CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Chuyên đề : CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1.BÀI TOÁN 1 : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Bài toán tổng quát: Trong mpOxy... Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng

Chuyên đề : CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1.BÀI TOÁN 1 : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Bài toán tổng quát:

Trong mp(Oxy) Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1

2

(C ) : y f(x) (C ) : y g(x)











(C1) và (C2) không có điểm chung (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:

* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:

f(x) = g(x) (1)

* Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung của hai đồ thị (C1) và (C2)

L ưu ý :

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2)

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 ).

Chú ý 1 :

* (1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung

Chú ý 2 :

* Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2)

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

x

O O

O

) (C1

) (C2

) (C1

) (C2

1

1

M y2 M2

1

) (C2

) (C1

x

y

0

y

0

x O

Áp dụng:

D

ạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y x 2 x 2 và đường thẳng y x 2 

Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C): y x 2 4 và (C'): yx2 2x

Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y 1x3 x2

3

  và đường thẳng (d) : y 3x 5

3

 

Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): 2 11







x

x

y và đường thẳng (d) : y  3x 1

Bài 5: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y x và đường thẳng (d) : y x 2 

Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt

Bài 1 : Cho hàm số y2x 1x 2

 Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y mx 2  luơn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

Bài 2 : Cho hàm số y3 2xx 1

 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y mx 2  cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

Bài 3: Cho hàm số y(x1)(x2mx m ) (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Bài 4: Cho hàm số y x 33x2mx m  2 (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Bài 5: Cho hàm số y x 4 mx2m1 (1)

Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

b Điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số : (Dành cho chương trình NC)

Định lý :

(C1) tiếp xúc với (C1)  hệ : f(x) g(x)' '

f (x) g (x)









 có nghiệm

Bài 1: Chứng minh rằng hai đường cong (C) : y x3 5x 2

4

   và (C') : y x 2 x 2 tiếp xúc nhau.tại một điểm nào đĩ

Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y kx tiếp xúc với đường cong (C) : y x 3x 1 3 2 

Bài 3: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 2 7    tiếp xúc với đường cong (C) : y x 3x 3 22

Bài 4: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 1 3    tiếp xúc với đường cong (C) : y 2x 1

x 1







M

) (C1

) (C2 y

x

Bài 2: Tìm k để đường thẳng (d) : y k x 5    tiếp xúc với đường cong

2

x x 1 (C) : y

x 1

 





2.BÀI TOÁN 2: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG

a Dạng 1:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm M (x ;y ) (C)0 0 0 

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng:

y - y0 = k ( x - x0 ) hay y f '(x )(x x ) f(x ) 0  0  0

Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm

y0: tung độ tiếp điểm và y0 = f(x0)

k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f'(x0)

Áp dụng:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 3 3





y tại điểm trên đồ thị cĩ hồnh độ

x 2

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2x 3

x 1





 tại điểm trên đồ thị cĩ hồnh độ

x3

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 1 2

2x 1

  

 tại điểm trên đồ thị cĩ hồnh độ

x 1

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 3x 2

x 1





 tại điểm trên đồ thị cĩ tung độ

y2

Bài 5: Cho hàm số y2x 3x 13 2  (1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số (1) tại điểm trên (C) cĩ hồnh x , biết rằng 0 y''(x ) 00 

Bài 6: Cho hàm số y 2 x

x 1





 (1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số (1) tại giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ

(C): y=f(x)

0

0

y

y

0

b Dạng 2:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0 0  C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f x'( )0 k, từ đó suy ra y0 f x( )0 =?

Bước 3 : Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ta sẽ được pttt cần tìm.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx 3x3 biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k9

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2x 1

x 2





 biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc bằng 5

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng () có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của () là:

k a

Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) và ( )1 2 Khi đó:

1 2

// k k

k k 1

    

Áp dụng:

(C): y=f(x)

0

0

y

y

0

(C): y=f(x)



x y

a

k 1/

O

b ax

y 

2 :

(C): y=f(x)

x

y

a

k 

b ax

y 

1



2



Bài 1: Cho đường cong (C): 1 3 1 2 2 4

y x  x  x Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2

Bài 2: Cho đường cong (C): y x2 5x 4

x 2

 



 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : y 3x 2  

Bài 3: Cho đường cong (C):

1

3

2







x

x y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (  ) :y   3x

c Dạng 3:

Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA)

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng () qua A và có hệ số góc là k bởi công thức:

y y A k x x(  A)  y k x x (  A)y A (*)

Bước 2: Định k để () tiếp xúc với (C) Ta có:

tiếp xúc (C) hệ f(x)=k(x-x )' A có nghiệm (1)

f ( )

A

y

x k









Bước 3 : Giải hệ (1) tìm k Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm.

Áp dụng:

Ví dụ1: Cho đường cong (C): 3 3 2 4





y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)

Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y 2x 25

x





 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0)

3.BÀI TOÁN 3: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

x y

A A A

y

O

)

; (x A y A A

) ( :

) (C yf x

Cơ sở của phương pháp:

Xét phương trình f(x) = g(x) (1)

Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C1):y=f(x) và (C2):y=g(x)

Bài tốn : Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng : f(x) = m (*)

Phương pháp:

Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

( ) : ( ) : (C) là đồ thi cố đinh ( ) : : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox và cắt Oy tại M(0;m)

C y f x

y m

Bước 2: Vẽ (C) và () lên cùng một hệ trục tọa độ

Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của () và (C)

Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)

Minh họa :

Áp dụng:

Bài 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số yx 3x3 2 4

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3x3 2  4 m 3) Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x 3x3 2 2 m 0

Bài 2: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y 2x 6x 1 3 

2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x 6x 1 m 03   

Bài 3: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số yx42x2

y

x

) ( :

) (C y f x

)

; 0

( m

1

m

2

m

m

y 



O

y

x

0

x

) (C1

) (C2

2) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 2x2m 0