Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỷ chứa tham số

Bài giảng số 4: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỨA THAM SỐ A.. Sau đó, lập bảng biến thiên của hàm số F x  hoặc G t  trên miền xác định và dựa vào bảng biế

Bài giảng số 4: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VÔ TỶ CHỨA THAM SỐ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

 Cho phương trình f x m  ;  0 Ta thường biến đổi về dạng F x m hoặc đặt ẩn phụ để đưa về dạng G t m Sau đó, lập bảng biến thiên của hàm số F x  hoặc G t  trên miền xác định và dựa vào bảng biến thiên của hàm số đề biện luận số nghiệm của phương trình

 Định lý 1: Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến hay nghịch biến trên a b;  thì phương trình

f x  có tối đa một nghiệm trên khoảng a b; 

 Định lý 2: Nếu hàm số y f x  liên tục trên a b;  và f a f b     0 thì phương trình f x   0 có

ít nhất một nghiệm trong khoảng a b; 

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: 2 ax ax  a x x a x   1

Giải:

Điều kiện:

 

0

1' 0

0 1'' 0

a x

a x

x a x

x a x

   





Từ điều kiện  1' a0

 Nếu a 0 thì (1) trở thành: 2 x  x  x x2 Phương trình này có nghiệm duy nhất x 0

 Nếu a 0 thì từ  1''

0

x

 



 





 Nếu x  thì (1) xảy ra a a0 nhưng vì a 0 nên x  a

 Khi 0

0

x

a











thì 2 ax  a nên phương trình (1) tương đương với: x

2 ax ax2 a x x a x

    2 2  

       (do a0,x  0 a x  ) a x

2 2

32 a x x 32 a 64ax

     (vì a 0 nên 32axax0)

2 2 2

32 x x 64ax 0

     x1025x64a0

0 64 1025

x a x









 



Vậy: + Nếu a 0 thì (1) vô nghiệm

+ Nếu a 0 thì (1) có nghiệm

0 64 1025

x a x







 



Ví dụ 2 Tìm m để phương trình 2x22mx 1 3 2x3x (2)

có 2 nghiệm thực phân biệt

Giải:

Điều kiện bài toán: 3

2x  x 0x 0

Ta có: 2x22mx 1 3 2x3x (2')

2mx 2x 1 3 2x x

Nhận thấy x 0 không là nghiệm của (2’)

(2 ') 2m 2x 3 2x

Đặt 2x 1 t

x

  , vì x02x12 2

x (theo bất đẳng thức Cosi)

Xét t f x( ) 2x 1

x

2

2

2

x

x



Bảng biến thiên: t f x( )

0 x

y'

y

1







2 2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với mỗi t 2 2 thì phương trình có hai nghiệm x 0

(2’) trở thành 1 3 ( 2 2) (2")

m t t t

Để (2’) có 2 nghiệm thì (2”) có một nghiệm t 2 2

Xét hàm số ( ) 1 3

t



Bảng biến thiên yg t( )

x y'

y







2

5 6

0

2 2

 3428

Vậy với

4

3 8 2 2

m   thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 3: Cho phương trình: x 1x2m x(1x)24 x(1x) m3 (3)

Tìm m để phương trình (3) có nghiệm duy nhất

Giải:

Điều kiện: 0x1

Nhận xét: Nếu x là nghiệm của phương trình (3) thì 0 1 x 0 cũng là nghiệm của phương trình (3)

(3)

 có nghiệm duy nhất 0 1 0 0 1

2

Thay 0 1

2

x  vào phương trình (3) ta được:

3 4

0

1

m

m







  



4

1

x

 





 Vậy m 0 thỏa mãn

+)Với m  1 thì (3) trở thành:

4

x x x x  x x    x x   x x 

1

2

x

x





 Vậy m  1 thỏa mãn

+)Với m 1 thì (3) trở thành:

4 4 2

4

1

x

x





 Vậy m 1 không thỏa mãn

Kết luận: Với m 0 hoặc m  1 thì phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 4: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm: 3 2    

x  x  a x x

Giải:

Điều kiện: x 1, khi đó:

1

f x  x  x  x x





với  x 1

3x 6x0; x x 1 0;x 3x  1 0 và 1 1 0

2 x 2 x1  )

 

f x

 đồng biến trên 1;  f x  f  1 3

  ; f x  liên tục trên 1; 

 4 có nghiệm khi a 3

Vậy bất phương trình có nghiệm khi a 3

 





 



Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt

Giải:

Từ  5 '  y x a thế vào (1) ta được: 2    2

x  x xa  xa x

1

x

 





 

1

x

 



 



Hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1

f x x  a x a 

Điều kiện trên được thỏa mãn   1 x1x2

 

0

1 0

2

f

S



  







2

a a a





2

a a

 



 



Vậy các giá trị của a cần tìm là: 1 7 7 1

Ví dụ 6: Định a để hệ sau có nghiệm: x y a (6)

x y xy a







Giải:

Điều kiện: x0;y 0

0

X x

Y y







Khi đó hệ (6) trở thành: 2 X 2Y a

 





 



 

3

 





 

 ,

X Y

 là nghiệm của phương trình: 2 1 2   

0 **

3

t at a a 

Hệ phương trình đã cho có nghiệm  phương trình (**) có nghiệm không âm

1 2

0 t t

0 0 0

P S

 





 



2

2

0 0

a a

a





0

a a

 



 Vậy các giá trị của a cần tìm là a 0 hoặc 1a4

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau:

1 x2 1 mx

2 axa ax

3 3 2 3 2  3 2 2

1

xa m xa  m x a

x x  x a

ĐS: 1 + Nếu 0 1

1

m m



  



thì phương trình vô nghiệm

1

m m

  









thì phương trình có nghiệm

2 1 2

m x

m

 

2 + Nếu a 0 thì phương trình có nghiệm x 0

+ Nếu

2 4 0

a a a

 









thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu 2a4 thì phương trình có nghiệm 4 2

2

a

x  aa

3 + Nếu a 0 thì phương trình có nghiệm đúng với   x

+ Nếu 1

0

m a









 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu 1

0

m a









 thì phương trình có nghiệm

3

3 1

x m







4 + Nếu 1

4

a  thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu 1

4

a  thì phương trình có nghiệm xa a

Bài 2: Định m để phương trình sau:

6

x m

x x  x x   có nghiệm

2 x28xm  x 1 có hai nghiệm phân biệt

3 2x24mx3m xm có đúng một nghiệm

4 x 4x 4xx2 m có nghiệm

2

x

x



 có hai nghiệm phân biệt

2 x 2x x 2x 3m  có hai nghiệm phân biệt 2 0

x x   xx  m có nghiệm

8 x 4x  5m4xx2 có nghiệm

9 1 2xx2  1 2xx2 m có nghiệm

10 2x 3 2x m3x5 có nghiệm

11 24 x x2 1 x x2 1 m có nghiệm

m x  x   x  x  x  có nghiệm

ĐS: 1 m 27 2 6m10

2

m

5

m

5 2

m

m











3

m

Bài 3: Tìm m để phương trình sau:

1  2 2  4 2 2

m x  x   x  x  x vô nghiệm

2 4x22x 1 4x22x 1 2m có nghiệm

3 42x 2x2 64 x2 6x m có đúng hai nghiệm thực phân biệt

4 x2mx22x1 có hai nghiệm thực phân biệt

2

m 

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m , phương trình: x22x 8 m x( 2) có hai nghiệm thực phân biệt

Bài 5: Tìm tham số m để bất phương trình:

1 m.2x 2x3m1 có nghiệm

m x  x  x x  có nghiệm

ĐS: 1 1

2 3 2

m 

2 3

m 

Bài 6: Xác định m để bất phương trình 2 2   2 2   2 2

9 xx2 m a 6 xx m1 4 x x nghiệm đúng với 0 x

Bài 7: Cho hệ phương trình:

x y a







9

a

Bài 8: Định a để những hệ sau có nghiệm:

1

2 2

a









2

a a

 















8 m 2

Bài 9: Định a để những hệ sau có nghiệm duy nhất:

1

2

2

2

2







ĐS: m  2

x y m







ĐS: m  2 1







ĐS:

19 2

8 5 2

m m







