skkn các QUY tắc TÍNH xác SUẤT

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình sách giáo khoa lớp 11, chương II của sách Đại số và giải tích: TỔ HỢP – XÁC SUẤT là một trong chương có rất nhiều bài toán chứa đựng nhiều tính tư

[Type text]

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình sách giáo khoa lớp 11, chương II của sách Đại số và giải tích:

TỔ HỢP – XÁC SUẤT là một trong chương có rất nhiều bài toán chứa đựng nhiều tính tư duy logic phù hợp nhiều đối tượng học sinh từ Trung bình cho đến học sinh Khá giỏi Hơn nữa là chương tạo cho học sinh sự hứng thú mang tính chất thực tiễn trong cuộc sống, qua

đó học sinh có thể tự nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo ứng dụng trong cuộc sống

Để giải tốt các bài toán về XÁC SUẤT, học sinh cần phải nắm vững các bài toán về quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp rồi từ đó áp dụng quy tắc tính xác suất giải quyết phần còn lại của bài toán Nhưng cái khó của học sinh ở chương này: khi học sinh giải xong bài toán XÁC SUẤT học sinh không biết là mình làm như vậy đã đúng chưa? Đủ các trường hợp chưa? Do đó, là giáo viên giảng dạy ở THPT Nam Hà tôi thấy nhìn chung đối tượng học sinh ở mức Trung bình khá (một số ít là HSG) Do đó, chuyên đề này chỉ được viết ở mức độ tư duy vừa phải, phân loại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản nhằm từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn đề Qua đó các

em có thể hoàn thành tốt bài kiểm tra, đề thi học kỳ cũng như đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ Hơn nữa, qua chương này hy vọng học sinh sẽ yêu thích và hứng thú hơn đối với môn toán

vì những ứng dụng mang tính thực tiễn của bài toán

Nội dung của SKKN này gồm:

I Lý do chọn đề tài

II Nội dung:

1 Cơ sở lý thuyết

2 Các bài toán về quy tắc xác suất

2.1 Các bài toán xác suất cổ điển (quy tắc đếm, hoán vị, tổ hợp ) 2.2 Các bài toán xác suất theo quan điểm thống kê

2.3 Bài tập rèn luyện

III Hiệu quả đề tài

IV Đề xuất, khuyến nghị khả năng áp dụng

V Tài liệu tham khảo

[Type text]

II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ:

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

1.1 CÁC QUY TẮC ĐẾM:

1.1.1 QUY TẮC NHÂN:

Một công việc H được hoàn thành bởi thực hiện liên tiếp k giai đoạn H1, H2, …, Hk Trong đó: Giai đoạn H1 có n1 cách thực hiện

Giai đoạn H2 có n2 cách thực hiện

… Giai đoạn Hk có nk cách thực hiện

Với mỗi cách thực hiện ở giai đoạn này không trùng với bất kỳ cách thực hiện nào của các giai đoạn kia Khi đó, để hoàn thành công việc H phải thực hiện lần lượt k giai đoạn, suy ra có: n1.n2…nk cách để hoàn thành công việc H

1.1.2 QUY TẮC CỘNG:

Một công việc H có k phương án H1, H2, …, Hk để hoàn thành công việc H Mỗi phương án Hi độc lập với công việc Hj với i, j  (1; k)

Trong đó: Phương án H1 có n1 cách thực hiện

Phương án H2 có n2 cách thực hiện

… Phương án Hk có nk cách thực hiện

Khi đó để hoàn thành công việc H ta có thể thực hiện k phương án Hi độc lập với nhau, suy ra có: n1 + n2 +…+ nk cách để hoàn thành công việc H

1.2 HOÁN VỊ:

1.2.1 Nếu xếp n vật vào n vị trí theo một hàng dọc thì có Pn = n! cách sắp xếp

1.2.2 Nếu xếp n vật vào n vị trí theo một vòng tròn thì có Pn – 1 = (n – 1)! cách sắp xếp

1.3 CHỈNH HỢP:

1.3.1 Định nghĩa: Cho một tập hợp A gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k (1 k n) phần

tử có thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k từ n phần tử

1.3.2 Định lý: Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k từ n phần tử là k

n

A thì số chỉnh hợp: k

n

A = n.(n -1) (n - k +1)

[Type text]

1.4 TỔ HỢP:

1.4.1 Định nghĩa: Cho một tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập hợp con gồm k

(0 k n) phần tử (hay mỗi bộ gồm k phần tử không có thứ tự) của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k từ n phần tử

1.4.2 Định lý: Nếu ký hiệu số tổ hợp chập k từ n phần tử là k

n

C thì số tổ hợp:

k

n

A n.(n -1) (n - k +1) n!

C = =

1.5 CÁC CÔNG THỨC:

1.5.1 Giai thừa:

n

n! = n.(n -1)! (3) n.n! = (n +1)!- n!  (4) Quy ước: 1! = 1; 0! = 1

1.5.2 Chỉnh hợp:

k n

A = n.(n -1) (n - k +1) (5) (tích của k số hạng giảm dần từ n)

k n

n!

A (n - k)!

1.5.3 Tổ hợp:

k

n

A

C =

k n

n!

C =

p = q

C = C

p = n - q



 

 (13)

C = C  1 (14)

1 n-1

C + C + C + C  2n (16)

C - C + C - + (-1) C 0 (17)

[Type text]

1.6 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ:

1.6.1 Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của

nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó (SGK/59)

1.6.2 Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được

gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là (đọc là ô mê ga) (SGK/60)

1.6.3 Biến cố là một tập con của không gian mẫu (SGK/61)

Người ta thường kí hiệu các biến cố bằng chữ in hoa A, B, C và cho dưới dạng mệnh

đề xác định tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử hoặc diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con

Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không)

Tập  được gọi là biến cố chắc chắn

1.6.4 Phép toán trên các biến cố: (SGK/62)

Giả sử A là biến cố có liên quan đến phép thử và các kết quả xảy ra của phép thử là như nhau (đồng khả năng)

- Tập \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A Và A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra

- Tập AB được gọi là hợp của các biến cố A và B

- Tập AB được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B

- Nếu AB = thì ta nói A và B là xung khắc

- Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra

của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy ra của biến cố kia

1.7 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ:

1.7.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất (SGK/66)

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng

khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số (A)

( )

n

n  là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), tức là:

(A) P(A)

( )

n n





1.7.2 Tính chất của xác suất: (SGK/69)

Định lý:

[Type text]

a) P( ) 0, P( ) 1 b) 0P(A)1, với mọi biến cố A

c) P(A) 1 P(A) d) Nếu A và B xung khắc, thì P(AB)P(A) + P(B)

(công thức cộng xác suất)

e) Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi

P(A.B)P(A).P(B) (công thức nhân xác suất)

2 CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT:

2.1 Các bài toán xác suất cổ điển:

Bài 1: Danh sách của lớp Hoa có 45 học sinh được dánh số thứ tự từ 1 đến 45 Hoa có số

thứ tự 15 Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp

a) Tính xác suất để Hoa được chọn

b) Tính xác suất để một bạn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hoa được chọn

HD: Số phần tử của không gian mẫu? Có cần phải liệt kê phần tử không gian mẫu?

Giải: Gọi  là không gian mẫu Số phần tử của không gian mẫu: n( ) 45

a) Gọi A là biến cố “Hoa được chọn” Ta có n(A)1

Xác suất để Hoa được chọn: P(A) (A) 1

( ) 45

n n

b) Gọi B là biến cố “Bạn có số thứ tự nhỏ hơn 15 được chọn” Ta có n(B)14

Xác suất để một bạn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hoa được chọn: P(B) 14

45



NX: Câu a) GV cần lưu ý vì HS dễ làm sai n(A)15 vì Hoa có số thứ tự 15

Bài 2: Chọn ngẫu nhiên một số không âm nhỏ hơn 19 Tính xác suất để:

a) Số được chọn là số nguyên tố

b) Số được chọn là số chia hết cho 3

- HS tự giải

- GV cần lưu ý HS hay sain( ) 19 vì quên chọn số 0 Đúng là n( ) 20

Bài 3: Gieo hai con súc sắc (biết súc sắc cân đối và đồng chất)

a) Mô tả không gian mẫu

[Type text]

b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7” Tính xác suất biến cố A

c) Gọi B là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn 3” Tính xác suất biến cố B

HD: Câu a: Gọi một HS mô tả không gian mẫu Thường thì HS mô tả {(1;1); (1;2);

(1;3)…} Từ đó GV đặt câu hỏi: Có bao nhiêu cách biểu diễn một tập hợp?

- Biểu diễn không gian mẫu như thế nào cho ngắn gọn hơn?

( ; ) | ,i j i j N ,1 i 6,1 j 6 n( ) 36

HD: Câu b: Gọi HS liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố A? kết quả (1;6) và (6;1) có

được chọn cả hai hay không?n(A)?

Giải b) A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7”

A (1;6);(2;5);(3; 4);(4;3);(5; 2);(6;1) n(A)6

P(A)

( ) 36 6

n n



HD: Câu c: Gọi HS liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố B? n(B)?

- HS nên sử dụng biến cố đối để bài làm nhanh hơn

Giải c) B là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn 3”

B là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 3” Ta có: B(1;1); (1; 2); (2;1)n(B) 3 n(B)33

(B) 33 11 P(B)

( ) 36 12

n n



Bài 4: Gieo ba con súc sắc (biết súc sắc cân đối và đồng chất)

a) Mô tả không gian mẫu

b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc nhỏ hơn 6” Tính xác suất biến cố A

c) Gọi B là biến cố“Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc nhỏ hơn 14” Tính xác suất biến cố B

- HS tự giải

Bài 5: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có ba chữ số

khác nhau từ tập hợp A Tính xác suất để chọn được một số chẵn

HD: - Có mô tả được không gian mẫu hay không? Số phần tử không gian mẫu?

[Type text]

- Dấu hiệu nào để biết số tự nhiên là một số chẵn?

Giải: Gọi  là không gian mẫu

Số phần tử của không gian mẫu: 3

6

Gọi A là biến cố “chọn được một số chẵn”

Ta có n(A)3.5.460

Vậy P(A) (A) 60 1

( ) 120 2

n n

Bài 6: Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có bốn chữ số

khác nhau từ tập hợp A Tính xác suất để

a) Chọn được một số chẵn

b) Chọn được một số luôn có mặt chữ số 1

c) Chọn được một số sao cho chữ số liền sau nhỏ hơn chữ số liền trước

- HS tự giải

- HD: - Câu a: HS lưu ý trong tập hợp A có chứa số 0

- Câu b: HS sử dụng biến cố đối: số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau và không có chữ số 1

- Câu c: Mỗi một tập hợp có bốn phần tử là con của tập A cho ta một số tự nhiên thỏa

đề bài

Bài 7: Một hộp đựng 5 bi vàng, 4 bi đỏ và 6 bi xanh Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp trên

Tính xác suất để:

a) Chọn được 4 viên bi cùng màu

b) Chọn được 4 viên bi, trong đó có ít nhất một bi vàng

c) Chọn được 4 viên bi không đủ ba màu

HD: - Có mô tả được không gian mẫu hay không? Số phần tử không gian mẫu?

Giải: a) Gọi  là không gian mẫu

Số phần tử của không gian mẫu: 4

15

( ) C

n   Gọi A là biến cố “Chọn được 4 viên bi cùng màu”

Ta có 4 4 4

Vậy P(A) (A)

( )

n n



 b) Gọi B là biến cố “Chọn được 4 viên bi, trong đó có ít nhất một bi vàng”

[Type text]

Ta có n(B)C154 C104

Vậy P(B) (B)

( )

n n



 c) Gọi C là biến cố “Chọn được 4 viên bi không đủ ba màu”

Ta có C là biến cố “Chọn được 4 viên bi đủ ba màu”

(C) C C C C C C C C C

(C) ( ) (C)

n

Vậy P(C) (C)

( )

n n





NX: Câu b) GV cần lưu ý vì HS dễ làm sai là chọn trước một bi vàng, sau đó chọn tiếp 3

bi tùy ý (chọn như vậy bị lặp lại)

Câu c) HS thường chọn cách làm trực tiếp, tức là liệt kê các trường hợp GV cần hướng dẫn cho HS sử dụng biến cố đối

Bài 8: Một hộp đựng 9 thẻ, được đánh số thứ tự từ 1 đến 9 Rút ngẫu nhiên hai thẻ từ chiếc

hộp trên Tính xác suất để:

a) Chọn được 2 thẻ có tích số hai thẻ là số chẵn

b) Chọn được 2 thẻ có tổng số hai thẻ lớn hơn 5

- HS tự giải

HD: - Có mô tả được không gian mẫu hay không? Số phần tử không gian mẫu?

- HS thường làm sai số phần tử không gian mẫu: n( ) C C19 18 72 Làm đúng là

2

9

n   

- Câu a: HS thường làm sai chọn 2 thẻ trong đó có ít nhất một thẻ chẵn

1 1

4 8

(A) C C 32

n   Làm đúng là: 2

5

- GV HD HS sử dụng biến cố đối

Bài 9: Có ba hộp, mỗi hộp đựng 3 quả cầu đỏ, 3 quả cầu xanh, 3 quả cầu vàng Rút ngẫu

nhiên mỗi hộp một quả cầu Tính xác suất để:

a) Chọn được 3 quả cầu cùng màu

b) Chọn được 3 quả cầu chỉ có đúng hai màu

Giải: a) Gọi  là không gian mẫu

Số phần tử của không gian mẫu: 1 1 1

9 9 9

( ) C C C 729

Gọi A là biến cố “Chọn được 3 quả cầu cùng màu”

[Type text]

Ta có n(A)C C C13 13 13C C C13 13 13C C C13 13 13 81

Vậy P(A) (A) 81 1

( ) 729 9

n n

b) Gọi B là biến cố “Chọn được 3 quả cầu có đúng hai màu”

Gọi C là biến cố “Chọn được 3 quả cầu khác màu”

Ta có 1 1 1

3 3 3

(C) 3!C C C 54

Suy ra n(B)  n( ) n(A)n(C)594

Vậy P(B) (B) 594

( ) 729

n n

2.2 Các bài toán về xác suất theo quan điểm thống kê:

Bài 1: Một xạ thủ bắn cung có xác suất bắn trúng hồng tâm là 0,2 Tính xác suất để:

a) Trong ba lần bắn, người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần

b) Trong ba lần bắn, người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần

HD: - Có mô tả được không gian mẫu hay không?

- Áp dụng quy tắc tính xác suất mới giải quyết đượ bài toán trên

Giải: a) Gọi Ai là biến cố “Người bắn cung bắn trúng hồng tâm lần thứ i” (i = 1, 2, 3)

Ta có P(Ai) = 0,2

Gọi K là biến cố “Trong ba lần bắn, người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần”

Ta có K = A A A1 2 3A A A1 2 3A A A1 2 3

Theo quy tắc cộng xác suất ta được:

P(K) = P(A A A ) + P(A A A ) + P(A A A ) Theo quy tắc nhân xác suất ta được:

P(A A A ) = P(A ).P(A ).P(A ) = 0, 2.0,8.0,8 = 0,128 Tương tự: P(A A A ) = P(A A A ) = 0,1281 2 3 1 2 3

Vậy P(K) = P(A A A ) + P(A A A ) + P(A A A ) = 3.0,128 = 0,3841 2 3 1 2 3 1 2 3

b) Gọi H là biến cố “Trong ba lần bắn, người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần” Khi đó: H là biến cố “Trong ba lần bắn, người đó bắn không trúng hồng tâm”

Ta có H = A A A1 2 3P(H) = P(A A A )1 2 3 P(A )P(A )P(A )1 2 3 0,8.0,8.0,80512 Vậy P(H) = 1- P(H) = 1- 05120, 488

[Type text]

Bài 2: Một xe ôtô có bốn động cơ (bốn động cơ hoạt động như nhau), xác suất động cơ bị

hỏng là 0,1 Để xe chạy được phải có ít nhất hai động cơ hoạt động bình thường Tính xác suất để ôtô chạy được

- HS tự giải

Bài 3: Gieo hai đồng xu A và B Đồng xu A được chế tạo đồng chất và cân đối, đồng xu B

được chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần mặt ngửa Tính xác xuất để:

a) Khi gieo hai đồng xu một lần thì cả hai đồng xu đều ngửa

b) Khi gieo hai đồng xu hai lần thì hai lần cả hai đồng xu đều ngửa

Giải: a) Gọi A1 là biến cố “Đồng xu A sấp”; A2 là biến cố “Đồng xu A ngửa”

Gọi B1 là biến cố “Đồng xu B sấp”; B2 là biến cố “Đồng xu B ngửa”

Ta có P(A1) = P(A2) = 0,5

P(B1) = 0,75; P(B2) = 0,25 Gọi K là biến cố “Cả hai đồng xu đều ngửa khi gieo hai đồng xu một lần”

Nên K = A2B2

Theo quy tắc nhân xác suất ta có: P(K) = P(A2B2) = P(A2) P(B2)= 0,5.0,25 = 0,125 b) Gọi K1 là biến cố “Cả hai đồng xu đều ngửa khi gieo hai đồng xu lần thứ nhất” Gọi K2 là biến cố “Cả hai đồng xu đều ngửa khi gieo hai đồng xu lần thứ hai” Khi đó K1K2 là biến cố “ Cả hai đồng xu đều ngửa khi gieo hai đồng xu hai lần” Theo câu a) P(K1) = P(K2) = 0,125

Theo quy tắc nhân xác suất ta có: P(K1K2) = P(K1) P(K2)= 0,125.0,125=0,015625

Bài 4: Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng được một trận là 0,4 Hỏi An phải

chơi tối thiểu bao nhiêu trận để trong loạt chơi đó xác suất An thắng ít nhất một trận lớn hơn 0,95?

Giải: Gọi n là số trận mà An chơi Gọi A là biến cố “An thắng ít nhất một trận trong loạt

chơi n trận” Khi đó Alà biến cố“An thua cả n trận trong loạt chơi n trận”, ta có:

n

P(A) = (0, 6)

[Type text]

P(A) = 1- (0, 6) Ta cần tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn

n

P(A)  0,95  0, 05  (0, 6) Ta có 5 6

(0, 6)  0, 078; (0, 6)   0, 047 Suy ra n nhỏ nhất là 6, vậy

An phải chơi tối thiểu 6 trận

2.3 Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm

xác suất sao cho

a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau

(Bài 6 – trang 76 sách Đại số và giải tích 11)

Bài 2: Trên một cái vòng hình tròn dùng để quay xổ số có gắn 36 con số từ 01 đến 36 Xác

suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau Tính xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại

ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) trong lần quay thứ 2

Bài 3: Cho một lục giác đều ABCDEF Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào 6 thẻ Lấy

ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:

a) Cạnh của lục giác

b) Đường chéo của lục giác

c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác

(Bài 8 – trang 77 sách Đại số và giải tích 11)

Bài 4: Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt

ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại

a) Mô tả không gian mẫu

b) Tính xác suất:

A: “Số lần gieo không vượt quá ba”

B: “Số lần gieo là năm”

C: “Số lần gieo là sáu”

Bài 5: Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần Tính xác suất của các biến cố:

a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”

b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”