Luận văn phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng

Bài toán ngược của bài toán sai số...29 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.... sử dụng phổ biến nhất.Mục đích chính của phương pháp sai phân là đưa b

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GÀN ĐÚNG

Chuyên ngành: Toán Gỉảỉ tích

Mã sổ : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2015

hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, người

đã luôn quan tâm động viên, tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Bắc Ninh, trường THPT Lý Thái Tổ, gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Nguyễn Thị Ngọc Chi

dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Chi

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c ơ BẢN 3

1.1 Sai phân 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Tỉnh chất của sai phân 5

1.2 Phương trình sai phân tuyến tín h 8

1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Nghiêm 9

1.3 Tuyến tính hoá 21

1.4 Sai s ổ 25

1.4.1 Định nghĩa 25

1.4.2 Quy tắc làm fròn 26

1.4.3 Sai số tỉnh toán 27

1.4.4 Bài toán ngược của bài toán sai số 29

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 31

2.1 Phương pháp sai phân gỉảỉ phương trình Ellỉptỉc 31

2.1.1 Bài toán biên Dirichlet 31

2.1.2 Những bước đi chỉnh trong việc sai phân hoá bài toán biên Dirichlet 31

2.2 Phương pháp sai phân gỉảỉ phương trình Parabolỉc 46

2.2.1 Bài toán biên của phương ừình Parabotíc 46

2.2.2 Những bước đi chỉnh trong việc sai phân hoá bài toán (2.45), (2.46) ! 47

2.3 Phương pháp sai phân gỉảỉ phương trình Hyperbolỉc 57

1 58

CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SÓ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG MÁY TÍNH 61

Ví dụ 3.1 Giải bài toán: 61

Ví dụ 3.2 Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet 64

Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 68

Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình Parabolic: 69

Ví dụ 3.5 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 72

Ví dụ 3.6 Giải phương trình Hyperbolic 76

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

sử dụng phổ biến nhất.

Mục đích chính của phương pháp sai phân là đưa bài toán phương trình đạo hàm riêng về bài toán rời rạc trên các điểm lưới, đặc biệt là xung quanh các điểm kì dị hoặc các điểm biên để đưa bài toán đang xét về hệ phương trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển về việc giải hệ phương trình đại số bằng các phương pháp đúng hoặc gần đúng

Tuy nhiên ngày nay chúng ta ngày càng tăng cường việc ứng dụng công nghệ thông tin vào việc dạy và học toán Và một trong những công cụ hữu hiệu để giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là phần mềm Maple

Từ nhu cầu thực tiễn như vậy với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp sai phân và phần mềm Maple giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng, được sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng em đã chọn đề tài nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

- Các kiến thức cơ bản về sai phân

- ứ n g dụng của sai phân trong việc giải gần đúng phương trình đạo hàmriêng

4 Đổi tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Các kiến thức cần thiết về sai phân, phương trình đạo hàm riêng

§ Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kiến thức của giải tích số và phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu

6 Đóng góp của luận văn

Trình bày một cách có hệ thống về ứng dụng sai phân trong việc giải phương trình đạo hàm riêng

Sử dụng phần mềm Maple giải gần đúng một số phương trình đạo hàm riêng

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC c ơ BẢN 1.1 Sai phân

Xét dãy số {x n}; dạng khai triển của nó là:

Thí dụ, dãy số tự nhiên kí hiệu là N có dạng

{ n } = { 0 , 1 , 2 , , í t , } ,

dãy số nguyên dương z + có dạng {n} = {1,2, , n , }; dãy số điều hoà

Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên n.

Kí hiệu x(ri) = x n.

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x(ri) = xn

với n e Z \ {n} = {0, +1, + 2 , , ± n , } (hoặc n e z +, hoặc n e N) là hiệu:

Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai

phân hữu hạn cấp к là sai phân cấp k, còn sai phân cấp 1 gọi tắt là sai phân

Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai

phân cấp 1 của x n, và nói chung, sai phân cấp к của hàm x nỉầ sai phân của sai phân cấp к — 1 của hàm số đó.

Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm x n là

Chứng mình Theo tính chất 1.1.2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính,

nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức Pm (ri) = n m là đủ.

Chứng minh.

ầ kx n = ^ A(Afc_1xn) =

= Afc_1xa + 1 - Afc_1xa + Afc_1xa + 2 - Ak~1x a+1 + - + ầ k~1x N+1

- Afc- % = Afc_13CjV+1 - Afc- 13ca

Đặc biệt lưu ý trường hợp k=l, ta có

Dị/t/t nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến

tính giữa sai phân các cấp:

Định nghĩa 1.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm x n là một

biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm x n tại các điểm khác nhau:

Lh%n ~ Q-0%n+k "I" V l X n + k - l "I" ‘ ‘ ‘ "I" O-k^n ~ f n ( l -2 )

trong đó Lh là kí hiệu toán tử tuyến tinh tác dụng lên hàm x n, xác định trên

lưới có bước lưới h; aữ, al t , ak với aữ ^ 0, ak ^ 0 là các hằng số hoặc các

hàm số của n, được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; f n là một hàm

số của n, được gọi là vế phải; x n là giá trị cần tìm được gọi là ẩn.

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k, vì

để tính được tất cả các giá trị xn, ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của x n, rồi tính các giá trị còn lại của x n theo công thức truy hồi.

Định nghĩa 1.2.3 Nếu fn = 0 thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân

Hàm số x n biến n, thoả mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phương trình

sai phân tuyến tính (1.2)

Hàm số x n phụ thuộc k tham số, thoả mãn (1.3) được gọi là nghiệm tổng quát của (1.3); nếu với mọi tập giá trị ban đầu XQ, x ±l , x k_1 , ta đều xác định được duy nhất các tham số Cị, c 2 l , c k để nghiệm x n trở thành nghiệm riêng của (1.3), tức là vừa thoả mãn X q = x ữ, x ± = x l t , x k_± = x k_±.

Định lí 1.2.1 Nghiệm tổng quát xn của (1.2) bằng tổng 5cn và X*, với X*

là một nghiệm riêng bất kì của (1.2)

Chứng mình Thật vậy, giả sử xn và X* là 2 nghiệm của (1.2), tức là

Lfix n = f m Lfix h =

fn-Do Lh tuyến tính, nên

Lhx n ~ Lhx n ~ Lhi.x n ~ xrì) ~

tức là xn — x*n thoả mãn (1.3) và do đó nghiệm tổng quát

Định lí 1.2.2 Nếu xn l,x n2, —,x nk là k nghiệm độc lập tuyến tính của

(1.3), tức là từ hệ thức

C l x n l "I" ^ 2 x n2 "I" "I" ^*1 k x n k ~ ®

suy ra c t = c 2 = ••• = c k = 0, thì nghiệm tổng quát 5cn của (1.3) có dạng

vì theo giả thiết x ni là nghiệm, tức là Lhx ni = 0.

Vậy xn là nghiệm của (1.3).

Giả sử, x0, x t l , x k_1 là các giá trị ban đầu tuỳ ý Ta chứng minh rằng,

<Clx k - l , l "I" ^ 2 x k - l , 2 "I" "I" c k x k - l , k ~ x k - 1

CÓ nghiệm duy nhất clt c 2, , ck với mọi vế phải X Q, xlt , Xfc_i

x n = CẤn vào (1.3) và ước lược cho CĂn ± 0 ta được

LỷịẤ = clq Ằ ỉ * + M * 1 + ••• + CLỵ = 0 (1-4)

Phương trình (1.4) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.3) (người ta

cũng xem là phương trình đặc trưng của (1.2)) Nghiệm x n của (1.3) và x*n

của (1.2) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của (1.4)

I.2.2.I Nghiệm tổng quát xn

Định lý 1.2.3 Nếu (1.4) có k nghiệm thực khác nhau là Ẫx, Ấ 2 , , Ấk thì nghiệm tổng quát 5cn của (1.3) có dạng

Nếu phương trinh đặc trưng (1.4) có nghiệm thực Ắj bội s, thì ngoài

nghiệm ta lấy thêm các vectơ bổ sung nýlj, n 2 , , n s~1Ăj, cũng là các

nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3) và do đó

có cắc nghiệm Ấx = 2 (kép) và ^ 2 = 3 Đối với Ằí = 2 (kép) ngoài nghiệm

Ắị = 2n, ta bổ sung thêm nghiệm nX l = n2n và được nghiệm tổng quát là

r ncosn(p, Ằjị = r nsinn<p ta cần lấy thêm 2n — 2 vectơ nghiệm bổ sung

Ấj 2 = T n TLCOSTL(p, Ẫj 2 = r n n 2 COSn(p, ,Ấjs = r n n s~ 1 COSn(p

Ẫj 2 = r nnsinn(p,Ẫj3 = r nn 2sirm(p, ,Ấ]S = r nn s~1sirm(p

trong đó CỂI ^2, , j4si ổ i, B2, , 5S là các hằng số tuỳ ý.

Ví dụ: Phương trình sai phân

5cn = C1 + c 2 2n + {At + A2ri)cos^ỵ- + + B2ri)sin^ỵ-,

trong đó clt c 2, Alt A2, B± i B2 là các hằng số tuỳ ý.

dạng nghiệm này, người ta dùng phương pháp hệ số bất định (còn gọi là phương pháp chọn).

a Trường hợp f n là đa thức bậc m của n; m e N

fn = P m (ũ ) m fJV

1 Nếu các nghiệm Ẵ 2 , , Ẵk là các nghiệm thực khác 1 của phương

trình đặc trưng (1.4), thì

xh = Qm(n), m e N Qm(n) là đa thức cùng bậc m với f n

2 Nếu có nghiệm >1=1 bội s, thì

Xn = n sQm(r0 , m e N

trong đó Qm (n) là đa thức của n cùng bậc m với f n

Ví dụ: Tìm nghiệm riêng x*n của các phương trình sai phân:

Để xác định a và b, ta thay x*n vào phương trình sai phân rồi so sánh các

hệ số của các luỹ thừa của n ở 2 vế:

a (n + 3) + b — 7 [a(n + 2) + b] + 16 [a(n + 1) + b] — 12 (an + b)

2 Phương trình đặc trưng Ầ4 — Ầ3 — 3Ầ2 + SẰ — 2 = 0, có các nghiệm

Ắị = 1 (bội 3) và Ằ 2 = —2, nên do /râ = 1 là đa thức bậc 0, ta phải tìm

nên cho n = 0, ta được 18a = 1 => CL = Vậy Xn = ĨQ w3.

ồ Trường hợp f n = pm (n )p n, trong đó Pm (n) là đa thức bậc m của n;

me N.

1 Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) đều là các nghiệm

thực khác /?, thì x*n có dạng

K = Qm(n)pn,

trong đó Qm (ri) là đa thức cùng bậc với fn

2 Nếu (1.4) có nghiệm Ă = /? bội s, thì tìm X* dưới dạng

X n = n s Qm { ù ) p n ,

trong đó Qm ( ị ĩ ) là đa thức của n cùng bậc với f n

Vỉ dụ: Tìm các nghiệm riêng x*n của các phương trình sai phân không

thuần nhất sau đây:

1 xn+4 — 10xn+3 + 35xn+2 — 50xn+1 +24xn = 4 8 5n

2 x n+3 - 7xn+2 + 16xn+1 - 12xn = 2n (24 - 24TÌ).

Lời giải

1 Phương trình đặc trưng Ắ4 — 10Ằ3 + 35Ằ2 — 50/1 + 24 = 0 có các nghiệm Ăị = 1,Ă2 = 2 , ^ = 3,Ă4 = 4 đều khác 5; Pm(n) là đa thức bậc 0, nên tìm x*n = a 5n Thay vào phương trình sai phân và giản ước 2 vế cho 5n ± 0, ta được

a 54 — 10a 53 + 35a 52 — 50a 5 + 24a = 24a = 48 => a = 2

c Trường hợp f n = acosnx + p sin n x với a, p là hằng sổ

Trong trường hợp này nghiệm riêng x*n được tìm dưới dạng

x*n = acosnx + bsinnx

Vỉ dụ: Tìm nghiệm riêng X* của phương trình sai phân:

fns-Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng x*ni ứng với từng hàm f ni, i =

1,2, Nghiệm riêng X* ứng với hàm f n sẽ là Xn = x*! + x*2 + ■■■ +

Xns, do tính tuyến tính của phương trình sai phân.

Ví dụ: Tìm nghiệm riêng x*n của phương trình sai phân:

xn + 4 ~ 3xn+3 + 3xn+2 — 3xn+1 +2xn —

So sánh các hệ sô của cos và s in -^ - ở 2 vê, ta được

Giải hệ này ta được a = 0, b = lv à x*n = sin

-Ỵ-nn

T '

Do Ẵ 2 = 2, nên nghiệm riêng x*2 ứng với / n2 có dạng

Cho 71 = 0, ta được 10a = 10 => a = 1 và x ^ 2 = n 2n Lại vì Ầị = 1

nên nghiệm riêng 3C*3 ứng với f n = 2, phải tìm dưới dạng x*3 = n a.

Trong công thức lặp x n = (p{xn_1,x n_ 2 , , x n_k) để giải phương trình

f ( x ) = 0 Các giá trị ban đầu x x = a l t x 2 = cc2, —,x k = a k thuộc đoạn ta

xét Giả sử rằng phương trình sai phân x n = ựỉ(xn_1, x n_ 2, , xn_fe) là tuyến

tính hoá được, khi đó điều kiện cần là tồn tại các số alt a2 l , ak để

Thay XẤ, x2, , x k và các giá trị xfc+1, xfc+2, , x 2k vừa tìm được vào biểu

thức xn ta được hệ phương trình đại số tuyến tính

' x k+1 = cl-lXịc + a2x fc_! + ••• + akx x

x k+2 = a ĩ* fc+1 + a2x k + ••• + akx 2

■ «

<x 2k ~ a l x 2 k - l "I" a 2 x 2 k - 2 "I" "I" a k x k

Nếu hệ trên tương thích thì ta được

* n = O l * n - l + a 2 * n - 2 + - + CLkXn-k

là dạng tuyến tính hoá của x n = <p(xn_Ấ,x n_ 2 , , xn_k).

Kiểm tra điều kiện đủ bằng phép chứng minh quy nạp

Tìm xn = a1x n_1 + «2*n-2 + b.

x j + 2

Theo công thức của dãy sô ta có x 3 = —— = 3 ,x 4 = l l , x s = 41.

Thay các giá trị của x 3 ,x 4, x s vào x n ta được

' CL-L + a2 + b = 3

+ 0-2 + b = 11

.llcii + 3ci2 ~ị~ b = 41 Giải hệ phương trình này ta được at = 4, a 2 = — 1, b = 0, và

Bây giờ ta chứng minh bằng quy nạp rằng x n = 4xn_1 — x n _ 2 chính là dạng tuyến tính của dãy số đã cho

Giả sử công thức đúng với n = k, tức là x k = 4 xk_1 — x k _ 2 ■

Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1, tức là

- Đại lượng ầ= \a — а* I được gọi là sai số thực sự của a.

Nói chung ta không biết a* nên không biết A Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự của a bằng số dương ầ a > 0 sao cho

\a — a*\ < А а

- Số ầ a nhỏ nhất thoả mãn điều kiện \a — а* I < ầ a gọi là sai số tuyệt đối

của số gần đúng a.

chữ số Nếu s = +00, a là số thập phân vô hạn.

Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải trong biểu diễn của а

để được một số ã ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với a.

Ví dụ: Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy

a = 72,9674 —» a » 72,97

a = 90,6526 —» a « 90,65

Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y = x 2, , x n).

Giả sử xỊ, y* (i = 1, n ) là các giá trị gần đúngcủa các đối số và hàm số

a Sai số các phép tỉnh cộng ữừ

-Vì y = x t + x 2 + — \-xn ta có тр - = 1 , i = 1, 71 nên

và chữ số chắc cuối cùng của x m ở hàng thứ k, nghĩa là ầ x m = 10fe Ta có

ầ y > ầ x m = ÍOk, vì vậy khi làm phép toán cộng đại số khi ta thu gọn Xi nên

giữ lại 1 hoặc 2 chữ số bên phải hàng thứ k.

Trường hợp tổng đại số rất nhỏ, nghĩa là ly I « 1 thì

số vói nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc

b Sai số của các phép tỉnh nhân chìa

Sy = 2 S X i i= 1

c Sai số của các phép luỹ thừa, khai cần, nghịch đảo

Cho у = x a, khi đó Sy = \ -j- ln y \A x = \a\8x

- Nếu а > 1 ta có phép luỹ thừa, khi đó Sy > Sx, do đó độ chính xác

1.4.4 Bài toán ngược cũa bài toán sai sổ

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức y = f(jx l t , x m) Yêu cầu

đặt ra là cần tính ầ X ị như thế nào để A y < £, với £ là số cho trước.

Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có

í y ~ ế i 18*.i = l

Bất đẳng thức trên sẽ thoả mãn nếu

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

2.1 Phương pháp sai phân giải phương trình Ellỉptỉc

2.1.1 Bài toán biên Dỉrỉchlet

Cho toán tử vi phân tuyến tính cấp hai đối với hàm u(x, y )

Giả thiết 2) là để cho toán tử L thuộc loại ellip; giả thiết 3) đảm bảo tính

duy nhất cho nghiệm của bài toán Dirichlet dưới đây

Ta xét bài toán biên Dirichlet: Tìm hàm u(pc,y) thoả mãn trên G phương

trình:

vói điều kiện biên:

ta giả thiết f(?c,y) liên tục theo x ,y trên G Với những giả thiết như trên về

a, b, c, d, g, f và r bài toán bờ (2.2), (2.3) có nghiệm duy nhất và liên tục trên

G.

2.1.2 Những bước đỉ chính trong việc sai phân hoá bài toán bỉênDỉrỉchlet

a Rời rạc hoá miền G

Ta định trước những độ dài khá bé h và l và kẻ trên G những đường thẳng x m = mh, yn = nl; m và n là những số nguyên nào đó Các đường

thẳng ấy tạo nên một lưới chữ nhật đều Các giao điểm của các đường thẳng

ấy gọi là những điểm lưới Điểm lưới do các đường thẳng X = mh, y = nl tạo nên gọi là điểm m n Ta gọi các điểm m + 1, n và m, n + 1 là những điểm kề của điểm mn Ta chỉ xét các điểm lưới thuộc G và kí hiệu tập điểm ấy là Gh Trên Gh ta phân biệt những điểm trong, là những điểm mà cả bốn điểm kề đều thuộc Gh và những điểm biên, là những điểm của Gh mà không phải là điểm trong Ta ký hiệu tập điểm trong Gnh tập điểm biên là rh, {Gh u rh = Gh).

Công việc làm vừa kể trên gọi là

việc rời rạc hoá miền G Nó tạo ra trên

G tập điểm rời rạc Gh Hình 2.1 cho

thấy miền G đã được rời rạc hoá; các

điểm biên được đánh dấu bằng chữ in

hoa, các điểm trong bằng dấu X

' I

Dùng phương pháp sai phân, ta sẽ không tìm nghiệm u của bài toán (2.2), (2.3) trên khắp miền G, mà sẽ chỉ tìm một cách gần đúng, giá trị của u ở những điểm của Gh Ta ký hiệu nghiệm gần đúng ấy là U; giá trị của u ,u ở điểm m n là Umn, Iimn Ta cũng thường dùng chữ p để chỉ một điểm trong, chữ Q để chỉ một điểm biên, và chỉ giá trị của u ,u ở các điểm P,Q là

ơ (P ),u (P ),ơ (Q ),u (Ợ )

/ / \ / \ / \ 7

\ / / \

\ / / \

\ / / \

\ / / \

\ \ / X\

1 /

B

\ / / \

\ / / \

\ / / \

\ / / \

\ / / \/

c ]

/

\

\ / / \

\ / / \ / \

\ / / \

\ / \ / / \

\ Ị

Ợ

4i>

Hình 2.1

b Sai phân hoá các điều kiện biên

Đối với mỗi điểm biên Q ta căn cứ vào các điều kiện biên (2.3) mà định

u (Ọ) Nếu Q ở trên r, thì ta cho ngay:

tf«2) = u(<2) = <p(.Q) (2.4)

Trường hợp ấy thường xảy ra khi G là miền chữ nhật có cạnh song song với hai trục, vì khi ấy ta dễ chọn h, l để cho các điểm biên đều ở trên r Trường hợp ấy cũng xảy ra cho các điểm A, B, c ở hình 2.1.

Nếu Q không ở trên r, thì ta chọn trên r điểm Q' gần nhất (hoặc khá gần) với Q, và lấy:

Vì nghiệm u liên tục trên G cho nên u(Ọ) = u(Q ’)+OỢi + 1), thành thử cách lấy u (Ọ) theo (2.5) mắc sai số:

ơ(Ọ)-u(Ọ) = ỡ (/i+ l) (2.6)

Việc định giá trị của u trên Th, như vừa làm ở trên, gọi là sự sai phân hoá

các điều kiện biên

c Lập hệ phương trình sai phân

Ta xét một điểm trong mn Theo (2.2) ở điểm ấy, u(x, y ) thoả mãn

phương trình:

^ h n n ' ^hnn ỹ ỵ 2 m n ỹ ỵ 2 ^m n ■" m ti Q y ■" ỹm vV -m n

Ta sẽ lập cho u một phương trình tương tự với (2.7) Việc ấy có thể làm

bằng nhiều cách; dưới đây là một cách thường dùng

Ta giả thiết u(x, y ) có đạo hàm liên tục theo X, y đến cấp bốn Từ các khai

triển Taylor:

( d 1 , d 2 1 , d 3 1 A d4 \ u^ ‘ = { 1 ± h ử + 2 h э Ь ± б ' 1 b + 2 i h ^ ) ^ n + 0 ( h )

biểu thức thu được như vậy là toán tử sai phân tương ứng với toán tử vi phân

L, và kí hiệu nó là Lh Ta có: