{x_n\} \subset C\) sao cho \(x_n \rightharpoonup x\), nhưng \(x \notin C\) Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại một điểm \(x^* \in X^*\) tách ngặt \(x\) và \(C\), tức là tồn tại \(\varepsilon > 0\) sao cho

⟨y, x ∗ ⟩ ≤ ⟨x, x ∗ ⟩ −ε, với mọi y ∈C Đặc biệt, ta có

⟨x n , x ∗ ⟩ ≤ ⟨x, x ∗ ⟩ −ε, với mọi n ≥ 1 Ngoài ra, vì x n ⇀ x, nên ⟨x n , x ∗ ⟩ → ⟨x, x ∗ ⟩ Do đó, trong bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được

⟨x, x ∗ ⟩ ≤ ⟨x, x ∗ ⟩ −ε, điều này là vô lý Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu.

Mệnh đề được chứng minh.

Chú ý 1.1.10 Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng.

Hàm lồi và một số tính chất

Trong phần này, luận văn trình bày khái niệm hàm lồi thông qua đồ thị và một số tính chất cơ bản Định nghĩa 1.1.11 nêu rõ rằng, cho tập lồi D ⊂ E và hàm f : D → R∪ {±∞}, hàm f được gọi là chính thường nếu miền xác định của f không rỗng và f(x) > −∞ với mọi x ∈ D Hàm f được xem là hàm lồi trên D nếu tập epi f là tập lồi trong E × R, với epi f = {(x, r) ∈ D × R: f(x) ≤ r} Cuối cùng, hàm f : D ⊂ E → R được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x ∈ D nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho f(x) − ε ≤ f(x) với mọi x ∈ D, ∥x − x∥ < δ, và hàm f được coi là nửa liên tục dưới trên D nếu điều này đúng với mọi điểm x ∈ D.

Dưới đây là ví dụ về hàm nửa liên tục dưới.

Ví dụ 1.1.12 Cho f : R−→ R là hàm số được xác định bởi f(x) 

Khi đó, hàm f là hàm nửa liên tục dưới tại điểm x = 0, nhưng không liên tục tại x = 0.

Hàm số f không liên tục tại x = 0, vì với mọi ε > 0 và δ > 0 (có thể chọn δ là số dương bất kỳ), ta có f(0) - ε = -1 - ε < -1 ≤ f(x) với mọi x Do đó, f là nửa liên tục dưới tại 0.

Hàm f được coi là nửa liên tục dưới yếu tại điểm x ∈ D nếu với mọi dãy {x_n} ⊂ D thỏa mãn x_n ⇀ x, thì có f(x) ≤ lim inf_{n→∞} f(x_n) Hàm f được xác định là lồi trên D khi và chỉ khi f[tx + (1−t)y] ≤ tf(x) + (1−t)f(y) cho mọi x, y ∈ D và mọi t ∈ [0,1] Ngoài ra, hàm f được gọi là lồi chặt trên D nếu đồ thị epi f của nó là tập lồi chặt trên E × R, tương đương với điều kiện f[tx + (1−t)y] < tf(x) + (1−t)f(y) cho mọi x, y ∈ D với x ≠ y và mọi t ∈ (0,1).

Ví dụ 1.1.14 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó, hàm f(x) =∥x∥ là hàm lồi trên X.

Thật vậy, với mọi x, y ∈X và mọi t∈[0,1], ta có

∥tx+ (1−t)y∥ ≤ ∥tx∥+∥(1−t)y∥=t∥x∥+ (1−t)∥y∥, hay tương đương với f[tx+ (1−t)y] ≤ tf(x) + (1−t)f(y).

Do đó f là hàm lồi trên X.

Mệnh đề 1.1.15 nêu rõ rằng, với D ⊂ E là một tập lồi và f : D → R∪ {±∞} là một hàm lồi trên D, ta có hai khẳng định quan trọng: Thứ nhất, mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên D đều là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D Thứ hai, nếu f là hàm lồi chặt trên D, thì điểm cực tiểu của f, nếu tồn tại, sẽ là duy nhất.

Chứng minh i) Giả sửx 0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương củaf, nhưng x 0 không là điểm cực tiểu toàn cục Khi đó, tồn tại x 1 ∈D sao cho f(x 1 ) < f(x 0 ).

Vì \( x_0 \in D \) là một điểm cực tiểu địa phương của hàm \( f \), nên tồn tại một lân cận \( U \) của \( x_0 \) sao cho \( f(x_0) \leq f(x) \) với mọi \( x \in D \cap U \) Với \( t \in (0,1) \) đủ nhỏ, ta có \( x_t = x_0 + t(x_1 - x_0) \in D \cap U \), từ đó suy ra \( f(x_0) \leq f(x_t) = f[tx_1 + (1-t)x_0] \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_0) \).

Suy ra f(x 0 ) ≤ f(x 1 ), mâu thuẫn với f(x 1 ) < f(x 0 ) Vậy x 0 là một điểm cực tiểu của f trên D. ii) Giả sử x 1 và x 2 là các điểm cực tiểu của f trên D với x 1 ̸= x 2 Khi đó f(x 1 ) =f(x 2 ) =m= min x∈Df(x).

Từ tính lồi chặt của f suy ra f(x 1 +x 2

2(f(x 1 ) +f(x 2 )) = m, mâu thuẫn vớim= min x∈D f(x) Vậy điểm cực tiểu củaf nếu có là duy nhất.

Điều kiện dưới đây xác định sự tồn tại của điểm cực tiểu cho một phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới trong không gian Banach phản xạ.

Mệnh đề 1.1.16 khẳng định rằng, với C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach phản xạ E, và hàm f : C −→ (−∞,∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trên C, thỏa mãn điều kiện f(x_n) → ∞ khi ∥x_n∥ → ∞, thì tồn tại một điểm x_0 thuộc miền xác định của f sao cho f(x_0) bằng giá trị nhỏ nhất của f trên C.

Chứng minh rằng m = inf{f(x) : x ∈ C} tồn tại dãy {x_n} ⊂ C với f(x_n) → m khi n → ∞ Nếu dãy {x_n} không bị chặn, sẽ có dãy con {x_{n_k}} sao cho ∥x_{n_k}∥ → ∞, dẫn đến f(x_{n_k}) → ∞, mâu thuẫn với m ≠ ∞ Do đó, dãy {x_n} phải bị chặn Theo Mệnh đề 1.1.8 và Mệnh đề 1.1.9, tồn tại dãy con {x_{n_j}} của {x_n} sao cho x_{n_j} ⇀ x_0 ∈ C Với f là nửa liên tục dưới trong tôpô yếu, ta có m ≤ f(x_0) ≤ lim inf_{j→∞} f(x_{n_j}) = lim_{n→∞} f(x_n) = m.

Mệnh đề được chứng minh.

Không gian Banach p-lồi đều

Trong phần này, chúng tôi sẽ thảo luận về các vấn đề cơ bản liên quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach, bao gồm tính lồi, tính trơn, mô đun lồi và mô đun trơn Định nghĩa 1.1.17 nêu rõ rằng không gian Banach E được coi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ E, x ≠ y và có độ lớn chuẩn là 1, thì trung bình cộng của chúng, tức là \(\frac{x+y}{2}\), cũng thuộc không gian này.

Chú ý 1.1.18 Định nghĩa 1.1.17 còn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ S E thỏa mãn ∥x+y∥

2 = 1, suy ra x = y hoặc với mọi x, y ∈ S E và x ̸= y ta có

∥tx+ (1−t)y∥0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà ∥x∥ = 1, ∥y∥= 1,∥x−y∥ ≥ ε ta luôn có x+y 2

Nếu E là một không gian Banach lồi đều, thì nó cũng là không gian Banach lồi chặt Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng, và ví dụ dưới đây sẽ minh họa cho điều này.

Ví dụ 1.1.20 (xem [1] trang 54) Xét E =c 0 (không gian các dãy số hội tụ về không) với chuẩn ∥.∥β xác định bởi

Không gian lồi chặt (E,∥.∥ β ) với β > 0 không phải là không gian lồi đều Để đo lường tính lồi của không gian Banach E, khái niệm mô đun lồi được giới thiệu, với hàm số δ E (ε) = inf.

Mô đun lồi của không gian Banach E là một hàm số liên tục và tăng trên đoạn [0; 2] Không gian Banach E được coi là lồi chặt khi và chỉ khi δ E (2) = 1 Hơn nữa, không gian Banach E là lồi đều khi δ E (ε) > 0 cho mọi ε > 0.

Ví dụ 1.1.22 Cho H là không gian Hilbert, khi đó mô đun lồi của H được xác định bởi δ H (ε) = 1− r

Mệnh đề 1.1.23 (xem [1] trang 56) Mọi không gian Banach lồi đều bất kì là không gian phản xạ.

Chứng minh Giả sử E là không gian Banach lồi đều, ta cần chứng minh E là không gian Banach phản xạ Giả sử S E ∗ := {j ∈ E ∗ : ∥j∥ = 1} là hình cầu đơn vị trong E ∗ và f ∈ S E ∗

Giả sử {xn} là một dãy trong S E sao cho ⟨xn, f⟩ → 1 Ta sẽ chỉ ra {xn} là một dãy Cauchy.

Giả sử {x n } không là dãy Cauchy, khi đó tồn tại ε > 0 và hai dãy {x n i } và {xn j} của {xn} sao cho

Theo giả thiết, E là không gian lồi đều, nên ∃δ(ε) >0 sao cho x n i +x n j 2

Theo định nghĩa, nếu \$\|f\|(1−δ) = 1−δ\$ thì điều này mâu thuẫn với \$f(x_n) \to 1\$ Do đó, dãy \{x_n\} là dãy Cauchy và tồn tại \$x \in E\$ sao cho \$x_n \to x\$ Rõ ràng, \$x \in S_E\$ và từ tính liên tục của chuẩn, ta có \$\|x\| \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = 1\$ Vì vậy, từ \$\langle x_n, f \rangle \to 1\$ khi \$n \to \infty\$, ta suy ra rằng \$\langle x, f \rangle = 1\$ Theo Định lý James 2, điều này dẫn đến kết luận rằng \$E\$ là không gian phản xạ.

Không gian Banach \(E\) được coi là phản xạ khi và chỉ khi với mỗi \(j \in S E^*\), tồn tại \(x \in S E\) sao cho \(\langle x, j \rangle = 1\) Định nghĩa 1.1.24 cho biết rằng với số thực \(p > 1\), không gian Banach \(E\) được gọi là p-lồi đều nếu tồn tại một hằng số \(c > 0\) sao cho \(\delta_E(\varepsilon) \geq c \varepsilon^p\) với mọi \(\varepsilon \in [0, 2]\).

Ví dụ 1.1.25 [1] Nếu E =L p (Ω) hoặc E =l p , với 1 < p < ∞, thì ta có a) δ E (ε) ≥ 1

Do đó, các không gian L p (Ω) hay l p là 2-lồi đều nếu 1 < p < 2 và là p-lồi đều nếu p≥2.

Không gian Banach trơn đều

Không gian Banach \( E \) được gọi là trơn nếu với mỗi \( x \in S_E \), tồn tại duy nhất \( f_x \in E^* \) sao cho \( \langle x, f_x \rangle = \|x\| \) và \( \|f_x\| = 1 \) Chuẩn trên \( E \) được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm \( x \in S_E \) nếu với mỗi \( y \in S_E \), tồn tại giới hạn \[\frac{d}{dt}(\|x + ty\|) \bigg|_{t=0} = \lim_{t \to 0}\]

Trong không gian tuyến tính định chuẩn E, chuẩn được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi điểm \( x \in S_E \) Chuẩn được xem là khả vi Gâteaux đều khi giới hạn trong (1.3) tồn tại đều với mọi \( y \in S_E \) Nếu giới hạn (1.3) tồn tại đều với mọi \( x \in S_E \), chuẩn được gọi là khả vi Fréchet Cuối cùng, chuẩn được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.3) tồn tại đều với mọi \( x, y \in S_E \).

Định lý 1.1.29 mô tả mối liên hệ giữa tính trơn và tính lồi chặt của không gian Banach E và không gian đối ngẫu E∗ Cụ thể, nếu E∗ là không gian lồi chặt thì E là không gian trơn, và ngược lại, nếu E∗ là không gian trơn thì E là không gian lồi chặt Định nghĩa 1.1.30 giới thiệu mô đun trơn của không gian Banach E, được xác định bởi hàm số ρE(τ) = sup{2^{-1} ∥x+y∥ + ∥x−y∥}.

Nhận xét 1.1.31 Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng trên khoảng [0;∞) (xem [1] trang 95).

Ví dụ 1.1.32 [13] Nếu E là không gian l p hoặc L p (Ω), thì ta có ρ E (τ) 

Định lý 1.1.33 cho thấy mối liên hệ giữa mô đun trơn của không gian Banach E và mô đun lồi của E ∗ Cụ thể, nếu E là một không gian Banach, thì ta có công thức ρ E ∗ (τ) = sup{τ ε với p ≥ 2.

Nhận xét 1.1.34 Từ Định lý 1.1.33, suy ra ρ 0 (E) = ε 0 (E ∗ )

2 , trong đó ε 0 (E) = sup{ε: δ E (ε) = 0}, ρ 0 (E) = lim τ →0 ρ E (τ) τ Định nghĩa 1.1.35 Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu τlim→0 ρ E (τ) τ = 0.

Theo Nhận xét 1.1.34, ta có Định lý 1.1.36: Nếu E là không gian Banach, thì nếu E là không gian trơn đều, thì E ∗ là không gian lồi đều; ngược lại, nếu E là không gian lồi đều, thì E ∗ là không gian trơn đều.

Ví dụ 1.1.37 Mọi không gian Hilbert, không gian l p hay L p (Ω) với

Trong không gian Banach, với mọi số thực \(1 < p < \infty\), đều có tính lồi và trơn đều Định nghĩa 1.1.38 nêu rõ rằng, với số thực \(q > 1\), không gian Banach \(E\) được gọi là q-trơn đều nếu tồn tại một hằng số \(c > 0\) sao cho \(ρ_E(τ) ≤ cτ^q\) cho mọi \(τ > 0\).

Ánh xạ đối ngẫu

Định nghĩa 1.2.1 Ánh xạ đối ngẫu J p : E −→ 2 E ∗ với 1 < p 0 sao cho

∥x−y∥ q ≤ ∥x∥ q −q⟨y, J q (x)⟩+C q ∥y∥ q (1.9)Nhận xét 1.2.6 Mọi không gian Hilbert H là 2-trơn đều và ta có C q = 2.

Khoảng cách Bregman và phép chiếu Bregman

Khoảng cách Bregman

Cho f : E −→ (−∞,∞] là một hàm lồi khả vi Gâteaux Hàm số D f : domf ×int domf −→[0,∞) được xác định bởi

D f (y, x) =f(y)−f(x)− ⟨y−x,▽f(x)⟩, gọi là khoảng cách Bregamn tương ứng với f (xem [8]).

Nếu E là một không gian Banach trơn và lồi chặt vàf(x) = 1 p∥x∥ p , thì ▽f(x) J p (x) và do đó khoảng cách Bregman tương ứng với f được cho bởi

Dễ thấy rằng với mọi x, y, z ∈ E, ta có

Thật vậy, biến đổi vế phải của (1.10), ta có

Biến đổi vế trái của (1.11), ta nhận được

Ta biết rằng nếu E là một không gian Banach p-lồi đều, thì khoảng cách Bregman có tính chất sau: τ∥x−y∥ p ≤ D p (x, y) ≤ ⟨x−y, J p (x)−J p (y)⟩, (1.12) với mọi x, y ∈E và τ >0 là một số dương nào đó.

Trong trường hợp φ(t) = t p−1 , p > 1, ta có Φ(t) = Rt

0 φ(s)ds = t p p Khi đó khoảng cách Bregman D ϕ = D p được gọi là hàm p-Lyapunov và được xác định bởi

D p (x, y) = ∥x∥ p p − ⟨x, J p (y)⟩+ ∥y∥ p q , (1.13) trong đó 1 p + 1 q = 1 Nếup= 2, thì khoảng cách Bregamn là hàmϕ : E×E →R + được xác định như sau ϕ(x, y) =∥x∥ 2 −2⟨x, Jy⟩+∥y∥ 2

Cho E là một không gian Banach phản xạ, trơn và lồi chặt Xét hàm V p :

V p (x,x) =¯ ∥x∥ p p − ⟨x,x⟩¯ + ∥¯x∥ q q (1.14) với mọi x∈ E và x¯ ∈ E ∗ Khi đó V p là không âm và V p thỏa mãn các tính chất dưới đây:

V p (x,x) +¯ ⟨Jq(¯x)−x,y⟩ ≤¯ V p (x,x¯+ ¯y), ∀x ∈E, x,¯ y¯∈E ∗ (1.16) Hơn nữa, V p là hàm lồi theo biến thứ hai Từ đó, với mọi z ∈E, ta có

X i=1 t i D p (z, x i ), (1.17) trong đó {xi} M i=1 ⊂ E và {ti} M i=1 ⊂ (0,1) với PM i=1t i = 1.

Phép chiếu Bregman

Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất về phép chiếu mêtric.

Ta có mệnh đề dưới đây:

Giả sử C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach lồi chặt và phản xạ E Khi đó, tập C_0 = \{x \in C : \|x\| = \inf\{\|y\| : y \in C\}\} chỉ chứa duy nhất một phần tử.

Chứng minh Đặt d = inf{∥y∥ : y ∈ C} Khi đó, tồn tại dãy {x n } ⊂ C sao cho

Khi dãy số \(\|x_n\|\) hội tụ đến \(d\) khi \(n\) tiến đến vô cùng, từ tính bị chặn của dãy \(\{x_n\}\) và Mệnh đề 1.1.8 cho thấy tồn tại một dãy con \(\{x_{n_k}\} \subset \{x_n\}\) sao cho \(x_{n_k} \rightharpoonup x\) Dựa vào tính đóng yếu của tập \(C\) (Mệnh đề 1.1.9), ta suy ra rằng \(x \in C\) Cuối cùng, nhờ vào tính nửa liên tục dưới yếu của chuẩn, ta có kết quả mong muốn.

Ta chứng minh tính duy nhất Giả sử tồn tại y ̸= x và y ∈ C 0 Từ tính lồi chặt của C, ta có ∥tx+ (1−t)y∥< d với mọi t∈(0,1), điều này mâu thuẫn với d= inf{∥y∥: y ∈ C}.

Giả sử C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach lồi chặt và phản xạ E Khi đó, với mỗi x thuộc E, tồn tại duy nhất một phần tử.

Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.3.1 cho tập x− C ta nhận được điều phải chứng minh.

Từ Hệ quả 1.3.2, nếu C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach phản xạ, lồi chặt E, thì ta có ánh xạ P C : E −→ C xác định bởi

∥x−P C x∥= inf y∈C∥x−y∥, với mọi x ∈E Ánh xạ P C này được gọi là phép chiếu mêtric từ E lên C. Đặc trưng của phép chiếu mêtric P C được cho bởi mệnh đề dưới đây.

Mệnh đề 1.3.3 khẳng định rằng, trong không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn E, nếu C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của E, với x ∈ E và z ∈ C, thì các khẳng định sau đây là tương đương: (a) z là điểm tối ưu của x trong C, ký hiệu là z = P_C x; (b) với mọi y ∈ C, bất đẳng thức ⟨y − z, j(x − z)⟩ ≤ 0 được thỏa mãn.

Không gian Banach E là một không gian phản xạ, lồi chặt và trơn Khái niệm phép chiếu Bregman được định nghĩa như một ánh xạ từ E đến C, ký hiệu là Π C, với Π C (x) = argmin y∈C D p (y, x) cho x∈E Điều này có nghĩa là Π C (x) là điểm cực tiểu duy nhất của hàm khoảng cách Bregman D p (x, y) trên tập C.

Chúng ta chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của hàm Π C (x) Đối với mỗi x thuộc E, D f (y, x) được xác định là hàm lồi chặt, đồng thời là hàm chính và nửa liên tục dưới trên C.

{D f (y, x) : y ∈ C} bị chặn dưới bởi 0, nên tồn tại d = inf y∈C D f (y, x) Theo tính chất của cận dưới đúng, tồn tại dãy {y n } ⊂ C sao cho n→∞lim D f (y n , x) =d (1.18)

Suy ra dãy {D f (y n , x)} bị chặn, tức là tồn tại số K sao cho D f (y n , x) ≤ K với mọi n ≥1 Từ đó, ta có

Do đó dãy {y n } bị chặn Theo Mệnh đề 1.1.8, tồn tại dãy con {y n k } ⊂ {y n } sao cho y n k ⇀ Π C (x) ∈C Từ tớnh nửa liờn tục dưới của D f (ã, x) ta cú d≤ D f (Π C (x), x)≤ lim inf k→∞ D f (y n k , x) = lim k→∞D f (y n , x) =d.

Suy ra D f (Π C (x), x) = d Từ tớnh lồi chặt của D f (ã, x) và Mệnh đề 1.1.15 ii), suy ra tính duy nhất của Π C (x).

Phép chiếu Bregman được đặc trưng bởi tính chất dưới đây:

Mệnh đề 1.3.4 Anh xạ Π C : E −→ C là phép chiếu Bregman khi và chỉ khi

Chứng minh Giả sử (1.19) đúng Khi đó, từ D p (z,Π C (x)) ≥ 0 với mọi z ∈ C, ta có

Suy ra Π C x là hình chiếu Bregman của x lên C.

Ngược lại, giả sử Π C x là hình chiếu Bregman của x lên C Khi đó, ta có

D p (Π C x, x) ≤ D p (z, x) với mọi z ∈ C Vì C là tập lồi và z,Π C x ∈ C, nên z t = tz+ (1 −t)Π C x ∈ C với mọi t ∈ (0,1) Do đó D p (Π C x, x) ≤ D p (z t , x) với mọi t∈(0,1) Điều này tương đương với

Vì D p (Π C x, z t )≥ 0 và t >0, nên ta có

Mệnh đề được chứng minh.

Chú ý 1.3.5. i) Từ đặc trưng của phép chiếu Bregman, ta có

D p (Π C x, z) ≤D p (x, z)−D p (x,Π C x), ∀z ∈ C (1.20) ii) Nếu E là một không gian Hilbert, f(x) = 1

2∥x∥ 2 , thì phép chiếu Bregman tương ứng với hàm f trùng với phép chiếu mêtric.

Bài toán chấp nhận tách

Cho các tập con lồi, đóng và khác rỗng của các không gian Banach \(E\) và \(F\), ký hiệu là \(ChoC\) và \(Ql\) Đối với toán tử tuyến bị chặn \(A: E \rightarrow F\), toán tử liên hợp \(A^*: F^* \rightarrow E^*\) được định nghĩa Bài toán chấp nhận tách (SFP) trong không gian Banach được phát biểu như sau:

Tìm một phần tử x ∗ ∈S =C ∩A −1 (Q) ̸=∅ (SFP)

Bài toán tổng quát (SFP) được gọi là bài toán MSSFP, trong đó cho các tập con lồi và đóng C_i (với i = 1, 2, , N) và Q_j (với j = 1, 2, , M) của các không gian E và F tương ứng.

Tìm một phần tử x ∗ ∈ S =∩ N i=1 C i ∩A −1 (∩ M j=1 Q j ) ̸=∅ (MSSFP)

Mô hình bài toán (SFP) được giới thiệu lần đầu bởi Y Censor và T Elfving, đóng vai trò quan trọng trong khôi phục hình ảnh y học và điều khiển cường độ xạ trị trong điều trị ung thư Ngoài ra, SFP còn được áp dụng để khôi phục tín hiệu và giải quyết các bài toán cân bằng trong kinh tế và lý thuyết trò chơi.

Khi E và F là các không gian Hilbert, phương pháp CQ là một trong những cách cơ bản để giải bài toán (SFP) Phương pháp này chuyển đổi bài toán (SFP) thành việc tìm kiếm một điểm bất động của ánh xạ \( P C I - \gamma T^* (I - P Q) T \).

, trong đó γ > 0, P C và P Q lần lượt là các phép chiếu mêtric từ E lên C và từ F lên Q, tương ứng.

Ánh xạ T là không giãn, cho phép áp dụng các phương pháp tìm điểm bất động như phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Halpern và phương pháp xấp xỉ gắn kết để giải quyết Bài toán (SFP).

Xu [22] đã chứng minh rằng phương pháp CQ hội tụ yếu về một nghiệm của Bài toán (SFP) Cụ thể, Định lý 1.4.1 nêu rõ rằng nếu γ ∈

∥T∥ 2 thì dãy {xn} xác định bởi x 1 ∈E và x n+1 =P C I −γT ∗ (I −P Q )T x n hội tụ yếu về một nghiệm của bài toán (SFP).

Sự hội tụ của phương pháp lặp Mann và phương pháp lặp được cho bởi định lý dưới đây: Định lý 1.4.2 [22] Cho dãy {α n } ⊂ [0,4/(2 +γ∥T∥ 2 )] thỏa mãn điều kiện

∥T∥ 2 thì dãy {x n } xác định bởi x 1 ∈ E và x n+1 = (1−α n )x n +α n P C I −γT ∗ (I −P Q )T x n , hội tụ yếu về một nghiệm của bài toán (SFP).

Năm 2006, Xu đã phát triển các thuật toán mở rộng cho phương pháp CQ nhằm giải quyết Bài toán (MSSFP) Ông cũng đã chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp Picard cho bài toán này.

L=∥T∥ 2 PM j=1β j , thì dãy {x n } xác định bởi x 1 ∈E và x n+1 = P C N (I −γ

X j=1 β j T ∗ (I −P Q j )T)x n hội tụ yếu về một nghiệm của Bài toán (MSSFP).

Xu đã phát triển và chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp song song và phương pháp lặp xoay vòng cho Bài toán MSSFP Định lý 1.4.4 chỉ ra rằng nếu γ ∈

L = ∥T∥ 2 PM j=1β j và λ i > 0 thỏa mãn PN i=1λ i = 1, thì dãy {x n } xác định bởi x 1 ∈E và x n+1 N

X j=1 β j T ∗ (I −P Q j )T)x n hội tụ yếu về một nghiệm của Bài toán (MSSFP). Định lý 1.4.5 [21] Nếu γ ∈

L=∥T∥ 2 PM j=1β j , thì dãy {xn} xác định bởi x 1 ∈E và x n+1 = P C [n+1] (I −γ

X j=1 β j T ∗ (I −P Q j )T)x n hội tụ yếu về một nghiệm của Bài toán (MSSFP).

KhiE và F là các không gian Banach p-lồi đều và trơn đều, năm 2014, Wang

Wang đã cải tiến thuật toán của Schopfer và chứng minh một định lý hội tụ mạnh cho bài toán MSSFP Đối với mỗi n thuộc tập hợp số tự nhiên N, ông đã xác định dãy ánh xạ {Tn}.

J q ∗ [J p (x)−t n A ∗ J p (I −P Q i(n)−N )A(x)] N + 1≤ i(n) ≤N +M, trong đói : N→ {1,2, , N} là ánh xạ điều khiển xoay vòng được xác định bởi i(n) =nmod(N +M) + 1 và t n thỏa mãn điều kiện

, (1.21) với C q được xác định trong Mệnh đề 1.2.5 Wang đã đề xuất thuật toán sau: Với mỗi phần tử ban đầu x 0 = ¯x, xác định dãy {x n } bởi

(1.22) trong đó ∆ p là khoảng cách Bregman tương ứng với hàm số f(x) = 1 p∥x∥ p , Π C là phép chiếu Bregman và J p là ánh xạ đối ngẫu.

Phương pháp lặp (1.22) hội tụ mạnh theo định lý 1.4.6, trong đó dãy {x n } được xác định bởi thuật toán này hội tụ mạnh về hình chiếu Bregman Π S x¯ của x¯ lên tập nghiệm S.

Alsulami và Takahashi đã đề xuất một thuật toán để tìm nghiệm của bài toán SFP trong không gian Hilbert và không gian Banach trơn, phản xạ, lồi chặt Họ đã chứng minh định lý quan trọng liên quan đến không gian Hilbert H và không gian Banach E, trong đó J E là ánh xạ đối ngẫu của E Định lý chỉ ra rằng với các tập con lồi, đóng và khác rỗng C và Q trong H và E, cùng với các phép chiếu mêtric P C và P Q, tồn tại một toán tử tuyến tính A từ H đến E Nếu tập nghiệm Ω của bài toán SFP khác rỗng và dãy {u n} hội tụ về u, thì dãy {x n} được xác định bởi công thức x n+1 =β n x n + (1−β n )(α n u n + (1−α n )P C (x n −τ A ∗ J E (I −P Q )Ax n )) cho mọi n ≥ 1.

(1.23) trong đó {α n } ⊂ (0,1) và {β n } ⊂ (0,1) thỏa mãn các điều kiện:

Khi đó {x n } hội tụ mạnh về x ∗ ∈ Ω, ở đây x ∗ =P Ω u.

Một thuật toán tự thích nghi cho bài toán chấp nhận tách 28

Phát biểu bài toán

Cho E và F là hai không gian Banach p-lồi đều và trơn đều Xét các tập con lồi, đóng và khác rỗng C_i (i = 1, 2, , M) và Q_j (j = 1, 2, , N) của E và F Định nghĩa A: E → F là một toán tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A^*: F^* → E^* Bài toán chấp nhận tách đa tập hợp (MSSFP) được xem xét trong bối cảnh này.

TN j=1Q j là tập nghiệm của Bài toán (2.1).

Thuật toán và sự hội tụ

Luận văn này trình bày một thuật toán tự thích nghi do Pongsakorn và Tuyen đề xuất trong tài liệu [19] Chúng ta ký hiệu J p E và J q E ∗ là ánh xạ đối ngẫu của không gian E và không gian đối ngẫu E ∗, tương ứng.

1 < q≤ 2 ≤p < ∞ với 1 p + 1 q = 1. Định lý 2.2.1 Cho E là một không gian Banach p-lồi đều và trơn đều và F là một không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn Cho C i , i = 1,2, , M và

Các tập con lồi, đóng và khác rỗng của E và F được ký hiệu là Q j, với j = 1, 2, , N A : E → F là một toán tử tuyến tính bị chặn, trong khi A ∗ : F ∗ → E ∗ là toán tử liên hợp của A Giả sử rằng tập nghiệm Ω của Bài toán (2.1) là khác rỗng Xét dãy {u n} trong E sao cho u n → u Đối với bất kỳ x 1 ∈ E, dãy {x n} được xác định như sau.

P Q j+1 )Av n,j ∥ p với j = 1,2, , N −1 và f(x n ) = 1 p ∥(I −P Q 1 )Ax n ∥ p với cỡ bước τ n,1 và τ n,j , j = 1,2, , N −1 được xác định như sau τ n,1 

0, trường hợp khác, (2.4) tương ứng, ở đây {ρn} ⊂ 0,( pq c q) q−1 1

Giả sử rằng các điều kiện sau đúng:

(C3) PM i=0a n,i = 1 và lim inf n→∞ a n,i >0 với i = 1,2, , M;

Khi đó dãy {x n } hội tụ mạnh về x ∗ = Π Ω u, ở đây Π Ω là phép chiếu Bregman từ

Chứng minh Với mỗi j = 1,2, , N − 1, chú ý rằng ∇f(v n,j ) = A ∗ J p F (I −

P Q j+1 )Av n,j (xem Mệnh đề 5.7 trong [12]) Lấy z ∈ Ω, tức là, z ∈ TM i=1C i và

Az ∈ TN j=1Q j Khi đó, với mỗi j = 1,2, , N −1, từ Mệnh đề 1.3.3 b), ta có

≥ ⟨Avn,j −Az, J p E (I −P Q j+1 )Av n,j ⟩ +⟨Az−P Q j+1 Av n,j , J p E (I −P Q j+1 )Av n,j ⟩

Ta nhận thấy rằng \(\|\nabla f(v_{n,j})\| > 0\) khi \(f(v_{n,j}) \neq 0\), điều này dẫn đến \(\|\nabla f(v_{n,j})\| \neq 0\) cho mọi \(j = 1, 2, \ldots, N - 1\) Do đó, \(\tau_{n,j+1}\) được xác định hoàn toàn Tương tự, dãy \(\tau_{n,1}\) cũng được xác định hoàn toàn Với mỗi \(j = 1, 2, \ldots, N - 1\), từ Mệnh đề 1.2.5 và (2.5) ta có thể suy ra điều này.

∥∇f(v n,j )∥ p (2.6) Tương tự, ta cũng có

Từ (2.6) và (2.7) ta nhận được

Từ (1.20) và (2.8), ta thấy rằng

X i=1 a n,i D p (Π C i v n,N , v n,N ), (2.9) điều này cùng với giả thiết về dãy {ρ n }, suy ra

D p (z, y n ) ≤D p (z, x n ). Đặt w n =J q E ∗ (α n J p E (u n ) + (1−α n )J p E (y n )) với mọi n ≥1, ta có

Vì dãy {u n} bị chặn, nên dãy {D p (z, u n)} cũng bị chặn Qua quy nạp, ta dễ dàng chỉ ra rằng dãy {D p (z, x n)} cũng bị chặn Từ Bổ đề 1.5.3, ta suy ra rằng dãy {x n} bị chặn, do đó các dãy {v n,j} và {y n} với j = 1, 2, , N - 1 cũng bị chặn Đặt x* = Π Ω u.

+α n ⟨wn−x ∗ , J p E (u n )−J p E (x ∗ )⟩. Điều này suy ra

+α n (1−β n )⟨w n −x ∗ , J p E (u)−J p E (x ∗ )⟩ (2.10) Đặt Γ n =D p (x ∗ , x n ) với mọi n≥ 1 Từ (2.10), ta có

+α n (1−β n )⟨w n −x ∗ , J p E (u)−J p E (x ∗ )⟩ (2.11)Bây giờ, ta chỉ ra Γ n →0 khi n→ ∞ bằng cách xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1 Giả sử rằng tồn tại n 0 ∈ N sao cho Γ n+1 ≤ Γ n với mọi n ≥ n 0 Khi đó, ta có Γ n −Γ n+1 → 0.

Từ giả thiết, ta nhận được n→∞lim h f p (x n )

Với các dãy bị chặn {∥∇f(x_n)∥_p} và {∥∇f(v_{n,j})∥_p} cho mọi j = 1, 2, , N−1, ta có giới hạn khi n tiến tới vô cùng của f(x_n) và f(v_{n,j}) đều bằng 0 Cụ thể, \$$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} \|(I - P Q_1) A x_n\| = 0\$$ và \$$\lim_{n \to \infty} f(v_{n,j}) = \lim_{n \to \infty} \|(I - P Q_{j+1}) A v_{n,j}\| = 0\$$ với mỗi j = 1, 2, , N−1 Hơn nữa, ta cũng có \$$\lim_{n \to \infty} D_p(\Pi C_i v_{n,N}, v_{n,N}) = 0\$$ với mỗi i = 1, 2, , M.

Từ Bổ đề 1.5.2, ta có n→∞lim ∥vn,N −Π C i v n,N ∥= 0 với mỗi i = 1,2, , M (2.16) và n→∞lim ∥y n −v n,N ∥= 0 (2.17)

→ 0 (2.18) với mỗi j = 1,2, , N −1 Bằng cách tương tự ta cũng thu được

Vì J q E ∗ liên tục đều trên các tập con bị chặn của E ∗ , nên ta có n→∞lim ∥v n,j+1 −v n,j ∥= 0 với mỗi j = 1,2, , N −1 (2.20) và n→∞lim ∥vn,1−x n ∥= 0 (2.21)

Từ (2.20) và (2.21), ta nhận được

Vì dãy \{x_n\} bị chặn và không mất tổng quát, ta giả sử tồn tại một dãy con \{x_{n_k}\} sao cho \{x_{n_k}\} hội tụ đến v ∈ E khi k → ∞ Do đó, dãy con \{v_{n_k,N}\} của \{v_{n,N}\} cũng thỏa mãn điều kiện hội tụ v_{n_k,N} ⇀ v ∈ E khi k → ∞.

Tiếp theo, ta chỉ ra rằng v ∈Ω Từ Mệnh đề 1.3.3 b) và (2.16), ta có

→ 0. Điều này suy ra v ∈C i với mọi i= 1,2, , M và do vậy v ∈ TM i=1C i Từ (2.20) và (2.23), với mỗi j = 1,2, , N −1, ta có

Vì x n k ⇀ v, ta cũng cóv n k ,j ⇀ v khi k → ∞ Với mỗi j = 1,2, , N−1, chú ý rằng

∥Av−P Q j+1 Av∥ p =⟨Av−P Q j+1 Av, J p F (Av −P Q j+1 Av)⟩

Từ tính liên tục của \( A \), ta có \( A_{v}^{n,k,j} \rightarrow A_{v} \) và \( A_{v}^{n,k,j} - P Q_{j+1} A_{v}^{n,k,j} \rightarrow 0 \) Khi \( k \rightarrow \infty \) trong (2.27), ta nhận được \( \| A_{v} - P Q_{j+1} A_{v} \| = 0 \) với mọi \( j = 1, 2, \ldots, N-1 \) Tương tự, ta cũng có \( \| A_{v} - P Q_{1} A_{v} \| = 0 \) Do đó, \( A_{v} \in Q_{j} \) với \( j = 1, 2, \ldots, N \) và vì vậy \( A_{v} \in T_{N} \bigcap_{j=1}^{N} Q_{j} \) Suy ra, \( v \in \Omega \).

Tiếp theo, ta chỉ ra lim sup n→∞ ⟨wn−x ∗ , J p E (u)−J p E (x ∗ )⟩ ≤0, Để thu được bất đẳng thức này, ta có thể chọn một dãy con{w n k }của {w n } sao cho lim sup n→∞ ⟨w n −x ∗ , J p E (u)−J p E (x ∗ )⟩= lim k→∞⟨w n k −x ∗ , J p E (u)−J p E (x ∗ )⟩.

Vì x n k ⇀ v và bởi (2.25), ta có w n k ⇀ v Khi đó lim sup n→∞ ⟨w n −x ∗ , J p E (u)−J p E (x ∗ )⟩= ⟨v−x ∗ , J p E (u)−J p E (x ∗ )⟩ ≤0 (2.28)

Vìu n →u, nên lim n→∞ ⟨w n −x ∗ , J p E (u n )−J p E (u)⟩= 0 Điều này cùng với (2.10) và (2.28), và sử dụng Bổ đề 1.5.3 suy ra Γ n → 0 khi n → ∞ Do đó, x n → x ∗ khi n → ∞.

Giả sử tồn tại một dãy con {Γ n i } của {Γ n } với điều kiện Γ n i < Γ n i +1 cho mọi i ∈ N Theo Bổ đề 1.5.4, chúng ta có thể xác định dãy các số nguyên {τ(n)} với n ≥ n 0, trong đó τ(n) được tính bằng công thức τ(n) = max{k ≤ n : Γ k < Γ k+1}.

Ngoài ra, {τ(n)} là một dãy không giảm thỏa mãn τ(n) → ∞ khi n → ∞ và Γ τ(n) ≤Γ τ (n)+1 với mọi n ≥n 0 Từ (2.11), ta nhận thấy rằng n→∞lim ∥(I −P Q 1 )Ax τ (n) ∥= 0, n→∞lim ∥(I −P Q j+1 )Av τ(n),j ∥= 0 với mỗi j = 1,2, , N −1 và n→∞lim ∥v τ (n),N −Π C i v τ (n),N ∥= 0 với mỗi i= 1,2, , M.

Bằng lập luận tương tự như Trường hợp 1, ta cũng nhận được lim sup n→∞ ⟨w τ (n) −x ∗ , J p E (u)−J p E (x ∗ )⟩ ≤0.

Cũng từ (2.10) và giả thiết đặt lên {α τ (n) } và {β τ (n) }, ta có Γ τ (n) ≤ ⟨w τ (n) −x ∗ , J p E (u τ(n) )−J p E (u)⟩+⟨w τ(n) −x ∗ , J p E (u)−J p E (x ∗ )⟩.(2.29)

Do đó lim sup n→∞ Γ τ (n) ≤ 0 và vì vậy lim n→∞ Γ τ(n) = 0 Lại từ (2.10), ta thu được Γ τ (n)+1 −Γ τ (n) ≤ α τ (n) (1−β τ (n) )⟨w τ (n) −x ∗ , J p E (u τ(n) )−J p E (u)⟩

→ 0 (2.30) Điều này cùng với (2.29), suy ra rằng lim n→∞ Γ τ (n)+1 = 0 Do đó, ta có

0 ≤ Γ n ≤max{Γ τ (n) ,Γ n } ≤Γ τ (n)+1 → 0, suy ra D p (x ∗ , x n )→ 0 Vì vậy, x n →x ∗ ∈ Ω. Định lý được chứng minh.

Khi β n = 0 với mọi n ≥ 1, ta thu được phương pháp lặp kiểu Halpern trong hệ quả dưới đây.

Hệ quả 2.2.2 Cho E là một không gian Banach p-lồi đều và trơn đều và cho

F là một không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn Cho các tập con lồi, đóng và khác rỗng C_i (i = 1,2, ,M) và Q_j (j = 1,2, ,N) của E và F, tương ứng A: E → F là một toán tử tuyến tính bị chặn, và A^*: F^* → E^* là toán tử liên hợp của A Giả sử tập nghiệm Ω của Bài toán (2.1) khác rỗng Xét dãy {u_n} trong E sao cho u_n → u Với bất kỳ x_1 ∈ E, dãy {x_n} được xác định bởi

(2.31) trong đó {α n } ⊂ (0,1), {a n,i } M i=1 ⊂ (0,1), f(v n,j ) = 1 p ∥(I −P Q j+1 )Av n,j ∥ p với j = 1,2, , N −1 và f(x n ) = 1 p ∥(I −P Q 1 )Ax n ∥ p với các cỡ bước τ n,1 và τ n,j , j = 1,2, , N −1 được chọn như sau τ n,1 

0, trường hợp khác, (2.33) tương ứng, ở đây {ρ n } ⊂ 0,( pq c q) q−1 1

Giả sử rằng các điều kiện sau đúng:

(C3) PM i=0a n,i = 1 và lim inf n→∞ a n,i >0 với i = 1,2, , M.

Khi đó, dãy {x n } hội tụ mạnh về x ∗ = Π Ω u, trong đó Π Ω là phép chiếu Bregman từ E lên Ω.

Ta có hệ quả dưới đây cho bài toán chấp nhận tách đa tập hợp trong không gian Hilbert.

Hệ quả 2.2.3 Cho H 1 và H 2 là hai không gian Hilbert thực Cho C i , i 1,2, , M và Q j , j = 1,2, , N là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của

H 1 và H 2 , tương ứng Cho A : H 1 → H 2 là một toán tử tuyến tính bị chặn và

A ∗ : H 2 → H 1 là toán tử liên hợp của A Giả sử rằng Ω ̸= ∅ Cho {u n } là một dãy trong H 1 sao cho u n → u Với bấy kỳ x 1 ∈ H 1 , cho {x n } là dãy được xác định bởi

(2.34) ở đây{αn} ⊂(0,1),{an,i} M i=1 ⊂(0,1),{βn} ⊂[0,1),f(v n,j ) = 1 2 ∥(I−PQ j+1)Av n,j ∥ 2 với j = 1,2, , N−1 và f(x n ) = 1 2 ∥(I−P Q 1 )Ax n ∥ 2 với các cỡ bước τ n,1 và τ n,j , j = 1,2, , N −1 được chọn như sau τ n,1 

0, trường hợp khác, (2.36) tương ứng, trong đó {ρ n } ⊂(0,4) Giả sử rằng các điều kiện sau đúng:

(C3) PM i=0a n,i = 1 và lim inf n→∞ a n,i >0 với i = 1,2, , M;

Khi đó, dãy {x n } hội tụ mạnh về x ∗ = P Ω u, trong đó P Ω là phép chiếu mêtric từ

Ta có hệ quả dưới đây cho bài toán chấp nhận tách trong không gian Banach.

Hệ quả 2.2.4 Cho E là một không gian Banach p-lồi đều và trơn đều và cho

Không gian Banach F là một không gian lồi chặt và trơn Xét các tập con lồi, đóng và khác rỗng C và Q của E và F tương ứng A: E → F là một toán tử tuyến tính bị chặn, trong khi A ∗ : F ∗ → E ∗ là toán tử liên hợp của A.

Ω ̸= ∅ Cho {u n } là một dãy trong E sao cho u n → u Với bất kỳ x 1 ∈ E, cho {x n } là dãy được xác định bởi

(2.37) trong đó {α n } ⊂ (0,1), {β n } ⊂ [0,1) và f(x n ) = 1 p ∥(I −P Q )Ax n ∥ p với cỡ bước τ n được chọn như sau τ n 

0, trường hợp khác, (2.38) trong đó {ρ n } ⊂ 0,( pq c q) q−1 1

Giả sử rằng các điều kiện sau đúng:

Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về x ∗ = Π Ω u, trong đó Π Ω là phép chiếu Bregman từ E lên Ω.

2.3 Ví dụ số minh họa

Xét bài toán chấp nhận tách đa tập hợp (2.1) với C i ⊂ R N và Q j ⊂ R M , được xác định bởi

Q j = {x ∈ R^M : ⟨a Q j, x⟩ ≤ b Q j}, trong đó a C i ∈ R^N, a Q j ∈ R^M, b C i, b Q j ∈ R với mọi i = 1, 2, , M, j = 1, 2, , N A là một toán tử tuyến tính bị chặn từ R^N vào R^M với các phần tử của ma trận biểu diễn được sinh ngẫu nhiên trong đoạn [5, 10] Tọa độ của a C i, a Q j được lấy ngẫu nhiên trong đoạn [3, 5] và các vế phải b C i, b Q j được sinh ngẫu nhiên trong đoạn [1, 10] Dễ thấy rằng Ω : T ∏_{i=1}^{M} C i.

Chú ý 2.3.1 Trong ví dụ này, ta xác định hàm TOL n bởi

Nếu tại bước lặp thứ n, TOL n = 0, thì x n thuộc tập nghiệm Ω, tức là x n là một nghiệm của bài toán Do đó, quy tắc dừng được áp dụng là TOL n < err để kết thúc quá trình lặp Phương pháp lặp (2.34) trong Hệ quả 2.2.3 được áp dụng với N = 40 và M = 50.

4, α n = 1 n+ 1, ρ n = 0.25 và u n = u for all n ≥ 1 Với các giá trị ban đầu u, x 1 ∈ R N có các tọa độ được sinh ngẫu nhiên trong đoạn

[10,50], ta nhận được bảng kết quả số dưới đây. Điều kiện dừng: TOL n