Phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình vi phân tuyến tính

Trong lĩnh vực toán ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan tới phương trình vi phân thường. Việc nghiên cứu phương trình vi phân thường vì vậy đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học. Nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phương trình vật lý toán. Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số ít trường hợp, thật đơn giản việc đó có thể làm được nhờ vào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm. Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài toán không có hoặc có nhưng rất phức tạp. Chính vì vậy chúng ta phải nhờ tới các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng. Do nhu cầu của thực tiễn và của sự phát triển lý thuyết toán học, các nhà toán học đ• tìm ra rất nhiều phương pháp để giải gần đúng các phương trình vi phân thường (các phương pháp giải tích như phương pháp chuỗi Taylo, phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica, các phương pháp số như phương pháp một bước, phương pháp Ađam, phương pháp Runghe-Kuta,…). Đề tài: "Phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình vi phân tuyến tính"

Mục lục

Lời nói đầu ……… 3

Chơng 1 Khái niệm mở đầu về phơng pháp sai phân ……… 5

1.1 Mở đầu ……… 5

1.2 Khái niệm về bài toán biên ……… ……… 5

1.3 Bài toán vi phân ……… 5

1.4 Lới sai phân ……… 6

1.5 Hàm lới ……… ………… 6

1.6 Đạo hàm lới ……… 6

1.7 Qui ớc viết vô cùng bé ……… 7

1.8 Công thức Taylor ……… 7

1.9 Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lới ……… 8

1.10 Phơng pháp sai phân ……… 9

1.11 Giải bài toán sai phân bằng phơng pháp truy đuổi … 9 1.11.1 Phơng pháp truy đuổi từ phải ……… 10

1.11.2 Phơng pháp truy đuổi từ trái ……… 11

1.12 Sự ổn định của bài toán sai phân ……… 12

1.13 Sự xấp xỉ ……… 12

1.14 Sự hội tụ ……… 13

1.15 Trờng hợp điều kiện biên loại ba ……… 14

Chơng 2 Phơng pháp sai phân giải gần đúng phơng trình vi phân cấp bốn …… 18

2.1 Bài toán vi phân ……… 18

2.2 Lới sai phân ……… 19

2.3 Hàm lới ……… 19

2.4 Đạo hàm lới ……… 19

2.5 Phơng pháp sai phân ……… 20

2.6 Cách giải bài toán sai phân ……… 27

2.6.1 Phơng pháp lặp Seidel co dãn ……… 27

2.6.2 Phơng pháp truy đuổi ……… 28

2.6.2.1 Phơng pháp truy đuổi từ phải ……… 28

2.6.2.2 Phơng pháp truy đuổi từ trái ……… 31

2.6.2.3 Sự ổn định ……… 34

2.8 Sự ổn định của bài toán sai phân ……… 37

2.9 Bài toán sai phân đối với sai số ……… 49

2.10 Sự hội tụ và sai số ……… 50

Phụ lục ……… … 58

Tài liệu tham khảo ……… 84

Lời nói đầu

Trong lĩnh vực toán ứng dụng thờng gặp rất nhiều bài toán có liên quan tới phơng trình vi phân thờng Việc nghiên cứu phơng trình vi phân thờng vì vậy đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học Nhiều hiện tợng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phơng trình vật lý toán Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn Trong một số ít trờng hợp, thật đơn giản việc đó có thể làm đợc nhờ vào nghiệm tờng minh của bài toán dới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm Còn trong đại đa số trờng hợp khác, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tờng minh của bài toán không có hoặc có nhng rất phức tạp Chính vì vậy chúng ta phải nhờ tới các phơng pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng.

Do nhu cầu của thực tiễn và của sự phát triển lý thuyết toán học, các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều phơng pháp để giải gần đúng các phơng trình vi phân thờng (các phơng pháp giải tích nh phơng pháp chuỗi Taylo, phơng pháp xấp xỉ liên tiếp Pica, các phơng pháp số nh phơng pháp một bớc, phơng pháp Ađam, phơng pháp Runghe-Kuta, … ).

Đề tài: " Phơng pháp sai phân giải gần đúng phơng trình vi phân tuyến tính"

Trong phạm vi đồ án của mình, em xin trình bày một phơng pháp gần

đúng để giải phơng trình vi phân cấp bốn tổng quát là phơng pháp sai phân.

Đây là một trong hai lớp phơng pháp gần đúng quan trọng đợc nghiên cứu nhiều là phơng pháp sai phân và phơng pháp phần tử hữu hạn Cả hai phơng pháp đều tìm cách đa bài toán đã cho về một bài toán đại số, thờng là một hay nhiều hệ đại số tuyến tính Trong phơng pháp này miền trong đó ta tìm nghiệm của phơng trình thờng đợc phủ bằng một lới gồm một số hữu hạn

điểm (nút), còn các đạo hàm trong phơng trình đợc thay bằng các sai phân

t-ơng ứng của các giá trị của hàm tại các nút lới.

Em xin cám ơn thầy Lê Trọng Vinh đã tận tình hớng dẫn em trong thời

Hµ néi 

Sinh viªn thùc hiÖn

NguyÔn §øc Dòng

Chơng 1

Khái niệm mở đầu

về phơng pháp sai phân

Trong chơng này để trình bày những khái niệm cơ bản của phơng pháp sai phân ta

sẽ xét bài toán biên đối với phơng trình vi phân cấp hai

1.2 Khái niệm về bài toán biên

Bài toán biên có phơng trình vi phân cấp lớn hơn hoặc bằng hai và điều kiện bổ sung đợc cho tại nhiều hơn một điểm

Chẳng hạn bài toán biên đối với phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng:

; ) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) (

b y a

y

b x a x

f x y x q x y x p

Bài toán trên đợc gọi là bài toán biên loại một

Nếu điều kiện biên y(a)   ; y(b)   đợc thay thế bởi điều kiện biên:

Sau đây ta sẽ xem xét các khái niệm về phơng pháp sai phân thông qua bài toán biên loại một

1.3 Bài toán vi phân

Cho hai số a và b với a  b Tìm hàm y  y (x) xác định tại axb thỏa mãn:

)2 1(

) , )

)1.

1(

) ) (

x f qy yp Ly

trong đó pp(x) , qq(x) , f(x) là những hàm số cho trớc đủ trơn thỏa mãn:

0 ) ( , ,

, ) (

0 c0 p x c1 c0 c1 const q x 

còn  ,  là những số cho trớc

Giả sử bài toán ( 1 1 )  ( 1 2 ) có nghiệm duy nhất y đủ trơn trên [a,b]

1.4 Lới sai phân

Ta chia đoạn [a,b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài

b a N

h  bởi các điểm x i aih, i 0 , 1 , ,N Mỗi điểm x i gọi là một nút

l-ới, h gọi là bớc lới

Do đó có đạo hàm lới cấp hai v x:

2 1 1

1 1

h

v v v

h

v v h

v v h h

v v

2

1 1

1 1 1

)(

h

v a v a a v a h

v a v a

Khái niệm “xấp xỉ” liên quan đến khái niệm vô cùng bé Để viết các vô cùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng qui ớc sau đây:

Giả sử đại lợng (h) là một vô cùng bé khi h 0 Nếu tồn tại số   0 và hằng số

) 3 1 ( ) ( )!

1 (

) ( ) (

!

) (

) (

! 2

) ( ) ( )

( )

m

x x

F m

x x

F

x x

F x x F

1 ( ) 1 (

) ( ) ( )!

1 (

m x

Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn nh sau:

) 4 1 ( ) ) ((

) (

!

) (

) (

! 2

) ( ) ( )

( )

m

x x

F m

x x

F

x x

F x x F

) ( ) ( ) ( ) ( )

1 y x h y x h y x h x

y i  i  i   i  

Ta suy ra

)5.1(

))()()( 1

h x y h

x x

) ( ) ( ) ( ) ( )

1 y x h y x h y x h x

y i  i   i   i  

)6.1()

)()()

h x y h

x x

Ngoài ra với qui ớc:

) ( ,

! 2

1 ) ( 2 ) ( ) 2 (

)

(

) ( ) ( 2

! 2

1 ) ( 2 ) ( ) 2 (

) (

3 2

3 2

1

2 2

2 2

2 2

2 2

h x

y h x

y h x

y h x y x

y

h x

y h x

y h x

y h x y x

y

i i

i i

i

i i

i i

1(

)()()()

h

x y x y y

)()(2

)(

)

x x

x

i i i

,

)9 1(

) (

v v

f v av v L

trong đó: ai  p ( xi  h 2 ) , qi  q ( xi) , fi  f ( xi)

1.11 Giải bài toán sai phân (1.9) – (1.10) bằng ph (1.10) bằng ph ơng pháp

truy đuổi

Viết cụ thể bài toán ( 1 9 )  ( 1 10 ) ta có:

) 12 1 ( ,

) 11 1 ( 1

, , 2 , 1 , )

(

0

2 1 1

2 1 1

i i i i

i i i

v v

N i

f h v

a v q h a a v a

Đó là một hệ đại số tuyến tính dạng ba đờng chéo có thể giải bằng phơng pháp truy

đuổi

Xét hệ ba đờng chéo tổng quát:

) 14 1 ( ,

) 13 1 ( 1

, , 2 ,1 ,

2 1 2 1

1 1 0

1 1

n y m y n y m y

N i

F y B y C y A

N N

i i i i i i i

,1 0 ,1 0

) 15 1 0

,0 ,0

2 1 2

B A C D B

2 1

2 2

1 1

,,

0,

0

,,

,

n n

m m

f h F q h a a C a B a

Ta tìm nghiệm của hệ ( 1 13 )  ( 1 14 ) ở dạng:

) 17 1(

1 1

Khi đã biết các i và i thì ( 1 17 ) cho phép tính các y i lùi từ phải sang trái Vì

lẽ đó phơng pháp mang tên phơng pháp truy đuổi từ phải

Để tính các i, i ta viết ( 1 17 ) trong đó thay i bởi i 1:

i i i

Điều kiện này đợc thỏa mãn nhờ giả thiết ( 1 15 )  (1.16) Vì ta có:

Theo giả thiết ( 1 16 ), ta có 0 m1  1 nên 0 1  1 Do đó:

 

10

01

1 1 1

1 2

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

B A B

A B A A

C

Một cách tơng tự, giả sử 0  i  1 ,i 2 , ,k Ta chứng minh đúng với ik 1

k k k

k k

k k

k

B A

A B A A

i i i i i i i

i

F A y A C

B y

i i i i i

i i

A C

F A A

0   y  

y

Đối chiếu với công thức thứ nhất của ( 1 14 ), ta suy ra:

1m 1,1 n1 )21

Sau đó từ ( 1 20 ) cho phép tính tất cả các i, i

Bây giờ công thức ( 1 17 ) tại i N  1 viết:

N N N

)23

1 2

2 2

N

N N

m

m n y

A C

F A A

C B

n m

i i i

i i i i i i i

i

,

1 1

1 1 1 1

1

1 1 1 2

2 2

i i i i

N

N N

1

1, ,2,1,

,

1 1

1

1 1

1 1 1 0

1

1 1

y y

m

m n y

N i

B C

F B

B C

A

i i i i

i i i

i i i i i i i

i i

1.12 Sự ổn định của bài toán sai phân

1 1

nghiệm duy nhất với mọi vế phải và điều kiện biên, đồng thời nghiệm thỏa mãn:

K

v     

ý nghĩa của bài toán ổn định là:

Bài toán sai phân có nghiệm duy nhất, đồng thời nghiệm đó phụ thuộc liên tục vào

vế phải của phơng trình sai phân và điều kiện biên, nghĩa là khi vế phải của phơng trình sai phân và điều kiện biên thay đổi ít thì nghiệm cũng thay đổi ít

Bất đẳng thức ( 1 25 ) nói lên ý nghĩa đó, ta gọi đó là bất đẳng thức ổn định của

4 3

2 1

) ( 6 ) ( 2 ) ( ) ( ) (

) (

! 3 ) (

! 2 ) ( ) ( )

(

h x

y

h x y

h x y h

x y x y y

h x

y h x y h x y h x y x

y

i i

i i

i xi

i i

i i

3 1

) ( 6

1 4

1 8

1 )

( 2

) (

) ( ) ( 6 1

) ( ) ( 4

1 ) ( ) ( 8

1 )

( ) ( ) ( ) ( 2 ) (

) ( 8 ) ( 2 ) ( ) 2 (

h x

y p y p y p h x y p h x y

p

h x

y x p

x y x p x

y x p h x y x p x y x p h x y

y

a

h x

p h x p h x p h x p a

i i

i

i i

i i i

i i

i i

i i

xi

i

i i

i i

3 2

1

) ( 6

1 4

1 8

1 )

( 2

) (

) ( 8 ) ( 2 ) ( ) 2 (

) ( 6 ) ( 2 ) ( ) ( ) (

h x

y p y p y p h x y p h x y p y

a

h x

p h x p h x p h x p a

h x

y h x y h x y h

x y x y y

i i

i i

x

i

i i

i i

i

i i

i i

i i

Ly y

L h i ii i 

Vì lẽ đó ta nói toán tử sai phân L h xấp xỉ toán tử vi phân L tới cấp  h2

Hơn nữa, vì v0 y0      0 và v N  y N      0 nên ta cũng nói: bài toán sai

phân ( 1 9 )  ( 1 10 ) xấp xỉ bài toán vi phân ( 1 1 )  ( 1 2 )

1.14 Sự hội tụ

là nghiệm của bài toán sai phân ( 1 9 )  ( 1 10 )

i v i y x i khi h 0

hay:

) (

y



§Þnh lý Ph¬ng ph¸p sai ph©n ( 1 9 )  ( 1 10 ) lµ ph¬ng ph¸p héi tô víi cÊp chÝnh x¸c  (h2 ).

av  qv  ay  qy f L y

y v q y

v a qz az

z L

h x

x x

x

x z x

x h

Ly y

(

0 0 0 0 0

a y v y v y v z

N N N N N

VËy z tháa m·n:

 

0 , 0

) ( ,

z z

h z

()(

)()

()(

2

1

b y b

y b p

a y a

y a p

 

 ( ) ( ) ( ) 2

) ( ) (

) 27 1 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) (

) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) (

) ( ) ( 2 ) ( 2

) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) (

2

2

2 2

1

1

2 1

2 1

h a y a p h a y a p

h a y a p a y a p h a y a p

h a y h a y h a p h a p y

a

h a p h a p h a

p

a

h a y h a y h

a y h a y

Nh vậy, ta thấy nếu thay p(a)y(a)a1y x1 thì sai số địa phơng tại biên chỉ đạt

cấp (h) do đó sẽ ảnh hởng đến sai số trên toàn lới Để đạt đợc sai số tại biên cấp

) ( )

1

1y h q a y a f a h a

a y a

Bỏ qua  (h2 ) và thay hàm cần tìm y bởi v, ta nhận đợc đẳng thức xấp xỉ của

điều kiện biên tại x  a, đạt sai số  (h2 ):

2 )

( 2

( 2

) ( 2 )

( 2

1 ,

1 ,

2

0 1

1

b f h v

b q h av

a f h v

a q h av

N i

f v

q av

N N

x x

i i

i xi

1 ( ) 2

1 (

2

1 2

1 , 2 )

x y

y x

1 [ làm 4 phần bằng nhau bởi các

điểm chia

2

1 ,

4

1 ,

0 ,

4

1 ,

2

1

4 3

2 1

( 1

x x

y x

( , 0 ) ( , 1 )

(

x x

f x

q x x

0

3 , 2 , 1 , )

(

0 ,

0 4

2 1

1 1

1 0

i v

i f

h v

p v p p v

p

i v

i i

i i i i i

i

Tính các hệ số:

15 2

1 ,

8

1 ,

15 2 1

2

3 ,

4

15 ,

1 ,

4 15

3 2

1

4 3

2 1

f

p p

p p

1 2

3 4

3 5

2 4

15

8 4

1 5 4

1 5 1

15 2

1 4

1 5 1

4 15

0

4

4 3

2

3 2

1

2 1

0 0

v

v v

v

v v

v

v v

v v

Đây là hệ đại số tuyến tính dạng ba đờng chéo đợc giải theo phơng pháp truy đuổi

đã nêu ở trên

Sau khi giải ra ta đợc kết quả:

20295 0 ,

26393 0 ,

19943

2 arcsin)

Dựa vào các điều kiện biên, ta tìm đợc C1  0 ,C2   0 274156

Suy ra nghiệm riêng tơng ứng của phơng trình là:

274156

0 )

Nghiệm đúng

) (x i y

   

Sai số đạt: max ( ) 0 01

4 ,

để giải gần đúng phơng trình vi phân cấp bốn tổng quát một cách chi tiết

2.1 Bài toán vi phân

Cho hai số a và b với a  b Tìm hàm y  y (x) xác định tại

b x

a  thỏa mãn:

   

) 2 2 ( )

( , ) ( , ) ( , ) (

) 1 2 ( )

( ) ( ) ( ) (

b a

b

y a y

x f y x g y x q y x p Ly

, , , )

( 0

) ( 0

3 2 1 0 3

2

1 0

const c c c c c

x p c

c x q c

) ( ), ( ), ( ),

b a b

y , , ,  là những hàm số liên tục cho trớc.

Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Phơng trình ( 2 1 ) có dạng:

) 3 2 ( )

, , , , (

0 ) ( )

(

) ( 2 )

(

) ( ) ( )

(

) ( ) (

) ( ) (

) (

)

(

y y y y x F

x p y x p

x p y x p

x q x p y x p

x q y x p

x g x p

x f

) , , , ,

(

) , , , , ( ), , , , , ( ), , , , , ( ), , , ,

,

(

y y y y x

y

F

y y y y x y

F y

y y y x y

F y

y y y x y

F y

y y y

liên tục trong một miền D nào đó trong R5 và nếu (x0,y0,y0,y0,y0)là một

điểm thuộc D thì trong một lân cận nào đó của điểm x  x0, tồn tại một nghiệm

duy nhất y  y (x) của phơng trình ( 2 3 ) thỏa mãn các điều kiện:

,

h  bởi các điểm x i aih(i 0 , 1 , ,N) Mỗi điểm x i gọi là

một nút lới, h gọi là bớc lới

1 y x h y x h y x h x

y i  i  i   i  

Ta suy ra

)()(x  x

) ( ) ( ) ( ) ( )

1 y x h y x h y x h x

y i  i   i   i  

)5.2()

)()()

h x y h

x x

! 2

1 ) ( 2 ) ( ) 2 (

)

(

) ( ) ( 2

! 2

1 ) ( 2 ) ( ) 2 (

) (

3 2

3 2

1

2 2

2 2

2 2

2 2

h x

y h x

y h x

y h x y x

y

h x

y h x

y h x

y h x y x

y

i i

i i

i

i i

i i

()

()()()

h

x y x y y

( ) ( 2

) ( ) ( )

y

i i

i i

Gọi các giá trị gần đúng đó là v i Muốn có v i ta thay bài toán vi phân

) 2 2 ( )

()(2

)(

)

x x

x

i i

()(2

)(

)

h x y h

x

x

i i

i i

i i

i

y x p x

h x

h

))(()(

)()

2 2

()

1

x y h

y y

i i i

(

)()()()()(

)11.2()

(

)()()()()(

2 1 1

2 1

2 1

1

2 1

2 2

2

2

2 2

2

2

h h

y p y p

h h

y y

y y

p

h h

y p y p

h h

y y

y y

p

i i i i

i i

i i

i

i

i i i i

i i

i i

2.6)(theo





Ta có:

) ( ) ( 6 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( 6 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) (

4 3

2 1

1

4 3

2 1

1

h x

y

h x y

h x y h x y h x y x

y y

h x

y h x y h x y h x y h x y x

y y

i i

i i

i i

i

i i

i i

i i

( 2 ) ( )

y

i i

y y

y

i ix xi i i

Thay ( 2 13 ) vào ( 2 11 ) ta đợc

)(2

21

)()(

2)

(2

1

2 2

1 1

2 1 2

1

2 2

2 1 1

2 2

1 2

1

2

h h

y y y p h

y y y

p

h

h h

h

y y y p h h

y y y

p

h

i i i i i i i

i

i i i i i

i i

21

)()

(

2)

(2

1

2 2

2 1 1

2 1 1

2 2

2 2 1 1

2 2

1 1

2

h h

y y y p h

y y y

p

h

h h

h

y y y p h h

y y y

p

h

i i i i i i i i

i i i i i

i i

i

y x q x

Z

h x

Z h

Z Z

(

)()

2 2

)(

2 1

2 1

2 2 2 2

2 2

2 2

h h

y y q y q Z

h h

y y q y

q Z

i i i i i i

i i i i

i i

)(1

)()()

(1

)()

()

(

)

(

2 1

1

2 2

1 2

1

2

2 2

2 2

2 2

h h

y y q h

y y q h

h h

h

y y q h h

y y q h

h h

Z Z x Z x

y

x

q

i i i i i i

i i i i

i i

i i i i

) ( ) ( 6 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) (

3

2 1

4 3

2 1

1

h x

y

h x y

h x y h

x y x y y

h x

y

h x y

h x y h x y h x y x

y y

i i

i i

i xi

i i

i i

i i

) ( ) ( 6 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) (

3

2 1

4 3

2 1

1

h x

y h x y h x y h

x y x y y

h x

y

h x y

h x y h x y h x y x

y y

i i

i i

i i

x

i i

i i

i i

) ( ) ( 2

! 2

1 ) ( 2 ) ( ) 2 (

) ( ) ( 2

! 2

1 ) ( 2 ) ( ) 2 (

3 2

3 2

2

2

h x

q h x

q h x q h x q q

h x

q h x

q h x q h x q q

i i

i i

i

i i

i i

 

) 3 ( ) ( ) ( 4

1 ) ( ) ( 2

1 ) ( ) ( 3

1 2 2

) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 1

2

1

h i x y i x q i x y i x q i x y i x q h

i x y i x q i x y i x q

h i x y i x q h

1 ) ( ) ( 2

1 ) ( ) ( 3

1 2 2

) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 1

2

1

h i x y i x q i x y i x q i x y i x q h

i x y i x q i x y i x q

h i x y i x q h

y y q h

h i x y x q h i x y x q h h i x

i i i i i

1

2 )

( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( 1 ) (

y y q

i i i i i

22

22

1)

(

)

(

2 2

2 1 1

2 1 1

2 1 2

1 2

h h

y y y p h

y y y

p h

y y y

p h x

y

x

i i i i

i i i i

i i i i i

i i i i i i i i i i i

i

f v g h

v v q h

v v q h

h

v v v p h

v v v

p h

v v v

2 2 1 1

2 1 1

2 1 2

1 2

2 2

1

22

22

i i

i i

i i i

i i

i

f h v p v q h p p

v g h q

q h p p p

v q h p p v

p

4 2 1 1

2 1

4 2

1 1

1

2 1 2

1

2

2 2 2

22

42

) ( ,

) ( ,

) (

) 2 ( ,

) 2

(

2 2

i i

i i

i i

i i

i i

x f f x g g x p p

h x q q

h x q q

)()(

)(2

)()(

2 1

2 1

2

2

h x

q x q q

h x

q x q q

i i

i

i i

,2

2

,4

,2

2,

4 1

2 1

4 2

1 1

2 1 1

2

2 2 2

i i

i i

i i i

i

i i

i i

i i

i

i i

i i i i

f h F p

E

q h p p

D

g h q

q h p p p

C

q h p p B p

a a

y v y b

y

y v y a

a

h

y y y y

a

2)

(2

)

0 1

2 0

0 1 0

Bây giờ, ta cần xấp xỉ đạo hàm y 0 tại điểm x 0 a:

 

0

2 0

0 2

3 0

2 0 0 1

0 0

2

2 2

) 2 (

2 )

(

) (

h y

h y h y h a y y

h y

h y h y h a y y

y a y y

h

y y y

2 1

0 2

mà

2

1 0

1 1 2

0 1 1 2

2 2 1 0

h y

y

y h

y y h

h

y y h

y y h

y y y

x

x x x

trong đó:

2 2 1 0 1 0 1 1

2

;

h

y y y y h

y y

h y

y y h h

y y y

1 0

2 2

1 0 0

1 0

2

122

31

22

y v v v h

3

2

122

31

2 1 0

2 1 0

Tơng tự với điều kiện biên y(b) y b, ta có:

b N

N N N b

h

y y y y

b

2 )

N N

N N

N N

N N

y b y y

h y

h y h y h b y y

h y

h y

h y h b y y

2 )

(

2

) 2 ( 2

) 2 (

3 2

1

3 2

h

y y y

N N N

N     

2 1

2 2

mà

 h y

y

y h

y y h

h

y y

h

y y h

y y

y

xN x N

xN x N

x N x

N N

N N N N

2 1

1

2 1

y   1    2   1  2  

2 2

trong đó:

2 1 2

y h

y y

xN x N

N N

N N

N N N

N N N

y h y

y y

h

h y

y y

h h

y y y

2

2 1

2 1

2

32

2

11

22

1

Cũng thay y bởi v và bỏ qua sai số địa phơng cấp 2  h2 , ta đợc:

b N

N N

b N N

N

y h v

v v

y v

v v

4

2

32

2

11

1 2

1 2

b N

N N

i i

i i

i i

i i

i i

i

a a

y v

y h v

v v

N i

F v

E v

D v

C v

B v

A

y h v

v v

y v

I

2 3

4

2 ,

2 2

4 3

1 2

2 1

1 2

2 1

0 0

Hệ (I) cũng đợc gọi là lợc đồ sai phân đối với bài toán biên đã cho.

Thay cho bài toán vi phân ( 2 1 )  ( 2 2 ) đối với ẩn hàm y  y (x) ta có bài toán sai

phân (I) đối với ẩn hàm v

)

(I là hệ phơng trình đại số bậc nhất tuyến tính có dạng năm đờng chéo.

2.6 Cách giải bài toán sai phân (I)

2.6.1 Phơng pháp lặp Seidel co dãn

Hệ (I) có thể viết lại ở dạng ma trận

) ( )

1 ( )

1 (

) ( ' ) 1 (

) 1 (

) (

m m

m

m m

v v

v

F v

E v

D E

F Av

Từ ( 2 14 ) suy ra:

i i i

i i i

i i i

i i i

i i

C

F v C

E v C

D v C

B v C

i m i i

i m

i i

i m i i

i m

i

C

F v C

E v C

D v

C

B v

1,)1( ) )1

( )1

%100max ( )1

) )1 (

m i i

m

v

v v

b N

N N

i i

i i

i i

i i

i i

i

a a

y v

y h v

v v

N i

F v

E v

D v

C v

B v

A

y h v

v v

y v

2 3

4

2 ,

2 2

4 3

1 2

2 1

1 2

2 1

0 0

Đó là một hệ đại số tuyến tính năm đờng chéo Bây giờ ta sẽ xét phơng pháp truy

đuổi giải hệ năm đờng chéo tổng quát sau:

2 ( ,

)

2 0

2 ( 1

,

)

1 9

2 ( 2

2 ,

)

1 8

2 ( 1

,

)

1 7

2 ( 0

,

1 2

1 1

1 1

2 1

3 1

2 1

1 2

1 3

1 2

1 1

1 0

1

0 2

0 1

0 0

0

N i

f y

c y

b y

a

N i

f y

d y

c y

b y

a

N i

f y

e y

d y

c y

b y

a

i f

y e y

d y

c y

b

i f

y e y

d y

c

N N

N N

N N

N

N N

N N

N N

N N

N

i i

i i

i i

i i

i i

i

2.6.2.1 Phơng pháp truy đuổi từ phải

Ta tìm nghiệm của hệ ( 2 17 )  ( 2 21 ) ở dạng:

) 23 2 ( 1

,

) 22 2 ( 2

0 ,

1

1 2 1 1 1

y

N i y

y y

N N N N

i i i i i

Khi đã biết các hệ số i, i, i thì ( 2 22 )  ( 2 23 ) cho phép tính các y i lùi từ

phải sang trái Vì lẽ đó phơng pháp mang tên phơng pháp truy đuổi từ phải

Từ các công thức ( 2 22 )  ( 2 23 ) y N và các hệ số i, i, i là cha biết Để tính

các hệ số i, i, i Từ ( 2 22 ) ta thay i bởi i 1 và i 2 ta đợc:

) 24 2 ( 1

1 ,

1 1

, )

y i  ii  i i  ii i  i i  i  

Thay ( 2 24 ) và ( 2 25 ) vào phơng trình ( 2 19 ), ta đợc:

)(

1 1

2 1

1 1

1

2

1 1

1 1

1 1 1

a a

f

y e y b a

d y b a

a

c

f y e

y d y c y

y b y

y a

i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i

i

i

i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

Tõ ( 2 17 ) ta suy ra:

0

0 2 0

0 1 0

0 0

c

f y c

e y c

d

Tõ ( 2 22 ) víi i 0, ta cã:

1 2 1 1 1

0   y   y  

y

Suy ra:

)27.2(,

,

0

0 1 0

0 1 0

) (

) (

) (

1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1

1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1

f y e y d y c y

y b

1   y   y  

y

Suy ra:

)28.2(,

,

1 1 1

1 1 1 2 1 1 1

1 2 1 1 1

1 1 1

b f b

c

e b

c

b d

Bây giờ, ta cần sử dụng các phơng trình ( 2 20 )  ( 2 21 ) trong hệ Từ ( 2 24 ) và

)(

)(

)(

)(

)(

)(

1 2

1 1 2

1

1 2

1 1 1

1 1 2

1 1 2

1 1

1 1 2

1 2 1 1

1 1

1 2

1 1

1 1 1 1 2

1 2 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

2 1

2 1

1 1

1 2

N N N

N N

N N N

N N N

N N N

N N N

N N

N N N

N N N N

N N N

N N

N N

N N N N N

N N N

N N N N

N N

N N N

N N

N N

N N

N N N

N N

N

b a

a f

y b a

d y

b a

a c

b a

f

y d b

a

y c b

a

f y d y

c y

y b

y y

y a

)(

)(

)(

1 2

1 1 2

1 1

1 2

1 1 2

1

1 2

1 1 2

1 1

1 2

1 1 1

N N N

N N

N N

N N N

N N N

N N

N N N

N N

N N

N N N

N

b a

a c

b a

a f

b a

a c

b a

Ta thấy rằng N, N ở trên chính là giá trị N, N đợc tính theo công thức ( 2 26 )

ứng với iN  1, trong đó mẫu số chính là N 1

Để tính y N, ta sử dụng ( 2 22 ) với iN 2 và ( 2 23 ) với phơng trình ( 2 21 )

)(

)(

)(

1 1

1 1

1 1

1

1 1

1 1

1

N N N N N N N N N N N N N

N N

N N N N N N N N

N N N N N N

N

N N N N N N

N N N

N

N

b a

a f y b a

a

c

f y c y

b y

y a

f y c y b y

y a

1

1 1

)(

)(

N N N N N N N N

b a

a c

b a

a f

Nh vậy, ta có thể tóm tắt lại qui trình giải hệ năm đờng chéo ( 2 17 )  ( 2 21 ) theo

phơng pháp truy đuổi từ phải nh sau:

1 Tính các hệ số  , i, i

0

0 1 0

0 1 0

0

c

f c

e c

1 ,

1 ,

) 31 2 ( 2

, , 2 ,1 ,

) 30 2 ( , ,

3 , 2 , ) (

1

) 29 2 ( 1

, , 3 , 2 ,

) (

1

1

1 1

1

1 1

e

N i

b a a

f

N i

b a d

i

i

i

i i i i i i i i

i

i i i i i i

) 33 2 ( 1

1 2 1 1

,

) 34 2 ( 2

,

1 0 1 1

2 1

y

N i y

1 ,

1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2

1 2

0 , )

i

f y

y e

y y d y c y b y

1 2

1 1 1 1 1

2

)(

)(

)(

)(

)(

)(

2 1 2

2 1

2 1 2

1 2

2 1 2 1

2 1

1 2 1

2 1 2 1

e e

f

y a y d e

b y d e

e

c

e d

f

y a y e

d b y e

d

c

i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i

i

i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i i

 

1

) 38 2 ( 1

) ( 1

2 1 2 1 1

2 1 1

i i i i i i i

i i i

i i i i i i

d e e f a

d e b

, )

1 2

Tõ ( 2 21 ), ta suy ra:

N

N N

N

N N N

N N

c

f y

c

a y c

b

Tõ ( 2 34 ) t¹i i  N, ta cã:

N N

N N N

Suy ra:

)39.2(,

,

N

N N N

N N N

N

f c

a c

) (

) (

) (

1 1

3 1 1

1 1

1 1

2 1

1 1

1 2 1 3 1

N N N

N N N N

N N N

N N N N N

N N

N N N

d f

y a y d

b y

d c

f y

y d

y c y

b y

1 2

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1

N N N

N N N

N N N N

N N

N N N

N N N

N

d c

d f

d c

a d

c

d b

2  y  y 

y

Thay y2, y3 ë trªn vµo ( 2 18 ) cho ta:

)(

)(

1 3 1 2 3 1 1 0 1 3 1 2 1 1 1 3 1 2 3 1

1

1 3 2 3 0 2 3 1 3 2 3 1 2 0 2 1 2 1 1 1 0

1

d e e

f y d e b

y d e e

c

f y

y e

y y d y c y

)(

,)(

)(

1 3 1 2 3 1 1

1 3 1 2 3 1 1 1 1 3 1 2 3 1 1

1 3 1 2 1

d e e

f d

e e

c

d e b

)(

0 2 0 1 2 0 0 1 0 2 0 1 2 0 0

0 2 0 2 1 0 1 2 0 1 0 1 0 0

0

d e e

f y d e e

c

f y

y e

y d y

0 2 0 1 2 0 0 0

)(

)(

c

d e e

f y

Tãm l¹i, qui tr×nh gi¶i hÖ ( 2 17 )  ( 2 21 ) theo ph¬ng ph¸p truy ®uæi tõ tr¸i nh sau:

1 TÝnh c¸c hÖ sè i, i, i

N N

N N N

N N N

N N

N

N N N

N N N

N N

d f

a d

b

c

f c

a c

1 1 1

1 1

1

1 ,

1 ,

1

, ,

, , 3 , 2 ,

1

) 41 2 ( 2

, , 2 , 1 ,

) (

1

2 1 2 1

1

2 1 1

d e e

f

N i

a

N i

d e b

i i i i i i i i

i

i i

i

i i i i i i

i i i i i i

i

i

d c

N i d

e e

2 1 2

N i y y y

i y

y

i y

i i i

) 45 2 ( 1

,

0 ,

2 1

1 0 1

0 0

0 )

Để đảm bảo rằng việc giải hệ ( 2 17 )  ( 2 21 ) theo các công thức ( 2 29 )  ( 2 33 )

là ổn định thì các hệ số của hệ phơng trình phải thỏa mãn các điều kiện của định lýsau:

Định lý Khi tìm nghiệm hệ ( 2 17 )  ( 2 21 ) theo công thức truy đuổi

) 33

(  ta sẽ gặp phải sai số quy tròn, vì vậy có thể dẫn đến sự mất ổn

định của công thức tính Quá trình tính sẽ ổn định nếu các điều kiện sau đây đợc thỏa mãn:

2 0

, 0 ,

1 0

, 0

1 , 0 ,

2 , 0

N i d

N i b

N i a

i i

i i

đồng thời có ít nhất một bất đẳng thức mạnh trong các bất đẳng thức dới đây:

2 2

,

) 46 2 ( ,

,

1 1 1 1

1 1 1 1 0

c

d b a c b

a

c

e d b c e

d

c

i i i i

i

N N N N N

N

N

Khi đó ta có:

1 ,

1 1

c

e d



 (do giả thiết: c0 d0  e0 )

1 1 1

1 1 1 1 2 2

e b d

0 )

1 1

1 1

1

1 1

1 1

1 1

e b d a

e b d a

e d a b

a

e d a b

a

b a a

c

i i i i i i

i i i i i i i

i i i i i i i

i i i i i i i i i

i i i i i i i i

i

i i i i i i

1

1 1

1 1

2 1

N N N

N N

N N

1  N1  N1  đã đợc chứng minh ở trên ta cần giả thiết thêm là các bất

đẳng thức thứ này không đồng thời xảy ra dấu bằng Khi đó, ta có N  0 Định lý

   

)()

(

)()()()(1

22

22

1

2 2

1 1

2 2 1 1

2 1 1

2 1 2 1 2

2 2

h Ly h y g

x y x q x y x p y g h

y y q h

y y q h

h

y y y p h

y y y p h

y y y p h y

L

i i

i

i i

i i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i

Ly y

L h i i i i  

Vì lẽ đó ta nói toán tử sai phân L h xấp xỉ toán tử vi phân L tới cấp

) (h2

2.8 Sự ổn định của bài toán sai phân

Định lý. Bài toán sai phân (I) là bài toán ổn định:

const K

K K y

K y K f K



định lý về sự ổn định của hệ năm đờng chéo Để đánh giá v ta đặt vVZ, trong

b N

N N

i i

i i

i i

i i

i i

i

y V

y h V

V V

N i

F V

E V

D V

C V

B V

A

V V

V V

I I

2 3

4

2 ,

2 ,

0 4

3 0 )

(

1 2

2 1

1 2

2 1

0 0

4

2 ,

2 ,

0 2

4 3

)

(

2 1

2 1

1 2

2 1

0 0

N

N N

N

i i i

i i

i i

i i

i

a a

Z

Z Z

Z

N i

Z E Z

D Z

C Z

B Z

A

y h Z

Z Z

y Z

III

Khi đó v thỏa mãn (I)

Công thức truy đuổi từ phải áp dụng vào bài toán (II) cho:

0 , , 3 , 2 ,

1 2 1 1 1 1 1

V V

V V

y V

i i i i i i

N N N N

b N N

1

1 2

1 1

1 1

2 1 1 1

i

i i

i i

i i

i i i i i

V V

V V

V V

Do định lý về sự ổn định của hệ năm đờng chéo, ta có i  i  1 , (i  1 ,N  1 ) ;

1

5 4 3 2 1 6 5

4 3 2 1 5 4

3 2 1 4 3

2 1 3 2 1 2

1

5 3 2 5

8

3 2 3

5

2 2

3

2

N i

k k i k N

i N N i N

i i i i i i i

i i i i i i

i i i i i

i i i i i i

i

i

h V h V h

V V

V V

V V

V V V

1

h

i h

i i

N

i k

k i k i

N N N i N N i

1

1 1

N

i k

k i k i N N b i N i N

N

i k

k i k i N N N i N i N

h h

y h h

h h

V h h

N i B

A A

i N

N

i k

k i k N

i N N N N i

Với  1 1 1

1

2 0

i i

i i

q h p p B

p A

 i i  i i

i i

2 , 2 ,

1 1

2 2

D

N i E A hay A

E

i i i

i

i i i

i

và ta có:

2 , 2 ,  

(định lý về sự ổn định của hệ năm đờng chéo)

Bây giờ ta đánh giá i , i 2 ,N 2

i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i i i

B A

C

B A C

B A

A C

1 1 1

1

Ta có:

1  1 1 1

1

1 1

1 1 1

1 1

i

i i i i

i i i i i

1 2 1 2

1 1

1 1

i i

i i

i i

i i

i i i

i i

i i i i i i i i

A B

F A

B

A A

B

B A

E D

F A

B A

2 1

i i

i

i i

i

i i i

B A

F i

B A

A i

B A

B A



Suy ra:

3 3

3

2 2

2

1 1

1

1 2

3

2 3

4

4 3

2

3 2

1

2 1

i

i i

i

i i

i

i i

i

i i

i

i i

3 1 2

1

2 1

1 )

2 2

)4 (

)3 (

6

5 )3 ( 1 )

2

1 (

4 2 1

3 1 2

1

1 2 1

i i i

i i i i i

i i

i i

i i i i

i

i i i

i i i

i

i i i i

i i i

i

Tõ (II), ta cã:

0 4

1 0

4 4

3

0 0

2 2 3 2 2 2 2 1 2

1 2 1 0

1 1

2 1 1 1 0

V V V

V V V V

V V V

3]12

1[

21

1)(1

i i

i

i i i

i i

i i

~ 2

1

~ 1

i i

i i

i i

i

i

i i i

i i i

i i i

i

i

i i

~

3

~

3 3

~ 5 4

~

5

~ 4 3

i i

i

i i

i i

i i i

i i

i i i

i i

i i

j j j

i j

B A

j j

j

2 1

~

~





1 1

~

N i k

k j

j j j

i k N

i k

k i

B A

j h

Do giả thiết

0 ) (

, , , )

( 0

) ( 0

3 2 1 0 3

2

1 0

const c c c c c

x p c

c x q c

Ta có:

0

2 2 1 2 0

2 2 1 2

0

2 2

2 1

1

2 1 2

5

1 1

5

4 2

2

c h c B

A c h c B

A

c h c q

h p p B

c p A

j j

j j

i j

j j

j j

1 2

1 1

5

1

c h c B

A c h

2 2

1

1

~5

i k

k

i k N

i

F j h

c h c

h  Tiếp theo ta đánh giá các hệ số  ~ i

i i i i

i

i i i

B A

c h c

B A

c h c B

A

B A

i

i

1 0

2 2

1 0

2 2 1 2 1

5 1 5

1 1

~

k

j F

F j

F j

5

55

1

0

2 2 1

2 3 0

2 2

c h c B A c h

c i i

15

55

5

51

2

0

2 2 1

2 3 0

2 2 3 2

0

2 2 1

2 3 1

h c

c c

h c

c h c B

A

A i

i i

i

i i

5

5 5

5 5

5 5

1 1

~ 3 2

3 0

2 2 1

2 3 0

2 2 1

2 3 2

0

2 2 1

2 3 0

2 2

c c

h c

c h c c h c

c h c c h c

c h c c h c

c

i i i

i

Với mục đích đánh giá để thấy đợc nghiệm của bài toán (II) phụ thuộc chặt vào

vế phải của phơng trình sai phân và điều kiện biên, do các hệ số ~ j , j  2 ,k 1

đã chỉ ra ở trên chỉ phụ thuộc vào các hằng số (h và c i, i 0 , 1 , 2 , 3) nên để đơn

giản ta có thể đánh giá nh sau:

1

0

2 2

1

1

max2

51

max2

51

N

i k

j N j i k

N

i k

j k j i k N

i

k

k i k

F h

k c

h c

F h

k c

h c

2 2

2 , 2

25

i k

i k

j N j

h k c

h c F

2 2

1 0

2 2

2 , 2

1 0

2 2

2 , 2

1

1 1 0

2 2

2 , 2

1

1

1 0

2 2

2 , 2

2

415

2

415

max

2

3115

max

25

max

25

i N

j N j

i N

j N j

N

i k i N

j N j

N

i k

i N

j N j

h i N i N c h c F

h i N i N c h c F

N i i N h c h c F

k h c h c F

h k c h c F

N j j

N

F

1 , 1

4 1

h i N i N h

y h h

i N N b i N i N i

0

2 2

1 1

5 2

4 1

c h c

N F

B A

j



Vậy: