QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ SIÊU HẠT

Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày tính toán một số quá trình phân rã của gluino, siêu hạt đồng hành của gluon, thành quark up và quark top và phản hạt đồng hành của chúng.. Cuối

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Trần Việt Phú

QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ SIÊU HẠT

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHẠM THÚC TUYỀN

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Phạm Thúc Tuyền Cảm ơn thầy đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện luận văn này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong tổ Vật lý lý thyết, các thầy

cô trong khoa Vật lý Những người đã hết lòng dạy dỗ và tạo điều kiện cho em trong lúc em làm luận văn cũng như trong thời gian em học tập tại trường

Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn đến những người thân và bạn bè của mình Sự khuyến khích và giúp đỡ của mọi người đã giúp em có điều kiện và niềm tin để có thể bước đi trên con đường mình đã chọn

Hà Nội, ngày 17 tháng 12 năm 2011 Học viên: Trần Việt Phú

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1: Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu 6

1.1 Các trường trong mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu 6

1.2 Lagrangian trong MSSM 8

1.3 Phổ vật lý của MSSM 11

CHƯƠNG 2: Quá trình phân rã trong lý thuyết trường lượng tử 19

2.1 Biểu diễn tương tác 19

2.2 S ma trận và khai triển Dyson 21

2.3 Áp dụng cho quá trình phân rã CAB 24

CHƯƠNG 3: Tốc độ phân rã siêu hạt 29

3.1 Sự phân rã của gluino guu L 29

3.2 Sự phân rã gt t1 34

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

PHỤ LỤC 44

A Các quy tắc và kí hiệu của spinor 44

B Các Quy tắc lấy tổng 45

i) Quy tắc lấy tổng theo chỉ số màu……….45 ii) Quy tắc lấy tổng theo spin……… 46

MỞ ĐẦU

Khi thế giới vật chất là siêu đối xứng, ngoài những hạt đã biết sẽ tồn tại những hạt đồng hành với chúng có spin sai khác 1/2 đơn vị [14]-[15] Như vậy, nếu trước đây trong một quá trình phân rã ta có một số giản đồ khả dĩ thì giờ đây số giản

đồ sẽ tăng lên gấp đôi Điều này kéo theo, vận tốc phân rã sẽ có những thay đổi đáng kể cả về lượng lẫn về chất Việc cho đến nay chưa tìm ra một hạt siêu đồng hành nào, có thể có nguyên nhân là do chúng ta chưa có đánh giá đúng về khối lượng của chúng và do đó việc tìm kiếm đã không được thực hiện trong vùng năng lượng chính xác

Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày tính toán một số quá trình phân rã của gluino, siêu hạt đồng hành của gluon, thành quark up và quark top và phản hạt đồng hành của chúng Những kết quả tính toán như thế, nều được thực hiện đầy đủ, chúng sẽ góp phần vào việc xác định vùng cần tìm kiếm các siêu hạt đồng hành ở các máy gia tốc

Luận văn được trình bày trong ba chương và một phần kết luận Chương 1 dành để trình bày nội dung chủ yếu của mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu Phần siêu đối xứng được coi như đã biết [5] Cuối chương một số số hạng của khai triển Lagrangian tương tác cho những siêu trường cần thiết giúp cho việc thực hiện tính toán trong chương 3 sẽ được viết tường minh [16] Chương 2 dành để tóm lược những tiến trình cần thực hiện để tính tốc độ phân rã Chương 3 được dùng để trình bày những tính toán cho tốc độ của quá trình phân rã gluino thành quark u và

squark u và gluino thành quark t và squark t

Những quá trình phân rã trên là sản phẩm của những va chạm năng lượng cao tại các máy gia tốc LEP, LEP2, trong đó có phản ứng hủy cặp e e sau khi đã được gia tốc tới vận tốc rất lớn

Biện luận về các kết quả thu được sẽ được trình bày trong phần kết luận Phần phụ lục sẽ trình bày kỹ năng tính toán đối với spinơ hai thành phần, cần thiết cho việc tính toán thực hiện trong chương 3

Cuối cùng là sách tham khảo và tài liệu dẫn

CHƯƠNG 1:

MÔ HÌNH TIÊU CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG

TỐI THIỂU

1.1 Các trường trong mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu

Để thu được lý thuyết mở rộng siêu đối xứng tối thiểu cho mô hình tiêu chuẩn (Minimal Supersymmetric Standard Model - MSSM) ta cần mở rộng thành phần trường của lý thuyết bằng cách thêm vào các siêu đồng hành vô hướng và fermion thích hợp cho các trường vật chất và trường chuẩn ban đầu Với lepton ta

có các hạt vô hướng siêu đồng hành là slepton, với quark ta có các hạt vô hướng siêu đồng hành là squark Với các hạt chuẩn (gauge) như W, Z, photon, gluon ta có các hạt fermion siêu đồng hành được gọi là gaugino Photon có photino, W có wino,

Z có zino, gluon có gluino Hạt Higgs sẽ có hạt fermion siêu đồng hành là higgsino

Nếu dùng ngôn ngữ siêu không gian và siêu trường [17], mỗi thế hệ của MSSM được mô tả bởi năm siêu trường thuận tay trái, tay chiêu (left-handed), còn các trường chuẩn sẽ được miêu tả bởi các siêu trường vector tương ứng

Về trường Higgs, trong SM ta chỉ cần một lưỡng tuyến Higgs để có thể tính toán khối lượng cho fermion thông qua tương tác Yukawa Khi chuyển sang MSSM, nếu chỉ dùng một lưỡng tuyến Higgs sẽ không đủ để tính khối lượng của tất

cả các quark và các lepton vì các số hạng tương tác Yukawa trong các lý thuyết chuẩn siêu đối xứng xuất phát từ siêu thế, nên chỉ chứa các siêu trường chiral chứ không chứa liên hợp hermitic của các siêu trường này Điều này dẫn đến không thể đưa vào các số hạng bất biến U(1)Y mà có thể sinh khối cho cả quark up lẫn quark down nếu chỉ dùng một lưỡng tuyến Higgs Vì vậy trong MSSM ta cần ít nhất hai lưỡng tuyến Higgs [18]-[19] Các trường thành phần trong MSSM được mô tả trong các bảng sau:

Spin 1 Spin 1/2  3  2  1

Hệ số liên kết (coupling)

ν

L = e

- 

1 2

2 2

kinetic  interaction  Yukawa  soft  V

Trong đó, các thành phần cụ thể như sau:

4 lYukawa để chỉ số hạng tương tác Yukawa:

 ij  i 1 2 j l IJ i 1 I j J d IJ i 1 I j J u IJ i 2 I j J

5 lsoft là số hạng phá vỡ siêu đối xứng mềm Số hạng này được đưa vào để

phù hợp với các số liệu thực nghiệm là việc các hạt trong cùng một đa tuyến có khối lượng khác nhau, nhưng không làm mất đi tính chất quan trọng của lý thuyết là sự vắng mặt của các phân kỳ bậc hai Nó có dạng tổng quát:

- Số hạng khối lượng cho các gaugino:

2 M λ λ + M λ λ + M λ λ + H.c 2 2 (1.14)

- Liên kết tam tuyến của các trường vô hướng tương ứng với số hạng Yukawa trong siêu thế:

Để thu được phổ vật lý của các hạt trong MSSM ta cần thực hiện quy trình tiêu chuẩn của việc phá vỡ đối xứng chuẩn thông qua các giá trị trung bình chân không (vacuum expectation value-VEV) của các trường Higgs trung hòa và tìm các trạng thái riêng của các ma trận khối lượng cho tất cả các trường VEV của trường Higgs thỏa mãn phương trình (θ để chỉ góc Weinberg, s = sinθ , W c = cosθ , W

Các tham số của phương trình trên bị ràng buộc bởi điều kiện là v1 và v 2

phải dẫn đến các giá trị thích hợp của khối lượng các boson chuẩn

Các trường vật lý của MSSM có thể được xác định như sau:

1 Các boson chuẩn Tám gluon g và photon a μ F μ không khối lượng, còn các boson W và μ ± Z μ có khối lượng:

Khi có trường chuẩn, các hạt H ( 2 ±  ±

G ) bị ăn bởi các W boson và biến mất

khỏi Lagrangian Các trường H và 1 + H liên hệ với các trường Higgs ban đầu bởi 2+

Ma trận ZR và các khối lượng của H có thể thu được bằng cách chéo hóa i 0

4 Các fermion vật chất (quark và lepton) có khối lượng (chú ý rằng Y , Y l I d I

được định nghĩa là âm):

(1.29)

Các ma trận Z+ và Z- không được xác định một cách duy nhất Vì vậy ta có thể lựa chon để

a G

-iλ

g = iλ

8 Ba trường phức vô hướng L tạo thành ba sneutrino với khối lượng có I 1

được bằng cách chéo hóa ma trận M : ν 2

† 2

ν ν ν

2 ν

Sneutrino là các vô hướng phức trung hòa

9 Các trường LI2 và RI pha trộn tạo thành sáu slectron tích điện Li, i=1,…,6:

vô hướng trung hòa H , H 1 0 2 0H, h 

giả vô hướng trung hòa A 1 0 A 0

Trong chương ba ta sẽ tính đến một số quá trình rã mà sản phẩm là các siêu hạt Để làm việc đó ta cần viết Lagrangian theo các trường thành phần và từ đó suy

ra Lagrangian tương tác giữa chúng Tuy nhiên, do khi tính toán, ta chỉ dùng một số trong số đó, cho nên, để kết thúc chương này, ta sẽ dẫn ra một số Lagrangian tương

tác trong chuẩn ’t Hooft-Feynman Trong chuẩn ’t Hooft-Feynman, trường ma sẽ có Lagrangian rất đơn giản và dễ sử lý Tuy nhiên, trường không vật lý là trường Goldstone lại không bị khử hoàn toàn ở cơ chế Higgs như trong chuẩn unitary Do khi tính bổ chính bậc cao, việc sử lý số hạng liên quan đến trường Goldstone dễ hơn việc sử lý trường ma cho nên, ta sẽ dùng chuẩn ’t Hooft-Feynman thay cho chuẩn unitary quen thuộc

a GF

Có ba bức tranh diễn tả cơ học lượng tử nói riêng và lý thuyết lượng tử nói chung mà ta quen gọi là ba biểu diễn [6]: biểu diễn Schroedinger, biểu diễn Heisenberg và biểu diễn tương tác Trong lý thuyết trường lượng tử, khi xét hệ gồm các hạt tương tác thì lựa chọn thuận tiện nhất là sử dụng biểu diễn tương tác Khi đó

ta có thể giảm bớt sự phức tạp của Hamintonian phần tương tác sang cả hàm sóng

và toán tử

Hamintonian trong biểu diễn tương tác được chia làm 2 phần:

Trong đó: H0 là phần mô tả các hạt tự do

H’ là phần mô tả tương tác giữa các hạt

Tương ứng với toán tử Aˆ không phụ thuộc thời gian trong biểu diễn Schroedinger, ta định nghĩa toán tử trong biểu diễn tương tác:

ˆ iH t 0 ˆ -iH t 0

I

Từ đây ta có phương trình cho toán tử:

Với biểu thức khai triển của ˆ(x,t) và π(x,t)ˆ theo toán tử sinh hủy:

-d k π(x) = (-iω) a(k)e - a (k)e

Tức là trong biểu diễn tương tác, các trường ˆ (x,t) và I π (y,t)ˆI tuân theo biểu thức giao hoán tử như các trường tự do Vì vậy, các trường trong biểu diễn tương tác tuân theo các phương trình động và các biểu thức giao hoán như của các toán tử

trường tự do Do đó, biểu thức khai triển (2.6) và giao hoán tử (2.8) cũng có thể dùng cho các toán tử trong biểu diễn tương tác

Bây giờ ta xem xét véc tơ trạng thái trong biểu diễn tương tác Sử dụng véc

tơ trạng thái trong biểu diễn Schroedinger ψ(t) ta định nghĩa:

ˆ

0

iH t I

Từ đó ta có phương trình động cho ψ(t) : I

ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆˆ

iH t

0 I

Là Hamiltonian tương tác trong biểu diễn tương tác

2.2 S ma trận và khai triển Dyson Giả sử các trạng thái đầu và trạng thái cuối của hệ tại các thời điểm t  

và t   lần lượt được diễn tả bởi các véc tơ trạng thái  ( ) I  i và

Một phần tử nào đó của ma trận S chính là biên độ xác suất để tìm thấy hạt với trạng thái cuối là f nào đó trong  ( ) I:

fi I

Tuy nhiên, trước hết ta lưu ý một tính chất quan trọng của ˆS Giả sử  ( ) I

và i đều được chuẩn hóa, ta có:

Cho t   ta có chuỗi nhiễu loạn của toán tử ˆS :

Xét hệ gồm có ba loại hạt vô hướng A, B và C với khối lượng là mA, mB, mC

Số hạng tương tác đơn giản nhất có dạng g  ˆ ˆ ˆA B C Hamintonian của hệ có dạng:

d p 1

p p = 1 (2π) 2E

d k 1

a (k)e + a (k)e 2E a (p ) 0 (2π) 2E



(2.40)

Với k = (E , k) k 

và E = k k + m2 C 2

Số hạng chứa hai ˆa sẽ bằng không khi C †

kết hợp với trạng thái cuối không chứa các hạt của C Ta sử dụng (2.34) kết hợp với

ˆC

a (k) 0 = 0 để viết lại (2.40):

d k 1

(2π) δ (p k) 2E e 0 = e 0 (2π) 2E

Hàm δ trên chỉ khác không khi pC = pA + pB Rõ ràng sự chuyển dời

CAB chỉ xảy ra khi mC > mA + mB (trong hệ quy chiếu mà C đứng yên, ta cần

A xuất hiện bình

phương của hàm δ bốn chiều δ(x - a)δ(x - a) = δ(x - a)δ(0) và δ(0) tiến tới vô cùng

Trong trường hợp này ta có bốn lần vô cùng Đây là do ta đã dùng các nghiệm là các sóng phẳng trong phương trình sóng Một giải pháp cho vấn đề này là ta chấp nhận “chuẩn hóa hình hộp”, trong đó ta hình dung không gian có thể tích hữu hạn V

và tương tác chỉ xảy ra trong khoảng thời gian T Khi đó, “(2π) δ (0) ” thực ra là 4 4

“VT” Vì vậy, tốc độ chuyển dời trong một đơn vị thể tích là:

Vì vậy, biên độ bất biến iM trong trường hợp này chính là –ig fi

Phương trình (2.44) chính là xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời gian tới một trạng thái cuối cụ thể f Tuy nhiên, trong trường hợp ta đang xét, các

trạng thái cuối A + B có dạng liên tục, và để có được tốc độ phân rã toàn phần  ta cần lấy tích phân Pfi cho toàn miền liên tục của các trạng thái cuối thỏa mãn tính bảo toàn năng – xung lượng Tốc độ phân rã vi phân d được định nghĩa:

2 fi

p g

Γ = 8π m

8π

(2.54)

Với g không thứ nguyên Phương trình (2.54) cho thấy  tỉ lệ với năng

lượng giải phóng của phân rã được xác định bởi p

CHƯƠNG 3:

TỐC ĐỘ PHÂN RÃ SIÊU HẠT

Bây giờ, ta sẽ áp dụng các kết quả ở chương 1 và 2 để tính toán tốc độ phân

rã của siêu hạt photino thành quark và squark trong một vài sơ đồ cây

3.1 Sự phân rã của gluino guu L

u m1,k1,s1,c1g

Hình 3.1 Giản đồ bậc thấp nhất cho phân rã g uuL

Trước hết ta xem xét phân rã của g có khối lượng m ( m )3  g , xung lượng bốn thành phần k3, spin s3 và chỉ số màu c3, tạo thành một quark u có khối lượng m1(=mu), xung lượng bốn thành phần k1, spin s1, chỉ số màu c1 và một phản squark uL

có khối lượng

L

m ( m )  , xung lượng bốn thành phần k2 và chỉ số màu c2 Ta giả

sử sự phân rã này được cho phép về mặt động học Sự pha trộn của squark có thể bỏ qua cho trạng thái cuối của thế hệ thứ nhất này, ta sẽ tính đến nó cho quá trình

Với a = 1 8 là các chỉ số màu, α, β = 1 3 Ta chú ý là cường độ tương tác

được xác định bởi hằng số tương tác gs trong QCD Đầu tiên ta biến đổi (3.1) thành dạng spinor Dirac bốn thành phần ( ) cho trường quark và Majorana (M) cho gluino (sử dụng các công thức trong phụ lục A) Ta có:

2

(3.4) Phần tử của ma trận có thể được xác định bằng cách rút gọn các trạng thái đầu và trạng thái cuối của các hạt Sử dụng tính chất phản giao hoán của toán tử sinh hủy fermion:

màu ba thành phần cho một tam tuyến màu với chỉ số màu là ‘c’



Là biên độ bất biến cho quá trình trên

Tốc độ phân rã được cho bởi:

Với M là kết quả của việc lấy tổng trung bình theo chỉ số spin và màu của 2

trạng thái đầu và trạng thái cuối:

k k

δ E - m

E E 8m 2π

Với k là độ lớn của xung lượng ba thành phần của trạng thái cuối của các hạt

1, 2 trong hệ quy chiếu hạt 3 đứng yên:

k(m ,m ,m ) = [m + m + m - 2m m - 2m m - 2m m ] / 2m (3.22)

Trong trường hợp này, m = m , 1 u

 với trạng thái riêng

khối lượng tương ứng được cho bởi các trường không pha trộn t R,L:

Với (3.27) ta chú ý rằng trường t R †tạo thành siêu đồng hành vô hướng của

quark đơn tuyến tương tác yếu và phá vỡ siêu đồng hành vô hướng của phản quark đơn tuyến tương tác yếu Vì vậy, theo kí hiệu ở 1.1, t R † và

t

 tạo thành một đa tuyến chiral, thuộc về biểu diễn 3 của nhóm SU(3)C Phân rã (3.27) tương ứng với:

Tương tác (3.30) có thể viết được thành:

Từ đó ta thấy, biên độ phân rã gtt1 có dạng tương tự như phần bên trái

của (3.9), cùng với việc thay thế:

2 2

θ u

KẾT LUẬN

Thông qua kết quả của chương 3 ta có thể rút ra những kết luận sau đây: Các công thức (3.23) và (3.46) cho tốc độ phân rã gluino thành quark và phản squark là hợp lý vì chúng trùng với công thức cho tốc độ phân rã gluino thành hai hạt được cho trong [21]

Tốc độ phân rã của gluino ở thang năng lượng của máy gia tốc LEP (k  100GeV ) tương ứng với thời gian sống của nó cỡ 25

10 s

Nếu tính đến những kênh phân rã khác thời gian sống của gluino sẽ lớn hơn và khả năng phát hiện ra nó

sẽ lớn hơn

Do tốc độ phân rã của gluino phụ thuộc vào hiệu của bình phương khối lượng squark và phản squark Từ kết quả tính số cho các phản ứng đó, ta sẽ có thông tin về mức độ phá vỡ siêu đối xứng