skkn các PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNPHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.. TÍNH TÍCH PHÂ

Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.

2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.

3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN.

4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.

5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ.

PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

B Ví dụ:

VD1: Tính tích phân

1

2x x 0

dxI

2 2 3 1

4 0

J(3x e )dx.

Giải:

a/ Ta có:

2 2

2

1 1

2

0 0

a u t

b u t a x

b x

) (

)()

('.)

a u

b a

dt t f dx x u x u f I

(tiếp tục tính tích phân mới)

+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu.

Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý.

VD2 : Tính tích phân

4

3 0

1 dxcos x





dx x x

x

; 15)    

5 ln

)ln(





dx x tgx

; 18)  

4

0

8 )1

(



dx x tg

x

x

sin



dx x

x x

; 21)  

2

0 1 cos

cos2sin



dx x

x x

; 22)  

2

0 sin cos )cos(



xdx x

x x

1

lnln31

sin21



dx x

b x

+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

)(')()

2 0

VD2: Tính tích phân

2

2 0

VD4:Tính tích phân

3 1

2 0

dxI

Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt Đổi cận: với

x= 0 t = 0 2

0 0

dxI

33

Đặt x a.cos2t, khi đó: dx 2a.sin2tdt.

cosdxI

Suy ra: 2

t 3 t 2sin x 5sinx 6

2 0

9 3x dxx

1(1 x dx)

x x

sin x.cosxdx;

pò

3)

e x

2x 1

2

x x

21

x x

sincos

x x

b a

b

a v x u x dx x

v x u dx x v x

Hay:     

b a

b a

b

a vdu v

('

)(

x v v

dx x u du dx x v dv

x u u

b a

b

a vdu v

u

Chú ý:

+)Đặt u=f(x), dv=g(x)dx(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

e sinaxdxaò

,

b x a

e cosaxdxaò

v2

2 1

I e cos2xdx

Đặt:

2x 2x

I e sin2xdx

Đặt:

2x 2x

ln(1 x)dxx

IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

3 2

PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

=

3 Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.

Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc

4 Dạng liên kết

Ví dụ 1 Tính tích phân 0

xdxI

p -

Vậy

2I3

=

Vậy I

2

p

=

( )

2

2 0

p

p

-.Vậy I = p - 2.

Caâu 8 : : Tính tích phaân :

1 2008 1

Caâu1 1 : : Tính tích phaân:

1 4 x 1

x dxI

x dxJ

Ix.cos xdx

Giải:

Caâu1 6 : : Tính tích phaân:

/ 4 0

II TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1 tính tích phân

b

a

I = ò f(x) dx+) lập bảng xét dấu f(x) : giả sử bxd f(x) là

Ví dụ 1 Tính tích phân

2 2 3

=

Ví dụ 2 Tính tích phân

2

2 0

x

0 6

p 2

Cách 2.

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x)=f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2

+ Nếu h(x)> thì 0 max f(x), g(x){ } =f(x) và min f(x), g(x){ } =g(x).

+ Nếu h(x)< thì 0 max f(x), g(x){ } =g(x) và min f(x), g(x){ } =f(x).

Ví dụ 1 Tính tích phân

4

2 0

Đặt h(x)=( x2+1) - (4x- 2) = x2- 4x+ 3

Bảng xét dấu

x 0 1 3 4h(x) + 0 – 0 +

=

Ví dụ 2 Tính tích phân

2

x 0

Giải

Đặt h(x)=3x - (4- x) =3x + -x 4.Bảng xét dấu

x 0 1 2h(x) – 0 +

Biến đổi ax2 bxc về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta

sẽ đưa về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ

a) a 2 t2 Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u

æp p÷öç

a x

Đặt t = x + x 2 a

dx a x

(ĐPCM)



C a u u a u

1 2x x2dx

6

sin1

cos

t dt t

tdt

=

p6

x

x d

=

3

2

2 4 34

12ln2

457ln2

2 1

2 4 34

12ln2

12

1

)21(2

12

x d x

dx

= -2ln51

dx B Ax

2

)(

Với a.A 0

Cách làm:

Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là ax2 bxc,một tích phân có tử

là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số

dx B Ax

2

)(

b ax

2

2 x x

dx x

x

32

6)22(

x

dx x

=

2 2

x x

dx x

x x

dx x

dx x x

x x

dx x

2 1

lnt t 

)21(2ln





111

t

t t

t dt

1

t

t d

=

1

2 1 2 1 2

2

1ln2

103ln21

0 (1 x) 1 x 2x

x

e e e

dx e

Đặt t = ex  dt = exdx.Khi : x = 0  t = 1

12

121213

1

u

u d

=

2 1

3 1

2

12

12

12

1ln3

1

u du

322ln21

4.Tích phân dạng:



bx c ax

dx x f

2

)(

Với a0 bậc f(x)2,f(x) là đa thức

Cách làm:Tách 



bx c ax

dx x f

2

)(

= g(x) ax2 bxc + 



bx c ax

2 2







x x

dx x

)1(

2 2







x x

dx x

= (AxB) x2 2x3 + 



2 x x

1

2

2

x x

x

)1)(

x B Ax

+ x2 2x3



Đồng nhất hệ số ta có : 2; 1

3

;2

x x

22

1

2 3

x x

22

1

2 3

= (Ax2 BxC) x2 2x2 + 



2 x x

dx x x

x x x

Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân:

dx x x

x x x

=



dx x x

x x

2

3221

526

426

Cách làm:Đặt

n

m

d cx

b ax

13

13

2

)45(

7.45

13.32

x tdt

3 2

21

2)45

dt x

1345

x

x x

dx

=

27 8

8

1 21.3

2

t t dt

8 1

8 1 3

6.Tích phân dạng:   dx

d cx

b ax

Với a c 0

b ax t







Cách 2: Đặt t cxdVới cách đặt trên ta sẽ đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản hơn

dx dt

dt x

82

dx x x

dx x

2 3 4 6

1

61

666666

t t

t t

t t t t

Tích phân này dễ dàng tính được

Ví dụ2 :Tính J =      

3

21

dx x

x x x

dx x

x x

x

2

1 4

)2(2

t t

tdt t

dt t

dt t t

2

1211

)1(

3

2ln

2

t t

t d t

t

t t d

= 3lnt  t1L

2ln

32

b)Nếu p

r 1 nguyên đặt abx p t s với s là mẫu của phân số q

c) Nếu p

r 1 +q nguyên đặt axp bt s với s là mẫu số của phân số q

x

3 4

1 2

4

t t

dt t

1)1(

1)

1(

1(2

5( )

Vì

32

151

xdx t

t

tdt t a

a at t

2 2

4 2

a at



2

3 23

1 2 3

1

)( 



1

;2

nguyên nên ta đặt ax2  1 t 3 hay

2 3

2 2

3 2 3

31

t

a x

t x

a

2 12

1

dx x

32

1

3

)1(2

3

t

dt t a





B=

2 2 -2



C=

2 3 2



J=

4 2 6

1 - 9

dx x



C=

2

2 2 0

sin 2(1 cos )

x dx x

e

dx e





E=

3 2 2

ln x dx

x



dx x

11

D=  





 12 1 2x x2x

1(

)12(

2 x x x

dx x

x x

dx x

23

dx x x x

x x x

L = 



2 7

3 x2 3x 4

dx