GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Qua các phép biến đổi cơ bản và chọn ẩn phụ thích hợp, ta đưa bất phương trình ban đầu thành bất phương trình mới đơn giản hơn, dễ nhìn hơn. Thông thường một số bất phương trình sẽ không xuất hiện sẵn ẩn phụ mà ta phải biến đổi để làm xuất hiện ẩn phụ đó. Các phép biến đổi thường gặp là: +Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa căn, mục đích là đưa về bất phương trình mới, bậc cao giải được. +Nhân, chia 2 vế của bất phương trình với 1 biểu thức nào đó (lưu ý dấu của biểu thức mà ta xét)

Hội những người ôn thi đại học Khối A

A-PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN ĐƯA VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỚI

-Qua các phép biến đổi cơ bản và chọn ẩn phụ thích hợp, ta đưa bất phương trình ban đầu thành bất phương trình mới đơn giản hơn, dễ nhìn hơn

-Thông thường một số bất phương trình sẽ không xuất hiện sẵn ẩn phụ mà ta phải biến đổi

để làm xuất hiện ẩn phụ đó Các phép biến đổi thường gặp là:

+Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa căn, mục đích là đưa về bất phương trình mới, bậc cao giải được

+Nhân, chia 2 vế của bất phương trình với 1 biểu thức nào đó (lưu ý dấu của biểu thức mà ta xét)

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

5 2

149

2 x2 x   x 

4

11931

01492

05

đã cho là:

  

 9 ;

S

Nhận xét: Nếu ngay từ ban đầu ta bình phương 2 vế không âm của bất phương trình thì ta

đưa về bất phương trình tích như sau:  x  9   4 x3 32 x2 307 x  2469   0 , khi đó việc

chứng minh

4

1193 1

, 0 2469 307

32

4 3 2      

x x

Hội những người ôn thi đại học Khối A

https://www.facebook.com/sedodaihoc 2

1 1

:   x 

2

2 1

1 2 2 0

; 1 1

2 2 2

0 1

1

2 0

2 2 2

0 4 2 2

2

2

2 2

2 3

x

t t

t t t

t

t t

Kết hợp điều kiện ban đầu suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là: S  [  1 ; 0 )  ( 0 ; 1 ]

x

x t

x x

t  1   2  2  1  , BPT trở thành:

  1 2 1 2   1   1 0 1 2

1  t  t2   t2 t   t2   t  2   t 

Suy ra:

2

5 3 0

1 1

1         

x x

x x

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm:

5 3

S

Nhận xét: Trong một số bài bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì khi quy đồng ta cần xét

dấu mẫu số để không bị sai dấu bất phương trình khi nhân

Ví dụ 4: Giải bất phương trình:

1 2

x x

(*) Đk: x  0

Ta sẽ nghĩ ngay đến việc quy đồng mẫu số rồi bình phương hoặc đặt ẩn phụ để đưa về bất phương trình mới Tuy nhiên trước khi quy đồng, ta cần xét dấu mẫu số:

Vì 2x2x1x2(x1)211 nên: 1  2  x2 x  1   0

Suy ra: (*)x x1 2x2x1 xx1 2x2x1

Đây là ví dụ 3 mà ta đã giải quyết

Ví dụ 5: Giải bất phương trình:

Hội những người ôn thi đại học Khối A

https://www.facebook.com/sedodaihoc 3

1 1 6 2

x x

(*) ĐK: x  0 Xét dấu mẫu số:

Ta có:

 3 8 2 6 1 1 2 3 16 1 2.3 16 1 01

x

Vẫn đặt ẩn như ví dụ trên và giải tương tự

Ví dụ 6: Giải bất phương trình:

1 3

1 2

x x x

)

;1[)0

;1[0

510

11

13

12

11

x x

x x

x x

x x

51

;1

S

B-PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ

Đây là phương pháp giải bất phương trình khá hay, cách giải hầu như giống với giải hệ phương trình chúng ta đã học (phương pháp thế) Đối với phương pháp này, ta cần lưu ý một

điều: khi cộng (hoặc trừ) hai vế của bất phương trình cho một đẳng thức thì bất phương

trình không đổi dấu

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

1 2 1

2 x3 3 x   (*)

Hội những người ôn thi đại học Khối A

1 2

3 3

x y

y x

Nhưng đối với bất phương trình thì ta vẫn có thể giải theo cách tương tự:

) 1 ( 1 2

3 3

x y

y x

Theo tính chất ban đầu, ta trừ theo vế bất phương trình (1) và phương trình (2) ta được:

361

362

x x

x

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

(*) 1 1 2

1

2 3

2

3 3

v x

u x x

v

x u

) 1 ( 1

2 3

v u

v u

 3 3 2  3 2 3

3 1 3

1 1

Ví dụ 3: Giải bất phương trình:

x x x

30 ) ( 35

3

30 ) ( 35

30 ) (

3 3

3 3

y x y x xy

y x xy y

x xy y

x

y x xy y

x

y x xy

Suy ra:

 x  y 3 35  90  x  y  5  x 3 35  x3  5 3 35  x3  5  x  2  x  3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S=[2;3]

Ví dụ 4: Giải bất phương trình:

2 2

1 1

Hội những người ôn thi đại học Khối A

2

22

22

211

2 2

2

xy xy

y x

xy y

x xy

y x

y x

0 2 0

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x xy

y x

y x

y x u

u u

u u

HẾT

§1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

1 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

1.1 Một số lưu ý

Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta có thể gặp các dạng như: 1.1.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình đại số không còn chứa căn thức với ẩn mới là ẩn phụ

1.1.2 Đặt ẩn phụ mà vẫn còn ẩn chính, ta có thể tính ẩn này theo ẩn kia

1.1.3 Đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ hai phương trình với hai ẩn là hai ẩn phụ, cũng có thể hai ẩn gồm một ẩn chính và một ẩn phụ, thường khi đó ta được một hệ đối xứng

1.1.4 Đặt ẩn phụ để được phương trình có hai ẩn phụ, ta biến đổi về phương trình tích với vế phải bằng 0

Thường giải phương trình ta hay biến đổi tương đương, nếu biến đổi hệ quả thì nhớ phải thử lại nghiệm

3) Ta thấy x 0 không thỏa mãn

Khi đó phương trình tương đương với hệ

2

2

01

Suy ra được y - 2 = 0 Từ đó nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

2, 0

HD: Đặt 3 x22 2x3 = y với y  Khi đó ta được hệ 0

22

Còn x xyy  x y(yx)(1x)y  với mọi 0 y  và 0 x   2 Do đó hệ vô nghiệm hay phương trình đã cho vô nghiệm

x x

y x

4 22

z





Từ đó ta được nghiệm của phương trình là

4 4

4 3 21

22

2000(*)2000

Suy ra x y, ta được nghiệm x 2001, loại x 0)

Bài 5 Giải các phương trình sau:

x

x x

Thường ta đánh giá như sau:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

Ngoài ra đối với bài cụ thể nào đó ta sẽ có cách đánh giá khác

Cũng có một số phương trình vô tỷ có nhiều hơn một ẩn mà ta giải bằng phương pháp đánh giá

Do đó phương trình không có nghiệm trong hai trường hợp này

Vậy phương trình có một nghiệm là 1

Ví dụ 3 Giải phương trình x  x 19 7x 8x13 13x 17x7 3 3(x2)

HD: Bài này cách giải có vẻ hơi mất tự nhiên bởi cách “cố ý” cho như vậy Giáo viên

và học sinh có thể sáng tác những bài kiểu đó

22

x x

, nghĩa là dấu bằng trong hệ xảy ra

Từ đó phương trình có nghiệm duy nhất là x 1

Ví dụ 7 Giải phương trình 2 2 9

x    HD: Đk x 0

Theo BĐT Bunhiacopxki, ta được

Với đk đó phương trình tương đương với

Vt là hàm số đồng biến trên đoạn 5;  Từ đó dẫn đến x 7 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 11 Giải phương trình 2 3

2x 11x21 3 4 x4 0HD: Phương trình tương đương với

3

12( 3)( 3)(2 5)

Ta thấy x 3 là nghiệm của phương trình

Nếu x 3 thì phương trình tương đương với

HD: Biến đổi phương trình thành

2 2

Từ đó ta được phương trình có nghiệm là ( ; )x y (2; 2)

3 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC

cosysiny   y y y Đặt sinycosyz, 2z 2

suy ra sin 2y2 sin cosy yz2 , ta được 1 z  2 và 2

Bài 5 Giải phương trình (1 2 ) 3 1 2

1

x x

x x

Ngoài những phương pháp thường gặp ở trên, đôi khi ta cũng có những lời giải khác

lạ đối với một số phương trình vô tỷ Cũng có thể ta sử dụng kết hợp các phương pháp ở trên

để giải một phương trình

4.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình x23 2.x 9 x24 2.x16 5

HD: Nếu x 0thì Vt   3 4 75 = Vp (phương trình không có nghiệm)

Nếu x 0thì ta xét tam giác vuông ABC với A 900, AB = 4; AC = 3

Gọi AD là phân giác của góc A, lấy M thuộc tia AD

1 6 1 6 9 4 8 2 9 1 6 9 3 6 2

7 1 2 2 0

1 2 2 7

HD: Đặt đk cho phương trình xác định ta sẽ được x 2 Khi đó phương trình trở thành y  1 2 y, suy ra 3

Xét (3) ta được x  1 x9, xét (4) được x 1 và (5) được x 0 x1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   1;0;1;9

Vậy phương trình có nghiệm là x 0 và x 2

§2 MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI CỦA MỘT SỐ QUỐC GIA

Thực tế bài toán giải phương trình vô tỷ trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia là không

khó Tuy nhiên để làm được việc lớn thì trước hết phải làm tốt việc nhỏ, do đó học sinh muốn

đoạt giải từ khuyến khích trở lên phải làm tốt bài toán này Dù biết vậy nhưng không phải học

sinh xuất sắc nào cũng vượt qua được

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 3

Từ (1) và (2), ta được g x( ) x 13 f x( ) Cả hai đẳng thức đều xảy ra khi x 3, thỏa mãn

x3 (do đk và x27x15 với mọi x thỏa mãn đk) 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 3

Thật vậy, từ đk xác định của phương trình ta phải dẫn đến được x 1

Với đk đó, phương trình tương đương với x 1 1 x 1

1 11

Cũng có thể từ (x21) 2 x x( 21)x , chuyển 0 2 x x ( 2 1) sang vế phải rồi bình

phương hai vế, sau đó đặt 1

x  nhưng cách này hơi dài

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 1 5

Bài 7 Giải các phương trình sau:

x x

x x

Hội những người ôn thi đại học Khối A

A-PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN ĐƯA VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỚI

-Qua các phép biến đổi cơ bản và chọn ẩn phụ thích hợp, ta đưa bất phương trình ban đầu thành bất phương trình mới đơn giản hơn, dễ nhìn hơn

-Thông thường một số bất phương trình sẽ không xuất hiện sẵn ẩn phụ mà ta phải biến đổi

để làm xuất hiện ẩn phụ đó Các phép biến đổi thường gặp là:

+Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa căn, mục đích là đưa về bất phương trình mới, bậc cao giải được

+Nhân, chia 2 vế của bất phương trình với 1 biểu thức nào đó (lưu ý dấu của biểu thức mà ta xét)

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

5 2

149

2 x2 x   x 

4

11931

01492

05

đã cho là:

  

 9 ;

S

Nhận xét: Nếu ngay từ ban đầu ta bình phương 2 vế không âm của bất phương trình thì ta

đưa về bất phương trình tích như sau:  x  9   4 x3 32 x2 307 x  2469   0 , khi đó việc

chứng minh

4

1193 1

, 0 2469 307

32

4 3 2      

x x

Hội những người ôn thi đại học Khối A

https://www.facebook.com/sedodaihoc 2

1 1

:   x 

2

2 1

1 2 2 0

; 1 1

2 2 2

0 1

1

2 0

2 2 2

0 4 2 2

2

2

2 2

2 3

x

t t

t t t

t

t t

Kết hợp điều kiện ban đầu suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là: S  [  1 ; 0 )  ( 0 ; 1 ]

x

x t

x x

t  1   2  2  1  , BPT trở thành:

  1 2 1 2   1   1 0 1 2

1  t  t2   t2 t   t2   t  2   t 

Suy ra:

2

5 3 0

1 1

1         

x x

x x

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm:

5 3

S

Nhận xét: Trong một số bài bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì khi quy đồng ta cần xét

dấu mẫu số để không bị sai dấu bất phương trình khi nhân

Ví dụ 4: Giải bất phương trình:

1 2

x x

(*) Đk: x  0

Ta sẽ nghĩ ngay đến việc quy đồng mẫu số rồi bình phương hoặc đặt ẩn phụ để đưa về bất phương trình mới Tuy nhiên trước khi quy đồng, ta cần xét dấu mẫu số:

Vì 2x2x1x2(x1)211 nên: 1  2  x2 x  1   0

Suy ra: (*)x x1 2x2x1 xx1 2x2x1

Đây là ví dụ 3 mà ta đã giải quyết

Ví dụ 5: Giải bất phương trình:

Hội những người ôn thi đại học Khối A

https://www.facebook.com/sedodaihoc 3

1 1 6 2

x x

(*) ĐK: x  0 Xét dấu mẫu số:

Ta có:

 3 8 2 6 1 1 2 3 16 1 2.3 16 1 01

x

Vẫn đặt ẩn như ví dụ trên và giải tương tự

Ví dụ 6: Giải bất phương trình:

1 3

1 2

x x x

)

;1[)0

;1[0

510

11

13

12

11

x x

x x

x x

x x

51

;1

S

B-PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ

Đây là phương pháp giải bất phương trình khá hay, cách giải hầu như giống với giải hệ phương trình chúng ta đã học (phương pháp thế) Đối với phương pháp này, ta cần lưu ý một

điều: khi cộng (hoặc trừ) hai vế của bất phương trình cho một đẳng thức thì bất phương

trình không đổi dấu

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

1 2 1

2 x3 3 x   (*)

Hội những người ôn thi đại học Khối A

1 2

3 3

x y

y x

Nhưng đối với bất phương trình thì ta vẫn có thể giải theo cách tương tự:

) 1 ( 1 2

3 3

x y

y x

Theo tính chất ban đầu, ta trừ theo vế bất phương trình (1) và phương trình (2) ta được:

361

362

x x

x

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

(*) 1 1 2

1

2 3

2

3 3

v x

u x x

v

x u

) 1 ( 1

2 3

v u

v u

 3 3 2  3 2 3

3 1 3

1 1

Ví dụ 3: Giải bất phương trình:

x x x

30 ) ( 35

3

30 ) ( 35

30 ) (

3 3

3 3

y x y x xy

y x xy y

x xy y

x

y x xy y

x

y x xy

Suy ra:

 x  y 3 35  90  x  y  5  x 3 35  x3  5 3 35  x3  5  x  2  x  3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S=[2;3]

Ví dụ 4: Giải bất phương trình:

2 2

1 1

Hội những người ôn thi đại học Khối A

2

22

22

211

2 2

2

xy xy

y x

xy y

x xy

y x

y x

0 2 0

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x xy

y x

y x

y x u

u u

u u

HẾT

§1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

1 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

1.1 Một số lưu ý

Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta có thể gặp các dạng như: 1.1.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình đại số không còn chứa căn thức với ẩn mới là ẩn phụ

1.1.2 Đặt ẩn phụ mà vẫn còn ẩn chính, ta có thể tính ẩn này theo ẩn kia

1.1.3 Đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ hai phương trình với hai ẩn là hai ẩn phụ, cũng có thể hai ẩn gồm một ẩn chính và một ẩn phụ, thường khi đó ta được một hệ đối xứng

1.1.4 Đặt ẩn phụ để được phương trình có hai ẩn phụ, ta biến đổi về phương trình tích với vế phải bằng 0

Thường giải phương trình ta hay biến đổi tương đương, nếu biến đổi hệ quả thì nhớ phải thử lại nghiệm

3) Ta thấy x 0 không thỏa mãn

Khi đó phương trình tương đương với hệ

2

2

01

Suy ra được y - 2 = 0 Từ đó nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

2, 0

HD: Đặt 3 x22 2x3 = y với y  Khi đó ta được hệ 0

22

Còn x xyy  x y(yx)(1x)y  với mọi 0 y  và 0 x   2 Do đó hệ vô nghiệm hay phương trình đã cho vô nghiệm

x x

y x

4 22

z





Từ đó ta được nghiệm của phương trình là

4 4

4 3 21

22

2000(*)2000

Suy ra x y, ta được nghiệm x 2001, loại x 0)

Bài 5 Giải các phương trình sau:

x

x x

Thường ta đánh giá như sau:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

Ngoài ra đối với bài cụ thể nào đó ta sẽ có cách đánh giá khác

Cũng có một số phương trình vô tỷ có nhiều hơn một ẩn mà ta giải bằng phương pháp đánh giá

Do đó phương trình không có nghiệm trong hai trường hợp này

Vậy phương trình có một nghiệm là 1

Ví dụ 3 Giải phương trình x  x 19 7x 8x13 13x 17x7 3 3(x2)

HD: Bài này cách giải có vẻ hơi mất tự nhiên bởi cách “cố ý” cho như vậy Giáo viên

và học sinh có thể sáng tác những bài kiểu đó

22

x x

, nghĩa là dấu bằng trong hệ xảy ra

Từ đó phương trình có nghiệm duy nhất là x 1

Ví dụ 7 Giải phương trình 2 2 9

x    HD: Đk x 0

Theo BĐT Bunhiacopxki, ta được

Với đk đó phương trình tương đương với

Vt là hàm số đồng biến trên đoạn 5;  Từ đó dẫn đến x 7 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 11 Giải phương trình 2 3

2x 11x21 3 4 x4 0HD: Phương trình tương đương với

3

12( 3)( 3)(2 5)

Ta thấy x 3 là nghiệm của phương trình

Nếu x 3 thì phương trình tương đương với

HD: Biến đổi phương trình thành

2 2

Từ đó ta được phương trình có nghiệm là ( ; )x y (2; 2)

3 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC

cosysiny   y y y Đặt sinycosyz, 2z 2

suy ra sin 2y2 sin cosy yz2 , ta được 1 z  2 và 2

Bài 5 Giải phương trình (1 2 ) 3 1 2

1

x x

x x

Ngoài những phương pháp thường gặp ở trên, đôi khi ta cũng có những lời giải khác

lạ đối với một số phương trình vô tỷ Cũng có thể ta sử dụng kết hợp các phương pháp ở trên

để giải một phương trình

4.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình x23 2.x 9 x24 2.x16 5

HD: Nếu x 0thì Vt   3 4 75 = Vp (phương trình không có nghiệm)

Nếu x 0thì ta xét tam giác vuông ABC với A 900, AB = 4; AC = 3

Gọi AD là phân giác của góc A, lấy M thuộc tia AD

1 6 1 6 9 4 8 2 9 1 6 9 3 6 2

7 1 2 2 0

1 2 2 7

HD: Đặt đk cho phương trình xác định ta sẽ được x 2 Khi đó phương trình trở thành y  1 2 y, suy ra 3

Xét (3) ta được x  1 x9, xét (4) được x 1 và (5) được x 0 x1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   1;0;1;9

Vậy phương trình có nghiệm là x 0 và x 2