PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỨA NHIỀU CĂN THỨC PHẦN 2

T đó suy ra ph ng trình đã cho vô nghi m.

Ph ng pháp dùng B t đ ng th c - Vector

4x 2 x 5x 6 5x 20x15

H ng d n

i u ki n:   1 x 5

Ph ng trình t ng đ ng v i

Ta có:

2

ng th c x y ra khi 2 1 3 5

5

   

(1 4) (2 x) x 4x 5 3 5

5 2( 4 5) (2 )

x

x



V y nghi m c a ph ng trình là: 2 1 3 5

5

   

13 x x 9 x x 16

H ng d n

k:   1 x 1

Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki:

13 13 1x 3 3 3 1x  13 27 13 13  x  3 3x 40 16 10 x

Áp d ng b t đ ng th c Côsi: 2 2 16 2

2

Áẫ ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: LÊ ANH TU N

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng Ph ng trình vô t thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tu n) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t

h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

D u b ng x y ra

2 2

2 1

5 1

3

2

10 16 10

5

x x

x

x





Bài 3 x22x 4 3 x34x

H ng d n

K: x0

Áp d ng b t đ ng th c Côsi v i 2 s không âm: 2

4 ;x x 4 có

2

(x2)   nên 0, x x   2 0 x 2 Th l i x = 2 là nghi m c a ph ng trình

V y ph ng trình đã cho có nghi m x = 2

4 5 2 1

H ng d n

i u ki n: 1

2

x 

Chia hai v ph ng trình cho x3 ta có đ c 4 2 2 5( 1)

3

x

x



Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có

8 2

x

x

K t h p đi u ki n ta có 9 65

8

x 

là nghi m c a ph ng trình

Bài 5 Gi i ph ng trình x x 1 1 1

H ng d n

K:

0 1 0

1 1

0

x

x x

x x

x







  



  





Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s v không âm, ta có:

D u “=” x y ra, do đó:

1

1 1

x x x

  





  



1 5 2

1 5 2

x

x x x x

x













V y ph ng trình có nghi m 1 5

2

x 



1

x  x x x   x

H ng d n

0

x

x x

  

  





Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s 2 2

;

x x x x ta có:

D u “=” x y ra, do đó

2 2

1

0 1

x

x x

  

 





Th l i x = 0 không là nghi m c a ph ng trình

V y ph ng trình đã cho vô nghi m

16x  5 6 4x  x

H ng d n

Do 16x4  5 0 6 43 x3  x 0 x x(4 2    1) 0 x 0

Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 3 s d ng 4x; 4x2 + 1; 2 ta có:

4x(4x   1) 2 3 4 (4x x 1).2 6 x x(4 1)

3

Mà (2x – 1)2  0, x nên 2x – 1 = 0 1

2 x

 

Th l i 1

2

x là nghi m ph ng trình

2

x là nghi m c a ph ng trình

2 7x 11x 25x12x 6x 1

H ng d n

Ta có: 2 7x311x225x12x26x 1 2 (7x4)(x2 x 3)x26x1

k: 2 4

(7 4)( 3) 0 7 4 0

7

2 4

Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s âm 2

7x4,x  x 3

Ta có:

(7x 4) (x   x 3) 2 (7x4)(x  x 3)

x26x 1 2 7x311x25x12

7

x

x





 (tho đi u ki n)

Th l i x1;x7 là nghi m

V y ph ng trình đã cho có nghi m x1;x 7

4

x

H ng d n

V i x   0 x 1 0

1   x 0 x 1

K: 0 x 1

Ta có:( 1 x 1 x 2)( 1 x 1  x 2) ( 1 x 1x)2 4

Vì th

1

( 1 1 2)( 1 1 2)( 1 1) ( 1 1)( 1 1 (1 ) 1 (1)

Do v y:

2

2

2

x



V i 0 x 1, ta có 1x2   1 2

Theo b t đ ng th cCôsi:

( 1 x 1x ) (1x)  (1x) (1 1) 2.2 4 1 x 1  x 2 1 x 1  x 2 4

Suy ra:

2

2

(2) 4

T (1), (2)

x

x

 





1x  1 x 1  x 3

H ng d n

K:   1 x 1 áp d ng b t đ ng th c Côsi, ta có:

2

2

4

2

2

x

x

 

 

C ng t ng s b t đ ng th c cùng chi u ta có:

2

1x  1 x 1  x 1 1 x 1x

M t khác, theo b t đ ng th c Côsi ta có:

1x  1 x 1  x 3

Do đó ph ng trình có nghi m  d u b t đ ng th c trong (1) x y ra

1 1

x







(Tho đi u ki n)

V y ph ng trình đã cho nghi m x = 0

H ng d n

gi i bài toán này ta c n ch ng minh b t đ ng th c Min-c p-xki:

( ) ( )

a b  c d  ab  b d

D u “=” x y ra a d b c

Ch ng minh:

Do 2 v không âm, bình ph ng c 2 b t đ ng th c ta đ c

2 ( )( ) ( ) ( )

a b  c d  a b c d  ac  b d

(a b )(c d ) ac bd(1)

N u ac bd 0b t đ ng th c đ c ch ng minh

N u ac bd 0, ta có

(1) (ac) (2 b d )2 (ac bd )2 a d2 2b d2 22adbc 0 (adbc)20 (đúng)

D u “=” x y ra adbc

Ta có:

D u “=” x y ra nên

4 11 2 20 2 5 44 11 20 100

31

V y ph ng trình có nghi m 56

31

x 

32



H ng d n

Xét :

2 3

x x

x x



Áp d ng b t đ ng th c Côsi:

     

2

4

Suy ra v trái

2

2

32

2 3

x

x x



Xét :

2

2

x    x luôn đúng

2

x   x

(1) 4x24x 1 4(x2   x 1) 1 4đúng V trái < 1  v ph i V y ph ng trình vô nghi m

4

x y y x  xy

H ng d n

K: x4,y1

Áp d ng b t đ ng th c Côsi ta có:





V y nghi m ph ng trình là x8;y2

12

xyz



H ng d n

K: x4;y9;z1

Áp d ng b t đ ng th c Côsi, ta có:

2

Do d u “=” x y ra nên



V y ph ng trình có nghi m x y z; ;   8;18; 2

Bài 15 Gi i ph ng trình 2002 2 6000 26 3 2 2 2 7995 2003

H ng d n

K:

2

2

1 2 0

2

x x x

x



v i x2 thì 2

3 4 0

x  x 

V trái

2

Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 2 s không âm 2

1

x  và 9x18 ta đ c

2003(1)

VT

V y ph ng trình đã cho có nghi m  d u th ng đ ng (1) x y ra

2

2

x

x







 



tho mãn đi u ki n

V y ph ng trình có nghi m là 9 5

2

x 

Bài 16 Gi i các ph ng trình sau

1. x22x 2x 1 3x24x1 2 6 x32x2  x 2 x29x19

3

2

4

4

x

x



2 x  3 8 2 x x x

(4x x)(  2) 4 x x 2 6x 3xx 30

6 x24x 6 2x25x  3 3x29x5

7 x2  x 1 x x 2 1 x2 x 2 8 x43x34x216 12 3 3 x24

9 314x3  x 2(1 x22x1) 10 3 2 4

3 8 40 8 4 4 0

x  x  x  x 

8x  64x x 8x 28

15 4 x41 x x 1 x 248 16 16x4 5 6 43 x3x

17

2

3

2



2

H ng d n

1 i u ki n: 1

2

x

Áp d ng B T Bunhiacopski ta có:

VT  x x  x  x x VP

2

x

x

2 i u ki n: x 2

6 ( 2)( 1) 2 ( 1) 9 18 9 19

VT  x x   x  x x  x VP

x

 





9 149 2

x 

  là nghi m c a ph ng trình

3 i u ki n: | | 1x

1x  1 x  (*) 4

4 i u ki n:   2 x 4

2 x 3 x 9 (x 1) x 3

4x 12 x 6x 9 3(x 1) 0 x 1

Th l i ta th y x1 là nghi m c a ph ng trình

5 Áp d ng B T Côsi ta có:

2

2

x x

4(4 x x)( 2) 1

6x 3x2 27x x 27 (2)

Áp d ng B T Bunhiacopski, ta có:

4 x x2  2 4 x 2 x2 16 4 4

4 x x 2 2

T (1), (2) và (3) ta có nghi m c a ph ng trình là x3

6 Ta có: VT (x2)2 2 2 (1)

VP   x x    x   (2)

T (1) và (2)  x 2 là nghi m c a ph ng trình

 

Áp d ng B T Bunhiacopski, ta có:

VT x    x x x   x (1)

VP x     x x x (2)

T (1) và (2)  x 1 là nghi m ph ng trình

3

x 

G i ,A B l n l t là VT và VP c a ph ng trình Ta có:

( 1)( 2) 3 12 2 ( 4) 8

A x  x x  x   x  x  

Áp d ng B T Côsi cho ba s ta có:

3

ng th c có  x 2

V y ph ng trình có nghi m duy nh t x2

9 i u ki n: 2

2 1 0 (1)

x  x 

Ta có: 314x3  x 2(1 x22x  1) 2

2

2 1 0 (2)

x x

T (1) và (2) x22x    1 0 x 1 2 là nghi m c a ph ng trình đã cho

10 Ta ch ng minh :

4

T đó suy ra ph ng trình có nghi m duy nh t x3

11 i u ki n :   1 x 3

Trong m t ph ng Oxy xét :a  x;1 ,b x1; 3x

a bx x  x a b  x 

M t khác: a b a b ng th c có a b, cùng chi u

x



V y nghi m c a ph ng trình : x1;x 1 2

12 i u ki n : 4

9

x 

Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ph ng trình

2

t (9x4)y, suy ra y0

y

2

y

y 

, do đó:

2

4y2483y212y12y212y36 0 (y6)2 0.

T đó ta đ c y , suy ra 6 2

9

x th a mãn đi u ki n

V y ph ng trình có nghi m duy nh t là 2

9

x

13 i u ki n : 1 1

2 x 2

Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có

1 2 x 1 2 x 2 1 2 x 1 2x  D2 u ’= ‘ x y ra khi x0

Áp d ng b t đ ng th c Cô si ta có:

2

V y ph ng trình đã cho có nghi m x0

14 i u ki n :   2 x 4

Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có

8x  64x  2 8 x 64x 12 D u ’= ‘ x y ra khi 3

28

x

M t khác : 4 2  2 2

x  x   x    D u ‘=’ x y ra khi x 2

T đó suy ra ph ng trình đã cho vô nghi m

15 i u ki n: 0 x 1

Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopski ta có:

x  x x x  D u ‘=’ x y ra khi 1

2

x

x  x x x  D u ‘=’ x y ra khi 1

2

x

Do đó ph ng trình có nghi m duy nh t 1

2

x

16 T ph ng trình ta có x0

Ta có: 6 43 x3 x 3 2.4 (43 x x2   1) 2 4x4x21

Nên 16x4 5 4x24x 3 8x42x22x 1 0

2

2

x là nghi m duy nh t c a ph ng trình đã cho

17 Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i

Áp d ng b t đ ng th c Cô-si cho hai s d ng ta đ c VT(1)  VP(1)

2x   x 1 x  3 x   x 2 0

T đó ph ng trình có nghi m là x 1 và x2

18 i u ki n:

2 2

2 2

2 2

x x









 





V i đi u ki n đó, ph ng trình đã cho t ng đ ng v i

2

2

Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki, ta đ c:





Suy ra VT (1) = VP (1) 4

Do đó

2

2



 





, ngh a là d u b ng trong h x y ra

T đó ph ng trình có nghi m duy nh t là x1

Giáo viên : Lê Anh Tu n Ngu n : Hocmai.vn

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N

 Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng

 Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c

 H c m i lúc, m i n i

 Ti t ki m th i gian đi l i

 Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI

 Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t

 i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam

 Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên

 Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c

Là các khoá h c trang b toàn

b ki n th c c b n theo

ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12) T p trung

vào m t s ki n th c tr ng

tâm c a kì thi THPT qu c gia

Là các khóa h c trang b toàn

di n ki n th c theo c u trúc c a

kì thi THPT qu c gia Phù h p

v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n

Là các khóa h c t p trung vào

rèn ph ng pháp, luy n k

n ng tr c kì thi THPT qu c

gia cho các h c sinh đã tr i

qua quá trình ôn luy n t ng

th

Là nhóm các khóa h c t ng

ôn nh m t i u đi m s d a

trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng