Nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân tuyến tính

C0∞Ω Lớp các hàm khả vi vô hạn trên Rd và có giá compactC0pΩ Tập của các hàm trong CpΩ và có giá compact Dα Đạo hàm riêng cấp α D = DRd Không gian các hàm thử trên Rd D0 = D0Rd Không gia

MAI THẾ QUỲNH

NGHIỆM CƠ BẢN CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ VI PHÂN

PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Hà Nội-2012

MAI THẾ QUỲNH

NGHIỆM CƠ BẢN CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ VI PHÂN

PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng

Hà Nội-2012

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Văn Bằng Thầy

đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu tronghọc tập cũng như nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên và khích

lệ để tác giả vươn lên trong học tập, tự tin vượt qua những khó khăntrong chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọngsâu sắc nhất đối với Thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùngcác quý thầy cô đã trang bị cho tác giả kiến thức và tạo mọi điều kiệnthuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoànthành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn, UBND Huyện Sơn Dương, tỉnhTuyên Quang, Phòng GD&ĐT Sơn Dương, đã tạo điều kiện giúp đỡ

để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã độngviên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Mai Thế Quỳnh

Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêngtôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Trần Văn Bằng Trongquá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Mai Thế Quỳnh

1 Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Các kí hiệu cơ bản 1

1.2 Một số hàm đặc biệt 4

1.2.1 Hàm Gamma (Tích phân Euler loại 2) 4

1.2.2 Hàm Beta (Tích phân Euler loại 1) 4

1.2.3 Hàm Bessel và hàm Hankel 5

1.3 Hàm suy rộng 7

1.3.1 Đạo hàm của hàm suy rộng 11

1.3.2 Tích trực tiếp 15

1.3.3 Hàm suy rộng tăng chậm 16

1.3.4 Tích chập 17

1.3.5 Đại số tích chập D0+ 19

1.4 Biến đổi Fourier 19

1.5 Biến đổi Laplace 23

1.6 Nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính 26

1.6.1 Toán tử tích chập 26

1.6.2 Toán tử vi phân tuyến tính với hệ số hằng 28

1.6.3 Toán tử vi phân không dừng 30

2 Nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân phi tuyến 34 2.1 Toán tử tuyến tính với hệ số biến thiên 34

iii

2.1.1 Toán tử Fokker –Planck 34

2.1.2 Toán tử Klein-Gordon 35

2.1.3 Phương trình điện báo 36

2.1.4 Toán tử Dirac 37

2.2 Toán tử phi tuyến 38

2.2.1 Toán tử p−Laplace 39

2.2.2 Toán tử tựa Hyperbolic: 39

C0∞(Ω) Lớp các hàm khả vi vô hạn trên Rd và có giá compact

C0p(Ω) Tập của các hàm trong Cp(Ω) và có giá compact

Dα Đạo hàm riêng cấp α

D = D(Rd) Không gian các hàm thử trên Rd

D0 = D0(Rd) Không gian của tất cả các hàm suy rộng trên Rd

D+0 Lớp các hàm suy rộng trong D0(R1) và triệt tiêu với t < 0

F Phép biến đổi Fourier

F−1 Phép biến đổi Fourier ngược

Kv Hàm Bessel điều chỉnh loại 2 bậc v

L(D) Toán tử vi phân tuyến tính

L∗ Toán tử liên hợp

L Biến đổi Laplace Lf (t) = f (s)

L−1 Biến đổi Laplace ngược

S(x0, r) Mặt biên của hình cầu B(x0, r)

Sd(1) Diện tích mặt của hình cầu đơn vị trong Rd

S Không gian các hàm giảm nhanh trên Rd

S0(Rd) Tập các hàm suy rộng tăng chậm trên Rd[f (x0)] Hàm bước nhảy f tại x0

u∗(x, ξ) Nghiệm cơ bản

Ψ(xo, α) spinor

Γ Biên parabolic; Biên của miền Ω

Γ± Các nón quá khứ và tương lai

Sự ra đời của lý thuyết hàm suy rộng có ý nghĩa to lớn đối với việcnghiên cứu các bài toán của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.

Nó tạo ra một cơ sở toán học chặt chẽ, hệ thống, đầy đủ để xây dựngkhái niệm nghiệm cơ bản, một kết nối quan trọng giữa khái niệm hàmdelta Dirac và hàm Green

Sự tồn tại nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính với hệ sốhằng bất kỳ đã được thiết lập bởi Malgrange-Ehrenpreis Tuy nhiênviệc tìm nghiệm cơ bản cụ thể đối với từng toán tử lại là vấn đề khác.Chúng ta biết rằng nghiệm cơ bản của các toán tử tuyến tính cấphai cơ bản, bao gồm: toán tử Laplace, toán tử truyền nhiệt, toán tửtruyền sóng đã được trình bày trong hầu hết các giáo trình về phươngtrình đạo hàm riêng Với một số toán tử vi phân tuyến tính với hệ sốbiến thiên, chúng ta có thể sử dụng các phép biến đổi thích hợp đểđưa về toán tử tuyến tính cơ bản, sử dụng các công thức nghiệm cơ

bản đã biết của các toán tử tuyến tính đó để nhận được nghiệm cơbản cho chúng Với một số toán tử phi tuyến thì cần có cách tiếp cậnđặc biệt dựa trên cấu trúc của phương trình đó để tìm nghiệm dạngđặc biệt, từ đó xây dựng nghiệm cơ bản.

Với các lý do như trên và mong muốn được tìm hiểu kĩ hơn vềnhững thành tựu của các nhà toán học, các nhà vật lý về các hiệntượng tự nhiên, được sự định hướng và hướng dẫn của TS Trần VănBằng, chúng tôi đã chọn đề tài:

“Nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân phi tuyến”làm đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ ngành Toán giải tích

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu những ứng dụng của lý thuyết hàm suy rộng trong việcxây dựng nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân tuyến tính và phituyến xuất hiện trong Vật lý như các toán tử: Fokker -Planck; Klein

- Gordon

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận vănlà:

- Các kết quả cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng;

- Nghiệm cơ bản của một số toán tử tuyến tính;

- Một số toán tử vi phân phi tuyến

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

-Các kết quả của lí thuyết hàm suy rộng;

-Nghiệm cơ bản của các toán tử vi phân tuyến tính và phi tuyến

5 Phương pháp nghiên cứu

-Sử dụng các phương pháp biểu diễn nghiệm của lý thuyết phươngtrình đạo hàm riêng và các phương pháp cần thiết của giải tích hàm

6 Những đóng góp của luận văn

-Trình bày một cách cơ bản, có hệ thống các kết quả của lí thuyếthàm suy rộng, nghiệm cơ bản của toán tử vi phân tuyến tính

-Sử dụng các phép biến đổi để nghiên cứu nghiệm cơ bản của một

số toán tử vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên và phi tuyến thườnggặp trong Vật lý, như toán tử: Fokker-Planck; Klein-Gordon;

n 2

Γ(n2) là diện tích mặt cầu đơn vịtrong Rn ε - lân cận của tập A ⊂ Rn là: Aε = ∪

Cho Ω ⊂ Rn là tập mở khác rỗng Ta ký hiệu Cp(Ω) là không giantuyến tính tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp p trên Ω; C∞(Ω) làtập hợp những hàm khả vi vô hạn trên Ω.

Ta nói giá của hàm liên tục f : Ω → C, là tập hợp ký hiệu supp f

và được xác định bởi supp f = cl {x ∈ Ω|f (x) 6= 0}

Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn, giới hạn bởi một mặt cong

∂Ω định hướng, trơn từng mảnh và cho w và F là các hàm vô hướng

và G là hàm véc tơ thuộc lớp C1(Ω) Khi đó ta có:

Các định lý trên dẫn tới các kết quả quan trọng sau đây:

∂x i, i = 1, n, là đạo hàm theo véc tơ pháptuyến ngoài đơn vị Thành phần thứ i của công thức (1.1.2) có thể

ta lấy M = u∂x∂v, N = u∂v∂y, P = u∂v∂z, thì (1.1.5) cho ta.

Nếu ta cho v = 1 trong (1.1.6), thì

Nếu ta lấy u = v trong(1.1.6), thì

Trong luận văn có sử dụng một số hàm đặc biệt sau đây

1.2.1 Hàm Gamma (Tích phân Euler loại 2)

B(p, q) = 2

π 2

Z

0

cos2p−1ϕ.sin2q−1ϕdx, (p > 0, q > 0) (1.2.2)Đặt x = sin2ϕ thì ta lại có:

x2

Nếu v là số nguyên dương n = 0, 1, 2, 3,

hln(x

Y−n(x) = (−1)nYn(x), n = 0, 1, 2,

Hàm Hankel (Hàm Bessel loại 3)

Hàm Hankel loại 1 và loại 2 được xác định như sau:

Hv(1)(x) = Jv(x) + iYv(x) (loại 1)

Hv(2)(x) = Jv(x) − iYv(x) (loại 2)

x 2

v+2k

.Loại II:

Kv(x) = π

2

I−v(x) − Iv(x)sinvπ

Nếu K là một tập compact trong Rn ta ký hiệu DK là tập hợp

DK = {f ∈ C∞(Rn)| supp f ⊆ K} Ta thừa nhận bổ đề sau:

Bổ đề 1.3.1 Cho Ω ⊂ Rn và Ω 6= ∅ Khi đó tồn tại dãy các tậpcompact {Kj}, (j = 1, 2, 3, ) thỏa mãn Kj ⊂ intKj+1 và

∞

S

j=1

Kj = Ω.Định nghĩa 1.3.1 Ta ký hiệu D(Ω) là tập hợp:

D(Ω) = φ ∈ C∞(Ω)| supp φ là tập compact trong Ω

cùng với sự hội tụ sau đây: Dãy hàm {φl}∞l=1 ⊂ D(Ω) hội tụ tới φ0trong D(Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho supp φl ⊂ Kj với mọi

l ∈ N∗ và φl → φ0 trong DKj(Ω), nghĩa là

sup

x∈K j

|∂αφl(x) − ∂αφ0(x)| → 0 khi l → ∞, (1.3.1)

với mọi đa chỉ số α

Khi đó ta gọi D(Ω) là không gian các hàm thử (test function).Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giảitích hiện đại Nó có các tính chất sau:

Định lí 1.3.1 1 Không gian các hàm thử là một không gian tuyếntính tô pô với tô pô sinh bởi sự hội tụ

2 Tập E ⊂ D(Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho E là tậpcon bị chặn trong DKj(Ω) Đặc biệt nếu {φl}∞l=1 là dãy Cauchy trongD(Ω) thì tồn tại j ∈ N∗ sao cho φl hội tụ trong DKj(Ω) và do đó hội

f (x)φ(x)dx (xem hàm suy rộng chính quy và hàm delta sau đây)

Ký hiệu D0(Ω) tập hợp tất cả các hàm suy rộng trên Ω Khi Ω = Rnthì ta kí hiệu đơn giản D(Ω) và D0(Ω) tương ứng bởi D và D0

Chú ý: Từ định nghĩa ta có:

1, hf, 0i = 0 và

f,

cho bởi Bổ đề 1.3.1, với mọi j ∈ N∗ và φ ∈ D(Ω) ta có:

|hf, φi| =

Z

Kj

f (x)φ(x)dx

... 0khi n → ∞ D0(R1)

Tích chập hai hàm suy rộng có số tính chất sau:

(i) Tính chất tuyến tính: (λf1 + µf2) ? g = λ(f1 ? g) + µ(f2... thấy D ⊂ S tập D trù mật S

Tập tất phiếm hàm tuyến tính liên tục S(Rn) kýhiệu S0(Rn) Trong phiếm hàm tuyến tính liên tục chỉkhi với dãy φj → S(Rn)... (1.3.17)với φ(x, y) ∈ D(Rn+m)

Tích trực tiếp có số tính chất sau đây:

(i) Tích trực tiếp f (x).g(y) tuyến tính liên tục theo f từ: D0(Rn) → D0(Rn+m),