Tuyển chọn các bài toán bất đẳng thức nhiều lời giải Võ Quốc Bá Cẩn

Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta đưa được bài toán về chứng minh Bài 3... x y z Với phép đặt ẩn này, bất đẳng thức của ta được đưa về , 1 Bất đẳng thức được chứng minh

CÁC BÀI TOÁN CÓ NHIỀU LỜI GIẢI

n n

( 1) 2 1 1

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 a n 1

Cách 2 Giả sử bất đẳng thức đã cho sai Khi đó tồn tại các số thực dương

3

1 1 1 1

n

n

n n

i i

i

n

n i

a a

a n n

1 1

n

n n

n

n n

,

.1

,1

n n

n n

Cộng n bất đẳng thức trên lại theo vế, ta có ngay điều phải chứng minh

Cách 4 Ta sẽ chứng minh mệnh đề tổng quát như sau: Nếu a a1, 2, ,a là n các số thực dương thỏa mãn a a1 2 a n 1 và m n n 1, thì

.1

n

Kết quả bài toán ứng với trường hợp m n n 1

Chứng minh Ta sử dụng phương pháp quy nạp Toán học

Với n 2, bất đẳng thức trở thành

,1

.1

Khi đó ta có b b1 2 b k 1 và m k m k 1 k k 1 nên theo giả thiết quy nạp, ta sẽ có

.1

m m

b vào rồi rút gọn, ta thu được ngay

.1

1

k k

1 1

1 1

1 1

k k

k k

k k

t Thay vào bất đẳng thức đã cho, ta được

Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta đưa được bài toán về chứng minh

Bài 3 (Olympic Toán Ukraine 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực

dương , , , , , , a b c x y z bất đẳng thức sau đây luôn được thỏa mãn

Phép chứng minh được hoàn tất

Cách 2 Lấy căn bậc hai của hai vế và chú ý rằng

là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng Chứng minh hoàn tất

Cách 2 Do , , x y z 1 và xyz 1 nên tồn tại các số thực , ,a b c sao cho

Cách 3 Dễ thấy tồn tại các số thực phân biệt , , a b c sao cho x a,

trên, ta có ngay điều phải chứng minh

Bài 5 Cho , A B C là ba góc của một tam giác nhọn Chứng minh rằng ,

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác đã cho là tam giác đều

Cách 2 Đặt x cos ,A y cosB và z cosC thì ta có x y z, , 0 và

Sử dụng các kết quả quen thuộc trong tam giác nhọn

(1 cos )(1A cos )(1B cos )C cos cos cos ,A B C

3cos cos cos ,

2

ta thu được (1 x)(1 y)(1 z) xyz và 3

.2

2

3 3

32

Bài 6 Chứng minh rằng với mọi số thực dương , , , a b c ta luôn có

Từ đó, ta được

3 3

Cách 3 Đặt abc k3, khi đó ta dễ dàng chứng minh được tồn tại các số dương , ,x y z sao cho a ky,b kz,c kx

x y z Với phép đặt ẩn này, bất

đẳng thức của ta được đưa về

,( 1)

Bất đẳng thức được chứng minh xong

Bài 7 Cho , , , a b c d là các số thực thỏa mãn ad bc 1. Chứng minh

Rõ ràng vế trái của bất đẳng thức này luôn dương, vì thế ta có thể lấy bình phương hai vế để thu được bất đẳng thức tương đương

2 2

Bài toán được chứng minh xong

Bài 8 (Chọn đội tuyển Iran 2009) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa

.4

Bất đẳng thức cuối đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

(a b )(a c ) (a bc) a b c ab bc ca

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1

Cách 2 Tương tự như cách 1, ta phải chứng minh

3,2

và bài toán của ta được giải quyết hoàn toàn

Cách 3 Trước hết, ta chứng minh kết quả sau: Nếu , , x y z là các số thực dương, thì

,4

.4

Từ đây ta thu được kết quả như trên

Bây giờ, áp dụng bất đẳng thức trên với x a2 1,y b2 1, z c2 1,

ta được

,2(9 2 3) 42(9 2 ) 3

q q

Từ đó, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được

sym sym sym

Bài toán được chứng minh xong

Cách 3 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Bài 10 (Olympic Toán Belarus 1998) Cho , , a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

Cách 2 Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cho b c, ta được

Cách 3 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

2

1,2

Bằng cách thiết lập hai bất đẳng thức tương tự cho hai biểu thức còn lại, ta

có thể đưa bài toán về chứng minh

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

4 2 2 4 2 2

.( 2 )( 2 )

4abc a 2abc ab a( b) (theo AM-GM)

Bài 12 Chứng minh rằng với các số không âm , , a b c thỏa mãn không có

hai số nào đồng thời bằng 0, ta luôn có

Nhưng bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo Cauchy-Schwarz nên phép

chứng minh của ta vì thế được hoàn tất Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c hoặc a b c, 0 cùng hoán vị

Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3 ở dạng phân thức nên nó hiển nhiên

đúng Và vì thế, bất đẳng thức của ta được chứng minh xong

Cách 3 Nhân cả hai vế của bất đẳng thức đã cho với ab bc ca và thực

Do a b c, , là các số không âm nên hiển nhiên vế phải không thể nào bé hơn

0, từ đó, ta dễ dàng suy ra được bất đẳng thức cần chứng minh

Cách 4 Bài toán sẽ được chứng minh xong nếu ta có

Bài toán được chứng minh xong

Bài 13 Cho , , x y z là các số dương thỏa mãn 2x 4y 7z 2xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y z

x y

Do f x( ) tanx khả vi bậc hai và lồi trên 0,

2 nên theo tính chất trên,

2,

2tanx tany (tan ) (y x y) tany (tan y 1)(x y )

Thay ( , )x y lần lượt bởi , arctan 3 , , arctan 5 , , arctan 7 ,

ta được

Ta có (2a 1)3 (b c 1)3 8 và

nên bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng Phép chứng minh được hoàn tất

Cách 2 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a max{ , , }.a b c Khi

đó có hai trường hợp xảy ra

a ta có thể đưa bài toán về chứng

minh một bất đẳng thức một biến và việc chứng minh không mấy khó khăn (chỉ cần AM-GM) Xin được dành lại cho bạn đọc

Cách 3 Nếu có một số bằng 0 trong a b c, , thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng Vì vậy ta chỉ cần xét abc 0 Khi đó, đặt 1 1

,

1,

z c

ta có thể viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng

Bài 15 Cho , , a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

3( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)( 1)

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1

ta đưa được bài toán về chứng minh

2

2 2 (2 3)2

Bài toán được chứng minh xong

Cách 3 Bình phương hai vế, bất đẳng thức đã cho có thế được viết lại thành

3 2

Bài 17 Cho , , a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

Cách 2 Không mất tính tổng quát, giả sử a b c Sử dụng bất đẳng thức .AM-GM, ta có

hay tương đương với

Cách 4 Ta viết lại bất đẳng thức như sau

2 2

nên kết hợp với trên, ta suy ra điều phải chứng minh

Bài 18 Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng

Bất đẳng thức cuối này đúng vì ta có x2 yz (x2 y2)(x2 z2) theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1

Cách 2 The nguyên lý Dirichlet, ta biết rằng trong ba số , , a b c luôn có hai

số hoặc cùng 1 hoặc cùng 1 Không mất tính tổng quát, ta giả sử hai số

đó là a và b, thế thì (1 a)(1 b) 0 Sử dụng bất đẳng thức Schwarz, ta được

.1(1 ) (1 )

Thay x y z xyz vào, ta được x2 y2 z2 x y z2 2 2 4xyz Bất .đẳng thức cuối này đúng theo AM-GM

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Cách 2 Bất đẳng thức đã cho có thể dược viết dưới dạng thuần nhất như sau

Không mất tính tổng quát, giả sử x max{ , , }.x y z Bây giờ, sử dụng lần

lượt các bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz, ta có

Bất đẳng thức này tương đương với xu yv zw 0, hiển nhiên đúng

Bài 20 (Chọn đội tuyển Moldova 2006) Cho , , a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

(theo giả thiết của đề bài) Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác đã cho là tam giác đều

Cách 2 Nhân hai vế của bất đẳng thức với abc, ta viết được nó dưới dạng

Ta thấy ( ) là một tam thức bậc hai và hệ số cao nhất của nó không dương Vì vậy ( ) sẽ đạt cực tiểu tại biên Mà c b a c nên

nên bài toán được chứng minh xong

Bài 21 Chứng minh rằng với mọi số dương , , , a b c ta luôn có

x y z sao cho hiệu của chúng với 1 cùng dấu Giả sử hai số đó là x và y,

khi đó ta có (x 1)(y 1) 0, suy ra xy x y 1 Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh được

.1

Phép chứng minh của ta được hoàn tất

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1

Cách 2 Bằng phép khai triển trực tiếp, ta có thể dễ dàng viết lại bất đẳng

k thì ( ) f k đổi dấu từ âm sang dương nên đây cũng chính là giá trị cực tiểu

của f k( ), tức là f k( ) f k( )0 với mọi k 0 Vì vậy, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh được

2

xy f

Theo bất đẳng thức AM-GM, dễ thấy bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng

Từ đó, ta có điều phải chứng minh

Bài 22 Cho , , , , , a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn

nên hiển nhiên f u( ) 0 Chứng minh hoàn tất

Cách 3 Dễ thấy kết quả bài toán được suy ra từ hằng đẳng thức sau

cos A cos B cos C 2cos cos cosA B C 1,

suy ra ,A B C là ba góc của một tam giác Đến đây, sử dụng bất đẳng thức ,

cơ bản trong tam giác: Nếu , , A B C là ba góc của một tam giác và , , m n p

Điều này mâu thuẫn với giả thiết của bài toán Vậy điều giả sử ở trên là sai

Ta có điều phải chứng minh

Cách 5 Ta có (b c x) (c a y) (a b z) a b c 0 Do vậy, trong các số b c x c, a y a, b z phải có ít nhất một số dương Không mất tính tổng quát, ta giả sử b c x 0 Bây giờ, ta thấy rằng trong trường hợp x2 4bc thì kết quả bài toán là hiển nhiên nên ở đây

ta sẽ xét 4bc x Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương với 2

Bài 23 Cho , , a b c là các số thực không âm Chứng minh rằng

2 2

Vây ta có điều phải chứng minh Với giả thiết a b c, ta có đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c, 0.

Bất đẳng thức được chứng minh xong

Cách 3 Giả sử a b c Khi đó, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta

Bất đẳng thức cuối này hiển nhiên đúng do a s .

Cách 4 Bằng cách sử dụng phép bình phương, ta có thể viết lại bất đẳng

Bài 24 Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh

Mà

2 2

0

4 ( 1)(4 1)

a a f

ta có f x( ) 0 Và như thế, bất đẳng thức của ta được chứng minh xong

Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

.3

2 2

1 (a c) (a b b)( c) a c 3(ab bc ca)

Do (a b c)2 3(ab bc ca) (a c)2 (a b b c nên bất đẳng )( )thức trên tương đương với

2 2

Bài 25 Cho các số thực không âm , , , a b c d Chứng minh rằng

Bất đẳng thức của ta được chứng minh xong

Với giả thiết a b c d 0, ta dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

nên bất đẳng thức trên là hiển nhiên Phép chứng minh của ta được hoàn tất

Cách 3 Giả sử a b c d Bất đẳng thức đã cho có thể viết lại thành

nên bất đẳng thức trên là hiển nhiên đúng Bài toán được chứng minh xong

Cách 4 Không mất tính tổng quát, giả sử a b c d Khi đó, đặt

nên bất đẳng thức C 0 là hiển nhiên Phép chứng minh hoàn tất

Bài 26 (Olympic Toán Hoa Kỳ 2003) Cho , , a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

Cách 2 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a b c 3 Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

Bài toán được chứng minh xong

Cách 3 Tương tự như cách 1, ta phải chứng minh

.2

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

2(x y z) 24 12(x y z) 12 0.

Bất đẳng thức này tương đương với bất đẳng thức hiển nhiên đúng

2

Bài toán được chứng minh xong

Bài 27 Chứng minh rằng với mọi a b c, , dương, ta có

8abc (a b b)( c c)( a) (đúng theo AM-GM)

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

x x x

Xét trường hợp x y z 0 Lúc này xyz 0, suy ra tồn tại một số âm trong ba số , , x y z Giả sử z 0, khi đó dễ thấy x y, (0 )., 1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được

Lời giải

x y z

thỏa mãn đồng thời x y z 0,x2 y2 z2 x y2 y z2 z x2 6

Vì vậy ta có kết luận maxP 6

Tiếp theo ta sẽ đi tìm min P Dễ thấy bộ số ( , , )a b c ( x, y, z thỏa )mãn điều kiện bài toán, tức là a b c 0 và a2 b2 c2 6 Do đó,

từ kết quả của max ,P ta suy ra a b2 b c2 c a2 6 Mà

2 2 2 2 2

2 2

Bài toán được chứng minh xong

Cách 4 Dưới đây chúng ta sẽ cùng đến với một kỹ thuật khác để chứng

minh P 6 Thay z x y, ta có x2 y2 ( x y)2 6, suy ra

33

3 sin cos 6 cos 3 sin cos 8 cos

3 3 sin 9 sin cos 9 3 sin cos 3 cos

3 3 sin 9(1 cos )cos 9 3 sin (1 sin ) 3 cos

3 3(4 sin sin ) 3(3 cos 4 cos ) 3 3 sin 3 3 cos

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( , , )x y z là một hoán vị của bộ (1, 1, 0)

Cách 2 Không mất tính tổng quát, giả sử x y z Ta xét hai trường hợp

+ Trường hợp 1 x 0. Viết lại bất đẳng thức dưới dạng

Bài toán được chứng minh xong

Cách 3 Bằng lập luận tương tự như cách 2 ở trên, ta cũng đưa được bài

toán về xét trong trường hợp x y z, , 0 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 0 x y z Nếu z 1, thì ta có

Ta có

2 2

Bài toán được chứng minh xong

Bài 31 Cho , , a b c là các số thực không âm thỏa mãn

Cách 1 Theo nguyên lý Dirichtle, ta thấy trong ba số , , a b c có hai số cùng

1 hoặc cùng 1 Giả sử hai số đó là b và c Thế thì a(1 b)(1 c) 0,

suy ra ab bc ca a bc abc Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-

Do a b c nên dễ thấy c 1 Lại có 2 2 2

2, ,

2 cos , 2 cos , 2 cos

Thay vào, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

1cos cos cos cos cos cos 2 cos cos cos

Ta sử dụng phản chứng Giả sử bất đẳng thức này sai, khi đó tồn tại một bộ

số không âm ( , , )a b c thỏa mãn đồng thời a2 b2 c2 abc 4 và

Như vậy, điều giả sử ở trên là sai Bất đẳng thức được chứng minh

Cách 5 Từ giả thiết, ta thấy tồn tại các số thực không âm , , x y z thỏa mãn

a b a b nên giả thiết của bài toán có thể

được viết lại thành

Cách 3 Không mất tính tổng quát, giả sử a b c Khi đó ta có

3(a b c) (ab ac a ),

Cách 4 Yêu cầu của bài toán tương đương với việc chứng minh: Nếu các số

23(a b c) (a b a)( b c) ab bc ca .

Sau khi khai triển và rút gọn, ta thu được bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Bài toán được chứng minh xong

Bài 33 Cho , , x y z là các số thực dương Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z.

Cách 2 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c.

Cách 2 Nhân 2 vế của bất đẳng thức với ab a( b) bc b( c) ca c( a)

Bài toán được chứng minh xong

Cách 3 Không mất tính tổng quát, giả sử a min{ , , }.a b c Ta có

nên hiển nhiên f a x y( , , ) 0 và bài toán được chứng minh

Cách 3 Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Bài toán được chứng minh xong

Cách 4 Có thể kiểm tra được hằng đẳng thức sau

Từ hằng đẳng thức này, ta có thể suy ra ngay kết quả cần chứng minh

Bài 36 Cho , , a b c là các số thực không âm thỏa mãn ab bc ca 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c, 0, hoặc các hoán vị tương ứng

Cách 2 Không mất tính tổng quát, giả sử a b c Ta sẽ chứng minh

Bài toán được chứng minh xong

Bài 37 Cho , , x y z là các số thực dương Chứng minh rằng

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z

Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3 (áp dụng cho a b c2, ,2 2)

Bài 38 (Olympic Toán Moldova 1999) Cho , , a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

a Khi đó dễ thấy xyz 1, và bất đẳng

Do đó bất đẳng thức trên tương đương với

3 3

3 3

3 3

Bài 39 (Olympic Toán Trung Quốc 2006) Cho , , a b c là các số thực

2.2

Chứng minh

Cách 1 Đặt a x b2, y2 và c z2 với x y z, , 0 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

.8(x 1) (y z ) (y 1) (z x ) (z 1) (x y )

Bài toán được chứng minh xong

Cách 3 Do a b c, , 0, abc 1 nên tồn tại các số dương , ,x y z sao cho

y Thay vào, bất đẳng thức của ta trở thành

3.8

Đây chính là kết quả bài toán 27

Bài 41 (Olympic Toán Anh 2005) Cho , , a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

Cách 2 Không mất tính tổng quát, giả sử c min{ , , }.a b c Sử dụng bất