Nghiệm cơ bản của một số toán tử vi phân tuyến tính

Lu¾nvănnàyđưocthnchi¾nvàhoànthànhtaitrưòngĐaihocSưphamHàN®i2dưóisnhưóngdancnaTien sĩTranVănBang.Thayđãhưóngdanvàtruyenchotácgiánhungkinhnghi¾mquýbáutronghoct¾pcũngnhưnghiêncúukhoahoc.Tha

B®GIÁODUCVÀĐÀOTAOTRƯèNGĐ AI

HOCSƯ PHA M HÀN®I 2

B®GIÁODUCVÀĐÀOTAOTRƯèNGĐ AI

HOCSƯ PHA M HÀN®I 2

MAIT H E QUỲNH

CÚAM®TSOTOÁNT Ú VIPHÂNPHI

T U Y E NChuyênngành:Toángiáitích

Mãso:60460102

LU¾NVĂNTHACSYTOÁNHOC

Ngưàihưángdankhoahoc:TS.TranVănBang

HàN®i-2012

Lu¾nvănnàyđưocthnchi¾nvàhoànthànhtaitrưòngĐaihocSưphamHàN®i2dưóisnhưóngdancnaTien

sĩTranVănBang.Thayđãhưóngdanvàtruyenchotácgiánhungkinhnghi¾mquýbáutronghoct¾pcũngnhưnghiêncúukhoahoc.Thayluônđ®ngviênvàkhíchl¾đetácgiávươnlêntronghoct¾p,tntinvưotquanhungkhókhăntrongchuyênmôn.Tácgiáxinbàytólòngbietơn,lòngkínhtrongs âusacnhatđoivóiThay

Bangiámhi¾utrưòngĐaihocSưphamHàN®i2,phòngSauđaihoc,khoaToánvàtoGiáitíchcùngc ác quýthaycôđãtrangb

%chotácgiákienthúcvàtaomoiđieuki¾nthu¾nloichotácgiáketthúctotđepchươngtrìnhCaohocvàhoànthànhlu¾nvăntotnghi¾p

Tácgiáxintrântrongc á m ơ n , UBNDHuy¾nSơnDương,tínhTuyênQuang,PhòngGD&ĐTSơnDương,đãtaođieuki¾ngiúpđõđetácgiáantâmhoct¾pvàhoànthànhtotkhóahoc

Tácgiáxinbàytólòngbietơntóigiađình,ngưòithânđãđ®ngviênvàtaođieuki¾nđetácgiáhoànthànhlu¾nvănnày

HàN®i,tháng12năm2012

Tácgiá

MaiTheQuỳnh

Tácgiá

MaiTheQuỳnh

Mnclnc

1.1 Cáckíhi¾ucơbán 1

1.2 M®tsohàmđ¾cbi¾t 4

1.2.1 HàmGamma(TíchphânEulerloai2) 4

1.2.2 HàmBeta(TíchphânEulerloai1) 4

1.2.3 HàmBesselvàhàmHankel 5

1.3 Hàmsuyr®ng 7

1.3.1 Đaohàmcnahàmsuyr®ng 11

1.3.2 Tíchtrnctiep 15

1.3.3 Hàmsuyr®ngtăngch¾m 16

1.3.4 Tíchch¾p 17

1.3.5 Đaisotíchch¾pDr 19

1.4 BienđoiFourier 19

1.5 BienđoiLaplace 23

1.6 Nghi¾mcơbáncnatoántúviphântuyentính 26

1.6.1 Toántútíchch¾p 26

1.6.2 Toántúviphântuyentínhvóih¾sohang 28

1.6.3 Toántúviphânkhôngdùng 30

2 Nghi¾mcơbáncúam®tsotoántNviphânphituyen 34 2.1 Toántútuyentínhvóih¾sobienthiên 34

iii

2.1.1 ToántúFokker–Planck 34

2.1.2 ToántúKlein-Gordon 35

2.1.3 Phươngtrìnhđi¾nbáo 36

2.1.4 ToántúDirac 37

2.2 Toántúphituyen 38

2.2.1 Toántúp −Laplace 39

2.2.2 ToántútnaHyperbolic: 39

S d(1) Di¾ntíchm¾tcnahìnhcauđơnv%trongRdS

KhônggiancáchàmgiámnhanhtrênRdSr(Rd)T¾pcáchàmsuyr®ngtăngch¾mtrênRd[ f (x0)]

mcơbán,m®tketnoiquantronggiuakháini¾mhàmdeltaDiracvàhàmGreen

Sntontainghi¾mcơbáncnatoántúviphântuyentínhvóih¾sohangbatkỳđãđưocthietl¾pbóiMalgrange-

Ehrenpreis.Tuynhiênvi¾ctìmnghi¾mcơbáncutheđoivóitùngtoántúlailàvanđekhác.Chúngtabietrangnghi¾mcơbáncnacáctoántútuyentínhcaphaicơbán,baogom:toántúLaplace,toántútruyennhi¾t,toántútruyensóngđãđưoctrìnhbàytronghauhetcácgiáotrìnhvephươngtrìnhđaohàmriêng.Vóim®tsotoántúviphântuyentínhvóih¾sobienthiên,chúngtacóthesúdungcácphépbienđoithíchhopđeđưavetoántútuyentínhcơbán,súdungcác côngthúcnghi¾mcơ

bánđãbietcnacáctoántútuyentínhđóđenh¾nđưocnghi¾mcơbánchochúng.Vóim®tsotoántúphituyenthìcancócáchtiepc¾nđ¾cbi¾tdnatrêncautrúccnaphươngtrìnhđóđetìmnghi¾mdangđ¾cbi¾t,tùđóxâydnngnghi¾mcơbán

Vóic á c lýdonhưtrênvàmongmuonđưoctìmhieukĩhơnvenhungthànhtnucnacácnhàtoánhoc,cácnhàv¾tlývecáchi¾ntưongtnnhiên,đưocsnđ

5 PhươngphápnghiêncNu

-Súdungcácphươngphápbieudiennghi¾mcnalýthuyetphươngtrìnhđaohàmriêngvàcácphươngphápcanthietcnagiáitíchhàm

6 NhÑngđónggópcúalu¾nvăn

-Trìnhbàym®tcáchcơbán,cóh¾thongcácketquácnalíthuyethàmsuyr®ng,nghi¾mcơbáncnatoántúviphântuyentính

-Súdungcácphépbienđoiđenghiêncúunghi¾mcơbáncnam®tsotoántúviphântuyentínhvóih¾sobienthiênvàphituyenthưòngg¾ptrongV¾tlý,nhưtoántú:Fokker-Planck;Klein-Gordon;

2 làdi¾ntíchm¾tcauđơnv%trongRn ε-lânc¾ncnat¾pA ⊂R n là:A ε =∪

trongđó∂ =∇.n=.nx i ∂x ∂ i ,i=1,n,làđaohàmtheovéctơpháp

tuyenngoàiđơnv%.Thànhphanthúicnacôngthúc(1.1.2)cóthe

∂z

∂u∂v .

∂ndS− Ω)

u∇2vdΩ).

(1.1.6)CôngthúcnàyđưocgoilàcôngthúcGreenthúnhat.Hơnnuaneutahoánv

∂ndS− Ω)

v∇2udΩ).

(1.1.7)Trù(1.1.6)cho(1.1.7)thìtacócôngthúcGreenthúhai:

− v

vedang(1.2.2)vàtanh¾nđưocB(p,q)=B(q,p).

Γ(p)Γ(q) Ngoàiratacòncó:B(p.q)=

KhiđótagoiD(Ω))là khônggiancáchàmthú (testfunction).

Khônggiancáchàmthúlàm®tkhônggianquantrongtronggiáitíchhi¾nđai.Nócócáctínhchatsau:

Đ

%nhlí1.3.1.1.Khônggiancáchàmthúlàm®tkhônggiantuyentínhtôpôvóitô

pôsinhbóisnh®itn

2 T¾pE ⊂D(Ω))khivàchskhitontaij∈N ∗ sao choE làt¾p

conb%ch¾ntrongD K j (Ω)).Đ¾cbi¾tneu{φ l } ∞ làdãyCauchytrong D(Ω))thìtontaij∈N ∗ sao choφ l h®itntrongD K j (Ω))vàdođóh®i

tntrongD(Ω)).

3 M®tphiemhàmtuyentínhΛ:D(Ω))→Cliêntnckhivàchskhivóimoij∈ NtontaiN j ∈ Nvàhangsoc j > 0saocho

f (x)φ(x)

chobóiBođe1.3.1,vóimoij ∈N ∗ v àφ ∈D(Ω))tacó:

¸

|(f,φ)|=.

K

j

¸

(f,φ)=0 vóimoi φ có suppf∩suppφ=∅ (1.3.4)

Vídn1.3.2.Phiemhàm(χΩ),φ)=¸

Ω) φ(x)dx,Ω)⊂R n ,trongđóχΩ)làhàmđ¾ctrưngcnat¾pΩ),làm®thàmsuyr®ngchínhquy,vìnósinh

(

)

(|x|2−εε2)

f (x)w ε (x)dx.=. f (x)e dx.≤

nhânđưocbangcáchlayviphâncnahàmfmàkhôngquantâmđencácbư ócnháy,changhan[H r ]=0.Hơnnua,giásúfcókbưócnháyđơnvóiđ®cao

∆f1, , ∆f ktương úngtaicácđiema1, ,a k.Khiđó

%nhlýSchwartz).Đieuki¾ncanvàđúđem®thàmsuyr®ngf ∈Sthu®cS r l

à tontaicácsonguyên,p≥0vàm®tsothncC >0saochovóimoiφ∈Stacóba tđangthúc|(f,φ)|≤C||φ|| p ,trongđó||φ|| p đưocxácđ%nhbói(1.3.19).

Nóichungfxgkhôngliêntuctù D r vàoD r theo fvàg;changhan,

(iii) Phéplayviphân:Neutíchch¾pfxgtontai,thìD k fxgvà

fxD k gcũngtontaivàD k fxg =D k (fxg)=fxD k g.

(iv) Phépt%nhtien:Neutíchch¾pfxgtontai,thìf(x +a)xg(x)

cũngtontaivàf(x+a)xg(x)=(fxg)(x+a), a∈R n

F[D k φ](α)=(−iα) k F[φ](α). (1.4.3)Dođótacótheđ%nhnghĩabienđoiFouriercnahàmsuyr®ngtăngch¾m:

Đ

%nhnghĩa1.4.2.BienđoiFourierc n a m®thàmsu y r®ngf ∈ S r(Rn)làm®thàmsuyr®ngF[f]∈S r(

F[δ(x)]=1. (1.4.10)

dođó,δ =F −1 [1]=(2π) −n F[1],vìv¾y

F[1]=(2π) n δ(α). (1.4.11)TínhchatcnaphépbienđoiFourier:

F[f(x).g(y)]=F x [f(x).F[g](β)]

=F y [F[f](α).g(y)]=F[f](α).F[g](β), (1.4.17)(vi) BieuđoiFouriercnahàmsuyr®ngcógiácompact:Neuflàm®thà

|x| dx+

¸

|x|>1

φ ( x )

u

Vídn1.4.4.Trong 2xácđ%nhhàmsuyr®ng 1

|x|2 ∈S r .R2.nhưsau:

|x|2 dx+

¸

|x|>1

φ ( x )

+

+

L { }

là:axu0=0trongD r .Tacóu0=0vì

a −1 x (axu0)=(a −1 x a)xu0=δxu0=u0=a −1 x 0=0.

Chúngtónghi¾mcnaphươngtrình(1.6.1)trongD r làduynhat

Goif α ∈D r làm®thàmsuyr®ngphuthu®cvàom®tthamsothnc

αvàđưocxácđ%nhbói:

H (x)

− n

trongđóa k (x)=a (k1 k n)(x1 x n),làcáchàmtùyý

Neua k (x)=a k làhangsovóimoikthìL(D)đưocgoilàtoántúviphântuyentí

nênu1−u2=w.Tùđâytacótínhduynhatnghi¾m.

Takýhi¾uhàmsuyr®ng(u,φ(x)η i (t))∈D(R n )bói(u i ,φ).Vóibatkỳi,hà

msuyr®ngnàytuyentínhvàliêntuctrênD(R n ),túclà,nóthu®cD r(Rn);dov

∂.

Đ%nhlí1.6.5.Neuu ∗ (x,t)làm®tnghi¾mcơbáncúatoántúL D,

∂t vàcótháctrienliêntncu ∗ dang(1.6.10),thìhàmsuyr®ng

(u ∗ ,φ)=(u ∗ ,φ(x) 1(t)), φ∈D(R n) (1.6.12)

làm®tnghi¾mcơbáncúatoántúL0(D).Đ ¾ c bi¾t,neuu ∗ (x,t)thóa

=e 2t

Chương2

Nghi¾mcơbáncúam®tsotoántNvip hânphituyen

Trongchươngnàychúngtôiđec¾ptóinghi¾mcơbáncnam®tsotoántútuyentínhvóih¾sobienthiêncũngnhưm®tsotoántúphituyenthưòngg¾ptrongV¾tlý

  −



3

0 3

i

.γ

k ∂

∂x k k=0

−m0I

i .γ k

∂x k k=0

+m0I =− . Q+m2.I

(2.1.16)KetnoitoántúDiracvóitoántúKlein-

l =mtoántúLlàHyperbolic.

Năm1974,Gal’pernđãchírađưocnghi¾mcơbáncnatoántútnaHy perbol ic (2.2.3)(vóiđiemnguontaigoc)chobói:

Lu¾nvăntrìnhbàym®tcáchh¾thong,tongquanvehàmsuyr®ngvàm®tsokienthúcliênquannhưcácphéptoán,bienđoiFourier,bienđoiLaplacecnahàmsuyr®ng.Trêncơsóđóđixâydnngkháini¾m

viphânvàtìmnghi¾mcơbáncnam®tsotoántúviphântuyentínhvóih¾sobienthiênvàtoántúviphânphituyen

Hàn®i,tháng12năm2012

[A] Tàili¾utiengVi¾t

[1]NguyenM i n h C h ư ơ n g , HàT i e n Ngoan,NguyenM i n h Trí,LêQuan

gTrung(1999),P h ư ơ n g trìnhđaohàmriêng, NhàxuatbánGiáoduc [2]NguyenT h ù a Hop(1999),GiáotrìnhPhươngtrìnhđaohàmriêng,Nhàx

uatbánĐaihocQuocgiaHàN®i

[3]NguyenManhHùng(2006),Phươngtrìnhđaohàmriêngtuyentính,Nhàx

uatbánĐaihocsưpham

[4]NguyenPhuHy(2006),Giáitíchhàm,Nhàxuatbánkhoahocvàkythu¾t [5]HoàngTuy(2005),HàmthncvàGiáitíchhàm,NhàxuatbánĐaihocquocgi