giai tich so phuc nang cao

Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân... Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình... ƠN TẬP SỐ PHỨC... Tìm các căn bậc ba của các

1 Khái niệm số phức

• Tập hợp số phức: C

• Số phức (dạng đại số) : z a bi= +

(a, b R∈ , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i 2 = –1)

• z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0)

z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

• Hai số phức bằng nhau: a bi a b i+ = +’ ’ ⇔ =a a b b'' ( , , ', 'a b a b R∈ )

 =



2 Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b∈R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay

bởi ur=( ; )a b trong mp(Oxy) (mp phức)

3 Cộng và trừ số phức:

• (a bi+ ) (+ a b i’ ’+ ) (= +a a’) (+ +b b i’) • (a bi+ ) (− a b i’ ’+ ) (= −a a’) (+ −b b i’)

• Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

• ur biểu diễn z, ur' biểu diễn z' thì u ur r+ 'biểu diễn z + z’ và u ur r− ' biểu diễn z – z’.

4 Nhân hai số phức :

• (a bi a b i+ ) ( '+ ' ) (=  ’– ’aa bb) (+ ab’ ’+ ba i)

• (k a bi+ )=ka kbi k R+ ( ∈ )

5 Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi= −

2 2

 

  ;

2 2

.zz a= +b

• z là số thực ⇔ z z= ; z là số ảo ⇔ z= −z

6 Môđun của số phức : z = a + bi

• z = a2+b2 = zz = OMuuuur

• z ≥ ∀ ∈0, z C, z = ⇔ =0 z 0

• 'z z = z z ' • z z' = z z' • z z− ' ≤ ± ≤ +z z' z z'

7 Chia hai số phức:

• z 1 12 z

z

− = (z ≠ 0) • z z' z z' 1 z z'.2 z z z z'..

z

−

= = = • z' w z wz'

z = ⇔ =

8 Căn bậc hai của số phức:

• z x yi= + là căn bậc hai của số phức w a bi= + ⇔ z2 =w ⇔  − =x2 2y xy b2 a

=



• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0

CHƯƠNG IV SỐ PHỨC CHƯƠNG IV SỐ PHỨC

• w 0≠ có đúng hai căn bậc hai đối nhau

• Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a

• Hai căn bậc hai của a < 0 là ± −a i.

9 Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0≠ )

2 4

∆ = −

• ∆ ≠0: (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2

2

B z

A

− ± δ

= , (δ là 1 căn bậc hai của ∆)

• ∆ =0: (*) có 1 nghiệm kép: 1 2

2

B

A

= = −

Chú ý: Nếu z 0∈ C là một nghiệm của (*) thì z cũng là một nghiệm của (*).0

10 Dạng lượng giác của số phức:

• z r= (cosϕ +isin )ϕ (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z ≠ 0)

2 2 cos

sin

a r b r



 = +



⇔ ϕ =



 ϕ =



• ϕ là một acgumen của z, ϕ =( ,Ox OM)

• z = ⇔ =1 z cosϕ+isin (ϕ ϕ∈R)

11 Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho z r= (cosϕ +isin ) ,ϕ z r'= '(cos ' sin ')ϕ +i ϕ :

• z z rr '= ' cos([ ϕ + ϕ +') sin(i ϕ + ϕ')] • [cos( ') sin( ')]

z =r ϕ − ϕ + ϕ − ϕ

12 Công thức Moa–vrơ:

• [r(cosϕ +isin )ϕ ]n =r n(cosnϕ +isin )nϕ , (n N∈ *)

• (cosϕ +isinϕ =)n cosnϕ +isinnϕ

13 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

• Số phức z r= (cos ϕ+isin )ϕ (r > 0) có hai căn bậc hai là:

 ϕ+ ϕ

−  + ÷=   + π +÷  + π÷

• Mở rộng: Số phức z r= (cos ϕ+isin )ϕ (r > 0) có n căn bậc n là:

VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia

Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.

a) (4 – ) (2 3 ) –(5 )i + + i +i b) 2− +i 13−2i÷

  c) (2 3) 2 5

3 4

− − − ÷

d) 3−13i ÷ + − +32 2i÷−12i

 +  − − + 

    f) (2 3 )(3 )− i +i g)

i

i i

+

1

i

2 1

3

i

−

+ 1 1

k)

m

i

m

l)

a i a

a i a

−

+

m) (1−23i+)(1i+i) o) 1

2

i

i

+

b i

a+

q) 2 3

4 5

i i

− +

Bài 2. Thực hiện các phép toán sau:

a) (1 )+i 2−(1– )i 2 b) (2 )+i 3− −(3 )i 3 c) (3 4 )+ i 2

d) 1 3 3

 − 

2 2

) 2 ( ) 2 3 (

) 1 ( ) 2 1 (

i i

i i

+

− +

−

− +

f) (2 )−i 6

g) ( 1 )− +i 3−(2 )i 3 h) (1 ) − i 100 i) (3 3 )+ i 5

Bài 3. Cho số phức z x yi= + Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a) z2− +2z 4i b) iz 1 z i+−

Bài 4. Phân tích thành nhân tử, với a, b, c ∈ R:

a) a2+1 b) 2a2+3 c) 4a4+9b2 d) 3a2+5b2

Bài 5. Tìm căn bậc hai của số phức:

a) 1 4 3i− + b) 4 6 5i+ c) 1 2 6i− − d) − +5 12i e) 4 5

3 2i

i) 1 2

VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức

Giả sử z = x + yi Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình.

Bài 1. Giải các phương trình sau (ẩn z):

c) z+2z =2−4i d) z2 −z=0

e) z −2z= − −1 8i f) (4 5 )− i z= +2 i

4

=













−

+

i

z

i

i

i z

i

i

+

+

−

=

−

+

2

3 1 1

2 i) 2 z −3z= −1 12i k) (3 2 ) (− i z i2 + =) 3i

l) [ i z i iz]

i

1

2

− + +  + ÷=

z − i÷= + i

o) 3 5i 2 4i

z

+ = − p) z( +3 )(i z2− + =2z 5) 0

q) z( 2+9)(z2− + =z 1) 0 r) 2z3−3z2+ + − =5 3 3 0z i

Bài 2. Giải các phương trình sau (ẩn x):

a) x2 − 3.x+1=0 b) 3 2.x2 −2 3.x+ 2 =0

c) x2− −(3 )i x+ − =4 3 0i d) 3 i x2−2x− + =4 i 0

e) 3x2− + =x 2 0 f) i x 2+2 i x− =4 0

i) (x+2)5+ =1 0 k) x2+ 7 0=

l) x2+2(1 )+i x+ + =4 2i 0 m) x2−2(2 )−i x+ + =18 4i 0

o) ix2+4x+ − =4 i 0 p) x2+ −(2 3 )i x=0

Bài 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là:

a) 2 3+ i và− +1 3i b) 2i và− +4 4i

Bài 4. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận α làm nghiệm:

d) α = − −2 i 3 e) α = 3−i 2 f) α = −i

g) α = +(2 )(3 )i −i h) α =i51+2i80+3i45+4i38 i) 5

2

i i

+

=

−

α

Bài 5. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z 1 , z 2 thoả mãn điều

kiện đã chỉ ra:

a)z2−mz m+ + =1 0,đk z: 12+z22=z z1 2+1 b) z2−3mz+ =5 0,i đk z: 13+ =z23 18 c) x2+mx+ =3 0,i đk z: 12+z22 =8

Bài 6. Cho z z là hai nghiệm của phương trình 1 2, (1+i 2)z2− +(3 2 ) 1i z+ − =i 0 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A z= 12+z22 b) B z z= 1 22 +z z1 22 c) 1 2

2 1

C

= +

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:

a)







−

= +

+

= +

i z

z

i z

z

2 5

4

2 2

2

1

2 1

b)







+

−

= +

−

−

=

i z

z

i z

z

2 5

5 5

2 2

2 1

2 1

c)

0 ( ) 1

z z

 + =





=



d)

1 1

z z z

 + + =





e)

4 1 8

z

z z

 − =

 −



 −

 −



f)

1 1 3 1

z

z i

z i

 − =

 −



 −

 +

 g) 12 22

1 2

5 2 4

 + = +

 + = −

2 1

 − =



 − = −

2 2

1 2 1 2

1 2

2

 + =



Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:

 + = −  + = −x y 5 i  + =x y 4

d)

2 2

1 1 1 1

2 2

1 2

i

x y

 + = −





 + = −



e)

2 2 6

1 1 2

5

x y

 + = −



 + =

3 2

26 26

i

x y

 + = +



 + = +



g)  + = −x y x2 y25 1 2i i

 + = +

1

2 3

x y

 + =

 + = − −



VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm

Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y.

Bài 1. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn

mỗi điều kiện sau:

a) z z+ + =3 4 b) z z− + − =1 i 2 c) z z− +2i =2z i− d) 2 1 2i z− = z+3 e) 2 2i− z = 2z−1 f) z+ =3 1

g) z i+ = − −z 2 3i h) z 3i 1

z i

− = + i) z− + =1 i 2

k) 2 z+ = −i z l) z+ <1 1 m) 1< − <z i 2

Bài 2. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn

mỗi điều kiện sau:

a) z+2i là số thực b) z− +2 i là số thuần ảo c) z z =9

VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức

Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác.

Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:

d)

4 sin 4

i

8 cos 8

i

−

− f) (1−i 3)(1+i)

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

a) 3 cos20( o+ sin 20i o) (cos25o+ sin 25i o) b) 5 cos 6π+i.sin6π ÷  .3 cos4π+i.sin4π÷ c) 3 cos120( o+isin120o) (cos 45o+isin 45o) d) 5 cos sin 3 cos sin

e) 2 cos18( o+isin18o) (cos 72o +isin 72o) f) cos85 sin85

cos 40 sin 40

i i

+ +

g)

) 15 sin 15 (cos

3

) 45 sin 45 (cos

2

0 0

0 0

i

i

+

+

h) 2(cos 45 sin 45 ) 3(cos15 sin15 )

i i

+ +

) 2 sin 2 (cos

2

) 3

2 sin 3

2 (cos

2

π π

π π

i

i

+

+

k)

i i

Bài 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:

a) 1 i− 3 b) 1 i+ c) (1−i 3)(1+i) d) 2.i.( 3−i) e)

i

i

+

−

1

3

i

2 2

1

8π +i

Bài 4. Viết dưới dạng đại số các số phức sau:

a) cos45o+isin 45o b) 2 cos sin

π i π

c) 3 cos120( o+isin120o)

d) (2 )+i 6 e) (1 )(1 2 )+i3+i− i f) 1

i

g) 1

2 1

i

i

+

1 i 3

40

7 1 3 (2 2 )

1

i i

i

 + 

−

k) 1 cos34 sin34

l) 1 100 cos sin

i

 

( )17

1

3 i−

Bài 5. Tính:

cos12o+ sin12i o b) ( )16

d)  2 cos30( 0+isin300)7 e) (cos15o +isin15 )o 5 f) (1 )+i 2008+ −(1 )i 2008 g)

21

3 2

1

3 3

5









−

+

i

i

h)

12

2

3 2

1









2008

1











 +

i i

k) (cos sin ) (15 3 )7

π − π + l) 2008

2008

z z

Bài 6. Chứng minh:

a) sin 5 16sint= 5t−20sin3t+5sint b) cos5 16 cost= 5t−20 cos3t+5cost

c) sin3 3cost= 2t−sin3t d) cos3t=4 cos3t−3cost

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) (2 )( 3 2 )(5 4 )− − +i i − i b) 1 3 6 1 7 6

− +   − 

+

 +  + − 

 − ÷  + ÷

+ + −

e) (2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 )− i + i + + i − −i f) 1 + + + + + i i i2 3 i2009

II ƠN TẬP SỐ PHỨC

i) i i i i .2 3 2000 k) i−5( )−i −7+ −( )i 13+i−100+ −( )i 94

Bài 2. Cho các số phức z1= +1 2 ,i z2 = − +2 3 ,i z3= −1 i Tính:

a)z z1+ +2 z3 b) z z1 2+z z2 3+z z3 1 c) z z z1 2 3

d) z12+z22+z32 e) 1 2 3

2 3 1

2 2

1 2

2 2

2 3

+ +

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) A z= 4+iz3− +(1 2 )i z2+ + +3 1 3 ,z i với z= +2 3i

b)B (z z2 2 )(2z3 z z2),với z 1( 3 i)

2

Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho:

a) (1 2 )− i x+ +(1 2 ) 1y i= +i b) 3 3

− + − =

c) (4 3 ) 2 (3 2 ) 4 2 1 2 (3 2 )2

2

Bài 5. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:

e)

2 1

1

i

i

 + 

 − ÷

2

3

i i

 − 

 − ÷

2

i) 3

i

i

−

2+ 2i l) −2 1( +i 3) m) 11+i+11−i

Bài 6. Tìm các căn bậc ba của các số phức sau:

Bài 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau:

Bài 8. Giải các phương trình sau:

a) z3−125 0= b) z4+16 0= c) z3+64i=0 d) z3−27 0i= e) z7−2iz4−iz3− =2 0 f) z6+iz3+ − =i 1 0 g) z10+ − +( 2 )i z5− =2i 0

Bài 9. Gọi u u là hai căn bậc hai của 1; 2 z1= +3 4i và v v là hai căn bậc hai của 1; 2

2 3 4

z = − i Tính u1+ u2 + +v1 v2?

Bài 10.Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) z2+ 5 0= b)z2+ 2 2 0z + = c) z2+ 4 10 0z + = d) z2− 5 9 0z + = e) −2z2+ 3 1 0z − = f) 3z2− 2 3 0z + = g) (z z z z+ )( − =) 0 h) z2+ + =z 2 0 i) z2 = +z 2

k) 2z+3z = +2 3i l) ( )2 ( )

z+ i z+ i − = m) z3=z

n) 4z2+8z2 =8 o) iz2+ +(1 2 ) 1 0i z+ = p) (1 )+i z2+ +2 11 0i=

Bài 11.Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a)

2

4z i 54z i 6 0

 +  − + + =

  b) (z+5i z) ( −3) (z2+ + =z 3) 0

c) (z2+ 2z) (−6 z2+ 2z)−16 0= d) z3− +(1 i z) 2+ +(3 i z) − =3 0i

e) (z + i z) ( 2  2 2 0− z + ) = f) z2−2iz+ − =2 1 0i

g) z2− −(5 14 ) 2(12 5 ) 0i z− + i = h) z2−80z+4099 100− i=0

i) z( + −3 )i 2−6(z+ − + =3 ) 13 0i k) z2−(cosϕ +isin )ϕ +z icos sinϕ ϕ =0

Bài 12.Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) x2− +(3 4 )i x+ − =5 1 0i b) x2+ +(1 )i x− − =2 i 0 c) 3x2+ + =x 2 0

d) x2+ + =x 1 0 e) x3− =1 0

Bài 13.Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a)z3−iz2−2iz− =2 0 b) z3+ −( 3)i z2+ −(4 4 )i z− + =4 4i 0

Bài 14.Tìm m để phương trình sau: (z i z+ ) ( 2−2mz m+ 2−2m) =0

a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực

c) Có ba nghiệm phức

Bài 15.Tìm m để phương trình sau: z3+ +(3 )i z2− −3 (z m i+ =) 0có ít nhất một nghiệm thực

Bài 16.Tìm tất cả các số phức z sao cho ( z−2)(z i+ ) là số thực.

Bài 17.Giải các phương trình trùng phương:

a) z4−8(1 )−i z2+63 16− i=0 b) z4−24(1 )−i z2+308 144− i=0

c) z4+6(1 )+i z2+ + =5 6i 0

Bài 18.Cho z z là hai nghiệm của phương trình: 1 2, z2− +(1 i 2)z+ − =2 3 0i Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) z12+z22 b) z z1 22 +z z1 22 c) z13+z23

3 3

2 1 1 2

2 1

z + z

Bài 19.Cho z z là hai nghiệm của phương trình: 1 2, x2− + =x 1 0 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x12000+x22000 b) x11999+x19992 c) x1n+x n N2n, ∈

Bài 20.Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau:

z i− = b) z2+z2 =1 c) z = 1z

Bài 21.Hãy tính tổng S= + + + +1 z z2 z3 z n−1 biết rằng z=cos2nπ+isin2nπ.

Bài 22.Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:

a) i4+ + + +i3 i2 i 1 b) (1 )(2 )−i +i c) 21−+i i

d) 1 sin cos , 0

2

i

− α+ α < < πα e) 3 cos sin

2

i

+ < < π

α π α g) sin (1 cos ), 0

2

i

+ − < < π

Bài 23.Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:

a) ( )

4

i

− + +

− + c) (1+i 3) (n+ −1 i 3)n

4 −i 4

g) 1 sin cos , 0

2

i

− α+ α < < πα h) 1 cos sin , 0

i i

+ + < <

Bài 24.Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:

4

i

− + +

− + c) (1+i 3) (n+ −1 i 3)n

Bài 25.Chứng minh các biểu thức sau có giá trị thực:

 +  + + 

 − ÷  + ÷

c)

− +  − − 

+

− +  − − 

+

e)

 +   − 

+

Bài 26.Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 2 3 3

2

z− + i = Tìm số phức z có môđun

nhỏ nhất

Bài 27.Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau:

4 ; (1 )(1 2 ); 2 6

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

Bài 28.Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a) z3+ −(2 2 )i z2+ −(5 4 ) 10i z− i=0 b) z3+ +(1 )i z2+ −( 1)i z i− =0

c) z3+ −(4 5 )i z2+ −(8 20 )i z−40i=0

Bài 29.Cho đa thức P z( )= +z3 (3 6)i− z2+(10 18 ) 30− i z+ i

a) Tính ( 3 )P − i b) Giải phương trình ( ) 0P z =

Bài 30.Giải phương trình

2 1 2 7

z z

z

 + 

= − ÷

−

  , biết z= +3 4i là một nghiệm của phương trình.

Bài 31.Giải các phương trình sau:

a) z4+2z3− + + =z2 2 1 0z b) z4−2z3− − + =z2 2 1 0z

c) z4− +(1 2)z3+ +(2 2)z2− +(1 2)z+ =1 0 d) z4−4z3+6z2− − =4 15 0z

e) z6+ −z5 13z4−14z3−13z2+ + =z 1 0

Bài 32.Giải các phương trình sau:

a) (z2+ +3z 6)2+2 (z z2+ + −3 6) 3z z2 =0 b)

3 8

z i

z i

 +  =

 − ÷

 

c) (z2− +z 1)4−6 (z z2 2− +z 1)2+5z4 =0 d)

1 0

 −  + −  + − + =

 + ÷  + ÷  + ÷

Bài 33.Chứng minh rằng: nếu z ≤1 thì 2 1

2

z i iz

− ≤ +

Bài 34.Cho các số phức z z z Chứng minh:1 2, , 3

a) z z1+ 22+ z2+z32+ z3+z12 = z12+ z22+ z32+ + +z z1 2 z32

1+z z + −z z = +1 z 1+ z

1−z z − −z z = −1 z 1− z

d) Nếu z1 = z1 =c thì z z1+ 22+ −z z1 22 =4c2