TRỌNG TÂM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.. ĐS: Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều

1) Các đường trong tam giác:

a) Đường trung tuyến AM:

M là trung điểm BC

b) Đường phân giác AK:

Giao điểm của 3 đường

phân giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

4) Đường trung bình MN của ABC:

MN lần lượt đi qua trung điểm hai cạnh

AB, AC của ABC Có:

/ /

2

MN BC BC MN

5) Hệ thức lượng trong  vuông

a)BC2 AB2AC2

b)AH BC  AB AC c)AH2 HB HC d)AB2 BC BH

e) AC2 BC CH

f) 1 2 12 1 2

6) ABC có AM là trung tuyến

902

12) Tam giác thường

S AD BH , 1

.2

S  AC BD

16) Hình tròn:

S  R2

17 ) Tam giác, tứ giác

a) Tổng hai cạnh của 1  lớn hơn cạnh thứ ba b) Hiệu hai cạnh của 1  nhỏ hơn cạnh thứ ba c) Góc ngoài của 1 

d) Tổng 3 góc trong 1  bằng 1800 e) Tổng 4 góc trong 1 tứ giác bằng 360 0

Các phương pháp chứng minh 18) CM 2  bằng nhau

a) Tam giác thường (3 cách) (c-g-c), (g-c-g), (c-c-c) b) vuông (5 cách) (c-g-c), (g-c-g), (c-c-c) Cạnh huyền, 1 cạnh góc vuông Cạnh huyền, 1 góc nhọn

19) CM  cân

a) 2 cạnh bằng b) 2 góc bằng

c) 1 đường có 2 trong 3 tính chất: cao, phân giác, trung tuyến

20) CM  đều

a) 3 cạnh bằng b) 3 góc bằng c)  cân, có 1 góc bằng 60 0

H

x A

21) CM hình thang cân( 2 góc ở 1 đáy bằng

nhau)

CM tứ giác là hình thang có:

a) Hai góc kề 1 đáy bằng nhau

b) Hai góc đối bù nhau (tổng bằng 1800)

c) Hai đường chéo bằng nhau

a) là hbh có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau

b) là hbh có 2 đường chéo vuông góc

c) là hbh có 1 đường chéo là phân giác của

góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy

d) có 4 cạnh bằng nhau

e) có mỗi đường chéo của tứ giác là phân giác

của góc có đỉnh thuộc đường chéo ấy

24) CM tứ giác là hcn: CM tứ giác

a) là hbh có 1 góc vuông

b) là hbh có 2 đường chéo bằng nhau c) có 3 góc vuông

d) là hình thang cân có 1 góc vuông

25) CM tứ giác là hình vuông: CM tứ giác

a) là hình thoi có 1 góc vuông b) là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau c) là hcn có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau d) là hcn có 2 đường chéo vuông góc

26) CM 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn: CM đường thẳng đó vuông góc với

bán kính tại đầu mút của bán kính

OB là bán kính đường tròn

aOB tại B Vậy a là tiếp tuyến của đường tròn (O)

27) CM 2 đoạn thẳng bằng nhau:

a) CM 2  bằng nhau b) Cùng bằng cạnh thứ ba c) ABCDEFGH ABGH

d) Tổng (hay hiệu) của hai cặp đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một thì bằng nhau

e) có 2 góc =  cân  2 cạnh bằng nhau f) cân  đường phân giác hay đường cao ở đỉnh chia đôi cạnh đáy

g) Áp dụng đl I)3 h) Tính chất đoạn chắn i) CM tứ giác là hbh  2 cạnh đối bằng nhau j) ABC vuông tại A có AM là trung tuyến

AM MBMC

k) Khoảng cách từ tâm đến 2 dây cung bằng nhau thì 2 dây cung bằng nhau

l) Giao điểm 2 tiếp tuyến trong 1 đường tròn

cách đêu 2 tiếp điểm

AB = AC m) ABCD ABCD

D

C

n) CM tứ giác là hbh  2 góc đối bằng nhau

o) Hai tiếp tuyến cắt nhau

AMO BMO AOM BOM

h.thoi, h.vuông  2 cạnh đối //

g) Đường trung bình trong một  thì // với cạnh

thứ ba

h) Áp dụng đl Ta let đảo mục I) 7)

30) CM 2 đường thẳng vuông góc với nhau

a) 2 đt giao nhau tạo thành 2 góc kề =  2 đt 

b) 2 đt tạo thành góc 900, mục I) 6)

c) có 2 góc phụ nhau  góc còn lại bằng 0

90  2đt  d) a/ /b a c

f) cân đ.phân giác hay trung tuyến cũng là đcao

g) 2 tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc

h) Định lý Pitago đảo i) Đường cao thứ 3 trong 1 j) Đường kính qua trung điểm 1 dây không qua tâm  đường kính dây cung

k) Tiếp tuyến bán kính đi qua tiếp điểm

l ) 2 cạnh của góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

31 ) CM 3 điểm thẳng hàng

a)  0

180

ABC   A, B, C thẳng hàng b) AB m

O, B thẳng hàng g) Đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A

 O, A, O’ thẳng hàng

32) CM 4 điểm nằm trên 1 đường tròn

a) CM 4 điểm cách đều 1 điểm nào đó b) CM 4 điểm là 4 đỉnh của hình thang cân, hcn, h.vuông

c) CM là đỉnh của tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800

d) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc vuông

e) 2 điểm M, N cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc



A

B

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

5

QUAN HỆ SONG SONG:

1 Qua 1 điểm khơng nằm trên đường thẳng cho trước cĩ 1 và chỉ 1

đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

2

Nếu 3 mp phân biệt đơi một cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì

3 giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đơi một song song nhau ( ) ( )

// //

( ) ( )

, , đồng quy( ) ( )

( ), ( )

// //

//

(d )( ) ( )

d a b

a b

d a b d

Nếu đường thẳng d khơng nằm trong ( ) và d song song với đường

thẳng d’ nào đĩ nằm trong ( ) thì d song song với ( )

Cho đường thẳng a song song với ( ) Nếu (  ) chứa a và cắt ( )

theo giao tuyến b thì b song song với a // ( )

8 Nếu ( ) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song

với ( ) thì (  ) song song với (  )

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

6

( ), ( ) caét ( ) // ( )// ( ), // ( )

*) Nếu đường thẳng d song song với ( ) thì trong ( ) có 1 đường

thẳng song song với d và qua d có duy nhất 1 mp song song với ( )

*) 2 mp phân biệt cùng song song với mp thứ ba thì song song với nhau

11 Cho 2 đường thẳng chéo nhau Có duy nhất 1 mp chứa đường này và

song song với đường kia

12 Qua 1 điểm nằm ngoài mp cho trước có một và chỉ một mp song

song với 1 mp cho trước

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng

b

( )( )

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

7

C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc

C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh

còn lại của tam giác

Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

nằm trong mặt phẳng

C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng

kia cũng vuông góc với mặt phẳng

C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt

phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia

C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của

hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông

( ) ( )

( )( ),

( )( ) ( ),( )P ( )P P

a a

 Góc (a,b) = góc (a’,b’) =AOB

 Thường chọn điểm O  a hoặc O

b

b' a'

B

A

O b

 Dựng giao điểm O của a và nếu chưa có

( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng ( ))

 Khi đó: Góc( ;( ))a  = Góc( OA OB = , )



HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

9

KHOẢNG CÁCH

HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHĨP ĐẶT BIỆT

Hình chóp tam giác đều

Hình chĩp tam giác đều:

 Đáy là tam giác đều

 Các mặt bên là những tam giác cân

 Đặc biệt: Hình tứ diện đều cĩ:

 Đáy là tam giác đều

 Các mặt bên là những tam giác đều

 Cách vẽ:

 Vẽ đáy ABC  Vẽ trung tuyến AI

 Dựng trọng tâm H  Vẽ SH  (ABC)

 Ta cĩ:

 SH là chiều cao của hình chĩp

 Gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH 

 Gĩc mặt bên và mặt đáy là: SIH  

 // ( )





H M

Khoảng cách giữa hai

đường thẳng song song

Khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng //

H S

B

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH 

 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  

Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

Chú ý:

a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,

Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = a2 b2c2 ,

b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

3 2

a

c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng

nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)

d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều



D A

S

 SA  (ABC)

 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA 

 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA  

 SA  (ABCD)

 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA 

 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA  

 Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA 

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

11

THỂ TÍCH CỦA KHỐI:

1

1) Hình chĩp: Gồm đáy là đa giác phẳng và đỉnh

khơng thuộc mặt đáy

2) Hình chĩp đều

a) Định nghĩa: là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều,

các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau cĩ chung đỉnh

1 Trung đoạn chỉ cĩ ở hình chĩp đều

2 Trong hình chĩp đều tất cả các trung đoạn thì bằng nhau

3 Hình tứ diện cĩ 4 mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều

*) Cơng thức về hình chĩp

1 V = 1

3S.h

: diện tích đáyh: chiều cao

- Các măt bên của HLT là các HBH

- Hai đáy của HLT là 2 đa giác bằng nhau

- Chiều cao bằng khoảng cách giữa 2 đáy

B

CA

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

13

5a 4a

B' A'

B A

60

B' A'

B A

10

Cho khối chóp S.ABC Trên các đoạn thẳng SA, SB,

SC lần luợt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S Khi đó

' ' ' ' ' '

Ví dụ 1: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a Tính

thể tích khối lăng trụ này

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích

tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC Ta có

ABC đều nên

2S 1

Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= 8 3

Ví dụ 3: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn

của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ Tính thể tích hình hộp

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

14

o 60

C'

B' A'

C

B A

a o 60

o 30

C'

B' A'

C

B A

o 30

a

D'

C' A' B'

Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA =

BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 Tính thể tích lăng trụ

Lời giải:

Ta có A 'A  (ABC)  A 'A  AB& ABlà hình chiếu của A'B trên đáy ABC

Vậy góc[A 'B, (ABC)] ABA ' 60  o

nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C)

Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o

a 3 S

2



Vậy V = a 63

Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD'

của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300 Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

15

a

o 30 o 60

D'

C' B'

A'

D

C B

A

C'

B' A'

C

B

A

o 60

x

o 30

I

C'

B' A'

C

B A

Ví dụ 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 60o

biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o Tính thể tích của hình hộp

Giải

ABD

 đều cạnh a

2 ABD

a 3 S

4

2 ABCD ABD

3a

2

Ví dụ 8: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA =

BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 Tính thể tích lăng trụ

Ví dụ 9: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều Mặt (A’BC) tạo với đáy

một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải:

ABC

 đều  AI  BC mà AA' (ABC) nên A'I BC(đl 3)

Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A 'IA = 30o

2

32

AI AI

2 30 cos : '

Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3

Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8  x  2

Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3

Ví dụ 10: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với

đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Giải:

Gọi O là tâm của ABCD Ta có

ABCD là hình vuông nênOC  BD

0

60

O

A' D'

B' C'

C

A D

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

16

2a

o 30

o 60

D'

C' B'

A'

D C

B

A

CC'(ABCD) nên OC'BD (đl 3)

Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = COC' = 60o

Ví dụ 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy

(ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật

Giải:

Ta có AA'  (ABCD) AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD)

Vậy góc[A'C,(ABCD)] = A 'CA  30o

Ví dụ 12: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên

là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o Tính thể tích lăng trụ

Ví dụ 13: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật

2) Tính thể tích lăng trụ

Lời giải:

1) Ta có A 'O  (ABC)  OA là hình chiếu của AA' trên (ABC)

Vậy góc[AA ',(ABC)] OAA ' 60  o

Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)

AO  BC tại trung điểm H của BC nên BC  A 'H(đl 3 )

H O

o 60

C'

A a

B' A'

C

B

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

17

H N

M

D'

C'

B' A'

D

C

B A

2) ABC đều nên 2 2 a 3 a 3

o AOA '  A 'O  AO t an60  a

Ví dụ 14: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3AD = 7 Hai mặt

bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 .Tính thể tích khối hộp nếu

'

2 2

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x

Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a

Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ ĐS:

Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng

chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ

Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2

Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng

diện tích các mặt bên là 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 1080 cm3

Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết

rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a Tính thể tích lăng trụ Đs:

V = 24a3

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt

của lăng trụ bằng 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3

Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ

bằng trung bình cộng các cạnh đáy Tính thể tích của lăng trụ.Đs: V = 2888

Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 Tính thể tích khối lập phương Đs: V = 8 m3

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

18

Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường

chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = 0,4 m3

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là 5; 10; 13

Tính thể tích khối hộp này Đs: V = 6

Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với

mặt bên (AA'B'B) một góc 30o Tính thể tích lăng trụĐS:

3

V 16

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp

với đáy (ABC) một góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS:

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với

mặt bên (BCC'B') một góc 30o Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ ĐS:

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết

AC = a và ACB 60  obiết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o

Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC' ĐS: V  a3 6 , S =

2

2

Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a

và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300

Tính thể tích lăng trụ ĐS:

3

32a V

9



Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với

(ABCD) một góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o

Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông Gọi O là tâm của

ABCD và OA' = a Tính thể tích của khối hộp khi:

1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương

2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o

3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o Đs:1)

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và

BD' = a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o

2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o Đs: 1)V =

Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh

của 2 mặt bên kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ Đs: V = a3 và S = 6a2

Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD' = AC' =

CA' = a2 b2 c2

1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

19

2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc đường

chéo Chứng minh rằng sin x sin y sin z 12  2  2 

Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng

Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD

một góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 Tính thể tích hộp chữ nhật Đs:

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết

rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết

rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V  a3 2

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và

BAC 120  o biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o Tính thể tích lăng trụ

Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h

biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o Tính thể tích lăng trụ Đs:

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a

Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o

2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o

3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ

Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính

thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o

2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600

3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a

Đs: 1) V = 16a3 2) V = 12a3 3) V =

3

16a 3

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o

2)Tam giác BDC' là tam giác đều

3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A =

60o Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a

Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây:

1) AB = a

2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30o

3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300

Đs: 1) V  8a3 2 ; 2) V = 5a3 11 ; V = 16a3

Dạng 4: Khối lăng trụ xiên

Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy

ABCD một góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V = a3 2

Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8

hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V =336

Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c vàBAD 30  o và biết cạnh bên

AA' hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ

Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều

A,B,C biết AA' = 2a 3

Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có

hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bêb

BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60o

Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O Cạnh b CC' = a hợp với

đáy ABC 1 góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O

1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B

2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' Đs: 1)

2

S 2

Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc

hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a

1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ

2) Tính thể tích lăng trụ Đs: 1) 30o 2)

33

a V

8



Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O Hình chiếu của C'

trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên

AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90o Đs:

3

27a V

4 2



Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A'

trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc

60o

1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD

2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'

B

S C

A

a o 60

S

C

B A

Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc

A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a

1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy

2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với

AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o

1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông

2)Tính thể tích hình chóp

Lời giải:

mà BC  AB  BC  SB ( đl 3 )

Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông

2) Ta cóSA  (ABC)  AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy góc[SB,(ABC)] = SAB 60  o

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC

và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o Tính thể tích hình chóp

Lời giải:

Mlà trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM BC  SABC (đl3)

Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA 60  o

Ta có V = 1 B.h 1 SABC.SA

S

o 60

a H

D

C B

A S

o 60 a

B A

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy BCD

và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác

đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD,

1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB

Vậy H là chân đường cao của khối chóp

2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =a 3

2

suy ra

3 ABCD

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D ,

(ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BC

Ta có tam giác ABC đều nên AH(BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH  (BCD)

M C

B A

B A

S

a O

B A

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a Mặt bên SAC

vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC

b) Tính thể tích khối chóp SABC

Lời giải:

a) Kẽ SH BC vì mp(SAC)mp(ABC) nên SHmp(ABC)

Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB

và BC  SIAB, SJBC, theo giả thiết SIH SJH 45  o

SH

SABC 

Ví dụ 8: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Chứng minh rằng

chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC

Lời giải:

Dựng SO(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC

Ta có tam giác ABC đều nên

Ví dụ 9:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a

1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều

2) Tính thể tích khối chóp SABCD

Lời giải:

Dựng SO (ABCD)

Ta có SA = SB = SC = SD nên

OA = OB = OC = OD  ABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông

Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên  ASCvuông tại S 2

2

a OS



3 2

6



Ví dụ 10: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC

a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD

45

I

J

H A

C

B S

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

24

a I

H O

M

C

B A

24



BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với

BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o

Tính thể tích hình chóp Đs: V =

3

a 2 6

Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác

ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o Tính thể tích khối chóp SABC Đs:

Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB =

a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o Chứng minh rằng SC2 =

SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp

Đs:

3

a 3 V

Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc BAC 120  o,

biết SA  (ABC)và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o Tính thể tích khối chóp SABC Đs:

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

25

Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết

SA (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp

Đs:

3

a 3 V

48



Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng

SA (ABCD) , SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a

Tính thể tích khối chóp Đs: V = 20a3

Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A

bằng 60o và SA (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a

Tính thể tích khối chóp SABCD Đs:

3

a 2 V

4



Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B

biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o

Tính thể thích khối chóp SABCD Đs:

3

a 6 V

2



Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp

trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD

một góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD Đs:

3

3R V 4



Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)

1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC

2) Tính thể tích khối chóp SABC Đs:

3

a 3 V

24



Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân

tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o

Tính thể tích của SABC Đs:

3

a V 12



Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC 90 ;ABC 30  o  o; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB)

(ABC) Tính thể tích khối chóp SABC Đs:

2

V 24



Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và

(SBC) (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o Tính thể tích hình chóp SABC Đs:

Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông

góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện Đs:

3

a 6 V

36



Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông Mặt bên SAB là tam giác đều có

đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD,

1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB

2) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs:

3

4h V 9



HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

26

Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong

mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o Tính thể tích hình chóp

SABCD Đs:

3

a 3 V

4



Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB (ABCD) ,

hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o Tính thể tích hình chóp

SABCD Đs:

3

8a 3 V

9



Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD

vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD Tính thể tích hình chóp SABCD Đs:

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB =

2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp

SABCD Đs:

3

a 3 V

8



Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ASB 60  o

1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều Đs:

2

a 3 S



Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng

B A

12



Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau Chứng minh rằng

SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của

nó bằng

3

9a 2 V

1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( ) qua AG và song song với BC cắt SC,

SB lần lượt tại M, N Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Lời giải:

a)Ta có: .

1

3

N S

O M

V SD

12

SBMN SBCD

SBMN

V V

V SD

SN SC

14

12

1.2



ABCD ABMN

SABMN

V V

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc

6 6

SAMF SAC

& SB  AB 'Suy ra:AB '  ( SBC )

nên AB'SC Tương tự AD'SC

3

S A B C

S A B C

V V

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

30

Bài 1: Cho tứ diên ABCD Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC Tính tỉ số thể tích của

khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD Đs: 1

k 4

Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho

AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D'

36

Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên AD

sao cho DA = 3NA Tính thể tích tứ diên BMNP Đs: V = 1 m3

Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3,đường cao SA = a.Mặt phẳng

qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K Tính thể tích hình chóp SAHK

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 Lấy A'trên SA sao cho

SA = 3SA' Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D'

.Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' Đs: V = 1 m3

Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao

cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN

Đs: V = 4m3

Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N là trung điểm

SC Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P Tính thể tích khối

chóp SAMNP Đs:

2

a h V

9



Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt

phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2 phần này Đs: 1

Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3 Khi quay tam giác

vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b)Tính thể tích của khối nón

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

31

HD: a) * Sxq = Rl = .OB.AB = 15 Tính: AB = 5 (AOB tại O)

Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

a

a



(vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a)

Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

1

a a a 

Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

3 4 A

B O

Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 1200

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên A =

B = 300 hay A SO = BSO = 600

Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng 

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

B A

O

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

33

HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A = B = 

* Sxq = Rl = .OA.SA =  lcos.l =  l cos2 

Tính: OA = lcos (SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =  l cos2  + l2cos2 =

Tính: SO = lsin (SOA tại O)

Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2a2

Bài 9: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

B A

O

Bài 10: Cắt hình nón đỉnh S bởi mp đi qua trục ta được một  vuông cân có cạnh huyền bằng a 2

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

H

B

A

S



+ 2

(SMB tại M)

KHỐI TRỤ:

Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ

c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm Hãy tính diện tích của

thiết diện được tạo nên

175(cm3) c) * Gọi I là trung điểm của AB OI = 3cm

* SABB A  = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)

* AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 =

8

* Tính: AI = 4(cm) (OAI tại I)

Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB

và trục của hình trụ bằng 300 Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ

A

B O

O' A'

I

A

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

37

a) * Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.r r 3 = 2 3 r2

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2r2 3 + 2r2 = 2 ( 3 1  ) r2 b) * V =  R h2 =  OA OO2 =  r r2 3   r3 3

Bài 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là

r

R 2 R

O A

HHKG Cổ điển Võ Thanh Bình: 0917.121.304

38

Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h = 50cm

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho

c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy Tính

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ABC vuông tại B và

AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

a) * Gọi O là trung điểm của CD

* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;

* Chứng minh: DAC vuông tại A OA = OC = OD = 1

(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh

ấy) * Chứng minh: DBC vuông tại B OB = 1

1 2

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

HD: a) Gọi O là tâm hình vuông (đáy) Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS

a 

Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a SA = 2a và vuông góc với

mp(ABCD) a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

a) * Gọi O là trung điểm SC

* Chứng minh: Các SAC, SCD, SBC lần lượt vuông tại A,

2 a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba

cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc Tính d tích mặt cầu và th tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó

HHKG Cổ điển Vừ Thanh Bỡnh: 0917.121.304

40

* Gọi I là trung điểm AB Kẻ  vuụng gúc với mp(SAB) tại I

* Dựng mp trung trực của SC cắt  tại O  OC = OS (1)

* I là tõm đường trũn ngoại tiếp SAB (vỡ SAB vuụng tại S) OA = OB = OS (2)

* Từ (1) và (2)  OA = OB = OC = OS Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)

TỔNG ễN CÁC KIẾN THỨC TRấN

DẠNG I HèNH CHểP ĐA GIÁC ĐỀU

1.(B04)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy

bằng ( 0 o 90o).Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo  Tính thể tích

khối chap S.ABCD theo a và  2 3tan

6 a 

2 (DB06)Cho hỡnh choựp tửự giaực ủeàu S.ABCD coự caùnh ủaựy a Goùi SH laứ ủửụứng cao cuỷa hỡnh choựp

Khoaỷng caựch tửứ trung ủieồm I cuỷa SH ủeỏn mp (SBC) baống b Tớnh V S.ABCD

3.B07.Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của

D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN

vuụng gúc với BD và tớnh (theo a) khoảng cỏch giữa hai đường thẳng MN và AC

4.CĐ09.Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú AB = a, SA = a 2 Gọi M, N và P lần lượt là trung

điểm của cỏc cạnh SA, SB và CD Chứng minh rằng đường thẳng MN vuụng gúc với đường thẳng

SP Tớnh theo a thể tớch của khối tứ diện AMNP V =

3

a 6

48

5.Cho hỡnh tứ diện đều ABCD, cạnh a 6 2 cm Hóy xỏc định và tớnh độ dài đoạn vuụng gúc

chung của hai đường thẳng AD và BC.(TK-02) 6 (cm)

6.Cho hỡnh chúp đều S.ABC, đỏy ABC cú cạnh bằng a, mặt bờn tạo với đỏy một gúc bằng  (0 <  <

90) Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC và khoảng cỏch từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)