Phương pháp giải phương trình vô tỷ chứa căn

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠBẢN 1” bởi trong trường hợp này * là một bất phương trình trùng phương Giải được.Ngoài ra, bất phương trình còn được giải

Trang 1

Phương pháp giải phương trình vô tỷ chứa căn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Các dạng bài tập bất phương trình chứa căn thức

1 Dạng bất phương trình chứa 1 căn bậc hai.

2 Dạng bất phương trình chứa 2 căn bậc hai.

3 Dạng bất phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau.

4 Dạng bất phương trình chứa nhiều căn.

1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MỘT CĂN BẬC HAI

Ví dụ 1: (Đề thi đại học  Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:

x 3x 2x 3x 2 0, x � ��

đơn giản dạng AB  0 nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ cácnghiệm của nó Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

f (x) g(x) 0� , với f(x) và g(x) có nghĩa

g(x) 0

.g(x) 0

Trang 2

Luyện tập 1: Giải bất phương trình:

a (x 1) 2x 1 3(x 1), x  �  ��.2

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

2

x 1 � 2(x 1), x��

BẢN 1” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai  Giảiđược

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3]  {1}

Luyện tập 2: Giải các bất phương trình:

2

a x 3x 10 x 2, x   ��.2

Trang 3

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠBẢN 1” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình trùng phương Giải được.

Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x0)h(x)bằng phép nhân liên hợp Cụ thể:

 Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của bất phương trình

 Biến đổi bất phương trình về dạng:

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Với điều kiện 3x2  1  0 tức x 1 ,

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +)

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

Trang 4

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +).

BẢN 1” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc ba  Giảiđược

Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách:

Trang 5

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1].

 Giải

Cách 1: Bất bất phương trình tương đương với:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1]

Cách 2: Với điều kiện 1  x3  0 tức x  1, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

 3  � 

1 x 3 x 2   

 

3 3

x x 1

1 x 3  x + 2  0  x  2

Cách 3: Với điều kiện x  1 nhận xét:

 VP là hàm đồng biến

 VT là hàm nghịch biến

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2

 Nhận xét: Như vậy, để giải một bất phương trình chứa căn ta có thể lựa chọn

một trong các cách:

Cách 1: Biến đổi tương đương Lưu ý cách nhẩm nghiệm x0 rồi

chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằngphép nhân liên hợp, bởi trong nhiều trường hợp sẽ nhậnđược cách giải hay

Trang 6

Cách 2: Đặt ẩn phụ Một hoặc nhiều ẩn phụ.

Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số Sử dụng đạo hàm Cách 4: Đánh giá.

Luyện tập 4: Giải các bất phương trình:

BẢN 1” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai  Giảiđược

Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách lượng giác hoá với:

x = a.cost, t  [0; ]

 Giải

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

2

2 2

) x a ( x a

0 x a

a x

a x a

a x

Vậy, nghiệm của bất phương trình là a  x  0 hoặc x = a

Cách 2: Điều kiện a  x  a

Đặt x = a.cost, với t  [0, ]  a  2 x 2 = a.sint

Khi đó, bất phương trình có dạng:

a.cost + a.sint  a  cost + sint  1  cos(t4) 

2 1

0 t cos 1

0 t cos a a

0 x a

Vậy, nghiệm của bất phương trình là a  x  0 hoặc x = a

Trang 7

f(x) g (x) (*)Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phươngtrình (*).

BẢN 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai  Giảiđược

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +)

 Giải

Cách 1: Bất phương trình tương đương với:

Trang 8

2x 1 0(I) :

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (0; +)

Cách 2: Với điều kiện 2x + 1  0 tức x 1

Trang 9

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +).

BẢN 2” bởi trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai có chứadấu giá trị tuyệt đối  Giải được bằng phương pháp chia khoảng

 Giải

Bất phương trình tương đương với:

1(I) : x 0

Và hệ (II) có dạng:

Trang 10

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (; 0]

CƠ BẢN 2” thì (*) là một bất phương trình bậc bốn  Để giải được bất phươngtrình này cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

 Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t x23x 6, t 0. �

 Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằngphép nhân liên hợp Cụ thể:

 Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình

 Biến đổi phương trình về dạng:

Trang 11

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 2].

2

01

 

Trang 12

2 2

Trang 13

2 2

Dựa vào tập xác định để thực hiện phương pháp chia khoảng

Ẩn phụ xuất hiện khi bình phương hai vế của bất phương trình

 Giải

Điều kiện:

x2 - 4 > 0  x > 2 (*)

Trường hợp 1: Với x < 2 thì bất phương trình vô nghiệm (do vế trái âm).

Trường hợp 2: Với x > 2 thì bình phương 2 vế phương trình (1) ta được:

x2 + 4x2 2

x  4 +

2 2

4x

x  4 > 45  2x4

x  4 + 4.

2 2

x

x  4 > 45 (2)

Đặt t =

2 2

Trang 14

x2 - 1  2x x 2  2x.

dạng cơ bản f(x) g(x)� thành h(x) f(x) g(x)� nên chưa thể sử dụng phép khaiphương

Trước tiên, hãy đi đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình

Vậy, bất phương trình có nghiệm x  0

LUYỆN TẬP 12: Giải bất phương trình:

x2 + 4x  (x + 4) x 2  2x 4 

2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN BẬC HAI

Trang 15

Tới đây, ta sẽ nhận được bất phương trình dạng cơ bản.

Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phương pháp hàm số

LUYỆN TẬP 13: Giải các bất phương trình:

Trang 16

hai với lõi là các hàm số bậc hai Nên không thể sử dụng phương pháp bìnhphương.

Bất phương trình được giải theo cách "Nhẩm nghiệm x 0 " rồi chuyển về dạng

Trang 17

 VT là hàm đồng biến.

 VP là hàm hằng

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (3; +)

phép khai phương cho bất phương trình này, suy ra cần sử dụng ẩn phụ

Câu hỏi được đặt ra là ẩn phụ kiểu gì ?

 Ẩn phụ dễ nhận thấy nhất là t x (t 0)� và khi đó ta nhận được bấtphương trình dạng:

t 4t 1�  t 3t 1

Trong trường hợp này cần phải giải một bất phương trình cao hơn 2

 Từ việc đánh giá hệ số và x hoàn toàn được đưa vào căn bậc hai nênnếu chia cả hai vế của phương trình cho x 0 sẽ thấy xuất hiện

Trang 19

Nhận xét rằng x = 0 là nghiệm của bất phương trình.

Với x > 0, biến đổi bất phương trình về dạng:

xx

2x

Trang 20

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Biến đổi bất phương trình về dạng:

v

0 x

v

0 x

u

.Khi đó, bất phương trình có dạng:

2 2 v ( u v ) u

2

0 v u

0 2 x

2 x

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x = 4

Trang 21

mực chứa căn bậc hai và được cho dưới dạng phân thức P(x) k (kl� h�ng s�)

do vậy để giải nó chúng ta cần có những đánh giá dần như sau:

 Nhận xét về dấu của Q(x) đề chuyển bất phương trình về dạng:

Hướng 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương:

Trang 22

Hướng 2: Sử dụng ẩn phụ t x (t 0)� và phép biến đổi tương đương giống

như hướng 1 để nhận được một bất phương trình bậc 4 theo t

Hướng 3: Sử dụng ẩn phụ t là tổ hợp của x và phép biến đổi tương đương

giống như hướng 1 để nhận được một bất phương trình bậc 2 theo

t Cụ thể trong bài toán này chúng ta sẽ đặt t 1 x

x

Hướng 4: Sử dụng phương pháp đánh giá (nếu có thể) Cụ thể trong bài toán

này chúng ta sử dụng bất đẳng thức 2(a2 + b2)  (a + b)2 bởi ta cóbiến đổi:

Tới đây, chúng ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi tiếp (1) về dạng:

Trang 24

x 2ax a = 2 2 2 ax a2

a 2

a a ax 2



Tới đây, cần sử dụng đúng tính chất giá trị tuyệt đối

 Giải

Trang 25

Ta có nhận xét:

2

x 2ax a = 2 2 2 ax a 2

a 2

a a ax 2

| a a ax

2

|  2 +

a 2

| a a ax 2

2

a a ax 2

0 a ax

2 a0

 2

a

 x  a

Vậy, bất phương trình có nghiệm 2a  x  a

Trang 26

Vậy, bất phương trình có nghiệm x > 9 hoặc 0 < x < 1.

3

2 3x 2 3 6 5x 8 0, x     ��

4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NHIỀU CĂN BẬC HAI

Ví dụ 20 (Đề thi đại học  Khối A năm 2005): Giải bất phương trình:

5x 1  x 1  2x 4, x ��

ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Đây là bất phương trình vô tỉ và cóthể nhận thấy ngay rằng sau phép chuyển vế được bất phương trình dạng f (x)

> g(x) + h(x) , do đó các bước thực hiện bao gồm:

Bước 1: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình (*)Bước 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:

Trang 27

Kết hợp với (*), ta được nghiệm của bất phương trình là 2  x < 10.

7 x

7  + 7  x 6 + 2 49x2  x 42 < 18114x

x 3x 2  x 4x 3 2 x � 5x 4, x �� (1)

khai phương để giải bất phương trình này

Nhận thấy nhân tử chung x 1 , nên ta sẽ thực hiện theo các bước:

Bíc 1 Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình.

Bíc 2 Sử dụng phương pháp chia khoảng.

Trang 28

luôn đúng vì với x  4 ta được VT > 0 và VP < 0.

Vậy x  4 là nghiệm bất phương trình

Trang 29

Chú ý: Ta không thể bình phương hai vế của bất phương trình ban đầu vì chưa

khẳng định được dấu của hai vế

Hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tương đương để thực hiệnthí dụ trên, cụ thể:

(x - 1)( 2x 1  - 3)  0



x 1 0 2x 1 3 0

x 1 2x 1 3

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 5]

b Hướng dẫn: Điều kiện x  1.

Biến đổi tương đương bất phương trình:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [5; 14)

b Bất phương trình tương đương với hệ:

Trang 30

LUYỆN TẬP 3:

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Với điều kiện 4x2  1  0 tức x 1

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Trang 31

Cách 2: Với điều kiện x + 1  0 tức x  1, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3)

Trang 32

x 27x9  x > 2

Cách 2: Với điều kiện x + 2  0 tức x�2, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

LUYỆN TẬP 5: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Đặt x = |a|tgt, với t  (-2,

2



) suy ra:

Trang 33

2 a

t cos

| a

|

t cos a

2 2  1  sint + 2cos2t  2sin2t - sint - 1  0

 -21  sint  1  tgt  - 13  x  -|a3|

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x  -|a3|

x2 + a2  x x  2 a 2 + 2a2  x2 - a2  x x  2 a 2 (2)Xét hai trường hợp:

 Nếu x  0, thì (2) được viết lại dưới dạng:

0 a x

2 2 2 2 2 2

2 2

|

| x

|

| a

|

| x

|

| a

|

| x

|

0 x

0 a x

2 2 2 2 2 2

2 2

| x 3

| a

|

| a

| x

| a

|

0 x

 

3

| a

|

 x < 0

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x |a3|

x 2 0(I) :

Trang 34

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (2; +).

Cách 2: Với điều kiện x + 2  0 tức x�2, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

LUYỆN TẬP 7: Bất phương trình tương đương với:

1(I) : x 0

Trang 35

Giải (I) ta được x 1.

 � � Và dễ thấy hệ (II) vô nghiệm

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là ; 1

4

�� �

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

Trang 36

  

2

x 3x 4 0 � 4 x 1   

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (4; 1)

LUYỆN TẬP 9: Điều kiện:

0 x 2

x 4 1 1 (   2   2 < 3(1 + 1 4 x 2)

2

) 3 x 4 ( ) x 4 1 ( 9

0 3 x 4

0 x 4 1

0 3 x 4

4 1 ( 9 4

3 x 2

1

| x

| 4

3 x

0 x 2

4 1

0 x 3 1

3

1 x

2  x < 0

Kết hợp với điều kiện đang xét được nghiệm là -21  x < 0

 Với 0 < x  21 thì:

(1)  1 4 x 2 > 1 - 3x

Trang 37

) x 3 1 ( x 4 1

0 x 3 1

0 x 4 1

0 x 3 1

1 x

2

1 x 2 1 3

1 x

1 x 3

1

 0 < x  21

Kết hợp với điều kiện đang xét được nghiệm là 0 < x  21

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là

3

0 x

Trang 38

2

) x 2 9

Kết hợp với điều kiện (*), nghiệm của bất phương trình là x  [-29, 27) \ {0}

LUYỆN TẬP 12: Đặt t = x 2  2x 4  , điều kiện t  0

Trang 39

Biến đổi bất phương trình về dạng:

Trang 40

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 1.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3)

do đó, điều kiện cho ẩn phụ t là t �3.

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (1; 2)

Trang 41

 x2 - 3x + 2 < 0  1 < x < 2.

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (1; 2)

LUYỆN TẬP 15: Điều kiện x > 0. (*)Viết lại phương trình dưới dạng:

5( x +

x 2

1

Đặt t = x +

x 2

1

, ta có nhận xét:

x +

x 2

1 C«si

 2

x 2

2

t (**)

 t > 2  x +

x 2

2

2 2 X

2 2 x

3 x 0

2 2

3 x

x

2

0 6 x 12 x

2 2

Biến đổi bất phương trình về dạng:

Trang 42

) 1 x 2 ( 2 ) 2 x

v

0 1 x 2

u

2 2 v ( u v ) u

0 v u

2  u  v.Xét trường hợp u = v

1 x

Suy ra, để u  v, ta phải có x  [21, + ) \ {1, 5}

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x  [21; +) \ {1; 5}

b Hướng dẫn: Viết lại bất phương trình dưới dạng:

2

) 3 x ( 2 ) 1 x

(

2     x  1 + x - 3

Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ u = x  1 và v = x - 3

LUYỆN TẬP 18:

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Viết lại bất phương trình dưới dạng:

1 1 x 2 1

Khi đó, phương trình trở thành:

Trang 43

0 1 1 x

2

3 1 x 2

0 1 1 x

2 x

Suy ra (1) nghiệm đúng với mọi x

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là [1; +)

Trang 44

x

0 1 x

x

0 1

x

2 2

2

Nhận xét rằng:

VT = x x2 1 + x x2 1  2 x x2 1 x x2 1 = 2.Vậy, bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

x

0 1 x

x

0 1

x

2 2

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x = 1

LUYỆN TẬP 20: Điều kiện:

x

7

0 7

Trang 45

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là [1; 3).

Cách khác: Với điều kiện x  1, biến đổi bất phương trình về dạng:

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	1,89 MB
File đính kèm	phuong-trinh-vo-ty-chua-can.rar (500 KB)