ĐỀ tài PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN—————————————– TRẦN THỊ THỦY PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌCChuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống k

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

—————————————–

TRẦN THỊ THỦY

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

—————————————–

TRẦN THỊ THỦY

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌCChuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2015

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 3

MỞ ĐẦU 3

1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Phương trình tích phân tất định: 5

1.1.1Giới thiệu: 5

1.1.2Phương trình Fredholm loại 2 với hạch suy biến: 9

1.1.3Phương trình tích phân phi tuyến: 11

1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên 12

1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 25

1.3.1Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục 25

1.3.2Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: 29

2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FRED-HOLM VÀ VOLTERRA 33

2.1 Phương trình Fredholm và Volterra với hàm vế phải là ngẫu nhiên 33

2.1.1 Giới thiệu: 33

2.1.2Nghiệm của phương trình tích phân: 34

2.1.3Nghiệm của hàm hiệp phương sai: 37

2.1.4Sự liên tục bình phương trung bình của nghiệm: 40

2.1.5Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener: 41 2.2 Hạch K (x, y, ω) là ngẫu nhiên suy biến 42

2.3 Hạch K (x, y, ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian các hàm gián đoạn vừa phải 44

3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 49

3.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên 49

3.1.1Thiết lập phương trình tích phân của một số các phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên 49

3.1.2Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên trong không gian các hàm liên tục: 57

3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên 58

3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên và vế phải ngẫu nhiên 62

3.3.1 Giới thiệu: 62

3.3.2Tồn tại và duy nhất: 64

Tài liệu tham khảo 67

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình củaGS.TS.Đặng Hùng Thắng- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQGHN.Thầy đã dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp các thắc mắc của tôi trongsuốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnngười thầy của mình

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong KhoaToán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốcgia Hà Nội đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trongsuốt quá trình học tập

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạođiều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, Tháng 4 năm 2015

MỞ ĐẦU

Từ cuối thế kỉ 17, Newton và Leibniz đã xây dựng phép tính vi phân

và tích phân cổ điển Tới nửa đầu thế kỉ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầuđược xây dựng Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên thì phép tínhtích phân ngẫu nhiên đã trở thành công cụ quan trọng ứng dụng nhiềutrong toán học, vật lý, sinh học và kinh tế Trong phương trình toán tửtuyến tính, phương trình tích phân ngẫu nhiên giúp cho việc nghiên cứutoán học hiện đại mang lại nhiều kết quả

Trong luận văn "Phương trình tích phân ngẫu nhiên" này, chúng ta xéthai loại phương trình tích phân ngẫu nhiên là Fredholm và Volterra Ngoài

ra, chúng ta xét một số phương trình tích phân ngẫu nhiên phi tuyến.Chúng được quan tâm lớn và có tầm quan trọng trong nhiều nhánh củakhoa học, kinh tế và công nghệ Đặc biệt, những phương trình tích phânphi tuyến xuất hiện trong những hiện tượng vật lý cụ thể và trong việc xâydựng phương trình tích phân của những phương trình vi phân phi tuyến

K (x, y) = K (x, y) nếu x > y

Phương trình tích phân tuyến tính chiếm một phần quan trọng củaphương trình toán tử tuyến tính trong ứng dụng toán học

Trong đó:

K (t, r) = (r − t)[b(r) − a′(r)] − a(r) g(t) =

0 (t − r)f (r)dr + [a(0)x0 + v0]t + x0

Do đó chúng ta đã chỉ ra rằng phương trình (1.6) và (1.7) và phương trìnhtích phân (1.8) như một phương trình Volterra của loại thứ hai

2 Bài toán biên:

Xét phương trình vi phân sau:

K (t, r) = (r/a)(a − t) với r < t

(t/a)(a − r) với r > t

Lx = 0 thỏa mãn điều kiện biên (1.14) và để x(t) và x′(t) là liên tục thìnghiệm tầm thường x(t) ≡ 0.

Hàm Green’s hoặc hàm ảnh hưởng liên kết với toán tử L khác và điềukiện biên là hàm G(t, r) với những tính chất dưới đây:

(i) G(t, r) là liên tục với t, r [a, b] ∈

(ii) Mỗi khoảng [a, r] và [r, b], đạo hàm ∂G và ∂G là liên tục

(iii) G(t, r) là liên tục tại t = r

(iv) Đạo hàm của G là điểm gián đoạn của độ lớn − p(1r) tại t = r, đó là:

(v) Cho r cố định , G(t, r) thỏa mãn phương trình L[G] = 0 trong mỗikhoảng [a, r), (r, b]

(vi)Hàm của t, G(t, r) thỏa mãn điều kiện của biên (1.14) Để định nghĩahàm Green’s chúng ta xây dựng tích phân u(t) và v(t) của L[x] = 0 thỏamãn điều kiện Cauchy:

u(a) = β v(b) = δ u′(a) = −α

v ′(b) = −γ

u(r)v(t)/c với t [r, b] ∈ (1.15)

Tích phân u(t) và v(t) tuyến tính độc lập và từ lý thuyết của phương trìnhtuyến tính khác, chúng ta có:

p(t)[u(t)v ′(t) − u′(t)v(t)] = c = 0

Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa một hàm G(t, r) bằng:

G(t, r) = u(t)v(r)/c với t [a, r] ∈

Và nó không khó để xác minh rằng hàm định nghĩa như trên thỏa mãntính chất (i)-(vi) của hàm Green’s Từ (1.15) hàm G(t, r) tương ứng vớithuộc tính dưới đây:

(vii) G(t, r) = G(r, t) tức là G(t, r) là một hàm đối xứng

Tiếp theo chúng ta phát biểu hai kết quả là tầm quan trọng trong việcđưa phương trình vi phân dạng Lx = f (t) đến phương trình Fredholm.Định lý 1.1 Cho f (t) là một hàm liên tục được xác định trên [a,b] Nếu

x(t) là một nghiệm của phương trình vi phân:

Lx + f (t) = 0 (1.16)thỏa mãn điều kiện biên (1.14), thì x(t) có thể được viết dưới dạng:

x(t) = bG(t, r)f (r)dr (1.17)

a

1.1.2 Phương trình Fredholm loại 2 với hạch suy biến:

Trong phần này, chúng ta xét phương trình tích phân Fredholm loạihai:

0

1

K (x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) (1.18)Một hạch Fredholm K (x, y) được gọi là suy biến nếu nó có dạng:

||x|| = lim sup(1/2A) x(t) −∞

1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến:

Những phương trình tích phân phi tuyến được quan tâm lớn và có tầmquan trọng trong nhiều nhánh của khoa học, kinh tế và công nghệ Trongtrường hợp của những phương trình tích phân tuyến tính, những phươngtrình tích phân phi tuyến xuất hiện trong toán học hiện đại của những

hiện tượng vật lý cụ thể và trong việc xây dựng phương trình tích phâncủa những phương trình vi phân phi tuyến Ví dụ, bài toán giá trị ban

Trong phương trình (1.28) hàm ψ(x, t) đại diện cho phần tử phi tuyến

biến thời gian. K (t) đặc trưng tần số của hệ tuyến tính và vế phải y(t) làtín hiệu vào Benes đã nghiên cứu phương trình (1.28) trong không gianMarcinkiewicz M2 Không gian hàm M2(−∞, ∞) là lớp các tích phân địaphương đo được Những hàm giá trị thực x(t), t T = (−∞, ∞) ∈ mà:

2 A→∞

Ánh xạ toán tử M2 vào chính nó có thể mở rộng vào M2/M0 theo λ.

Nếu T : M2 → M2 khi đó T [λx] = λT x với x M ∈ 2

Sử dụng định lý ánh xạ co Banach, Benes đã tìm ra sự tồn tại và duynhất nghiệm định lý của phương trình (1.28)

y(t) là hàm bất kì trong M2 Khi đó tồn tại nghiệm x(t) M ∈ 2 của phươngtrình (1.28) và λx là duy nhất trong M2/M0 và cũng là hàm thuộc M0

1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1 Cho T=[a;b] và hàm ngẫu nhiên X = X (t), t T ∈

1. X = X (t), t T ∈ được gọi là L0 khả vi tại điểm s nếu tồn tại giới hạn:

p − lim X (t) − X (s)

Giới hạn này được kí hiệu là L0 − X ′(s)

X = X (t), t T ∈ được gọi là L0 khả vi trên T nếu L0 khả vi tại mọi điểm

s T ∈

2 Giả sử X (t) L ∈ p, t T, X = X (t), t T ∀ ∈ ∈ được gọi là (0 < p < ∞)

tại điểm s nếu tồn tại giới hạn:

lim

t − s

Dễ thấy nếu X = X (t), t T ∈ là Lp-khả vi thì với mọi 0

trong Lp Giới hạn này được kí hiệu là Lp − X ′(s)

X = X (t), t T ∈ được gọi là Lp khả vi nếu nó Lp tại mọi điểm s T ∈

Từ đó suy ra X là L2 khả vi nếu hàm trung bình m(t) khả vi và đạo hàm

cấp 2∂ 2 ∂s∂t ) của hàm tương quan K(s,t) tồn tại và liên tục Trong trườnghợp đó ta có:

EX ′(t) = m′(t) cov(X ′(s), X ′(t)) = ∂ 2K (s, t)

hk

Mặt khác nếu ∂ 2 K (s,t)

∂s∂t tồn tại và liên tục thì tồn tại giới hạn 1.33

E|X (t) − X (s)|p[ sup E|X ′(t)|p](t − s)p

Xét ánh xạ t −→ X (t) từ T vào không gian Banach Lp Khi đó tính Lp

khả vi chính là tính khả vi của ánh xạ X Do đó kết luận của định lý suy

ra từ định lý số gia giới nội của đạo hàm hàm giá trị Banach

Ví dụ 1.1 Giả sử X = X (t), t T ∈ là hàm ngẫu nhiên Poisson với tham

số λ Ta chứng minh rằng X = X (t), t T ∈ không L2-khả vi ở bất cứ điểm

Tương tự hàm ngẫu nhiên Wiener W không L2-khả vi ở bất cứ điểm t0

nào Bây giờ ta định nghĩa khái niệm tích phân Riemann cho hàm ngẫunhiên

Định nghĩa 1.2 Cho T=[a,b] và hàm ngẫu nhiên X = X (t), t T ∈

Với phép phân hoạch I của đoạn [a,b] a = t0 < t1 < < tn = b với

|I | = max(ti+1 − ti) là đường kính của I, ta lập tổng tích phân Riemann:

SI = n−1

i=0 X (si)(ti+1 − ti)

2. a [αX (t) + βY (t)dt trong đó α, β là các biến ngẫu nhiên.

Mặt khác giả sử với hầu hết ω hàm chọn X (., ω) là khả tích Riemann.Khi đó tổng tích phân SI hội tụ hầu chắc chắn do đó:

a X (t, ω)dt = (Lp) − a X (t)dt

Như vậy trong trường hợp này có thể hiểu

thông thường trên mỗi quỹ đạo

b

Tích phân của hàm ngẫu nhiên có các tính chất quen thuộc như củatích phân Riemann của hàm tất định

c b b b

Chứng minh tương tự như trong trường hợp tích phân của hàm tấtđịnh

Định lý 1.6 Giả sử X = X (t) là Lp liên tục (p 1) Khi đó:

||SI || ||X (si)||(ti+1 − ti)

cho qua giới hạn khi |I | → 0 ta có điều phải chứng minh

2 Xét điểm t0 (a, b) ∈ Giả sử ||.|| là chuẩn của không gian Banach Lp(Ω).Cho ε > 0 vì X (t) là Lp liên tục tại t0 nên tồn tại δ > 0 sao cho:

Định lý 1.7 Hàm ngẫu nhiên X = X (t), t T = [a, b] ∈ là L2 khả tích

nếu và chỉ nếu hàm trung bình m(t) khả tích trên T và hàm tự tương quan

X (t)dt] =

X (t)dt] =

a

a b

EX (t)dt =

a b

Ví dụ 1.2 Giả sử W = (W (t), t 0) là hàm ngẫu nhiên Wiener Xét

hàm ngẫu nhiên X = (X (t), t 0) xác định bởi:

t

X (t) = W (s)ds

0

Tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của X

Trước hết ta tìm kì vọng và phương sai của X (t) Ta có:

s [W (u) − W (s)]du = EX (s)Eξ = 0

Thay vào 1.35 ta được: Với 0 s t thì:

cov(X (s), X (t)) = s3

3 + (t − s) 2 = (3t − s) 6

Ví dụ 1.3 Giả sử N = N (t), t 0 là hàm ngẫu nhiên Poisson với tham

số λ > 0, ξ là biến ngẫu nhiên rời rạc P (ξ = a) = P (ξ = −a) = 0, 5

và độc lập với N = N (t), t 0 Xét hàm ngẫu nhiên V = V (t), t 0 và

Hãy tính kì vọng và phương sai của V(t), X(t)

Định lý 1.8 (Khai triển Karunen-Loeve) Cho X = X (t), t [a, b] ∈ là

hàm ngẫu nhiên L2 liên tục Khi đó tồn tại dãy các đại lượng ngẫu nhiên

ξn đôi một không tương quan với kì vọng 0 và dãy hàm tất định φn(t) saocho t [a, b] ∀ ∈ ta có khai triển sau:

ở đó K(s,t) là hàm tự tương quan của X

· Eξn = 0, V arξn = λn trong đó λn là giá trị riêng của A ứng với hàmriêng φn(t) Sự hội tụ của chuỗi (1.37) là hội tụ trong L2

Theo lý thuyết về phương trình tích phân tồn tại một cơ sở trực chuẩn của

L2[a, b] gồm các hàm riêng φn(t) với các giá trị riêng tương ứng λn > 0

Chú ý: Nếu X(t) là hàm ngẫu nhiên Gauss thì ξn là dãy biến ngẫu nhiên

Gauss không tương quan do đó chúng độc lập

Ví dụ 1.4 Ta tìm khai triển Karunen-Loeve của hàm ngẫu nhiên Wiener

Từ hệ phương trình vi phân này với điều kiện ban đầu φn(0) = 0, φ′n(1) = 0

và điều kiện chuẩn hóa 1

1 2sin(n + )πt 2

Đặt X (t) = W (t) − tW (1) Dễ thấy X(t) là hàm ngẫu nhiên Gauss vớihàm trung bình m(t)=0 và hàm tự tương quan K (s, t) = min(s − t) − ts.Tương tự như trên ta tìm được các hàm riêng và giá trị riêng là:

ξnsinnπt

trong đó (ξn), n = 1, 2, là dãy các biến Gauss độc lập Đặt ξ0 = W (1)

dễ kiểm tra được Eξ0 = 0, Eξ02 = 1 và:

Eξ + 0ξn = √

= √

2 2

Do đó :

W (t) = tξ0 + √2∞

n=1

ξnsinnπt nπ

trong đó dãy (ξn), n = 0, 1, 2, là dãy các biến Gauss độc lập N (0, 1)

1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

1.3.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục

Định nghĩa 1.3 Cho E là không gian metric khả ly và Y là không gian

Banach khả ly Một ánh xạ Φ : Ω × E → Y được gọi là một toán tử ngẫunhiên từ E vào Y nếu với mỗi x E, Φ(ω, x) ∈ là một biến ngẫu nhiên Ygiá trị

Từ quan điểm của lý thuyết xác suất, một toán tử ngẫu nhiên Φ :

Ω × E → Y định nghĩa là một ánh xạ Φ từ E vào LY0 (Ω) đặt tương ứngmỗi phần tử x E ∈ với một biến ngẫu nhiên Y- giá trị Φ(x) xác định bởi

Φx(ω) + Φ(ω, x)

Sau đây ta định nghĩa một số tính chất chính quy của toán tử ngẫunhiên

Định nghĩa 1.4 Cho Φ là toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y

1. Φ được gọi là liên tục tại x0 E ∈ nếu với mỗi ω Ω ∈ ánh xạ x → Φ(ω, x)

là liên tục tại x0

2. Φ được gọi là liên tục trên E nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 E ∈

3. Φ được gọi là liên tục ngẫu nhiên tại điểm x0 E ∈ nếu với mỗi dãy

(xn) E ⊂ sao cho lim xn = x0 E ∈ và với mỗi ε > 0 ta có:

P (ω : ||Φ(ω, x ) − Φ(ω, x )|| > ε) = 0

lim sup P (||Ax|| > t) = 0 (1.38)

vì || xt || < δ Điều này chứng minh (1.38).

4. Φ được gọi là liên tục ngẫu nhiên trên E nếu nó liên tục tại mọi điểm

x0 E ∈

Định nghĩa 1.5 1 Giả sử E là không gian Banach Toán tử ngẫu nhiên

Φ từ E vào Y được gọi là tuyến tính nếu: với mỗi x1, x2 E, λ ∈ 1, λ2 R ∈

ta có:

Φ(ω, λ1x1 + λ2x2) = λ1Φ(ω, x1) + λ2Φ(ω, x2)

hầu chắc chắn

2 Toán tử ngẫu nhiên Φ từ E vào Y được gọi là toán tử tuyến tính liên

tục ngẫu nhiên nếu Φ tuyến tính và liên tục ngẫu nhiên

3 Toán tử ngẫu nhiên Φ từ E vào Y được gọi là toán tử ngẫu nhiên tuyếntính bị chặn nếu A tuyến tính và tồn tại biến ngẫu nhiên không âm k(ω)

sao cho với mỗi x E ∈ :

||Φx(ω)|| k(ω)||x||

hầu chắc chắn

Định lý 1.9 Một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ E vào Y là liên tục

ngẫu nhiên nếu và chỉ nếu:

t→∞ ||x|| 1

Chứng minh:

Giả sử A liên tục ngẫu nhiên Cho ε > 0 Do A liên tục ngẫu nhiên tại

0 nên tồn tại δ > 0 sao cho nếu ||x|| < δ thì P (||Ax|| > 1) < ε Nếu t >

thì với mỗi x: ||x|| 1 ta có:

1 δ

P (||Ax|| > t) = P (||A(x/t)|| > 1) < ε

1

t

Ngược lại giả sử có (1.38) Cho trước c > 0, ε > 0 khi đó tồn tại t > 0

sao cho P (||Ax|| > t) < ε với mọi x ||x|| 1 Lấy δ = ct ta có t||x|| < c

nếu ||x|| < δ Do đó nếu ||x|| < δ thì:

P (||Ax|| > c) P (||Ax|| > t||x||) = P (||A(x/||x||)|| > t) < ε

n →x

Vậy:

lim P (||Ax|| > c) = 0

tức là A liên tục ngẫu nhiên tại 0 Từ đó:

xlim 0 P (||A(xn) − A(x0)|| > c) = P (||A(xn − x0)|| > c) = 0

Từ định lý trên ta suy ra nếu A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bịchặn thì A là toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên Tuy nhiên điều ngượclại không đúng

Sau đây là một số ví dụ về toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên

Ví dụ 1.5 Giả sử T1, T2, , Tn L(E, Y ) ∈ và α1, α2, , αn là các biếnngẫu nhiên thực Khi đó dễ thấy toán tử ngẫu nhiên A xác định bởi:

n

Ax(ω) = αk(ω)Tkx

k=1

là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn

Ví dụ 1.6 Cho K (s, t, ω) là hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo liên tục trênhình vuông [0; 1] × [0; 1] Với mỗi hàm x(t) C [0; 1] ∈ ta định nghĩa:

1

Ax(t, ω) = K (t, s, ω)x(s)ds

0

Khi đó y(t, ω) = Ax(t, ω) là một hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo liên tục

Dễ thấy A là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ C [0; 1] vào C [0; 1]

Vì K (t, s, ω) có quỹ đạo liên tục nên tồn tại biến ngẫu nhiên ξ : Ω →

C ([0, 1] × [0, 1]) xác định bởi ξ(ω) = K (., , ω) Ta có:

1

|Ax(t, ω)| ||x|| 0 |K (t, s, ω)|ds ||ξ(ω)|| ||x||

Do đó A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn

Ví dụ 1.7 Xác định toán tử ngẫu nhiên A từ L2[0, 1] vào C [0, 1] bởi:

t

Ax(t) = x(s)dW (s)

lim sup ||Axh(ω)|| = 1 hầu chắc chắn trong đó Q ký hiệu tập số hữu tỷ.

Nếu A bị chặn thì tồn tại biến ngẫu nhiên k(ω) sao cho: ||Axh(ω)||

Dễ thấy A tuyến tính Ta chứng minh A liên tục ngẫu nhiên Thật vậy,theo bất đẳng thức martingale ta có:

t [0,1] ∈ 1

t→∞ ||x|| 1

Theo định lý (1.9) A liên tục ngẫu nhiên Vậy A là toán tử ngẫu nhiên

tuyến tính liên tục từ L2[0, 1] vào C [0, 1]

Ta chứng minh A không bị chặn Với h > 0 gọi xh(t) là hàm cho bởi:

xh(t) =

Ta có xh L ∈ 2[0, 1] và:

1 2hlnln h1

0 nếu ngược lại

2 0

1

x2h(t)dt =

0

h dt 2hlnln h1

= 1 2lnln h1 → 0 khi h → 0

cả các tổ hợp tuyến tính có dạng

Do đó: lim sup ||Axh(ω)|| = 0 ω D ∀ ∈ Ta có mâu thuẫn

i=1 rixi, trong đó xi M ∈ , ri Q ∈ , hiển

Do đó, tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mọi ω D ∈ và với mọi

h Q ∈

||Axh(ω)|| k(ω)||xh||

h Q h→0 ∈

1.3.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn:

Định lý 1.10 Toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên A từ E vào Y là bị

chặn nếu và chỉ nếu có tồn tại ánh xạ T : Ω → L(X, Y ) sao cho:

Ax(ω) = T (ω)x (1.39)hầu chắc chắn

Chứng minh:

Giả sử A bị chặn Gọi M là tập trù mật đếm được trong E và Z là tập tất

n

nhiên Z là không gian tuyến tính trên Q, đếm được và trù mật trong E

Ta có thể tìm được tập D1 có xác suất 1 sao cho với mỗi ω D ∈ 1 ta có:

||A(z1 − z2)(ω)|| k(ω)||z1 − z2|| Vậy thì, T (ω) thác triển thành ánh xạ

tuyến tính liên tục T (ω) : E → Y tức là T (ω) L(E, Y ) ∈ Đặt T (ω) = T0

nếu ω / D ∈ Như vậy ta đã xác định ánh xạ T : Ω → L(X, Y )

Tiếp theo ta chứng minh với mỗi x X ∈ thì: Ax(ω) = T (ω)x hầu chắc

suất 1 sao cho với mỗi ω D ∈ và với mỗi x X ∈ chuỗi:

(x, e∗ k)Aek(ω) =∞

n

n n

chắn

Giả sử (zn) Z ∈ sao cho limzn = x Với mỗi ω D ∈ ta có Azn(ω) = T (ω)zn

với mọi n Do đó, limnAzn(ω) = limT (ω)zn = T (ω)x với mọi ω D ∈ Vậy

Azn hội tụ hầu chắc chắn tới T (ω)x Nhưng p − limAzn = Ax Vậy:

k(ω) = sup ||Axn(ω)|| = sup ||T (ω)xn|| = ||T (ω)|| < ∞

Vậy k(ω) là biến ngẫu nhiên và ||T (ω) = k(ω) hầu chắc chắn Với mỗi

x X ∈ ta có:

||Ax(ω)|| = ||T (ω)x|| ||T (ω)|| ||x|| = k(ω)||x|| hầu chắc chắn

Định lý 1.11 Giả sử E là không gian Banach có cơ sở Shauder (en) và

(e∗ n) là cơ sở liên hợp trong E 1 Cho A là toán tử tuyến tính liên tục ngẫunhiên từ E vào Y Khi đó A bị chặn nếu và chỉ nếu tồn tại tập D có xác

Nếu A bị chặn thì theo định lý (1.10) tồn tại ánh xạ T : Ω → L(X, Y ) tập

D có xác suất 1 sao cho Aek(ω) = T (ω)ek với mọi ek và với mọi ω D ∈ Khi đó với ω D, x X ∈ ∈ ta có:

nên Ax(ω) = ∞=1(x, ek)Aek(ω).Trong đó chuỗi vế phải hội tụ theo xácsuất nhưng chuỗi này cũng hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên Y-giátrị ω −→ T (ω)x Do đó: Ax(ω) = T (ω)x hầu chắc chắn.

Theo định lý (1.10) ta có A bị chặn

Định lý 1.12 Giả sử E = lp(1 p < ∞) và A là toán tử tuyến tính liên

tục ngẫu nhiên từ E vào Y

1 Điều kiện cần để A bị chặn là:

sup ||Aen|| < ∞ (1.41)hầu chắc chắn

2 Trường hợp p>1: Điều kiện đủ để A bị chặn là:

∞

n=1 ||Aen||q < ∞ (1.42)hầu chắc chắn Ở đó (en) là cơ sở tự nhiên trong lp và q là số liên hợp với

p Nếu Y là không gian hữu hạn chiều thì (1.42) cũng là điều kiện cần để

A bị chặn

3 Trường hợp p=1 (1.41) cũng là điều kiện đủ để A bị chặn

Chứng minh:

1 Suy trực tiếp từ định nghĩa

2 Giả sử điều kiện (1.42) thỏa mãn Đặt:

D = {ω : =1 ||Aen(ω)||q < ∞}

sao cho ||y||q C k=1 |(y, hk)| với mọi y R ∈ Do đó:

suy ra chuỗi (x, en)Aen(ω) hội tụ Theo định lý (1.11) A bị chặn

Ngược lại giả sử A bị chặn và Y = Rk Gọi h1, h2, , hk là cơ sở tựnhiên của Rk Trước hết ta xét trường hợp Y = R Theo định lý (1.10) tồntại biến ngẫu nhiên lp-giá trị T (ω) sao cho Ax(ω) = (T (ω), x) hầu chắcchắn cho nên tồn tại tập D xác suất 1 sao cho Aen(ω) = (T (ω), en) với mọi

en và với mọi ω D ∈ Do đó||Aen(ω)||q = |(T (ω), en|q = ||T (ω)||q là

||Aen(ω)||q < ∞ Tiếp theo do A bị chặn nên với mỗi hi toán tử tuyếntính ngẫu nhiên x −→ (Ax, hi) từ E vào R bị chặn Theo điều vừa chứngminh, |(Aen, hj )|q < ∞ hầu chắc chắn Hiển nhiên tồn tại hằng số C

Chú ý: Điều kiện (1.42) không là điều kiện cần Xét ví dụ sau:

Giả sử (rn) là dãy biến ngẫu nhiên Rademakher Xác định toán tử tuyếntính liên tục ngẫu nhiên A từ lp vào lp bởi:

2.1 Phương trình Fredholm và Volterra với hàm vế

phải là ngẫu nhiên

2.1.1 Giới thiệu:

Xét phương trình tích phân tuyến tính ngẫu nhiên:

f (x, w) − Lf (y, w) = g(x, w) (2.1)

Ở đó L là một toán tử Fredholm (hoặc Volterra) trên [a,b] (a,b hữu hạn)

và g(x, w) với x [a, b] ∈ là hàm ngẫu nhiên bậc hai mà thỏa mãn điều kiệnliên tục bình phương:

1. E{|g(x, w)|2} ⋖ ∞ ∀ ∈ x [a, b]

2. h→∞ E{|g(x + h, w) − g(x, w)|2} = 0 ∀ ∈ x [a, b]

Phương trình (2.1) là phương trình toán tử tuyến tính xác định với hàm lựclượng ngẫu nhiên Do đó, nghiệm của phương trình định nghĩa một hàmngẫu nhiên mới f (x, w), tính chất ngẫu nhiên phụ thuộc vào tính chấtngẫu nhiên của g(x, w) Từ đó, toán tử Fredholm là xác định Nghiệm củaphương trình (2.1) có thể có được bởi phương pháp cổ điển nổi tiếng Đặcbiệt, giả sử rằng phương trình có thể được giải bởi sự lặp đi lặp lại Trong